面积等分问题
中考25题常考类型------面积均分问题
中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。
在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。
但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。
这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。
即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。
引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。
师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。
那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。
师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。
引入蝴蝶模型。
小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。
师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。
师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。
再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。
师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。
生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。
奥数——平面图形的面积一
平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。
练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。
例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。
求阴影部分面积。
练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。
求三角形ABC的面积。
练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。
练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。
试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。
例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。
练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。
作业1、三角形的面积公式：________________。
同底等高的三角形面积___________。
平行线间的距离处处___________。
2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。
3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。
4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。
5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。
6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。
模型43 几何中等分面积问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍线段分三角形面积问题.☑当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图当S △ABD ∶S △ADC ＝m ∶n 时，则BD CD ＝m n .例题精讲【例1】．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG ：GD ＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是4．解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，AG ：GD ＝2：1，∴AE ＝CE ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S △ABC ＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF的面积是（）A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，S△AEC＝S△CDE＝S△ADC，∵F是EC的中点，∴S△BEF＝S△BCF＝S△BCE，∵S△ABC＝8cm2，∴S△BCE＝4cm2，∴S△BCF＝2cm2，故选：C．【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝﹣．解：连接AC、BO，交于D．∵平行四边形OCBA，∴BC∥OA，DB＝OD，DC＝DA，∴∠MCD＝∠DAN，∠CMD＝∠DNA，∴△CMD≌△AND，同理△BMD≌△OND，∴过D的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分．过D作DF⊥x轴于F，过B作BE⊥x轴于E．∵平行四边形OCBA，B（17，6），C（5，6），∴DO＝BD，DF∥BE，∴OF＝EF，∴DF＝3，OF＝×17＝8.5，∴D（8.5，3），代入y＝x+b得：3＝×8.5+b，∴b＝﹣，故答案为：﹣．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝5．解：∵直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分∴直线y＝﹣x+b要经过矩形的中心∵矩形的中心为（3，2）∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5．变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？