圆专题总结题型

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关于圆的题型归纳和解题技巧

关于圆的题型归纳和解题技巧
一、题型归纳
1、求圆的半径和面积：
有时会给出圆的弦或者其他部分的参数，通过这些参数可以求出圆的半径和面积；有时可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的半径和面积；有时候还可以使用极坐标系来求解；
2、求圆的直径和周长：
一般来说周长=直径×π，可以利用这个公式求圆的周长；有时可以利用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求圆的直径；也可以利用极坐标系来求解；
3、求圆心角：
有时给出的是圆的扇形的面积或者弧长，可以通过求出这个面积或者弧长对应的角度来求出圆心角；有时也给出的是圆弧上一点与圆心的连线，可以利用此线段及其他线段的角度来求出圆心角；
4、求圆的外接矩形或者其他图形：
有时给出的是圆的面积和某种图形的面积，可以计算出圆外接图形的面积，从而求出圆的外接矩形；有时也可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的外接矩形或者其他图形。

二、解题技巧
1、多用圆的性质：
圆的性质是圆的重要组成部分，其中有很多性质都可以用来帮助
解答圆的问题，如圆的内接三角形、外接三角形等；
2、注意圆的关键参数：
在回答圆的问题时，要特别注意特殊参数，如半径、直径等，它们可以使用其他参数来求出；
3、利用极坐标系：
极坐标系是求解圆的一种重要方法，它可以帮助我们简化复杂的问题，使得计算更简单、更快捷；
4、利用其他图形的特殊参数：
有些圆的题目可以利用其他图形的特殊参数来求解，例如外接矩形的长和宽，或者外接三角形的边长等。

初三圆中常考题型总结

授课类型T 圆的基本位置关系 C 圆与直线相关性质综合 T 中考真题运用授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理基本概念关系：1、点与圆的位置关系（1）点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；（2）点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；（3）点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；2、直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；（2）直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；（3）直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd3、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；rdd CBAO内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rRd二、同步题型分析题型1：点与圆例1：（★）⊙O 的半径r=10cm ，圆心到直线L 的距离OM=8cm ，在直线L 上有一点P ，PM=6cm ，则点P （）A 在⊙O 内B 在⊙O 外C 在⊙O 上D 不能确定题型2：直线与圆（相交、相离、相切）例1：（★★★）（2013四川巴中，26，13分）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．题型3：直线与圆（切线的证明）．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，求证：DE 是⊙O 的切线．图2rRd图4rRd 图5r Rd．如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．变式练习1：已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB ︵的度数为120°，连接PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．变式练习2．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若OB=BG=2，求CD 的长．变式3：（★★★）已知：如图，射线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．变式4、如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．题型4：直线与圆（切线长定理）（★★★））例1：已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．O O B AM题型4：圆与圆例1：（★★★）（2013·泰安，18，3分）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（）A ．8B ．4C ．4π＋4D ．4π－4例2：（★★★）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A ，B 之间的距离d (cm)与时间t (s )之间的函数表达式； (2)问点A 出发多少秒时两圆相切?例3：（★★★）如图所示，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，•设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（）．A ．y=14x 2+x B ．y=－14x 2+x C ．y=－14x 2－x D ．y=14x 2－x三、课堂达标检测检测题1：（★★）已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．检测题2：（★★）（2013•东营，7，3分）已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（） A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切检测题3：（★★）（2013江苏泰州，15，3分）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A ， B 两点，AB 43=cm, P 为直线l 上一动点，以l cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点.设PO=d cm ，则d 的范围___________________.检测题4：（★★）（2013•嘉兴5分）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A 的半径为1，将⊙A 绕点O 按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系为．检测题5：（★★）（2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是．检测题6：（★★）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．一、专题精讲题型一：圆的分类讨论例1：（★★）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（）A ．2b a +B ．2b a -C ．22ba b a -+或 D ．b a b a -+或例2：（★★）（2013贵州省六盘水，16，4分）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为题型三：三角形与圆例2：（★★★）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．二、专题过关检测题1：（★★★）（2013白银，17，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=．检测题2:（★★★）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．一、能力培养（2011，十堰）如图，A B是半圆O的直径，点C为半径O B上一点，过点C作C D⊥A B 交半圆O于点D，将△A C D沿A D折叠得到△A E D，A E交半圆于点F，连接D F．（1）求证：D E是半圆的切线；（2）连接O D，当O C＝B C时，判断四边形O D F A的形状，并证明你的结论．例．2．：．[2011．．上，以．．．A E．．为直径的⊙．．．A B．．．．．O．与．．．]．如图，已知点．．．．．·湛江．．．．．．E．在．R t．．△．A B C．．．的斜边直角边．．．B C．．．．D.．．．．相切于点(1)．．．B A C．．．；．．．平分∠．．．求证：．．．A D(2)．．．．．．．O．的半径．．．．若．B E．．＝．2．，．B D．．＝．4．，求⊙。

新人教版九年级数学上册圆知识总结与题型练习及答案

每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ dR r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d第二部分：习题及详解一．选择题（共10小题） 1．下列说法，正确的是（） A ．弦是直径 B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径 2．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（）A ．3cmB ．4cmC ． 5cmD ． 6c m（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）（8题图）3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ．若CD=6，则隧道的高（ME 的长）为（） A ．4B ．6 C ．8 D ． 9图4rRd图5r Rd图2r Rd每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”A ．51°B ． 56°C ． 68°D ． 78° 5．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（）A ．25°B ．50° C ． 60° D ． 30° 6．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C ．点A 在圆外D ．无法确定7．已知⊙O 的直径是10，圆心O 到直线l 的距离是5，则直线l 和⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．外切8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（） A ．2，B ． 2，πC ．，D ． 2，9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（）A ．2πB ．π C ．D ．10．如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（） A ．12πB ．24π C ．6π D ． 36π二．填空题（共10小题）11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为．（9题图）（10题图）（11题图）（12题图） 12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．（13题图）（14题图）（15题图）（17题图）14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为． 15．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”17．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）． 18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是．19．如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是． 20．半径为R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．三．解答题（共5小题）21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．（1）请证明：E 是OB 的中点；（2）若AB=8，求CD 的长．22．已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点，且OD ∥BC ．求证：AD=DC ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．24．如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．参考答案一．选择题（共10小题） 1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．C8．D9．B10．B二．填空题（共10小题） 11．12．50° 13．70 14．1或515．54° 16．50° 17．2π18．24π 19．20πcm 2 20．60° 三．解答题（共5小题）21．（1）证明：连接AC ，如图 ∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴，∴AC=AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF=DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC=CD ， ∴AC=AD=CD ．即：△ACD 是等边三角形，∴∠FCD=30°，在Rt △COE 中，，∴，∴点E 为OB 的中点；（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8，∴，又∵BE=OE ，∴OE=2，∴，∴．（21题图）（22题图）（23题图）（24题图）22．证明：连结OC ，如图，∵OD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3，又∵OB=OC ，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC ．23．（1）证明：连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，圆1精品讲义每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．24．解：连接OC ，∵AB 与圆O 相切，∴OC ⊥AB ，∵OA=OB ，∴∠AOC=∠BOC ，∠A=∠B=30°，在Rt △AOC 中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°， ∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，则S 阴影=S △AOB ﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13，所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．。

