质量工程师中级教材《质量专业理论与实务》

一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为：
Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}
它共含 36 个样本点，并且每个样本点出现的可能性
都相同。
(1) 定义事件 A=“点数之和为 2”={(1，1)}，
它只含一个样本点，故 P(A)=1/36。
(2) 定义事件 B=“点数之和为 5”={(1，4)，(2，
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【例1.1–2】 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。 则检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。
Ω＝｛(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)｝ 其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类 似解释。下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。 A＝“至少有一件合格品” ＝｛(0，0)，(0，1)，(1，0)｝； B＝“至少有一件不合格品” ＝｛(0，1)，(1，0)，(1，1) ｝； C＝“恰好有一件合格品” ＝｛(0，1)，(1，0) ｝； Ω＝“至多有两件合格品” ＝｛(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) ｝； Φ＝“有三件不合格品”。 现在我们转入考察“检查三件产品”这个随机现象，它的样本空间Ω含有 23=8个样本点。 Ω＝｛(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1， 0)，(1，1，1)｝ 下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。 A＝“至少有一件合格品” ＝｛Ω中剔去(1，1，1)的其余 7 个样本点｝； B＝“至少有一件不合格品” ＝｛Ω中剔去(0，0，0)的其余 7 个样本点｝； C1＝“恰有一件不合格品” ＝｛(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0) ｝； C2＝“恰有两件不合格品” ＝｛(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0) ｝； C3＝“全是不合格品” ＝｛(1，1，1) ｝； C0＝“没有一件是不合格品” ＝｛(0，0，0) ｝； 2、随机事件之间的关系 实际中，在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。 ⑴ 包含：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件 A 中任一个样本点必在 B 中， 则称 A 被包含在 B 中，或 B 包含 A，记为 A⊂B，或 B⊃A，这时事件 A 的发生必导致 事件 B 发生，如图 1.1－2所示。如掷一颗骰子，事件 A＝“出现 4 点”必导致事件 B＝ “出现偶数点”的发生，故 A⊂B。显然，对任一事件 A，有Ω⊃A⊃Φ。 ⑵ 互不相容：在一个随机现象中有两个事件 A 与 B，若事件 A 与 B 没有相同的样 本点，则称事件 A 与 B 互不相容。这时事件 A 与 B 不可能同时发生，如图 1.1－3 所 示，如在电视机寿命试验里，“电视机寿命小于 1 万小时”与“电视机寿命超过 4 万小时” 是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，它们不可能同时发生。 两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容，例如在检查三个产 品的例子(例 1.1－2)中，C1＝“恰有一件不合格品”，C2＝“恰有两件不合格品”，C3＝“全
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⑻ 一罐午餐肉的重量。 随机现象在质量管理中到处可见。 认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称 为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω。 “抛一枚硬币”的样本空间 Ω＝｛正面，反面｝； “掷一颗骰子”的样本空间 Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝； “一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间 Ω＝｛0，1，2，…。； “一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间 Ω＝｛t:t≥0｝； “测量某物理量的误差”的样本空间 Ω＝｛x:－∞＜x＜∞}。
A＝｛(x，y)：x＋y=奇数｝ B＝｛(x，Y)：x 与 y 的奇偶性不同｝ 可以验证 A 与 B 含有相同的样本点，故 A＝B。 如果两个事件相等，它们必互相包含，即若A＝B，则有A⊃B，B⊃A；反之若两个事件 互相包含，则它们相等。
㈢ 事件的运算 事件的运算事件的运算有下列四种。 (1) 对立事件，在一个随机现象中，Ω 是样本空间，A 为事件，由在 Ω 中而不在 A 中 的样本点组成的事件称为 A 的对立事 件，记为 A 。图 1.1－4 上的阴影部 分就表示 A 的对立事件 A 。可见 A 就是“A 不发生”，例如在检查一匹布 中，事件“至少有一个疵点”的对立事 件是“没有疵点”。对立事件是相互的， A 的对立事件是 A ，A 的对立事件必 是 A 。特别，必然事件 Ω 与不可能事 件 Φ 互为对立事件，即 Ω= Φ ，φ= Ω 。 (2) 事件 A 与 B 的并，由事件 A 与 B 中所有样本点(相同的只计入一次)组成的新事 件称为 A 与 B 的并，记为 AUB。如图 1.1－5 所示。并事件 A∪B 发生意味着“事件 A 与 B 中至少一个发生”。
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(3) 事件 A 与 B 的交，由事件 A 与 B 中公共的样本点组成的新事件称为事件 A 与 B 的交，记为 A∩B 或 AB。如图 1.1－6 所示，交事件 AB 发生意味着“事件 A 与 B 同 时发生”。
事件的并和交可推广到更多个事件上去(见图 1.1－7)。 (4) 事件 A 对 B 的差，由在事件 A 中而不在 B 中的样本点组成的新事件称为 A 对 B 的差，记为 A－B。如图 1.2－8 所示。 ① 交换律：A∪B=B∪A
第一节 概率基础知识
一、事件与概率