解：①如图，过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DM⊥BC于M，∵D是AB的中点，DM∥AQ，∴M是BQ的中点，∴DM＝AQ，∴三角形ABC的面积是＝BC×AQ＝1，∴BC×AQ＝2，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC，∴三角形DEF的面积为＝DE×DM＝××BC××AQ＝；②∵DE＝，FG＝，∴＝，∴三角形DOE面积＝三角形DEF面积×＝．【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式．解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．∴直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y＝kx+b，则2k+b＝3，5k+b＝2，解得k＝，b＝，因此所求直线l的函数表达式是：y＝﹣x+．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm2解：设长方形ABCD中，AD＝a，AB＝b，则AE＝b＝GC，BF＝a，∴S阴＝S长方形ABCD﹣S△AEH﹣S△HFC﹣S△HCG，＝36﹣AE•AH﹣FC•AB﹣HD•CG，＝36﹣AD•AE﹣FC•AB，＝36﹣ab，＝18cm2．故选：A．2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：＝8，∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，设直线与x轴交于点（x，0），∴（x+1）×2＝4，∴x＝3，∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）∴0＝3k+2解得k＝﹣故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③解：∵E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①符合题意；若AF＝FB，则F是AB的中点，∵CF是∠ACB的平分线，∴BC＝AC与BC＞AC矛盾，故②不符合题意；∵∠BAC＝90°，∴∠FAG+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠FAG＝∠ACD，∵CF平分∠ACB，∴∠ACD＝2∠ADF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③符合题意；故选：A．4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为16．解：∵点E是AD的中点，＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△ABE＝S△ABC，∴S△BCE∵点F是CE的中点，＝S△BCE，∴S△BEF＝4S△BEF＝4×4＝16．∴S△ABC故答案为：16．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF ⊥x轴于点F，∵C（10，4），∴AF＝10，CF＝4，…（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM＝CM，即＝，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA＝∠CFA＝90°，∴ME∥CF，∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴＝＝，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，…（4分）∴AE＝AF＝5，ME＝CF＝2，∴M（5，2），…（6分）∵直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）将M（5，2）代入y＝ax﹣2a﹣1得：a＝1．…（9分）6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝2．解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝27．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为1．解：∵点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），∴四边形ABCD为平行四边形，∵直线y＝mx﹣3m﹣1四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx﹣3m﹣1过矩形的对角线的交点，而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3），∴7m﹣3m﹣1＝3，∴m＝1．故答案为：1．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是2．解：∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，过D作DF⊥AC于F，设DF＝x，则＝，∴AF＝x，＝x•AE＝S△ABC＝15，∵S△ADE∴AE＝，EF＝﹣x，∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（﹣x）2＝x2+﹣144＝（x﹣）2+12≥12，故可得DE2最小值是12，∴DE最小值为2．故答案为：2．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），直线y＝x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，将（7.5，3）代入直线y＝x+b得：3＝×7.5+b，解得：b＝．故答案为：．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．解：∵AD是△ABC的中线，＝S△ABC＝×2＝1，∴S△ACD∵CD是△ACE的中线，＝S△ACD＝1，∴S△CDE＝S△CDE＝×1＝．∵DF是△CDE的中线，∴S△CDF∴△CDF的面积为．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．解：（1）在y＝x中，令y＝4，即x＝4，解得：x＝5，则B的坐标是（5，0）；令y＝0，即x＝0，解得：x＝2，则E的坐标是（2，0）．