关于圆的题型归纳和解题技巧

关于圆的题型归纳和解题技巧
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一、圆的主要题型
1、给定一个圆，求该圆的圆心坐标
（1）若给出圆的表达式，则此时只需要求出该表达式中的a和b即可；
（2）若给出圆的三点坐标，则此时可以先由这三点构造三角形，并求出其外接圆的圆心；
（3）若给出圆的中点坐标及半径，则此时圆心即为所给的中点坐标。

2、给定一个圆，求该圆的圆周长及面积
（1）若给出圆的表达式，则此时可以求出圆周长及面积；
（2）若给出圆的三点坐标，则此时可以先求出外接圆的圆心，再求出其圆周长及面积；
（3）若给出圆的中点坐标及半径，则此时可以求出圆周长及面积。

3、给定两个圆，求其交点的坐标
（1）若给出两个圆的表达式，则此时可以进行二次方程的求解，求出其交点；
（2）若给出两个圆的中点和半径，则此时可以先求出两个圆的表达式，再求出其交点；
（3）若给出两个圆的三点坐标，则此时可以先求出两个圆的表
达式，再求出其交点。

二、圆的解题技巧
1、把圆的表达式转换成标准圆的表达式，即x2+y2+2gx+2fy+c=0，把不符合标准圆的表达式变成符合标准圆的表达式；
2、根据题目给出的信息，把圆的参数一步步求出，把圆的中点坐标及其他参数按照题目要求结合起来；
3、要注意把圆的表达式排列整齐，给出圆的表达式后，把整理好的表达式带入到题干中，求出答案；
4、根据已知的信息，结合数学知识，把圆的参数一步步求出，然后结合起来求出圆的面积和圆周长；
5、根据已知的两个圆所在的方程，结合数学知识，构造二次曲线，然后再求出两者的共同点，即为两个圆的交点。

圆复习总结与经典题型

2．关于圆的常见辅助线：《圆》题型分类资料一．圆的有关概念：1.下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（）A . 1个B .2个C .3个D .4个 2．下列命题是假命题的是（）A ．直径是圆最长的弦B ．长度相等的弧是等弧C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D ．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3.下列命题正确的是（）A ．三点确定一个圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．一个三角形有且只有一个外接圆D .一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( )A ．相等的圆周角所对的弧相等B ．圆周角等于圆心角的一半 C．长度相等的弧所对的圆周角相等 D ．直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角，为圆心角的是( )A ．B ．C ．D ．二．和圆有关的角：1. 如图1，点O是△ABC的内心，∠A=50 ，则∠BOC=_________A图1 图2 图3 图42.如图2，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为( )A.116°B.64°C. 58°D.32°3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数为4. 如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_________度．5. 如图5，在⊙O中，BC是直径，弦BA，CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°，则∠AOD ＝．A图5 图6 图7 图8 6. 如图6，A ，B ，C ，是⊙O 上的三个点，若∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝ °． 7.圆的内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：7，则∠D 的度数为。

圆的8种必考题型

圆的8种必考题型
圆的常见考题类型。

这些类型包括：
1. 圆的定义与性质：这类题目可能要求证明圆的某些性质，或者要求利用圆的性质解决一些问题。

2. 点与圆的位置关系：这类题目可能要求判断一个点是否在圆内、圆上或圆外，或者根据点与圆的位置关系求解一些问题。

3. 圆心角、弧长与弦长的关系：这类题目可能要求利用圆心角、弧长和弦长之间的关系求解一些问题，例如求圆心角或弦长等。

4. 切线与割线的性质：这类题目可能要求证明切线与割线的某些性质，或者利用这些性质求解一些问题。

5. 两圆的位置关系：这类题目可能要求判断两个圆的位置关系，如相离、相切或相交，或者根据两圆的位置关系求解一些问题。

6. 圆的方程：这类题目通常要求求解圆的方程，可能涉及到圆的标准方程或一般方程。

7. 直线与圆的位置关系：这类题目可能要求判断直线与圆的位置关系，如相离、相切或相交，并求解相关问题。

8. 圆的综合题：这类题目通常涉及圆的多个知识点，需要综合运用所学知识进行求解。

请注意，这些只是一些常见的关于圆的考题类型，并不代表特定的考题。

在备考时，建议结合具体的教材和考纲，对这些考点进行深入的学习和练习。

人教九上：专题十--圆相关概念及必考题型过关(含解析)

