2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培训题

2011年第22届“希望杯”邀请赛初
二培训题
2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培
训题
一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）
1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若
，则d的值是（）
A．﹣3B．0C．1D．4
2．（4分）已知，，，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
3．（4分）下列各数中，最大的是（）
A．B．C．D．
4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是
（）
A．2009B．2010C．2011D．2012
5．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy
，then the value of a+b is（）
A．﹣1B．0C．1D．2
6．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）
已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
7．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点
（）
A．B．C．D．
8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）
A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负
数D．x是负数、y是正数
9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，then the value for is（）
A．1B．100C．﹣1D．﹣1
10．（4分）（2013•历城区三模）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）
A．2B．﹣2C．D．
11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）
A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1）B．（x1﹣2x2，y1﹣
2y2）
C．（2x1﹣x2，2y1﹣
y2）
D．（2x2﹣x1，2y2﹣
y1）
12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）
A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm3
13．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）
A．12B．24C．36D．48
14．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，△BAC和△ACB的平分线相交于D点，
△ADC=130°，那么△CAB的大小是（）
A．80°B．50°C．40°D．20°
15．（4分）Given△ABC with△ACB=90°，△ABC=15°，AC=1，then the length of BC is
（）
A．B．C．D．
16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）
A．30B．36C．40D．45
17．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形
18．（4分）有4个命题：
（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；
（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．
其中正确的命题个数是（）
A．0B．1C．2D．3
19．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且
；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且
；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）
A．81B．C．D．
20．（4分）如图，在四边形ABCD中，△B=135°，△C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）
A．B．C．D．
21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
22．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure （）
A．3B．4C．5D．6
23．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）
A．它们的和是奇数
B．它们的和是偶数
C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数
D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数
24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）
A．0B．1C．2D．多于2
25．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）
A．6B．12C．18D．24
26．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）
A．2B．2.4C．3D．3.5
27．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）
A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1
28．（4分）12页书的页码用15个数码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2．下面的数码的个数中，不能用来计算一本书的页数的是（）