则OB＝5，OE＝2，BE＝OB﹣OA＝5﹣2＝3，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣3＝1，S四边形AECD＝（AE+CD）•AD＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF＝AE＝1，则F的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则直线l的解析式是：y＝2x﹣4；（3）∵直线l1经过点F（﹣，0）且与直线y＝3x平行，设直线l1的解析式是y1＝kx+b，则：k＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b，解得：b＝，∴y1＝3x+，已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x﹣4+，即：y＝2x﹣3，当y＝0时，x＝，∴M（，0），解方程组得：，即：N（﹣7，﹣19），S△NMF＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF的面积是．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）在y＝2x+4中，分别令y＝0和x＝0来得到：A（﹣2，0）、B（0，4）、D点是因为旋转，OD＝OB，所以，D点（4，0）；C点也是因为旋转，OA＝OC，所以，C点（0，2）；设经过A、B、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则有：4a﹣2b+c＝0①，c＝4②，16a+4b+c＝0③（3分）解①②③得：，b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（4分）（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）易知经过C、E的直线为y＝﹣x+2，（6分）于是可设点P的坐标为P（m，﹣m+2）；将P（m，﹣m+2）代入得：，（7分）整理，得：m2﹣4m﹣4＝0，解得：，；所以满足条件的点P有两个：P1（2+2，﹣2），．（9分）13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x 轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．解：（1）由已知，OA＝OC＝，连接AC、AM，如图1所示．∵四边形OABC是菱形，∴PC＝PA，∴PC+PM＝PM+PA≤AM，即PC+PM≤＝＝3．（2）∵y＝kx+b为y＝﹣x﹣1平移得来的，∴k＝﹣1．①依照题意画出图形，如图2所示．结合函数图象可知，当点O在直线y＝﹣x+b上时，b最小，此时b＝0；当点C在直线y＝﹣x+b上时，b值最大，∵点C（1，2），∴2＝﹣1+b，解得：b＝3．故0≤b≤3．②连接AC、OB，设AC与OB的交点为D，当直线y＝﹣x+b过点D时，直线y＝﹣x+b 将四边形OABC分成面积相等的两部分，如图3所示．∵OA＝OC＝，∴点A（，0）．∵四边形OABC为菱形，C（1，2），A（，0），∴点D（，1）．∵直线y＝﹣x+b过点D，∴1＝﹣+b，解得：b＝．∴当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得a＝1，b＝﹣2，所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线y＝kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，A（﹣1，0），B（3，0），E（），F（）；S四边形ACFE＝（CF+AE）•OC＝（1）；S四边形EFDB＝（DF+BE）•OC＝（5）；即（1）＝（5），k＝．（3）存在点P．直线y＝m与y轴交点为F（0，m），①当DE为腰时，分别过D、E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2；如图，则△DP1E和△DEP2均为等腰直角三角形，又DP1＝DE＝EP2＝OF＝﹣m，又AB＝x B﹣x A＝3+1＝4，又△ECD∽△BCA，即，即m＝；P1（，0），P2（，0）；②当DE为底时，过P3作GP3⊥DE于G，如图，又DG＝GE＝GP3＝OF＝﹣m，由△ECD∽△BCA，，即m＝；P3（，0）综上所述，P1（，0），P2（，0），P3（，0）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC 的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD＝12，CF＝16，根据勾股定理：DF＝＝20；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，∴BC＝＝40，根据题意得：当t＝＝10时，停止运动；如图2：当点E在AB上时，∵∠C＝90°，∠EFG＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BF：BC，∴12：30＝BF：40，∴BF＝16，∴CG＝BC﹣BF﹣GF＝40﹣16﹣16＝8，此时，t＝8÷4＝2；如图3：当F与B重合时，CG＝BC﹣BG＝40﹣16＝24，此时，t＝24÷4＝6，∵tan∠ABC＝＝，tan∠GBD＝＝，∴此时，点D在直线AB上；①当0＜t≤2时，s＝S矩形DEFG＝12×16＝192，②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N ∵BF＝24﹣4t tan B＝∴MF＝（24﹣4t）＝18﹣3t，∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18﹣33t﹣6，∴NE＝EM＝4t﹣8，﹣S△EMN＝192﹣EM•EN＝192﹣6（t﹣2）2，∴s＝S矩形DEFG③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG＝40﹣4t，则MG＝BG＝30﹣3t，＝BG•MG＝×（40﹣4t）（30﹣3t）＝6（10﹣t）2；则s＝S△BMG（3）能，如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF＝＝＝，tan∠B＝＝，∴∠GFD＝∠B，∴DF∥AB，∴，∵DF＝20，∴OF＝10，∵BF＝24﹣4t，HF＝＝，QB＝5t，∴BH＝BF+FH＝24﹣4t+，∴，解得：t＝；（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，∵∠GMD+∠B＝90°，∠GMD+∠GDM＝90°，∴∠GDM＝∠B，∴GM＝GD•tan∠GDM＝×12＝9，∴DM＝＝15，∵BG＝40﹣4t，∴BM＝BG+GM＝40﹣4t+9＝49﹣4t，∴MN＝BM•cos∠B＝（49﹣4t），∴DN＝MN﹣DM＝（49﹣4t）﹣15，∵QH＝QB＝×5t＝t，∵DH∥AB，∴QH＝DN，则t＝（49﹣4t）﹣15，解得t＝．故t值为．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）由方程x2﹣6x+5＝0得x1＝1，x2＝5，∵m＜n，∴m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5）．