专题十圆相关概念及必考题型过关一、单选题1．在正方形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，下列说法错误的是（）．A ．点D 在圆上B ．点C 在圆外C ．点B 在圆上D ．点A 在圆上2．如图，若⊙O 的半径为4，圆心O 到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（）A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 43．已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A ，B 两点触地放置），向右滚动工件至点B 再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长是（）A ．6B ．3πC ．6πD ．12π4．在平面中，已知⊙O 的半径OP 等于5，点P 在直线l 上，则圆心O 到直线l 的距离（）A ．等于5B ．最小值为5C ．最大值为5D ．不等于55．如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦CD ⊥AB 于点P ，若OP ＝3，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．86．Rt △△ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（）A ．12B ．35C ．67D ．237．已知⊙O 的半径是6.5cm ，点P 是直线l 上一点，且OP =6cm ．那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定8．平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．6B．5C．4D．39．如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，且⊙O的直径为8cm，AB=8cm，则阴影部分的面积为（）A．4π−8B．8π−20C．16−4πD．8−π10．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=（）时，直线DE与⊙O相切．A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC11．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，圆心O在AB上，⊙O与BC相切，C为切点．则∠B的（）．A．20°B．25°C．30°D．35°12．⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离或相交13．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是（）A．3.1B．3C．1+3D．2214．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（）A．64°B．58°C．68°D．55°15．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定16．圆的直径是14，若圆心与直线上某一点的距离是7，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切17．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)、B(−2,−2)、C(4,−2)，则△ABC外接圆半径的长为（）.A．32B．23C．10D．1318．如图，已知⊙O的半径为5，直线AB经过⊙O上一点P，下列条件不能判定直线AB与⊙O相切的是（）A．OP=5B．∠APO=∠BPO C．点O到直线AB的距离是5D．OP⊥AB19．如图，AD是⊙O的直径，AB=CD，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°202122232425A．32°B．52°C．64°D．72°26．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为23m ，则改建后门洞的圆弧长是（）A ．5π3mB ．8π3mC ．10π3m D +2m27．已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为4，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定28．已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定29．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°30．已知⊙O 的半径为3，点O 到直线m 的距离为d ，若直线m 与⊙O 公共点的个数为2个，则d 可取（）A ．0B ．3C ．3.5D ．431．在平面直角坐标系中，以M(2,2)为圆心，半径为2作⊙M ，判断原点O 与⊙M 的位置关系为（）A ．点O 在⊙M 外B ．点O 在⊙M 上C ．点O 在⊙M 内D ．以上都有可能二、填空题32．如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮⊙O 的直径是．33．如图，用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm ．34．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB=78°，则∠COD的度数是．35363738．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD．若∠C=18°，∠BPC=70°，则∠ADC的度数为．39．在半径为2的⊙O中，弦AB=2，弦CD=22，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为．40．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为m．41．如图，PM,PN分别与⊙O相切于A,B两点，C是⊙O上异于A,B的点，连接AC,BC．若∠P=50°，则∠ACB的大小是．42．⊙O的半径为1，弦AB=2,点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB= ．43．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是．44．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为．45．如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D，连接CD．若∠DEF=3∠D，则∠DCF=．46．如图，在扇形OAB中，OA=6，∠AOB=110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为．47．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠OAC的度数是．48496 cm50∠BPC=．51．如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是．52．如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是．53．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF= ．参考答案则AB=a=AD，AC=∵AB<AC，∴点C在⊙A外，点D在圆上，点故选：D．2．B【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，∴3<4，即圆心到直线的距离小于半径，∴该直线与圆相交，由图知，l2与⊙O相交；故选：B．3．C【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为60°的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长．【详解】解：∵∠AOB=360°−240°=120°，∴∠ABO=12(180°−120°)=30°，当BO旋转到与地面垂直时，旋转角度为90°−30°=60°，此时点O的路径是半径为3且圆心角为60°的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至OA垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为60°的弧；∴圆心O所经过的路线长为：2×60π×3180+240π×3180=6π；故选：C．4．C【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线l与⊙O相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，∴直线l与⊙O相切或相交，∴圆心O到直线l的距离最大值为5，故选：C．5．D【分析】连接OC，则OC=12AB=5，OP=3，利用勾股定理即可求得PC，最后由CD=2PC完成解答.【详解】解：连接OC，则OC=12AB=5，OP=3，由勾股定理得：PC=OC2−OP2=52−32=4所以CD=2PC=8故答案为D.【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线、构造出直角三角形、运用勾股定理求得PC是解答本题的关键.6．C【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为R，先根据勾股定理计算出BC=4，则DC=2，由以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，根据切线的性质得EG=EF=R，则HC=R，AH=3−R，再证明△AEH∽△ADC，利用相似比可得到EH和R的关系式，∵∴而∴∵∴∴∵∴∵∴∴R=6．7故选：C．7．C【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据题意先判断直线与圆的位置关系为相交，即可得到本题答案．【详解】解：∵⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP=6cm，∵6<6.5，∴直线l 与⊙O 位置关系为相交，∴直线l 与⊙O 的公共点的个数是2个，故选：C ．8．A【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线l 与⊙O 相离，得到圆心O 到直线l 的距离大于⊙O 半径是解决问题关键．【详解】解：∵ ⊙O 的半径为5，若直线l 与⊙O 相离，∴由相离定义可知圆心O 到直线l 的距离大于半径5，∴根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求，故选：A ．9．C【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及切线性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形面积和扇形面积公式等知识，根据题意，阴影部分面积可间接表示为△AOB 面积与扇形面积的差，求出线段长代入面积公式求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积求法及切线性质是解决问题关键．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵ AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB ，∵ ⊙O 的直径为8cm ，AB =8cm ，∴OC =CA =CB =4cm ，∴△AOC 、△BOC 均为等腰直角三角形，∴∠AOB =∠AOC +∠BOC =45°+45°=90°，∴S △AOC =12AB ⋅OC =12×8×82=16，S 扇形=90360×π×OC 2=4π，∴阴影部分的面积为(16−4π)cm 2，故选：C ．10．C【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．【详解】解：当∠BAE=∠C时，直线DE与⊙O相切．理由如下：作AF交圆O于F点，连接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF为直径，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直线DE与⊙O相切．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．11．C【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．如图：连接OC，由圆周角定理可得∠BOC=60°，再根据切线的性质可得∠OCB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：如图：连接OC，则OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∵⊙O与BC相切，C为切点，∴∠OCB=90°,∴∠B=90°−∠BOC=30°．故选C．12．B【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，判断直线l与⊙O的位置关系，求出圆心与直线的距离是关键．根据圆心与直线的距离直接判断位置即可．【详解】解：∵⊙O的直径为4，∴半径r=2，∵圆心O到直线l的距离为2，即d=2，∴d=r∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．13．B【分析】过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB的度数，根据直角三角形的性质得到AM，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°，∴AM=12OA=12∴S△AOB=12OB⋅AM=12×1×12=14∴正十二边形的面积为12×14=3,∴3=12×π，∴π=3,∴π的近似值为3，故选：B．14．B【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵∠D=32°，∴∠B=∠D=32°，∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，∴∠OAC=∠BAC−∠BAO=90°−32°=58°．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．15．A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d>r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．16．D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可．【详解】解：圆的直径是14，故半径为7．圆心与直线上某一点的距离是7，那么圆心到直线的距离可能等于7也可能小于7，因此直线与圆相切或相交．故选D．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握：圆心与直线上某一点的距离是a时，圆心到直线的距离可能等于a也可能小于a．17．D【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设△ABC的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线x=1上，由图可知线段AC的垂直平分线经过点(1,0)，由此可得M(1,0)，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，由勾股定理求出MB的长即可．【详解】解：设△ABC的外心为M，∵B(−2,−2)、C(4,−2)，=1上，∴M必在直线x=−2+42由图可知，线段AC的垂直平分线经过点(1,0)，∴M(1,0)，如图，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3，由勾股定理得：MB=MD2+BD2=22+32=13，即△ABC外接圆半径的长为13．故选D．【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出△ABC外心的位置是解题的关键．18．A【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．