㈠ 随机现象 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随 机现象有两个特点： ⑴ 随机现象的结果至少有两个； ⑵ 至于哪一个出现，人们事先并不知道。 抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反 面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现 1 点到 6 点中某一个，至 于哪一点出现，事先也并不知道。 只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷 相吸，向上抛一颗石子必然下落等都是确定性现象。 【例 1.1–1】 以下是随机现象的另外一些例子： ⑴ 一天内进入某超市的顾客数； ⑵ 一位顾客在超市中购买的商品数； ⑶ 一位顾客在超市排队等候付款的时间； ⑷ 一颗麦穗上长着的麦粒个数； ⑸ 新产品在未来市场的占有率； ⑹ 一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间； ⑺ 加工机械轴的误差；
A∩B= B∩A
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② 结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C A∩（B∩C）= （A∩B）∩C
③ 分配律：A∪（B∩C）=(A∪B)∩(A∪C) A∩（B∪C）=(A∩B)∪(A∩C)
④ 对偶律： A ∪ B = A ∩ B A∩B = A∪B
以上性质都可以用维恩图加以验证，这些性质都可推广到更多个事件运算上去。 (四) 概率——事件发生可能性大小的度量 随机事件的发生与否是带有偶然性的。但随机事件发生的可能性还是有大小之别，是可 以设法度量的。而在生活、生产和经济活动中，人们很关心一个随机事件发生的可能性大小。 例如： (1) 抛一枚硬币，出现正面与出现反面的可能性各为 1/2。足球裁判就是用抛硬币的方法 让双方队长选择场地，以示机会均等。 (2) 某厂试制成功一种新止痛片在未来市场的占有率是多少呢?市场占有率高，就应多生 产，获得更多利润；市场占有率低，就不能多生产，否则会造成积压，不仅影响资金周转， 而且还要花钱去贮存与保管。 (3) 购买彩券的中奖机会有多少呢?如 1993 年 7 月发行的青岛啤酒股票的认购券共出 售 287347740 张，其中有 180000 张认购券会中签，中签率是万分之 6.264(见 1993 年 7 月 30 日上海证券报)。 上述正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的废品率、命中率等都是用来度量 随机事件发生的可能性大小。一个随机事件 A 发生可能性的大小用这个事件的概率 P(A)来 表示。概率是一个介于 0 到 1 之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小， 事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，即：
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第一章 概率统计基础知识
在产品的整个生命周期（从市场调研到顾客服务以及产品最终处置）的各个阶段，在所 有过程的运行和结果中均可观察到变异。变异是客观存在的，提高质量的途径便是持续地减 少变异，一致地满足顾客的要求。而统计技术可以帮助我们对观察到的变异进行测量、描述、 分析、解释和建模，更好地理解变异的性质、程度和原因，从而有助于解决、甚至防止由变 异引起的问题，并促进持续改进。作为质量工作者，要想更好地了解有关的统计技术并运用 到实践活动中，就需要掌握必要的概率统计知识。
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是不合格品”，C0＝“没有不合格品”是四个互不相容事件。
⑶ 相等：在一个随机现象中有两个事件 A 与 B，若事件 A 与 B 含有相同的样本点， 则称事件 A 与 B 相等，记为 A＝B。如在掷两颗骰子的随机现象中，其样本点记为(x，y)， 其中 x 与 y 分别为第一与第二颗骰子出现的点数，如下两个事件：
P(φ)=0，P(Ω)=1
二、概率的古典定义与统计定义
确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种 方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。
(一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率方法的要点如下： (1) 所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n 个样本点；
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(2) 每个样本点出现的可能性是相同的(等可能性)；
(3) 若被考察的事件 A 含有 k 个样本点，则事件 A 的概率定义为：
P( A)
=
k n
=
A
中所含样本点的个数 Ω 中样本点的总数
(1.1－1)
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【例1.1－3】 掷两颗骰子，其样本点可用数对(x，y) 表示，其中 x 与 y 分别表示第
㈡ 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母 A、B、C 等 表示。如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它由 1 点、3 点、5 点共三个样本 点组成，若记这个事件为 A，则有 A＝｛1，3，5}。 1、随机事件的特征 从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征： ⑴ 任一事件 A 是相应样本空间Ω中的一个子 集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间Ω，用其 中一个圆(或其他几何图形)示意事件 A，见图1.1–1， 这类图形称为维恩(Venn)图。 ⑵ 事件 A 发生当且仅当 A 中某一样本点发 生，若记ω1，ω2 是Ω中的两个样本点(见图 1.1-1)： 当ω1 发生，且ω1∈A (表示ω1 在 A 中)，则事件 A 发生； 当ω2 发生，且ω2∉ A (表示ω2 不在 A 中)，则事件 A 不发生。 ⑶ 事件 A 的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明白无误的。 ⑷ 任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事 件，仍用Ω表示。如掷一颗骰子，“出现点数不超过 6” 就是一个必然事件，因为它含有 Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝中所有的样本点。 ⑸ 任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不 可能事件，记为Φ。如掷一颗骰子，“出现 7 点” 就是一个不可能事件，因为它不含有 Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝中任一个样本点。
3)，(3，2)，(4，1)}，它含有 4 个样本点，故
P(B)=4/36=1/9。
(3) 定义事件 C=“点数之和超过 9”={(4，6)，
(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有 6 个样本点，故 P(C)=6/36 =1/6。