把A（1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x+5；（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），过D作DE⊥x轴于E，∵易得E（﹣2，0）．＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S OBC＝；∴S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点在直线BC上．∵易得直线BC的解析式为y＝x+5，∴，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5（不合题意，舍去），∴P点坐标为（﹣1，0）．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．解：【经验发展】如图1，过C作CH⊥AB于H，＝AM×CH，S△BCM＝BM×CH，∵S△ACM∴＝＝，即＝．【结论应用】如图2，连接AE，∵＝，＝S△ACE，∴S△CDE又∵＝，＝S△ABC，∴S△ACE＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△CDE又∵△CDE的面积为1，∴△ABC的面积12．【拓展延伸】如图3，∵M是AB上任意一点，∴＝，∵D是CM上任意一点，＝×S△ACM，S△BCD＝×S△BCM，∴S△ACD∴＝＝，即＝．【迁移应用】如图4，连接BD，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴＝，∵N是BC的中点，∴＝＝1，＝a，则S△BDM＝2a，S△ACD＝3a，S△CDN＝S△BDN＝S△BCD＝3a，设S△ADM＝5a，S△ABC＝12a，∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝．∴S四边形BMDN故答案为：．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH 分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1，由m＜n，知m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5＝0，得x1＝﹣5，x2＝1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC＝＝15．∴S△BCD＝S△CFD﹣S△CFB也可求得）（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只需BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y＝x+5；∴．解之得a1＝﹣1，a2＝﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（x A，y A）、B（x B，y B），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”＝S△BCD．试说明AO＝如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABDCO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．解：【简单应用】：∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，∴直线L必过线段AB的中点，设线段AB的中点为E，∵A（0，3），B（4，0），∴E（，），∴E（2，），∵直线L过原点，∴设直线L的解析式为y＝kx，∴2k＝，∴k＝，∴直线L的解析式为y＝x；【探究升级】：如图2，过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，＝BD•AF，S△CBD＝BD•CG，∴S△ABD＝S△BCD，∵S△ABD∴BD•AF＝BD•CG，∴AF＝CG，在△AOF和△COG中，，∴△AOF≌△COG（AAS），∴OA＝OC；【综合运用】：如图3，由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，∵OC恰好平分四边形OACB的面积，∴OC过四边形OACB的对角线AB的中点，连接AB，设线段AB的中点为H，∵A（1，4），B（3，﹣2），∴H（2，1），设直线OC的解析式为y＝k'x，∴2k'＝1，∴k'＝，∴直线OC的解析式为y＝x，∵点C（2m，﹣m+5）在直线OC上，∴﹣m+5＝×2m，∴m＝，∴C（5，）．。
《面积等分问题》课件
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，感受数学的美和价 值，形成积极的学习态度 和价值观。
02
面积等分问题的基本概念
面积等分的定义
面积等分
将一个封闭图形的面积平均分成若干 等份。
等分点
将图形分成面积相等的若干部分的点 。
等分线
将图形分成面积相等的若干部分的线 段。
面积等分的类型
完全等分
注意事项
计算机编程方法要求使用者 具备一定的编程基础和算法 知识，同时需要掌握相关图 形库或数学函数的使用。
04
面积等分问题的实际案例
土地划分问题
总结词：实际应用
详细描述：在土地划分问题中，经常需要将一块土地等分划分，以解决土地纠纷 或公平分配土地资源。面积等分问题在土地划分中具有广泛应用，如农村土地承 包、城市拆迁安置等。
通过作辅助线、分割图形或使用相似图形 等手段，将原始图形划分为若干个等面积 的部分。
适用范围
注意事项
几何方法适用于规则图形，如矩形、三角 形、圆形等。对于不规则图形，可能需要 特殊技巧或近似方法。
几何方法要求使用者具备一定的几何知识 和空间想象力，对于初学者可能有一定的 学习门槛。
代数方法
定义与性质
代数方法是利用代数方程和不 等式来求解面积等分问题。这 种方法基于数学逻辑和推理，
具有严谨性。
具体操作
通过建立代数方程或不等式， 解方程或优化解的范围，从而 找到等分面积的方案。
适用范围
代数方法适用于各种形状的图 形，特别是当图形不规则或无 法通过几何方法直接等分时。
注意事项
代数方法要求使用者具备扎实 的代数基础和逻辑推理能力， 对于数学基础薄弱的同学可能
将图形完全平均分成若干 等份，每一份的形状和大 小都相同。
初中数学专题---------直线等分面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
探索图形的面积等分
如图所示，在一块矩形土地
上，有一平行四边形水池，怎样修
一条水渠把土地面积分成相等的两
部分？
A
D
HG
B
C
EF
思考与突破
思考：土地被水池占去一部分，剩余的是 不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？
突破：原有土地是矩形，水池是平行四边 形，这是两个基本图形的组合图形。