【详解】解：A、OP=5，不能判定直线AB与⊙O相切，符合题意；B、由∠APO=∠BPO，得到OP⊥AB，且点P在⊙O上，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；C、点O到直线AB的距离是5，等于半径，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；D、OP⊥AB且点P在⊙O上，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键．19∴∵∴∴20点21．A【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r>d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r<d时，点P在⊙O外．根据以上内容判断即可．【详解】解：∵⊙O的半径为4，PO=3，∵3<4，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，故选：A．22．C【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相离，直线到圆心的距离大于半径；直线与圆相交，直线到圆心的距离小于半径；直线与圆相切，直线到圆心的距离等于半径．将该点的横纵坐标绝对值分别与半径对比，若横坐标绝对值大于半径时，则y轴与该圆相离；若横坐标绝对值小于半径时，则y轴与该圆相交；若横坐标绝对值等于半径时，则y与该圆相切；若纵坐标绝对值大于半径时，则x轴与该圆相离；若纵坐标绝对值小于半径时，则x轴与该圆相交；若纵坐标绝对值等于半径时，则x与该圆相切．【详解】解：∵点(4,3)为圆心，4为半径的圆，则有4=4，3<4，∴这个圆与y轴相切，与x轴相交．故选：C．23．C【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD∴CE=DE=12∵∠A=30°，AC=2，∴CE=1∴CD=2．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．24．C【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB于G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．【详解】解：如图，在∴25∴∴∵则26【详解】如图，连接AD，BC，交于O点，∵∠BDC=90°，∴BC是直径，∴BC=CD2+BD2=22+(23)2=4，∵四边形ABDC是矩形，∴OC=OD=12BC=2，∵CD=2，∴OC=OD=CD，∴ΔCOD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°−60°=300°，∴改建后门洞的圆弧长是300°π×12 BC180°=300°π×12×4180°=103π(m)，故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．27．C【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l与⊙O相交，然后根据相离的定义对各选项进行判断．【详解】∵⊙O的的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，∴圆心O到直线l的距离小于半径，∴直线l与⊙O相交，∴直线l与⊙O有2个公共点．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l 与⊙O相交⇔d<r；当直线l与⊙O相切⇔d=r；当直线l与⊙O相离⇔d>r；熟练掌握直线与圆的位置关系是解本题的关键．28．A【分析】圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,当d＞r时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r 时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d＜r时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d＞r，∴直线l与⊙O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．29．B【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，∴∵∴∴∴30当∴∴031∴MO=22+22=22．∵⊙M的半径为2，且22>2，∴点O在⊙M外．故选：A．32．42【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接BC，根据扇形圆心角为90°，得到B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出BC即可．【详解】解：如图，连接BC，∵∠BAC=90°，∴B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，∵围成圆锥的底面半径为1，∴BC=1×2π=2π，=2π，∵90×2π⋅AB360∴AB=4，∵AC=AB=4，∴BC=AB2+AC2=42，∴该圆形铁皮⊙O的直径是42，故答案为：42．33．42【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高．=4πcm【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为120×6π180∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2，故圆锥的高为62−22=42cm故答案为：42【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式．34．102°/102度【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形ABCD 与⊙O分别相切于点E、F、G、H，连接OE,OF,OG,OH，通过证明∠1=∠2，∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8即可求解．【详解】解：令四边形ABCD与⊙O分别相切于点E、F、G、H，连接OE,OF,OG,OH，∵ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE=AF，∵OE=OF,OA=OA，∴△OAE≌△OAF，∴∵∴∴∴352π∴n=144，∴圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为144°，故答案为：144°．36．30°/30度【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论．【详解】解：∵AD所对的圆周角是∠C,∠B，∴∠B =∠C =30°故答案为：30°．37．24【分析】根据圆周角定理得BC 为⊙O 的直径，即BC =2，所以AB =2 ，设该圆锥的底面圆的半径为rm ，根据弧长公式得到2πr ＝90×π×2180，然后解方程即可．【详解】解：∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC =2m ，∵AB =AC ，∴AB =2 ，设该圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝90×π×2180，解得r =24 ，即该圆锥的底面圆的半径为24m ．故答案为24．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系．38．38°/38度【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．先根据圆周角定理得出∠B =∠C =18°，再由三角形外角和定理可知∠BDP =∠BPC−∠B =70°−18°=52°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB =90°，然后利用∠ADB =∠ADC +∠BDP 进而可求出∠ADC ．【详解】解：∵∠C =18°，AD =AD ，∴∠B =∠C =18°，∵∠BPC =70°，∴∠BDP =∠BPC−∠B =70°−18°=52°，又∵AB 为直径，即∠ADB =90°，∴∠ADC =∠ADB−∠BDP =90°−52°=38°，故答案为：38°．39．3±2【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦AB 与CD 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB 与CD 在圆心同侧；②弦AB 与CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB 与CD 在圆心同侧时，如图，∵∴∵∴∵∴∴②EF 40．28/182【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接BC ，如图，根据圆周角定理得BC 为⊙O 的直径，即BC =2，所以AB =2，设该圆锥的底面圆的半径为r ，根据弧长公式得到方程即可求得．【详解】解：连接BC ，如图，∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC =1m ，∴AB =AC =22BC =22m ，设该圆锥的底面圆的半径为r m ，∴2πr =90π×22180，解得r =28，即该圆锥的底面圆的半径为28m ．故答案为：28．41．65°或115°【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质．如图，连接OA ，OB ，利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解∠AOB =130°，再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，C 1，C 2（即C ）分别在优弧与劣弧上，∵ PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∴∠PAO =∠PBO =90°，∵∠P =50°，∴∠AOB =360°−90°−90°−50°=130°，∴∠AC 1B =12∠AOB =65°，∠AC 2B =180°−65°=115°．故答案为：65°或115°．42．45°或135°【分析】根据题意画出图形,先判断出∠AOB=90o ,再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可.【详解】∵OA=OB=1，AB=2，∴OA2+OB2=AB2，△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，当点C在优弧AB上时，∠AOB=45°，∠ACB=12∠∴∴43∴∴∴故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确证明∠BAO+∠ABO=1（∠BAC+∠ABC）是关键．244．6π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．×2π×2×3＝6π．【详解】解：该圆锥的侧面积＝12故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．45．72°【分析】连接OC，如图，先利用切线的性质得到∠OCE=90°，则根据三角形内角和得到∠E+∠EOC=90°，再根据圆周角定理得到∠EOC=2∠D，加上∠E=3∠D，所以3∠D+2∠D=90°，从而可求出∠D的度数，然后利用三角形外角性质可计算出∠DCF的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．【详解】解：连接OC，如图，∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF，∴∠OCE=90°，∴∠E+∠EOC=90°，∵∠EOC=2∠D，∠E=3∠D，∴3∠D+2∠D=90°，解得∠D=18°，∴∠E=54°，∴∠DCF=∠D+∠E=18°+54°=72°．故答案为：72°．π46．53【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换(折叠问题)，由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键.如图，连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°−∠DOB=50°，然后由弧长公式弧长的公式l=nπr来求弧AD的长.180【详解】解：如图, 连接OD.根据折叠的性质知，OB=DB.又∵OD=OB,∴OD=OB=DB, 即△ODB是等边三角形，∴∵∴∴47∴∵∴48∠BOD＝69°，∴∠A＝12∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．故答案为：69°．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．49．253/813【分析】设圆的半径为r cm ，连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，利用勾股定理，在Rt △AOD 中，得到r 2＝（r −6）2＋82，求出r 即可．【详解】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图所示：∵CB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥CB ，∴∠CBD =∠BDA =∠ACB =90°，∴四边形ACBD 为矩形，∴AD =CB =8，BD =AC =6，设圆的半径为r cm ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理可得：OA 2=OD 2+AD 2，即r 2＝（r −6）2＋82，解得：r =253，即⊙O 的半径为253cm ．故答案为：253．【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r 的方程，是解题的关键．50．80°/80度【分析】首先连接OB ，OC ，由PB ，PC 是⊙O 的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO =∠PCO =90∘，又由圆周角定理可得：∠BOC =2∠BAC ，继而求得∠BPC 的度数．【详解】解：连接OB ，OC ，∵PB ，PC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥PB ，OC ⊥PC ，∴∠PBO =∠PCO =90°，∵∠BOC =2∠BAC =2×50°=100°，∴∠BPC=360°−∠PBO−∠BOC−∠PCO=360°−90°−100°−90°=80°故答案为：80°．51∵∴∵∴∴和定理的应用，求解∠AOB=122°是解本题的关键.52．332π【分析】设圆的半径为r，先分别求出圆的面积和正六边形的面积，再利用概率公式即可得．【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，半径为r，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA,OB，则圆的面积为πr 2，OA =OB =r ，∵图中的六边形是正六边形，∴∠AOB =360°6=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB =OA =r,AC =12AB =12r,OC =OA 2−AC 2=32r ，∴正六边形的面积为6S △AOB =6×12AB ⋅OC =6×12r ⋅32r =332r 2，则飞镖落在正六边形内的概率是332r 2πr 2=332π，故答案为：332π．【点睛】本题考查了求概率、圆与正六边形等知识点，熟练掌握概率的求法是解题关键．53．15°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF ＝∠AOF ＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC =AB ，又OA =OB =OC ，∴OA =OB =AB ，∴△AOB 为等边三角形.∵OF ⊥OC ,OC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF =∠AOF =30°.由圆周角定理得∠BAF =12∠BOF =15∘ ，故答案为15°.。

