奥数新讲义-一元二次方程-高次分式方程组5师

第四讲 一元二次方程5：高次、分式方程解法

一、 解方程的基础知识

1．整式方程

一般通过消元、降次等方法求解；

在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。

特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组x y a

xy b

+=⎧⎨

=⎩求解；

2．分式方程

一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程； 3．无理方程

一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程.

二、 例题部分

1．高次方程

例1（★，1994年兰州初中数学竞赛）解方程2

2

2

(231)22331x x x x -+=-+ 【解】2

2

2

(231)11(231)100x x x x -+--++= 即2

2

[(231)1][(231)10]0x x x x -+--+-=

亦即2

2

(23)(239)0x x x x ---=，分解(23)(23)(3)0x x x x -+-=

∴121233

0;;;3;22

x x x x ==

=-= 例2（★，1957年北京数学竞赛题）解方程4

4

(4)626x x +-= 【解】设y ＝x －2，则原方程化为4

4

(2)(2)626y y ++-= 展开可得42

242970y y +-=，即2

2

(33)(9)0y y +-=

∵2330y +>，∴2

90,3y y -==±

∴125;1x x ==-

例3（★★，96年竞赛）解方程2

2

2

(32)3(32)2x x x x x =+-++-- 【解】设2

32y x x =+-，则2

32x y y =+- 上两式相减，得()()3()y x x y x y x y -=-++-，即()(4)0x y x y -++=

∴0x y -=或40x y ++=

当0x y -=时，即232x x x =+-，解得13x =-±；

当40x y ++=时，即2432x x x --=+-，解得22x =-±

例4（★）解方程4322316320x x x x +-++=

2．分式方程 例5（★）解方程

21421242

x x x x +=++-- 【解】去分母，方程两边同时乘以2

(4)x -，得2

242(2)4x x x x -+=++-

整理得2320x x -+=，解得122();1x x ==增根

∴原方程的解为x ＝1

例6（★，94年四川竞赛）解方程2240

()()119

x x x x +=

-+ 【解】去分母，得22222

240(1)(1)(1)9

x x x x x ++-=-

即222220(1)(1)9x x x +=-，令2y x =, 则有220

(1)(1)9y y y +=-

解得125

4;11

y y ==

当4y =时，解得2x =±；

当5

11

y =

时，解得5511x =±

经检验可知2x =±，55

11

x =±

都是原方程的解. 例7（★★，2003年广西赛题）解方程2

2

2

8140(9)x x x +

=+

例8（★★）解分式方程

21919()8411

x x x

x x x --+=++

例9（★★）解分式方程

2248104033x x x x

+=- 【解】原式乘以3，得22

144120

10x x x x +=- 上式左边配方，得2121212()210()x x x x x x -+=-，即21212

()10()240x x x x

---+=

设12y x x

=-，则2

10240y y -+=，解得124;6y y ==

当4y =时，得212

4,4120x x x x -=--=,∴126;2x x ==-；

当6y =时，得212

6,6120x x x x

-=--=,∴3,4321x =±

经检验，126;2x x ==-，3,4321x =±均为原方程的根. 例10（★★）解分式方程

222111

011828138

x x x x x x ++=+-+---

【解】直接去分母计算过于繁琐，换元，设2

28y x x =+-，原方程化为

111

0915y x y y x

++=+-，去分母，得(15)(9)(15)(9)0y y x y x y x y y x -++-++= 即2

2

3121350y xy x --=，分解得3(5)(9)0y x y x +-= 当5y x =-时，2528x x x -=+-，解得121;8x x ==-；

当9y x =时，2928x x x =+-，解得341;8x x =-=；

经检验可知121;8x x ==-，341;8x x =-=均为原方程的根.

例11（★★★）解分式方程

222212219

116

x x x x x x x +++++=+++ 【解法1】

方程变形为22

2119

11116x x x x x ++++=+++ 即22

217116

x x x x x ++=+++ ∵0x ≠；∴1

171161x x x x x x

+

+=+++， 设1

y x x

=+

，则1716y y y +

=+， 解得123;2y y =-= 当3y =-时，解得1,235

2

x -±=

当2y =时，解得3,41x =

经检验可知1,235

2

x -±=，3,41x =均是原方程的解

【解法2】

方程变形为

22221119

1116

x x x x x x ++++=-+++ 设22

11x x y x ++=+，则113

6

y y += 解得1232

;23

y y =

= 当2

3

y =时，222131x x x ++=+

解得1,235

2

x -±=

当3

2

y =时，223121x x x ++=+

解得3,41x =

3．无理方程

例12（★）解方程13x x +-=