要解决怎么平分组合图形的面积， 我们先来研究基本图形平分面积的情况。
可以画出长的中垂线，或者宽 的中垂线，等等
除了这几种分法外，还 有其它分法吗？怎么分？
割补 原理
A E
O
FB
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
A
E
A
E
O
O
FB
O′
过矩形F中心B 的任意一条直线都 等分矩形的面积。
如果花园形状是平行四边形， 用一条直线为分界线把这块空地分 成面积相等的两块，怎么分？
有一块三角形花园，现在分界线把这块三角形空地分成面积相等
的两块，一块用来种花，一块用来植绿
色植被，如果你是设计师，你应该怎样
设计，才能满足要求？ 可以做BC的中线，
A
并将A点与BC边
上中线的交点连
接，使两个三角
形等底同高，所
B
C 以面积相等。
如果花园形状是矩形，要求用 一条直线为分界线把这块矩形空地 分成面积相等的两块，应该怎样设 计，才能满足要求？
A
B
●
●
●
C
D
过平行四边形中心的任意 一条直线都等分它的面积。
如果花园形状是梯形呢？又怎么分？
A B
D C
A
ED
[说明]多边形面积二等分问题
![[说明]多边形面积二等分问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bef354a3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8ed.png)
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。
等分法巧求面积(四年)
的面积是９Ｘ６ ５ 平 方厘 米 ）。 ＝ ４（
生 亍佻 惠 ，无 亍史 乐 。 — —立 亏
竞赛辅导
【 题目二 】 求下列图形中阴影部分的面积。
竞赛辅导
同理 ，下 图中 的两个 三 角形 的面 积 分别 为 两个 长 方形 面积 的 一
半。 它们 的面积和等于 长９ ｍ ，宽６ ｍ的长 方形 面积 的一半 。 即上长 ｃ ｃ
方形面积 的一半＋ 下长 方形面积 的一半＝ ×６÷２ ２ （ 方厘米） ９ ＝ ７平 。
【 目三】 图 ，有两个边 长是８ ｍ的正 方形放 在桌面上 ，求被盖 题 如 ｃ
陕西省宝鸡教师进修学校宫正升等分法巧求面积竞赛辅导题目二求下列图形中阴影部分的面积
竞赛 辅导
（ 四年 ）
等 分 法 巧求 面 积
陕西省宝鸡 教师进修学校 宫 正升
【 题目一 】 求下列图形的面积。 （ 单位： ｍ ） ｃ
３
ｎ
ｌ ９ 一
【 分析与解】观察上题中的图形和数据，可看 出，用等分法 （ 如
住 的桌面 的面积。
，
【 分析与解 】因￣８ ｍ．好是４ ｍ的２ ，所以，可用等分法来 ｃ Ｅ ｃ 倍
解 （ 图所 示 ） 如 。
被 盖住 的桌面 的面 积 ，等于７ 边长 为４ ｍ的正 方形面 积之和 ， 个 ｃ
Ｅ ４×４×７ １ （ ｍ ） Ｐ ＝１ ２ ｃ
学 目女过水 千 舟，不造 逻 。 ｉ
Ｔ
量 工
ｌ
面积等分问题
积二等分，求k的值
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•
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4、已知：A（0,1），B（2,0），C（4,3） •（1）求△ABC的面积； •（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的 面积相等，求点P的坐标； •（3）在第二问的条件下，若过点P，且平分 四边形A、B、C、P面积的直线为L，请求出L 的解析式。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
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1.3 组合图形
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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2.2 梯形
• 找BC的中点E，延长AE与DC延长线交于F，则梯 形面积转化为△AFD。过AD中点画GH//FM，连 接MH就是面积等分线。这个方法也解决了如何 过腰上一点画线。
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2.3 任意四边 形
• 先将梯形面积转化为三角形，再通过三角形过 定点平分面积的方法来完成。
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Hale Waihona Puke EF左右两侧分别 种植了玉米、小 麦，为了提高效 益，要求EF最 短．
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• 3、（3）通过上面的实践，你一定有了更 深刻的认识．请你解决下面的问题：若 AB=BC=6cm，AC=8cm，请你找出△ABC的所 有“等分积周线”，并简要的说明确定的 方法．
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• 2、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1， 0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x 轴交于另一点B．
★面积等分问题
面积等分问题
过对称中心的任意一条直线均可等分中心对称图形的面积与周长 ★模型图★
要求：画出一条直线等分下列图形的面积或周长。
平行四边形、菱形、矩形、正
方形
1. 如图，反比例函数8
y x
=
的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1． （1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．
2.（09北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，
，
(0C ，延长AC 到点D ，使CD =1
2
AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（第22题）
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为4(，)0，点C的坐标为0(，)2，O为坐标原点。
设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切. 已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠经过O、P、A三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；。
趣题：如何用尺规作图将圆面积N等分