关于圆的题型归纳和解题技巧

关于圆的题型归纳和解题技巧
一、关于圆的题型归纳
1、求圆的周长、面积；
2、求圆的弦长、切线长；
3、求圆的外接矩形面积；
4、求圆的内接正三角形面积；
5、求圆的内切正三角形面积；
6、求扇形的面积；
7、求弧长、圆心角；
8、求圆的关系题；
9、求圆的判断题；
10、求圆外一点与圆的关系；
11、求外切圆与内切圆；
12、求圆的标准方程；
13、求圆的对称性；
14、求圆的有关数据推导；
15、求圆的分析绘图；
16、求圆的位置关系；
17、求圆的等价关系；
18、求圆的数字抽象；
二、关于圆的解题技巧
1、对圆的判断题，可以用圆心、半径、圆周等参数来判断；
2、圆内外的点是成对称的，可利用对称性解题；
3、求外切圆与内切圆时，可以找到相同的弦长、半径最大值最小值；
4、求弧长时，可以用圆心角的正弦余弦公式，通过求出弧长和半径的比值来计算出弧长；
5、求扇形的面积，可以用圆心角的正弦余弦公式求出扇形的三角形面积，再乘上圆心角的度数；
6、求两圆之间的关系时，可以用其半径大小比较，进行判断；
7、圆的位置关系一般利用同心圆或相切圆的方式来进行求解；
8、求圆的数字抽象时，要根据题目中提到的圆的参数，抽取出通用的圆的方程；
9、求圆的等价关系，可以用圆的标准方程，结合圆的圆心和半径，进行求解；
10、求圆的参数关系时，可以根据圆的标准方程来求出圆的参数和面积等；
11、圆的分析绘图时，要把握好图形的特征，找出圆的圆心，半径，角度等关系；
12、求圆的有关数据的推导时，可以用圆的标准方程，结合圆的圆心和半径等求解。

