托卡马克装置原理2[1]

dp j
1 1 F 1 F 1 dR B dR B dz j dz R R R R R z R z
1 ( j d B dF ) R
F ()
RB
0

2
I () 2
1 j d dp 0 FdF R R2
2 0
z r sin
p,F两函数也在ψ０附近展开，得到零级和一级平衡方程 1 d d 0 2 2 (r ) 0 R0 p ( 0 ) 0 F ( 0 ) F ( 0 ) r dr dr 小半径方向的平衡
1 1 2 cos d 0 [ (r ) 2 ] 1 r r r R0 dr r 2
等离子体平衡
极向电流磁面函数
磁面内的总极向电流
从Ｍ方程 （无电场变化） 还定义
F ()
R I ( ) j dS p j z 2RdR Sp 0
0 j B
RB I () 2
I ( )
2RB
0
0
jz
1 F , R R
磁通函数
极向磁通：一个封闭环形磁面内的总的极向磁通量
R B dS p B z 2RdR Sp R0

2
磁通的函数称为磁面量，如 极向磁通和极向磁场的关系
p( )
d RBz dR RBR dz 1 1 BR , Bz R z R R
2 0 ( R0 r cos ) 2 p( ) 0 F ( ) F ( )
局部极坐标
r , ,
将磁面函数展开
x ( R0 r cos ) cos
(r, ) 0 (r ) 1 (r, )
1 0
y ( R0 r cos ) sin
( R ) 0 p ( )
R2
F ( ) F ( )
解方程须知两函数 p(ψ), F(ψ),
近环近似 (r/R<<1)
在局部极坐标下
1 1 2 1 1 [ (r ) 2 ] (cos sin ) r r r r 2 R0 r cos r r
等离子体截面几何参数
大半径(major radius) R
小半径(minor radius) a
环径比(aspect ratio) A=R/a 拉长比(elongation) κ=b/a 三角形变参数(triangularity) δ
粒子运动
约束粒子和通行粒子
香蕉轨道半宽度△r≈(10-20)ρc
3，托卡马克装置原理
磁面 环形等离子体位形 粒子运动 等离子体平衡
建议阅读： John Wesson: Tokamaks,
Clearendon Press
环形等离子体的磁面
托卡马克等离子体内存在磁面
平衡方程 轴对称情况
p j B
p j Bz j z B , 0 j z BR jR Bz , R
p jR B j BR z
j z / j R Bz / BR
在子午面内电流与磁场的投影同向， 即电流磁场在一个环面上
压强 p的梯度垂直于这一面，所以在面上 p=const，称为磁面
托卡马克等离子体的磁面是嵌套的环面． 最里面的磁面退化为磁轴
等离子体温度和密度在磁面上近似为常量
一般的磁ຫໍສະໝຸດ Baidu概念
小环方向：外侧磁面向－Ｒ，即强磁场方向移动，形成平均最小Ｂ
比容
dV 2 [ R0 (r )]2r 2R0 2 ( r ) U [1 ] B0 R0 d B0 R0 2r R0 (r )
d ( r ) 0 dr
dU 0 dr
平均最 小Ｂ
等离子体比压
直园柱体的平衡公式
内部△变大
极向比压
p
p0 2rdr
0
a
( B20 (a) / 2 0 )a 2

p B20 / 2 0
li
2 ( B 0 / 2 0 )2rdr 0
a
( B20 (a) / 2 0 )a 2
单位长 0 l 度内感 4 i
li 1 l a2 a2 ( p ) (o) ( p i ) 2R0 2 2 2R0 2
(r )
磁面向外的外移
将第２项作为ψ１代入一阶平衡方程，又用零阶方程 dp d d r (rB20 ) (2 0 r 0 B20 ) B 0 (d 0 / dr) / R0 dr dr R0 dr 边条件：r=0处
(
d / dr 0
(a) 0
p0 (a) 0
l d a ) a ( p i ) dr R0 2
jR
1 F R z
两组量的 对应关系
A
B 0
B


F
磁场量
j
I
电流量
Grad-Shafranov方程
从磁面量的定义和Ｍ方程
1 BR R z
BR 1 2 z R z 2
Bz 1 2 1 R R R 2 R 2
d 2R 3 dR n R Bv M 2 2 (n ) I p B Bv R 2 dt dt
水平位移稳定性 垂直位移稳定性
n 3 2
n0
桶形场
等离子体柱和外回路总的Lagrangian （圆截面）
2 m 2 a 1 1 2 2 L ( R ) L p I p L I p p t I p 2 2 2 2 1 I p M i I i Li I i2 M ij I i I j 2 i i j i NT ln(VT
0 I p (r ) Bp 2r
2Bz r 2 q(r ) 0 R0 I p (r )
任意截面
d q( ) d
回转变换角：磁力线绕大环一周后绕小圆的角度
q=2磁面

