3.2 离散傅里叶变换的基本性质

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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
例如实数序列及其DFT
xn = 1 1 2 -2 4 2 2 xn = 1 1 1 2 3 4 3 2 1
Xk = 11.0000 -1.5858 + 2.8284i 1.0000 - 4.0000i -4.4142 + 2.8284i 7.0000 + 0.0000i -4.4142 - 2.8284i 1.0000 + 4.0000i -1.5858 - 2.8284i
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Xk = 17.0000 -5.8284 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i -0.1716 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -0.1716 - 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -5.8284 - 0.0000i
X

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
利用DFT的共轭对称性， 通过计算一次N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT. 设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如 下： x(n)=x1(n)+jx2(n) 计算x(n)的DFT， 得到 X(k)=DFT［x(n)] 利用对称性，有 DFT[x1(n)]= Xep(k) =[X(k)+X*(N-k)]/2 DFT[x2(n)] =Xop(k) = - j[X(k)-X*(N-k)]/2
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X

例如，利用DFT的对称性求两个实序列的DFT。
π π 求 x(n) = cos( n), y (n) = sin( n), 0 ≤ n ≤ N − 1 两序列的DFT。 3 3
令
π j n π π f (n) = cos( n) + j sin( n) = e 3 3 3
F (k ) = ∑ e
n =0
N −1
π 2π j n −j kn 3 N
e
= ∑e
n=0
N −1 − j 2π ( k − N ) n N 6
N = N δ (k − ) 6 由DFT对称性，
0 ≤ k ≤ N −1
π 1 N −1 − j 2N n ( k − m ) ∑e N n =0 = δ ( k − m − MN )
M 为整数
1 DFT [ x(n)] = [ F (k ) + F * ( N − k )] 2 1 DFT [ y ( n)] = − j [ F (k ) − F * ( N − k )] 2
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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
取N=6
F(k)
F (k ) = 6δ (k − 1)
k = 0,1, 2,...,5
F(6-k)
k
0 3 5 0 3 5
k
1 DFT [ x( n)] = [ F (k ) + F ( N − k )] 2 = 3[δ (k − 1) + δ (k − 5)]
1 DFT [ y ( n)] = − j [ F (k ) − F ( N − k )] 2 = − j 3[δ (k − 1) − δ (k − 5)]
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N的选取
k = 0,1, 2,...,5
X

结论：在用DFT计算离散周期序列的频谱时， 截取长度应为其周期的整数倍。
不同计算点数的DFT比较
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例 用性质求DFT和IDFT P107 习题15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1）求X(k)的其余3点的值； （2） x1 ( n) = [ m∑ x ( n + 5 + 8m )]R8 ( n), 求 X 1 ( k ) = DFT [ x1 ( n)]; =−∞ （3） x2 ( n ) = x ( n)e , 求 X 2 ( k ) = DFT [ x2 ( n )]; ∴ DFT [ x(n)] = X * ( N − k ) 解：（1） Q x (n) 实序列 即， X ( N − k ) = X * (k )
X (7) = X * (1) = 0.125 + j 0.3018 X (6) = X * (2) = 0 X (5) = X * (3) = 0.125 + j 0.0518
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018}
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∞
jπ n 4

（2） x1 (n) = [ ∑ x( n + 5 + 8m)]R8 (n) = x((n + 5))8 R8 (n)
m =−∞
∞
X 1 (k ) = DFT [ x1 (n)] = e
j
2π 5k 8
X (k )
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018}
（3）
x2 (n) = x( n)e
jπ n 4
= x ( n )e
j
2π n 8
X 2 (k ) = DFT [ x2 (n)] = X ((k − 1))8 R8 (k )
X(k)={0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018,} X2(k)={0.125+j0.3018 , 0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0, 0.125+j0.0518, 0}
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