关于圆的题型归纳和解题技巧

关于圆的题型归纳和解题技巧
一、圆的题型归纳
1. 直线与圆的位置关系：直线与圆可以相切、相交、外切、内切。

2. 圆的性质：取点到圆心的距离相等；圆两点到圆心的连线，长度相等，角度相等；圆周上的点，到圆心两条连线的比值相等。

3. 圆心角：圆心角及其扇形的面积，与圆上两点的距离有关。

4. 关于圆的全等：两个半径相等的圆，它们的圆心角两端的线段的角度也相等；重心相等的圆，它们的圆心角也是相等的。

5. 关于圆的切线：圆上的点到圆心连线，为切线；圆上两点连线为切线；任一点到圆心的连线与任一点到圆上另外一点的连线的夹角为切线。

二、解题技巧
1. 图形分析法：根据题意绘制出合理的几何图形，对圆形的部分应尽量详细地描绘出来，综合分析各个部分的相互关系，以此判断圆形的计算结果。

2. 数字分析法：根据数据来分析圆形的特性，比如圆的半径是给定的，那么可以根据圆的性质和圆心角来推算其他参数的值；又如圆心角的角度是已知的，则可以推算出其它参数的值。

3. 结论法：圆周上的点，所到圆心的连线的比值都是相同的；圆心角的扇形面积和它的的圆心角的角度有关。

这些基本性质可以在解题中灵活地运用，通过比较不同扇形的面积来判断其可行的解，从
而推断出解题的具体值。

中考数学圆题型大归纳

中考数学圆题型大归纳
中考数学中关于圆的题型涵盖了很多内容，主要涉及圆的性质、圆的面积与周长、相交定理等方面。

下面对中考数学中常见的圆题型进行大归纳：
一、圆的性质题型：
1. 圆的基本概念：圆的半径、直径、周长、面积等概念的理解和计算；
2. 圆心角与弧度的关系：圆心角的大小和对应弧的关系，以及圆心角的计算；
3. 圆内接四边形：正方形、矩形、菱形等图形的性质及相关计算；
4. 圆的切线与切点：切线的性质、切线与半径的关系，以及切点的判定方法。

二、圆的面积与周长题型：
1. 圆的面积计算：根据圆的半径或直径计算圆的面积；
2. 圆的周长计算：根据圆的半径或直径计算圆的周长；
3. 圆与多边形的面积比较：圆与正方形、正三角形等图形的面积比较和计算；
4. 圆的面积与周长的关系：圆的面积与周长的计算及应用。

三、圆的相交定理题型：
1. 同弧的圆周角：同弧的圆周角的性质和计算方法；
2. 圆的相交性质：相交弧的关系、相交角的计算等；
3. 圆的切线定理：圆的切线与切点的性质、切线长度的计算方法；
4. 圆的交点的计算：两个圆的交点的计算和判定方法。

以上是中考数学中关于圆的题型的大致分类和内容归纳，希望对你的学习有所帮助。

在备考中考数学的过程中，重点理解圆的基本性质和计算方法，灵活运用各种定理和公式，多做相关的练习题目，扎实掌握圆的相关知识，相信你一定能在考试中取得优异的成绩。

祝你学业有成，考试顺利！。

圆的各种常考题型总结80题

《各章节核心资料“圆”80道常考题》【韩春成内部学员资料（30）】知识构架一、概念二、垂径定理三、弧、弦、圆心角的关系四、圆周角1.圆周角2.圆周角与圆心角3.圆周角与直径五、点与圆的位置关系六、过三点的圆七、三角形的外接圆、外心4.三角形外接圆半径5.与外接圆有关的计算与证明八、线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系2.切线的性质3.切线的判定：1.半径+垂直 2.垂直+半径4.切线长定理及三角形内切圆5.切线长定理（三角形内切圆）五、圆与圆的位置关系两圆的公切线、公共弦六、函数与圆典题精炼概念1.【易】如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对2.【易】（孝感市高中阶段学校招生考试数学）下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交3.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤4. 【易】（安徽省初中毕业学业考试数学）如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（） A ．当弦PB 最长时，APC △是等腰三角形 B ．当APC △是等腰三角形时，PO AC ⊥ C ．当PO AC ⊥时，30ACP ∠=︒D ．当30ACP ∠=︒，PBC △是直角三角形5. 【易】（北京景山学校第二学期八年级期末数学试卷）如图，如果AB 为O ⊙直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD =∠∠D ．AC AD >6. 【易】判断题：⑴ 直径是弦（） ⑵ 弦是直径（） ⑶ 半圆是弧（） ⑷ 弧是半圆（）⑸ 长度相等的两条弧是等弧（）⑹ 等弧的长度相等（）⑺ 两个劣弧之和等于半圆（）⑻ 半径相等的两个圆是等圆（）⑼ 两个半圆是等弧（）⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （）7. 【易】（福建宁德中考）如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是弦，若32ACO ∠=︒，则CO B ∠的度数等于__________．BOCBA垂径定理8. 【易】（湖南省株洲中考数学题）如图AB 是O ⊙的直径，42BAC ∠=︒，点D 是弦AC 的中点，则DOC ∠的度数是________度．9. 【易】（福建厦门中考）如图，O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ．若6A B c m =，则AE =_______cm ．10. 【易】（房山区一模）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，联结OC ，若5OC =，2AE =，则CD 等于（）A ．3B ．4C ．6D ．811. 【易】（北京55中九年级上月考）已知：如图，O 的直径CD AB E ⊥弦于，若16AB DE ==,求:O 的半径42°ODCBAODE CBAD12. 【易】（北京市第八十中学第一学期初三）已知，如图，在O ⊙中，弦16MN =，半径OA MN ⊥，垂足为点B ，4AB =，求O ⊙半径的长．13. 【易】（东城二模）如图，宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为__________cm .14. 【易】(浙江省2013年初中毕业生学业考试绍兴市试卷)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（）A.4mB.5mC.6mD.8m15. 【中】（内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷）如图，半圆O 的直径10cm AB =，弦6c m AC =，AD 平分BAC ∠，则AD 的长为（）A．B．C．D ．4cm16. 【中】（四川省宜宾市中考数学试卷）如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD =，连接AF 并延长交O ⊙于点E ，连接AD DE 、，AOABDCA(第11题)若=2=3CF AF ，．给出下列结论：①ADF AED △∽△；②2FG =；③tan E =∠；④DEF S =△________．弧、弦、圆心角的关系17. 【易】（厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在O 中，AB AC =，30A ∠=︒，则B ∠=（）A ．150︒B ．75︒C ．60︒D ．15︒18. 【易】（通州区初三年级模拟考试）如图，AB 是O 的弦，OD AB ⊥于点D ，C 是AB 优弧上任意一点，则图中所有相等的线段有_____________；所有相等的角有_____________．19. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）如图：AC CB =，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？OD CBA圆周角20. 【易】（山东日照初中学业考试)如图，在ABC △中，以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点，连接BD 、DE ．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是( ) A ．BD AC ⊥ B ．22AC AB AE =⋅ C ．ADE △是等腰三角形 D ．2BC AD =21. 【易】（九年级第三次质量预测试题）如图，正三角形ABC 内接于O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A B 、重合，则BPC ∠等于（）A ．B ．C ．D ．22. 【易】（通州二模）如图，已知O 的两条弦AC BD ，相交于点E ，60A ∠=︒，则sin BDC∠的值为（）A ．12B3C2D2OCBAED30 60 90 4523. 【易】 (台湾第一次中考数学科试题如图)（七），圆上有A B C D 、、、四点，其中80BAD ∠=︒。