A．534B．1998C．1999D．2010
29．（4分）方程2u+v+x+y+z=3的非负整数解（u，v，x，y，z）有几组？（）A．10B．20C．24D．30
30．（4分）老师问5个学生，昨天晚上你们有几个复习数学了
张：没有人
李：一个人
王：两个人
赵：三个人
刘：四个人
老师知道昨天晚上他们有人复习数学了，也有人没有复习数学，复习了的人说的是真话，那么这5个学生中复习了数学的人数是（）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共45小题，每小题5分，满分225分）
31．（5分）已知x为正整数，设A=x3+3x2﹣45x﹣175，若A为完全平方数，则A的最小值是
_________．
32．（5分）若58﹣1能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数分别是_________和
_________．
33．（5分）已知实数x，y满足，则x=_________，y=_________．
34．（5分）计算=
_________．
35．（5分）若点P的坐标（a，b）满足a2b2+a2+b2+10ab+16=0，则点P的坐标为
_________．
36．（5分）（2006•钦州）已知：，，，…，若（a，b为正整数），则ab=_________．
37．（5分）若关于x的分式方程无解，则m=_________．38．（5分）当，化简=_________．39．（5分）若a＜0＜b，|a|＜|b|，且a2+b2=﹣8ab，则=_________．
40．（5分）若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________
41．（5分）已知6个数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，其中最多能选出_________个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或者．
42．（5分）若x+y+z=6，xy+yz+zx=11，xyz=6，则=_________．
43．（5分）如果（x+3）（x+a）﹣2可以因式分解为（x+m）（x+n）（其中m，n均为整数），则a的值是_________．
44．（5分）若a，b是实数，且，则ab=_________．
45．（5分）方程的解是x=_________
46．（5分）设正整数x≠y，且满足，则x2+y2的值是
_________．
47．（5分）已知，那么A2+B2=_________．
48．（5分）已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是_________．
49．（5分）先阅读材料：若整数a是整系数方程x3+px2+qx+r=0的解，则﹣r=a
（a2+pa+q），说明a是r因数．根据以上材料，可求得x3+4x2﹣3x﹣2=0的整数解为x=
_________．
50．（5分）定义，那么=
_________．
51．（5分）（2003•重庆）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．
52．（5分）已知a是正整数，若关于x的方程2x﹣a ﹣a+4=0至少有一个整数根，则a的值是_________．
53．（5分）如果三角形三边的长分别为1，k，4，代数式的值为m，则m的取值范围是_________．
54．（5分）若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且，a+b﹣c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是_________，最小值是_________．
55．（5分）如图所示，要从80cm×160cm的长方形布料上裁下2个半径相等的半圆，那么裁下的半圆最大直径是_________cm．
56．（5分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知△ABC=45°，△APC=60°，则△ACB的度数是_________°．
57．（5分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，延长AB到D，使
AD=BC，连接DC，则△BCD的度数是_________．
58．（5分）如图所示，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PE△AC交AB于E，
PF△AB交BC于F，交AC于D，已知△ABC的周长是12cm，则PD+PE+PF=_________ cm．
59．（5分）（2011•邯郸一模）如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是△BAC的平分线，MF△AD，则FC的长为_________．
60．（5分）如图所示，在△ABC中，AC=BC，△ACB=80°，在△ABC内取一点M，使得
△MBA=30°，△MAB=10°，那么△AMC的度数是_________．
61．（5分）如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于_________．
62．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，AB△DC，AD=DB，AB=AC，△ACD=30°，则△BAD的度数是_________．
63．（5分）如图所示，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，BC的中点，连接AF，EC交于点G，则=_________．
64．（5分）如图，在平面直角坐标系内，放置一个直角梯形AOCD，已知AD=3，
AO=8，CO=5，若点P在梯形内，且S△PAD=S△POC，S△PAO=S△PCD，那么点P的坐标是
_________．
65．（5分）直线上的点A的横坐标为2，线段AB在直线上，且AB=5，线段AB向右平移2个单位后，点B的坐标为_________．
66．（5分）一次函数y=﹣2x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在线段AB 上，OP（O是坐标原点）将△OAB分成面积为1：2的两部分，则过点P的反比例函数解析式为_________．
67．（5分）已知，则y2•y2011=