趣题：如何用尺规作图将圆面积N等分一条直径可以把圆面积二等分。
两条互相垂直的直径可以把圆面积四等分。
不过，对于任意的N，将圆面积等分为N个部分并不容易，因为圆周上的N等分点并不总是能用圆规和直尺做出来。
1801年，Gauss证明了当n为2的幂和若干Fermat素数的乘积时，正n边形可以用尺规作出图来，同时他猜想这也是必要条件。
1837年，Pierre Wantzel证明了这个条件的必要性。
第一个无法用尺规完成作图的正多边形是正七边形，也就是说你永远无法仅用直尺和圆规找出圆周上的七等分点。
不过，这并不意味着我们不能将圆面积分成面积相等的七份。
事实上，有一种方法可以将圆分成N个面积相等的部分，其中N可以为任意正整数。
你能想到这种方法吗？如果我们还要求各部分周长也相等呢？上图就是一种将圆面积等分为七块的示意图。
这些同心圆的半径分别为√1/7, √2/7, ..., √6/7。
注意这些值都是可以用尺规作出来的。
注意两直角边分别为1和√a的直角三角形，斜边为√a+1。
从a=1开始出发不断迭代，我们可以依次作出√2、√3、√4等值，再利用相似三角形即可完成除法操作。
不过，这个分法并不算一个“正统”的分割方法。
如果我们要求每个线条都必需从圆周上出发，并且落脚于圆周上的另一点呢？存在很多等分圆面积的切分方案，但我们却不能用尺规作出来。
例如，用N-1根平行的直线总能把圆面积等分为N份，可惜每根直线的位置在哪里需要用到微积分计算，其结果是一个超越方程，无法用尺规作图完成。
当然，能用尺规作图完成的分割方法还是有的，不过要想到这种方法并不容易。
我们首先作出直径上的七等分点（注意尺规N等分给定线段是可以办到的——可以利用前面的相似三角形做法得到1/N的长度），然后像图中那样依次作出12个半圆弧。
做一些简单的计算就可以验证，这些半圆弧形成的七个区域的面积确实是相等的。
另外，值得一提的是，这个切分方法还有一个神奇的性质：它的每一部分的周长都是相等的。
等分法巧求图形面积
例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。
三角形中线等分面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
初中数学专题---------直线等分 面积问题
初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练 习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过此矩形的 点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过该矩形 ．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分．12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD的面积四等分，并简要说明分法．12题图14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x2， 和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点、Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （ ）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。
平行四边形面积等分
B
C
三角形的 中线 所在的直线是三角 形的面积等分线； 三角形有 无数 条面积等分线
；
讨论与操作（一）
1、已知△ACE,求作△ACB，使△ACB与 △ACE的面积相等，你能找出多少个点B？ 2、若使△ACB与△ACE在直线AC的同侧， 你能作出△ACB吗？此时点B有什么特点？ 你这样做的理由呢？
讨论与操作（二）
利用讨论与操作（一）中得出的结论解答问题： 已知△ABC,请你找出一条与△ABC的中线所 在直线不重合的面积等分线。
• 提示： • （1）在AC上任取一点D，连接BD； • （2）你能在CB的延长线上找一点E，使 △BED面积与△ABD面积相等吗？此时 △CDE与△ABC的面积相等吗？ • （3）你能用直线平分△CDE面积吗？你能 用直线平分△ABC面积吗？
• • • • •
这节课你有哪些收获？ 1、面积等分线； 2、轴对称图形的面积等分线是它的 ； 3、中心对称图形的面积等分线是 ； 4、三角形 所在的直线是三角形的面积 等分线； • 5、作不规则图形的面积等分线时，可将它转换 为平行四边形或三角形等 .
如图，甲、乙两家的地被一条小路ABC分 开，地的两边是两条平行的道路，现在为 方便行走，想把弯道ABC改成直道(改后两 家的地以这条直道为界)，且不能改变两
提示： 1、已知△ACE,求作△ACB，使△ACB与△ACE的面积 相等,你有哪些方法？ 2、若使△ACB与△ACE在直线AC的同侧，你能做出 △ACB吗？ 3、在（2）的条件下，延长EC至任意点D，连接AD， △AED的面积与四边形ABCD的面积相等吗？ 4、你能用一条直线把△AED的面积等分吗？能用一 条直线把四边形ABCD的面积等分吗？
C
D
如果空地形状是矩形，要求以一条直 线为分界线把这块矩形空地分成面积 相等的两块，应该怎样设计，才能满 足要求？
多边形面积四等分问题
多边形面积四等分问题引言在数学中，我们经常会遇到解决多边形面积的问题。
而在这个问题中，我们将探讨如何将一个多边形的面积均匀地分割成四个等份。
这个问题涉及到数学几何中的概念和计算方法，将会是一个有趣而又具有挑战性的数学问题。
问题描述给定一个任意的多边形，我们的目标是将其面积划分为四个相等的部分。
也就是说，我们要找到一种方法，在不重叠且面积相等的情况下，将多边形划分为四个部分。
解决思路步骤1：计算多边形的面积首先，计算多边形的面积是解决这个问题的关键。
对于一个简单的多边形（没有自交叉），可以使用矢量法或者Shoelace 公式来计算其面积。
对于一个复杂的多边形，可以将其划分为若干个简单多边形，然后分别计算它们的面积，最后求和得到总的面积。
在已知多边形面积的情况下，我们需要找到四个切割点，用来将多边形划分成四份相等的小部分。
这四个切割点需满足以下条件：1.四个切割点必须落在多边形的边上；2.切割点所在的线段必须等长。
为了寻找切割点，我们可以按照以下步骤进行：1.对多边形的每条边进行遍历；2.在每条边上找到两个切割点。
在寻找切割点时，我们可以使用二分法来确定切割点的位置。
具体过程如下：1.将每条边分成若干等分；2.对每个等分点进行面积计算；3.根据等分点的面积与总面积的比例，计算切割点的坐标。
有了切割点的坐标，我们可以将多边形划分为四个相等的部分。
划分过程如下：1.将多边形的每条边与切割点相连；2.连接相邻切割点，形成四个小部分。
结论通过以上步骤，我们成功解决了多边形面积四等分问题。
根据给定的多边形，我们依次计算了多边形的面积、确定了切割点的位置以及划分了多边形，从而实现了将多边形面积均匀分割成四个相等的部分。
这个问题是一个经典的数学问题，在数学几何的研究中具有一定的难度。
