一元二次方程压轴题[含答案解析]

一元二次方程

1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．

（1）用含p的代数式表示q；

（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；

（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(

a －6)x

2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使( x 1＋1)(

x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x

2

－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且

x 1≤x 2．

（1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （

1

2

，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问

是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝

5

4

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（福建模拟）已知方程组

⎩⎨⎧y

2

＝4x y ＝2x ＋b

有两个实数解

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1

和

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2

y ＝y 2

，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．

（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得 1

x 1

＋

1

x 2

＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．

7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足

⎩⎨

⎧x ＋y ＝3a －1

x

2＋y

2＝4a

2

－2a ＋2

，求x y 的取值范围．

8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a

2(1－x

2

)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1

＜x 2，求证：

－1＜x 1＜0＜x 2＜1．

（答案）

1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x

2

＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线y 1＝x

2

＋px ＋q 与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线y 1＝x

2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x

2

＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

解：（1）∵关于x 的一元二次方程x

2

＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2

∴2

2

＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5

（2）∵△＝p

2－4q ＝p

2－4(－2p －5)＝p

2＋8p ＋20＝(

p ＋4)

2

＋4

无论p 取任何实数，都有(

p ＋4)

2

≥0

∴无论p 取任何实数，都有(

p ＋4)

2

＋4＞0，∴△＞0

∴抛物线y 1＝x

2

＋px ＋q 与x 轴有两个交点

（3）∵抛物线y 1＝x

2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x

2

＋px ＋q ＋1的对称轴相同，

都为直线x ＝－

p

2

，且开口大小相同，抛物线y 2＝x

2

＋px ＋q ＋1可由抛物

线y 1＝x

2

＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到 ∴EF ∥MN ，EF ＝MN ＝1

∴四边形FEMN 是平行四边形

由题意得S 四边形FEMN

＝EF ·|－

p

2

|＝2，即|－

p

2

|＝2

∴

p ＝±4

2．（安徽某校自主招生）设关于x 的方程x

2－5x －m

2

＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

解：∵△＝5

2－4(－m 2＋1)＝4m

2

＋21

∴不论m 取何值，方程x 2－5x －m

2

＋1＝0都有两个不相等的实根

∵x 2－5x －m 2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m

2

∵|α|＋|β|≤6，∴α 2＋β 2＋2|αβ|≤36，即( α＋β

)2

－2αβ＋2|αβ|≤36

∴25－2(1－m 2)＋2|1－m

2

|≤36

当1－m

2

≥0，即－1≤m ≤1时，25≤36成立 ∴－1≤m ≤1 ①

当1－m

2＜0，即m ＜－1或m ＞1时，得25－4(1－m

2

)≤36

解得－

15

2

≤m ≤

15

2

∴－

15

2

≤m ＜－1或1＜m ≤

15

2

② 综合①、②得：－

15

2

≤m ≤

15

2

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(

a －6)x

2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使( x 1＋1)(

x 2＋1)

为负整数的实数a 的整数值．