_________．
68．（5分）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b 是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为_________．
69．（5分）已知a，b，c都是﹣3到3之间的非零整数，且
，则符合条件的a，b，c有
_________组．
70．（5分）若（x+2）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4=_________．
71．（5分）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组
有正数解的概率为_________．
72．（5分）先将100个杯子排成一列，杯口朝上．从左向右从1数到100，数到3的倍数时把杯子翻过来；再从右向左从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有_________个杯子杯口朝上．
73．（5分）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是
_________．
74．（5分）若对于所有的实数x，都有f（2x）+xf（2﹣x）=x2，则f（2）=
_________．
75．（5分）博览会的门票每张50元，每人限购1张，现有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有100元的钞票1张，另外5个小朋友只有50元的钞票1张，售票员没有准备零钱，那么最多有_________种排队方法，使售票员总能找得开钱．
三、解答题（共5小题，满分0分）
76．某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品需要甲原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．
（1）该化工厂现有原料能否保证生产？若能保证生产，有几种生产方案？
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低，最低生产总成本是多少？
77．若方程组的解为．求方程组的解．
78．已知：如图，在△ABC中，△ABC=3△C，△1=△2，BE△AE．
求证：AC﹣AB=2BE．
79．将编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下要求涂色：
（1）涂色的球有2个；
（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有几种？
80．直线y=kx+4分别于x轴、y轴相交于点A、B，O是坐标原点，A点的坐标为（4，0），P是OB上（O、B两点除外）的一点，过P作PC△y轴交直线AB于C，过点C作CD△x轴，垂足为D，设线段PC的长为l，点P的坐标为（0，m）
（1）求k的值；
（2）如果点P在线段OB（O、B两点除外）上移动，求l于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P运动到线段OB的中点时，四边形OPCD为正方形，将正方形OPCD沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式．
2011年第22届“希望杯”邀请赛初二培
训题
参考答案与试题解析
一、选择题（共30小题，每小题4分，满分120分）
1．（4分）如图，数轴上的四个点A、B、C、D分别代表整数a、b、c、d．若
，则d的值是（）
A．﹣3B．0C．1D．4解一元二次方程-因式分解法；实数与数轴．
考
点：
计算题．
专
题：
分
根据题意可得=，则得出点D表示原点，则d=0．
析：
解
解：△，
答：
△两式相减得，﹣=0，
△=，
△点D是线段AC的中点，
△d=0．
故选B．
本题考查了实数与数轴，以及一元二次方程的解法．
点
评：
2．（4分）已知，，，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
考
分式的加减法．
点：
分类讨论．
专
题：
本题只要把ab化成便于比较的形式，即可解答．
分
析：
解
答：
解：△a==+，b==+
，
△a＞b，a＞c．
△a最大．
故选B．
点
评：
本题主要考查分数大小的比较，分子相同时，分母大的反而小．
3．（4分）下列各数中，最大的是（）
A．B．C．D．
考
点：
实数大小比较．
分
析：
首先将每个数平方，比较平方后的结果即可．平方大的，则原数就大．
解答：解：△（+）2=10+2
（2+）2=10+2
（）2=10+2
（）2=10+2，
又△21＜24＜＜25，
△+＜2+＜＜，
△最大的是：．
故选C．
点评：此题主要考查了实数的大小的比较，考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
4．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式的值是
（）
A．2009B．2010C．2011D．2012
考
点：
分式的化简求值．
专
题：
计算题；整体思想．
分析：首先对已知条件进行变形，得到a2﹣2009a=a﹣4，a2+4=2010a的形式，代入所求的解析式，即可化简求值．
解答：解：a2﹣2010a+4=0即：a2﹣2009a﹣a+4=0
△a2﹣2009a=a﹣4，a2+4=2010a
△原式=a﹣4++5=a﹣4++5=+5=+5=2011故选C．
点评：本题主要考查了分式的化简求值，正确对所求的式子与已知的式子进行变形是解题的关键．
5．（4分）Given two non﹣zero real numbers a and b，satisfy
，then the value of a+b is（）
A．﹣1B．0C．1D．2
考
点：
二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．专
题：
推理填空题．
分
析：
本题根据非负数、算术平方根的概念和性质，化简解答．
解
答：
解：依题意++=2a﹣4，
△2a﹣4≥0，2a﹣4++=2a﹣4，
△+=0，
△b=﹣2 a=3，
△a+b=1．
故选C．
点评：本题主要考查了非负数、算术平方根的概念及性质，通过变形化简解答．正确理解非负数、算术平方根等概念和性质是解答问题的关键．
6．（4分）If the linear function y=ax+b passes through the point （﹣2，0），but not the first Quadrant，then the solution set for ax＞b is（）