2 q
安全因子
电流均匀分布，安全因子与小半径无关 电流峰值分布，q(r)单调上升 共振面：q =m/n 为低模数有理数
磁面坐标
磁面坐标一般的Jacobian
R dl J | r | | r | d
1
一般线元和度规张量为
ds2 g rr dr 2 2g r drd g d 2 g d 2
2 2 J2 J J g rr 2 | | 2 , g r 2 r , g 2 | r | 2 , g R 2 R R R
新经典输运和自举电流
（bootstrap current)
Ib c p c≈1/3, ε=r/R Ip
一个磁面两 侧的香蕉粒 子轨道
热运动和漂移运动
我们下面分析托卡马克装置中的带电粒子运动。这样的粒子在 环形真空室中做两种运动，即无规的热运动和在电场下的漂移 运动。我们假设等离子体的电子温度Te=1keV，电子的平均 热运动速度是
零阶（超导环） 等离子体的场 一阶 外场
li 1 2
平衡垂直场
0 I p 8R0 1 Bv (ln ) 4R0 a 2
2R a 2 2
或 B a B (a)(ln 8R l i 3 ) 0 p
平衡磁场位形的物理意义
大环方向：外侧磁场强，磁压强大，维持平衡
1 BR , Bz ( RA ) z R R A
极向磁通和矢量势的关系（轴对称）
B A
RA
比容
U dV d
A
不是磁面量
环向磁通
B dS
S
安全因子
一条磁力线绕小截面一周后在大环方向的环绕圈数
圆截面
r B q(r ) R0 B p
p R/a

p B / 20
2

p
2 B / 2 0
对总比压的限制
1 a 2 q (a) R
对拉长截面
a 2 q (a) R

2
归一化比压
N I p (MA) / a(m) Bt (T )
2 3.5
等离子体回路
U L I p Rp Lp dI p dt M pi dIi dt
p
B z2 2 0
乘r2积分
B z2 (a) B2 (a) pa 2 0
用于环形等离子体的平衡
p 1
p 1
等离子体是顺磁的
2 2 B B v
B
2 0
1
2 Bv B
2 0
Bv B
p 1
等离子体是逆磁的
比压极限
为维持封闭磁面 总比压
2 0 8R0 li Lp 0 R0 (ln 2) Ip a 2
等离子体的位移稳定性
回路方程的磁 通守恒形式 运动方程
d ( L p I p R 2 Bv ) 0 dt
d 2R d M 2 2 [ RI p ( B Bv )] dt dt
所需垂直场 外加垂直场
取决于电流压强轮廓
真空磁场
在真空区域解齐次平衡方程，即Ｍ方程，引进
p
0 I p 0 I p 8R0 r 1 a2 R0 (ln 2) r[ln ( )(1 2 )]cos 2 r 4 a 2 r 0 I p 0 I p 8R0 8R0 8R 1 a2 1 R0 (ln 2) r{[ln( 1) ( ) 2 ] (ln 0 )}cos 2 r 4 r 2 r a 2
M为绕环向圈数，n为绕小截面圈数
剪切
r dq s q dr
气球模和第二稳定区
稳定条件:〈β〉＜a/Rqa2
气球模的稳定区域
极向磁场最大处（外侧）的磁剪切的分布
磁面坐标
1，固有(proper)极向角（左） ， 就是局部极坐标系中的极向角θ在 实验和诊断中适用 d / d const 2，直磁力线坐标（中） 安全因子在每一磁面上为常量 广泛用于稳定性分析 3，正交坐标系（右），即满足 r 0 数值方法解平衡方程或解气球模
1 Bz R R
2 2 1 0 Rj z 2 R 2 R R
0 j
BR B z z R
p j B
dp
或更一般的形式
( R 2 )
0
R
j
从平衡方程
p p dR dz j B z dR j z B dR j R B dz j BR dz R z
2 0 R02 p ( 0 ) 1 0 [ F ( 0 ) F ( 0 )] 1 2 0 R0 r cos p ( 0 )
大半径方向的平衡
Shafranov位移
设 0 (r )
0 d 0 0 (r ) cos R dr
角向自感
2 2 2 L p 4 ( R R a ) 2a / R
1 1
)
Lagrange方程
qi 相应方程
d L L ( ) 0 i dt q qi
R：大半径方向平衡：垂直磁场公式
a：小半径方向平衡：关于β p的公式
ve,th 6.7 105 Te (eV ) (m / s) 2.1 107 m / s
我们假设等离子体的截面为0.1m2，等离子体电流为100kA。 则电流密度。再设电子密度为，则电子漂移速度 j ve , d 3 105 m / s ne e 一般来说，电子在电场中的漂移速度比其热运动速度小得多。 所以我们首先可暂不考虑其漂移运动。
B2 1 ( p ) ( B ) B 20 0
AB AB ( A ) B ( A Br )er ( A B r )e A Bz e z r r
B2 B2 (p ) r 2 0 0 r