圆的方程题型总结

圆的方程题型总结题型一：与圆有关的角一、考点讲解：1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆内接四边形顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．二、经典考题剖析：【考题1】如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○ B．45○C．30○ D．15○【考题2】如图1－3－8，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○ B．50○C．65○ D．130○三、针对性训练：( 40分钟)1．如图1－3－9，已知AB是⊙O的直径，AD ∥OC 弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________.2．如图1－3-10，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______ 3．如图1－3－1l，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在1/4 弧AMC上，则∠C的度数是________-.题型二：点与圆，直线与圆的位置关系一、考点讲解：1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r二、经典考题剖析【考题1】Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．3个【考题2】已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有______个．题型三：圆与圆的位置关系一、考点讲解：1．同一平面内两圆的位置关系：（1）相离．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．（2）若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.（3）相切．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（4）相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．2．圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．3．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则⑴两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；⑵两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；⑶两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；⑷两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑸两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两国内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）二、经典考题剖析：【考题1】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．外离C．内切D．相交D=6cm，所以R－r＜d＜R+r，所以两圆相交.【考题2】已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距是____cm．题型四：切线的性质和判定一、考点讲解：1．切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．3．切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．二、经典考题剖析：【考题1】如图1－3－16，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）【考题2】如图l－3－17，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70°B．40°C．50°D．20°题型五：弧长扇形的面积一、考点讲解：1．弧长公式：180n Rl π=(n 为圆心角的度数上为圆半径)2．扇形的面积公式S=213602n R l R π=(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）．3．圆锥的侧面积S=πRl ,(l 为母线长，r 为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．二、经典考题剖析：【考题1】制作一个底面直径为30cm ，高40cm 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（），A ．1425πcm 2B ．1650πcm 2C ．2100πcm 2D ．2625πcm 2【考题2】如图1－3－21，在在⊙O 中，AB 是直径，半径为R ， A C R .3π=求： (1)∠AOC 的度数.(2)若D 为劣弧BC 上的一动点，且弦AD 与半径OC 交于E 点.试探求△AEC ≌△DEO 时，D 点的位置.B ．70○C ．105○D ．150○题型六：学科内综合题【备考9】如图1－3－51，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．【备考10】如图1－3－52，在△ABC 中，BC=9，CA ＝12，BA=15，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点 D ，ED ⊥DB 交AB 于点E ．（1）求证：△ADC 是直角三角形；（2）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证：AC 是⊙O 的切线．【备考11】在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图1－3－53，此时甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好吗？圆专项练习题1圆的方程1.22310x y x y ++--=的圆心坐标，半径 .2．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51D ．－51<a <1 3．若方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（） A ．E F = B ．D F = C ．D E = D ．,,D E F 两两不相等4．圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A. 22430x y x y ++-=B. 22430x y x y +--=C. 224340x y x y ++--=D. 224380x y x y +--+=6.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ∆的外接圆方程是（）A. 42x y --22()+()=4B. 2x y -22+()=4C. 42x y ++22()+()=5D. 21x y -+22()+()=5☆7.过点()1,1A -,()1,1B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程（）A. ()()22314x y -++=B.()()22314x y ++-=C. ()()22111x y -+-=D. ()()22111x y +++=8．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（）A ．22(7)(1)1x y +++=B ．22(7)(2)1x y +++=C ． 22(6)(2)1x y +++=D ．22(6)(2)1x y ++-=9．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程．10．求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．.求轨迹方程11.圆224120x y y +--=上的动点Q ，定点()8,0A ，线段AQ 的中点轨迹方程________________ .12．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆13．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P 1{|||||}2M MA MB ==．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为 22221(2)(8)2x y x y -+=-+，平方后再整理，得 2216x y +=．可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=②将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．3.直线与圆的位置关系14.圆()2211x y -+=的圆心到直线33y x =的距离是（） A. 12 B. 32 C. 1 D. 315.过点()2,1的直线中,被22240x y x y +-+=截得弦长最长的直线方程为（）A. 350x y --=B. 370x y +-=C. 330x y +-=D. 310x y -+=16.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（） A. ），（2222- B. ），（22- C. ），（4242- D. ），（8181-17.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x18．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（）A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．－3＜a ＜－52D ．－3＜a ＜－52或a ＞2 19．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O 为原点）的面积为（）A ．32 B ．34 C ．655 D ．35520．过点M （0，4），被圆4)1(22=+-y x 截得弦长为32的直线方程为 _ _．21．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．22．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．4.圆与圆的位置关系23.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系为24．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．25．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（）A ．x +y +3=0B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=0 26．两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条27．已知圆1C 的方程为0),(=y x f ，且),(00y x P 在圆1C 外，圆2C 的方程为 ),(y x f =),(00y x f ，则1C 与圆2C 一定（）A ．相离B ．相切C ．同心圆D ．相交28．求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=， 22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．5.综合问题29.点A 在圆222x y y +=上,点B 在直线1y x =-上,则AB 的最小（） A 21- B 212- C 2 D 2230.若点P 在直线23100x y ++=上,直线,PA PB 分别切圆224x y +=于,A B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为（）A 24B 16C 8D 431. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（）A ．2=bB ．11≤<-b 且2-=bC ．11≤≤-bD ．以上答案都不对32.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=求:（1）y x的最大值；（2）y x -的最小值；（3）22x y +的最值.。