已知一次函数y=ax+b经过点（﹣2，0），且不经过第一象限，则不等式ax＞b的解集为（）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
考
点：
一次函数与一元一次不等式．
专
题：
计算题．
分析：将（﹣2，0）代入y=ax+b求得b=2a；再根据该直线不经过第一象限知a＜0；然后再根据以上两个条件解不等式ax＞b即可．
解答：解：△y=ax+b 经过点（﹣2，0），△0=﹣2a+b，
△b=2a，
△该直线不经过第一象限，
△a＜0，
ax＞b，即ax＞2a，
△x＜2．
故选D．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式．解答此题的关键是熟知一次函数y=ax+b 图象的特点：①当a＞0时，函数图象经过第一、二、三象限；②当a＜0时，函数图象经过第二、三、四象限．
7．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么它可能不经过点
（）
A．B．C．D．
考
点：
反比例函数图象上点的坐标特征．
专
题：
计算题；推理填空题．
分
析：
理解图象经过一个点即可得到k=﹣，假如每个答案正确，看看k的值是否相等，即可选出选项．
解
答：
解：已知反比例函数的图象经过点，
代入得：k=xy=﹣，
A、假如过点，则k=﹣，故A选项错误；
B、假如过点，则k=﹣，故B选项正确；
C、假如过点，则k=﹣，故C选项错误；
D、假如过点，则k=﹣，故D选项错误；
故选B．
点评：本题主要考查了一次函数上的点的坐标特点，解此题的关键是能根据已知判断k 值．
8．（4分）已知a是实数，关于x、y的二元一次方程组的解不可能出现的情况是（）
A．x、y都是正数B．x、y都是负数C．x是正数、y是负
数D．x是负数、y是正数
考
点：
二元一次方程组的解．
专
题：
计算题．
分
析：利用加减法求出关于x、y的二元一次方程组的解（用含a的代数式
表示），再根据A、B、C、D所述列出不等式组，解集不存在的即为正确答案．
解
答：解：，
②×2﹣①得，7y=2﹣9a，y=③，
③代入②得，x=1﹣2a﹣2y=1﹣2a﹣2×=．
A、，解得﹣＜a＜，故本选项错误．
B、，解得a＞，a＜﹣，无解，故本选项正确．
C、，解得a＜﹣，故本选项错误．
D、，解得a＞，故本选项错误．
故选B．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，计算量大，解答时要仔细认真．
9．（4分）If a and b are non﹣zero real numbers and （1﹣99a）（1+99b）=1，then the value for is（）
A．1B．100C．﹣1D．﹣1
考
点：
分式的化简求值．
专
题：
计算题．
分
析：
先化简（1﹣99a）（1+99b）=1为b﹣a=99ab，然后再把它代入所求解答即可．
解答：解：△（1﹣99a）（1+99b），
=1+99b﹣99a﹣99×99ab，
=1+99（b﹣a）﹣99×99ab，
△1+99（b﹣a）﹣99×99ab=1，即b﹣a=99ab…①；又△（a≠0，b≠0），
=+1，②
将①代入②，得
，
=+1，
=99+1，
=100．
故选B．
点评：本题考查了分式的化简求值．根据已知条件，找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
10．（4分）（2013•历城区三模）如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（）
A．2B．﹣2C．D．
考
点：
反比例函数的性质；反比例函数的图象．
专
题：
推理填空题．
分析：先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x=﹣1时，y＜1即可判断出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．
解
答：
解：△反比例函数的图象在第二象限，
△k＜0，故可排除A、C；
△x=﹣1时，y＜1，
△＜1，
△k＞﹣1，故可排除B．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数的图象，即当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
11．（4分）在直角坐标系上，点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称点坐标是（）
A．（x2﹣2x1，y2﹣2y1）B．（x1﹣2x2，y1﹣
2y2）
C．（2x1﹣x2，2y1﹣
y2）
D．（2x2﹣x1，2y2﹣
y1）
考
点：
坐标与图形变化-对称．专
题：
计算题．
分析：首先假设出所求点坐标，根据点（x1，y1）关于点（x2，y2）的对称，得出对称点坐标的特点x1+x=2x2，y1+y=2y2 ，即可得出所求点的坐标．
解答：解：设所求点为（x，y）则，x1+x=2x2，y1+y=2y2 ，△x=2x2﹣x1，y=2y2﹣y1，△所求点为（2x2﹣x1，2y2﹣y1），
故选：D．
点评：此题主要考查了坐标与图形变化的性质，假设出所求点，得出x1+x=2x2，y1+y=2y2，是解决问题的关键．
12．（4分）一个长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm．则盒子的体积可能是（）
A．4500cm3B．180000cm3C．90000cm3D．360000cm3
考
点：
勾股定理的应用．
专
题：
应用题．
分析：根据长方形盒子的最短边长50cm，最长边长90cm和长方体的体积计算方法求出其体积的一个取值范围，从中找到可能的答案即可．
解答：解：△长方体盒子的最短边长50cm，最长边长90cm，△长方体盒子的高h满足：50≤h≤90，
所以其体积V满足：22500≤V≤40500．
故选D．
点
评：
本题考查了长方体的面积的计算，学生们对此内容较为熟悉，但也很容易出错．
13．（4分）若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”．四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点．那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（）
A．12B．24C．36D．48
考
点：
同位角、内错角、同旁内角．
专
题：
规律型．
分析：先画图，每三条直线相交都有6对内错角，共有4组这样的三条直线相交，则有24对．
解答：解：如图，先计算其中的一种情况，
