奈奎斯特判据

5.4 频域稳定判据

5.4.1 奈奎斯特稳定判据

闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性)(ωj G 来判断闭环系统的稳定性。

频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。

1．辅助函数

对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函

数为

)()()()()(0s N s M s H s G s G =

= （5-59）

相应的闭环传递函数为 )()()()()

(1)()(1)()(000s M s N s G s N s N s G s G s G s +=+=+=Φ （5-60） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。由式(5-59)、式(5-60)可见，)(s M m )(s N n m n ≥)()(s M s N +和分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数

)(s N ()()()1()()

M s N s F s G s N s +==+ （5-61） 实际系统传递函数分母阶数n 总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设)(s G m 1z −，2z −，…，n z −和1p −，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为

2p −n p −)(F s )

())(()())(()(2121n n p s p s p s z s z s z s s F ++++++=L L

（5-62）

综上所述可知，辅助函数具有以下特点：

)(s F （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。

)(s F （2）的零点和极点的个数相同，均为个。

)(s F n （3）与开环传递函数之间只差常量1。)(s F )(s G )(1)(s G s F +=的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G 平面上的（0,1j −）点，如图5-34所示。

2．幅角定理

辅助函数是复变量的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数在平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点d ，都可通过的映射关系在平面上找到一个相应的点 (称为d 的像)；对于平面上的任意一条不通过任何奇异点的封闭曲线)(s F s )(s F s )(s F )(s F 'd 'd s )(s F Γ，也可通过映射关系在平面(以下称)(s F Γ平面)找到一条与它相对应的封闭曲线 (称为的像)，如图5-35所示。

'Γ'Γ

Γ

图5-35 平面与平面的映射关系

s F 设平面上不通过任何奇异点的某条封闭曲线s )(s F Γ，它包围了在平面上的)(s F s Z 个零点和P 个极点。当以顺时针方向沿封闭曲线s Γ移动一周时，则在平面上相对应于封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转F Γ'ΓR 圈。R 与Z 、的关系为

P P Z R −= （5-63）

3．奈奎斯特稳定判据

为了确定辅助函数位于右半平面内的所有

零、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右半平面。为

此，设计)(s F s Γs Γ曲线由以下3段所组成：

ⅰ– 正虚轴ωj s =：频率ω由0变到∞；

ⅱ–半径为无限大的右半圆：

θj e R s =∞→R ，θ由2π变化到2π−；

ⅲ– 负虚轴ωj s =：频率ω由∞−变化到0。

这样，3段组成的封闭曲线（称为奈奎斯特路径，

简称奈氏路径）就包含了整个右半平面，如图5-36

所示。

Γs 图5-36 奈奎斯特路径

在平面上绘制与F Γ相对应的像'Γ：当沿虚轴变化时，由式（5-61）则有

s )(1)(ωωj G j F += （5-64）

式中，)(ωj G 为系统的开环频率特性。因而将由下面几段组成：

'Γ ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性)(ωj F ，相当于把)(ωj G 右移一个单位；

ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当时，，故有1)(→s F ∞→s 0)(→s G 1)(1)(→+=s G s F ；

ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性)(ωj F 对称于实轴的镜像。

图5-37绘出了系统开环频率特性曲线)(ωj G 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为平面上的封闭曲线F 'Γ如图5-38所示。图中用虚线表示镜像。

对于包含了整个右半平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的s Z 和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半平面上的极点数，而s R 则是平面上F 'Γ曲线顺时针包围原点的圈数，也就是平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（G 0,1j −）点的圈数。在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有

N R 2−= （5-65） 其中，是开环幅相特性曲线N )(ωj G （不包括其镜像）包围G 平面（0,1j −）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈氏判据）：

N P Z 2−= （5-66）

式中，Z 是右半平面中闭环极点的个数，是右半平面中开环极点的个数，是G 平面上s P s N )(ωj G 包围（0,1j −）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当时，闭环系统才是稳定的。

2=−=

N P Z .

图5-37 )(ωj G 特性曲线 图5-38 平面上的封闭曲线

F 例5-9 设系统开环传递函数为

)

52)(2(52)(2+++=s s s s G