通过解决这个问题，我们不仅加深了对多边形的理解，还提高了解决类似问题的能力。
参考文献1.德索萨, 张至信 . 计算几何学及其 C++ 实现 . 人民邮电出版社, 2006.2.Weisstein, Eric W.。
【初中数学】人教版八年级下册思维特训（十一） 几何图形的面积等分(练习题)
人教版八年级下册思维特训（十一）几何图形的面积等分(356)1.解答下列各题：(1)如图①，已知直线m//n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有与△ABC的面积相等；(2)如图②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？2.阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图①，连接AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．3.有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：有兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(画图，并说明结果)4.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．(1)三角形有条面积等分线，平行四边形有条面积等分线；(2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；(3)如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．5.自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90∘，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．参考答案1(1)【答案】△CAB与△PAB,△BCP与△APC，△ACO与△BPO．；△PAB【解析】:①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB,△BCP与△APC，△ACO与△BPO．②△PAB(2)【答案】如图,连接EC，过点D作直线DM//EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2(1)【答案】如图①,连接AM，过点E作EN//AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)【答案】如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE//AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3(1)【答案】答案不唯一，示例如下：(2)【答案】能解决这个问题．连接AC,BD相交于点O，过点O,P作直线分别交DC,AB于点E,F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB．4(1)【答案】无数；无数(2)【答案】如图①所示,连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成面积相等的两部分．即直线OO′为这个图形的一条面积等分线．(3)【答案】如图②所示．过点B作BE//AC交DC的延长线于点E，连接AE．∵BE//AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC=S△AEC，∴S=S△ACD+S△ABC四边形ABCD=S△ACD+S△AEC=S△AED．∵S△ACD>S△ABC，∴面积等分线必与CD相交，取DE的中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．5(1)【答案】不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD,则S△ADC=S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD+AC≠BD+BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)【答案】证明:如图②，连接AE,DE，设BE=x，∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S△AEF=S△DEF．∵∠B=∠C=90∘，AB=3，BC=8，CD=5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理,得AB2+BE2=CE2+DC2，即32+x2=(8−x)2+52，解得x=5，∴BE=5，CE=3，∴AB+BE=CE+DC，S△ABE=S△DCE，∴S四边形ABEF =S△ABE+S△AEF，S四边形DCEF=S△DEF+S△DCE，∴S四边形ABEF =S四边形DCEF，AF+AB+BE=DF+EC+DC，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)【答案】如图③，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得：AF=AC−FC=8−6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG．∵AB=BC，∴∠A=∠C．在△ABF和△CFG中，AF=CG，∠A=∠C，AB=CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF=S△CFG．又易得BE=EG=2，∴S△BFE=S△EFG，∴S△EFC=S四边形ABEF，AF+AB+BE=CE+CF=10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。
五年级下册数学-等分思想求面积
图形等分求面积一、练习题1、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是40，E 和F 是AD 和BC 的四等分点，求长方形ABFE 的面积。
2、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是24，E 和F 是AB 和AD 的中点，G 是正方形的中心点，求正方形AFGE 的面积。
ACDBE FACDBEGF3、如下图所示，三角形ABC 是等边三角形，面积是12，D 、E 是AB 、AC 边的中点，求三角形ADE 的面积。
4、如下图所示，四边形ABCD 是正方形，面积是36，E 是AB 的中点，求三角形AED 的面积。
ABCDEACDBE5、如下图所示，大正六边形的面积是24，图中阴影部分是一个等边三角形，求阴影部分的面积。