△1与△8，△2与5，△3与△4，△6与△8，△5与△9，△3与△7，
共6对，
△四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点，有4种情况，△4×6=24．
故选B．
点
评：
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，是基础知识要熟练掌握．
14．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，△BAC和△ACB的平分线相交于D点，△ADC=130°，那么△CAB的大小是（）
A．80°B．50°C．40°D．20°
考
点：
三角形内角和定理．
专
题：
计算题．
分析：设△CAB=x，根据已知可以分别表示出△ACD和△DAC，再根据三角形内角和定理即可求得△CAB的度数．
解答：解：设△CAB=x
△在△ABC中，AB=AC
△△B=△ACB=（180°﹣x）
△CD是△ACB的角平分线，AD是△BAC的角平分线△△ACD=（180°﹣x），△DAC=x
△△ACD+△DAC+△ADC=180°
△（180°﹣x）+x+130°=180°
△x=20°
故选D．
点
评：
此题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
15．（4分）Given△ABC with△ACB=90°，△ABC=15°，AC=1，then the length of BC is （）
A．B．C．D．
考
点：
解直角三角形．
专
题：
计算题．
分析：先作辅助线，作AD=BD，然后根据等腰三角形的知识，解出BD的长度，然后根据直角三角形的知识，再解出CD的长度，最后可得出BC的长．
解答：解在BC上截取一点D，连接AD，使AD=BD 则△DAB=△DBA=15°
△△ADC=30°
又△△ACB=90°
△AD=2AC
=2×1
=2
△AD=BD
△BD=2
△CD=
=
=
△BC=BD+CD BC=2+
故选A
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识．在解题时要注意作辅助线，这是解题的关键．
16．（4分）已知三角形三边的长分别为a，b，c，且a，b，c均为整数，若b=7，a＜b，则满足条件的三角形的个数是（）
A．30B．36C．40D．45
考
点：
一元一次不等式组的应用；三角形三边关系．
专
题：
分类讨论．
分析：根据已知条件，先得出a的可能值是1，2，3，4，5，6，再结合三角形的三边关系，对应求得c的值即可．
解答：解：△三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a＜b，b=7，
△a=1，2，3，4，5，6．
根据三角形的三边关系，得b﹣a＜c＜b+a，即7﹣a＜c＜7+a．
当a=1时，6＜c＜8，则c=7，此时满足条件的三角形有1个；
当a=2时，5＜c＜9，则c=6，7，8，此时满足条件的三角形有3个；
当a=3时，4＜c＜10，则c=5，6，7，8，9，此时满足条件的三角形有5个；
当a=4时，3＜c＜11，则c=4，5，6，7，8，9，10，此时满足条件的三角形有7个；
当a=5时，2＜c＜12，则c=3，4，5，6，7，8，9，10，11，此时满足条件的三角形有9个；
当a=6时，1＜c＜13，则c=2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，此时满足条件的三角形有11个．
△满足条件的三角形一共有1+3+5+7+9+11=36（个）．
故选B．
点评：本题主要考查了三角形的三边关系，属于竞赛题型，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．
17．（4分）三角形三边的长分别为a，b，c，且，则三角形是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．以a为腰的等腰三角形D．以a为底的等腰三角形
考
点：
分式的加减法．
专
题：
因式分解．
分
析：
此题要先通分，再将式子进行因式分解，从而确定a=b或a=c，从而解得．
解
答：
解：通分得+=，
=，
a（b+c）（b+c﹣a）=bc（b+c），
a（b+c﹣a）=bc，
ab+ac﹣a2﹣bc=0，
a（b﹣a）+c（a﹣b）=0，
（a﹣c）（b﹣a）=0，
a﹣c=0或b﹣a=0．
即a=c或b=a．此时三角形是等腰三角形且a一定是腰．
故选C．
点评：本题主要考查通分与因式分解的运用，熟练掌握通分与因式分解的方法是解题的关键．
18．（4分）有4个命题：
（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；（4）若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．
其中正确的命题个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考
点：
矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
专
题：
综合题．
分析：根据平行四边形的判定定理可得一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；而由矩形的判定定理知若点O是四边形ABCD对角线的交点，且
AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形；四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形．
解答：解：（1）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故（1）错误；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故（2）正确；
（3）O是四边形ABCD内一点，若AO=BO=CO=DO，则四边形ABCD是矩形，只有点O是四边形ABCD对角线的交点时，故（3）错误；
（4）若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故（4）错误．
故选B．
点
评：
本题考查了矩形、菱形、平行四边形的判定，是基础知识要熟练掌握．
19．（4分）如图，正方形ABCD的面积是486，点P0在AD上，点P1在P0B上，且；点P2在P1C上，且；点P3在P2B上，且
；…；点P6在P5C上，且，则△P6BC的面积是（）
A．81B．C．D．
考
点：
正方形的性质；三角形的面积．