中考圆的常见题型总结

中考圆的常见题型总结中考圆的常见题型总结圆是中考数学中的一个重要概念，掌握圆的性质和相关题型能有效提高数学成绩。

下面将对中考圆的常见题型进行总结。

常见题型一：圆的基本性质题1. 求圆的面积和周长：圆的面积公式为：S = πr²圆的周长公式为：C = 2πr2. 求圆心角的度数：圆心角所对的弧与圆周所对的角相等，所以可以用圆心角的度数去表示弧的度数。

常见题型二：圆的位置关系题1. 判断关系：a. 外切圆和内切圆的位置关系：两个相切的圆，内切圆的圆心在外切圆的圆心的同一直线上。

b. 相交关系：两个相交的圆在两个交点的位置关系，可以根据边长和半径等关系进行求解。

c. 同圆关系：两个同圆的圆是重合的，即它们的半径相等。

d. 不交相离：两个完全不相交的圆，它们的位置关系为不交相离。

2. 判断位置：判断一个点在圆的内部、外部还是圆上，可以通过求这个点到圆心的距离是否等于圆的半径来判断。

常见题型三：弧和扇形的性质题1. 弧段公式：已知圆的半径和弧长，可以用弧长公式计算圆心角的度数。

2. 扇形面积公式：已知扇形中心角的度数和半径，可以用扇形面积公式计算扇形的面积：S = (θ/360°)πr²常见题型四：切线和切点的性质题1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的直线。

2. 切点的性质：切点与切线垂直，切点到圆心的距离等于半径。

常见题型五：菱形和正方形的圆内接问题1. 菱形的性质：菱形的四个角都是直角，因此可以通过对角线的性质判断是否为菱形。

2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的菱形，它的四条边相等且四个角都是直角。

常见题型六：圆锥、圆台和球的性质题1. 圆锥的性质：圆锥是一个底面是圆而侧面是圆锥曲线的立体。

求圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h求圆锥的侧面积公式为：S = πrl2. 圆台的性质：圆台是一个底面是圆而顶面平行于底面的立体。

求圆台的体积公式为：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h求圆台的侧面积公式为：S = π(R + r)l3. 球的性质：求球的体积公式为：V = (4/3)πr³求球的表面积公式为：S = 4πr²以上是中考圆的常见题型总结，通过对这些题目的分析和解答，可以有效提高对圆的理解和掌握，并且能够在中考数学中灵活运用。

高中圆的题型总结

高中圆的题型总结一、圆的定义与性质总结：1.圆的定义：一个平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合称为圆。

2.圆的基本性质总结：3.（1）圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等。

4.（2）圆内接四边形的对角互补，即两个对角和为180度。

5.（3）切线的性质：切线与过切点的半径垂直，且过切点的半径是唯一一条与切线垂直的线段。

二、圆的标准方程总结1.圆的标准方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

2.根据已知条件，可以求出圆的标准方程。

三、圆与直线的位置关系题型总结：1.当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交。

2.当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。

3.当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离。

四、圆与圆的位置关系题型总结：1.当两圆的圆心距大于两圆半径之和时，两圆外离。

2.当两圆的圆心距等于两圆半径之和时，两圆外切。

3.当两圆的圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差时，两圆相交。

4.当两圆的圆心距等于两圆半径之差时，两圆内切。

5.当两圆的圆心距小于两圆半径之差时，两圆内含。

五、圆的切线的性质与判定总结：1.切线的性质：切线与过切点的半径垂直，且过切点的半径是唯一一条与切线垂直的线段。

2.切线的判定：如果一条直线过圆上一点，且该点到直线的垂线段的中点在圆上，则该直线为圆的切线。

六、圆的弧长的计算题总结：1.弧长的计算公式为$l=|\alpha|\cdot r$，其中$\alpha$为弧所对的中心角（单位为弧度），r为半径。

2.如果弧所对的中心角不是特殊角，可以通过计算得到弧长。

七、圆的面积的计算总结：1.圆的面积公式为$S=\pi r^{2}$。

2.如果已知圆的半径或直径，可以直接代入公式计算面积。

直线与圆常考6种题型总结(解析板)--2024高考数学常考题型精华版

直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.设MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m -≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．题型五：圆中最值问题【例1】已知l：4y x=+，分别交x，y轴于A，B两点，P在圆C：224x y+=上运动，则PAB△面积的最大值为（）A．8-B．16-C．8+D．16+【答案】C【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则AB =PAB △面积的最大值为()1282⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为的交点以及点【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大PM 3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。

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圆
●中考点击
考点分析：（要求Ⅰ：理解掌握；要求Ⅱ：灵活运用）
内容
要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系 Ⅱ
3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识
进行有关的推理论证及计算
Ⅱ
4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ
5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用
Ⅱ 命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．
●难题透视
例1如图7-1，在⊙O 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ∠=o ，则
DAB ∠=____度．
例2如图7-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（）
A ．1000
B ．1100
C ．1200
D ．1350
例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是．
A
D
C
B
O 图7-1
图7-2
例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
图7-5
图7-7
例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么? （2）按角的大小分类，请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．
例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ．（1）求证：AH ·AB =AC 2；
（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．
图7-9
O
F
D
C
B
A
图7-13
●难点突破方法总结
在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得注意：
1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．
2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．
3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计．
●拓展演练
一、选择题
1．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm，点A与⊙O的位置关系时（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O 上C．点A在⊙O 外D．不能确定2．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离
3．下列语句中正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的两条弧是等弧④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知圆的半径为6．5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）
A．相交B．相切 C ．相离D．相交或相离5．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，
CD⊥AB，垂足为D，连结AC．BC．OC，那么下列结论中：①PC2=PA·PB；
②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP．正确的有（）
A ．0个B．1个 C ．2个D．3个
6．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）
A ．43π－3
B ．2
3
π C ．π－ D ．π
二、填空题
7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于． 8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD 的值是
9．用48m 长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．
10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m ，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am ，最大高度为bm ，则b a -= m （不取近似值）．
11．圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长”．根据题意可得CD 的长为．
三、解答题
13．如图，在△ABC 中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB ．AC 都相切，求⊙O 的半径．
O D
E
C
B A
14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．
16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．
（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD 是三角形；
（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下
列两个问题中的一个
．．作答：
问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；
问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．
我选择问题，结论：．。