二、答案1、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个长方形，每个长方形面积相等，所以长方形ABFE 的面积=40÷4=10。
2、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个小正方形，每个小正方形面积相等，所以正方形AFGE 的面积=24÷4=6。
3、答案解析：如下图，将正三角形分成完全相同的四个小三角形，每个小三角形面积相等，所以三角形ADE 的面积=12÷4=3。
A CDB EFACDBEGFABCDE4、答案解析：如下图，将正方形ABCD 分成完全相同的四个三角形，每个三角形面积相等，所以三角形ADE 的面积=36÷4=9。
5、答案解析：如下图，将正六边形等分成6份，阴影部分有3份，已知大六边形的面积是24，所以一份是24÷6=4，阴影部分的面积是4×3=12。
ACDBE。
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2.3 任意四边形
• 先将梯形面积转化为三角形，再通过三角形过 定点平分面积的方法来完成。
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•1、（4）如图4所
示，某承包人要
在自己梯形ABCD
（AD∥BC）区域
内种两种等面积
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• 3、（3）通过上面的实践，你一定有了更 深刻的认识．请你解决下面的问题：若 AB=BC=6cm，AC=8cm，请你找出△ABC的所 有“等分积周线”，并简要的说明确定的 方法．
面积等分问题
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王昊龙
1
引言
• 面积等分问题是面积问题中一个很重要的 考点，而二等分是等分中最重要，也是最 常考的。
• 请记住：任何图形都是有无数条面积等分 线的。
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铺垫知识：等积变换
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1、任意画一条直线平分面积
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1.1 轴对称图形
• 轴对称图形的面积等分线最常见的就是对 称轴
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• 2、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1， 0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x 轴交于另一点B．
• （1）求此抛物线的解析式；
• （2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面 积二等分，求k的值
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•
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4、已知：A（0,1），B（2,0），C（4,3）
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1.2 中心对称图形
• 中心对称图形的面积等分线是过对称中心 的任意一条直线
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.4 三角形
• 对于任意三角形而言，最常见的就是三角 形的中线
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1.5 梯形
• 梯形的面积等分线画法较多。1、上下底中 点的连线。
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1.5 梯形
• 2、转化为三角形。
•（1）求△ABC的面积；
•（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的 面积相等，求点P的坐标；
•（3）在第二问的条件下，若过点P，且平分 四边形A、B、C、P面积的直线为L，请求出L 的解析式。
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1.6 任意四边形
• 方法二：
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2、过定点画面积等分线
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2.1 三角形
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2.1 三角形
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2.1 三角形
•
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2.2 梯形
• 对于梯形而言，定点的位置会不一样，有可能 在上下底，或者腰上。
• 一、在上底：定点与上下底连线的中点的连线。
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.3 组合图形
• 对于组合图形而言，通过割补法变成我们 熟知的图形再进行等分。
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1.5 梯形
• 3、转化为平行四边形。
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1.6 任意四边形
任意四边形等分面积通常转化为三角形，然 后等分。也可以通过等积变换来等分。
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1.6 任意四边形
连接AC，过点D作AC的平行线，交BC延长线 与点E，连接AE，则AE所在直线就是四边形 ABCD的面积等分线
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2.2 梯形
• 对于梯形而言，定点的位置会不一样，有可能 在上下底，或者腰上。
• 二、在下底：若定点与上下底中点连线与上底 相交，则方法同上，若与腰相交，则画法不同。
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2.2 梯形
• 找BC的中点E，延长AE与DC延长线交于F，则梯 形面积转化为△AFD。过AD中点画GH//FM，连 接MH就是面积等分线。这个方法也解决了如何 过腰上一点画线。