专
题：
规律型．
分析：观察题目不难发现，△P0BC、△P1BC、…、△P6BC，共底，高通过相似三角形比例依次是．那么即可求得△P6BC的面积与正方形面积间的比例关系．
解答：解：过P0点作P0F△BC于点F，过P1点作P1E△BC于点E，则Rt△P0BF△Rt△P1BE，△P1E=P0F，
△
则
…
==故选C．
点评：本题考查正方形的性质、三角形的面积、相似比．解决本题的关键是找到第六个三角形的面积与正方形的面积关系，通过观察规律即可得到．
20．（4分）如图，在四边形ABCD中，△B=135°，△C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（）
A．B．C．D．
考
点：
勾股定理．
专
题：
计算题．
分析：作AE△BC，DF△BC，构建直角△AEB和直角△DFC，根据勾股定理计算BE，CF，DF，计算EF的值，并根据EF求AD．
解答：解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=，CF=，DF=2，
于是EF=4+．
过点A作AG△DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
AD=====
．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理的正确运用，本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．
21．（4分）已知函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，则满足题意的整数a的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
考
点：
一次函数的性质；解一元一次不等式．
专
题：
计算题；数形结合．
分
析：
根据已知条件可得：1﹣a≥0且a+4≥0，解得：﹣4≤a≤1，即可得到所选选项．
解答：解：△1﹣a=0时，a=1，函数为y=5，即平行线于x轴的直线，且不过第四象限，△函数y=（1﹣a）x+a+4的图象不经过第四象限，
△1﹣a＞0且a+4≥0，
即：﹣4≤a＜1，
△﹣4≤a≤1，
满足的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共6个，
故选C．
点评：本题主要考查了函数的性质，解一元一次不等式等知识点，解本题的关键是根据图象性质确定1﹣a和a+4的值，用的数学思想是数形结合思想．
22．（4分）If the figure 6 is composed of 24 equilateral triangles，then how many non﹣congruent distinct right triangles with vertices on the intersecting points are possible in this figure （）
A．3B．4C．5D．6
考
点：
加法原理与乘法原理．
专
题：
数形结合．
分
析：
找到图形中所有全等三角形的交点为顶点的不同直角三角形的个数即可．
解
答：
解：由图中可以看出，共有5个不同的直角三角形，故选C．
点评：综合考查了学生的英语理解能力及数学直观理解能力；关键是根据所给图形找到形状不同的直角三角形的个数．
23．（4分）若在1，2，3，…，2010前任意添加一个正号或者负号，则（）A．它们的和是奇数
B．它们的和是偶数
C．若有奇数个负号，则它们的和是奇数；若有偶数个负号，则它们的和是偶数D．若有奇数个负号，则它们的和是偶数；若有偶数个负号，则它们的和是奇数
考
点：
奇数与偶数．
专
题：
整体思想．
分析：本题从1，2，3，…，2010共有2011个数字，由1+2010、2+2009…知它们相加和是2011×2005是奇数，若在1，2，3，…，2010前任意添加一个负号，即改了某个数k 的符号，由正变负，就等于S﹣2k还是奇数，所以无论怎么添加结果都是奇数．
解
答：
解：首先S=1+2+3+…+2010==2011×1005，其积是奇数，
如果改了某个数k的符号，由正变负，就等于S﹣2k还是奇数，所以无论怎么添加结果都是奇数．
选A
点
评：
本题考查了整数的奇偶性问题，注意正负号变化的本质对和值的影响问题．
24．（4分）方程27x+81y=9999的整数解有几组（）
A．0B．1C．2D．多于2
考
点：
二元一次不定方程的整数解．
专
题：
计算题．
分
析：
将原式化简，变为x+3y=，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾，得出此题无整数解．
解答：解：显然，方程两边同时除以9，得到：3x+9y=1111
等式的两边同时除以3，得到：
x+3y=，
要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．
因此整数解0组．
故选A．
点评：此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理．
25．（4分）将3，4，5，6，7，8这六个数从左到右写成一排，使得每相邻的两个数的和都是质数，则这样的写法的种数是（）
A．6B．12C．18D．24
考
点：
质数与合数．
分析：首先分析那两个数在一起时是质数，如34，38，43，47，56，58，65，67，74，76，83，85，然后将它们排列组合即可．注意要按顺序求解．
解答：解：有：347658，385674，438567，476583，567438，583476，658437，674385，743856，765834，834765，856743，
△共12个．
故选B．
点
评：
此题考查了质数的定义与应用．解此题的关键是注意顺序，要做到不重不漏才行．
26．（4分）某农户养了鸡和兔各若干，如果平均每个动物有2.5只腿，那么鸡的数量与兔的数量的比等于（）
A．2B．2.4C．3D．3.5
考
点：
二元一次方程的应用．
专
题：
应用题．
分析：等量关系为：鸡的总腿数+兔的总腿数=2.5×动物的总只数，把相关数值代入后整理即可．
解答：解：设有鸡x只，兔y只．
2x+4y=2.5×（x+y），
x=3y，
△鸡的数量与兔的数量的比等于3．故选C．
点
评：
本题考查二元一次方程的应用；得到两种动物的腿的和是解决本题的关键．
27．（4分）一个人步行从A地出发，匀速向B地走去．同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去．二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是（）。