刚体动力学的基本概念
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
刚体运动的基本原理与动力学分析
刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。
本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。
一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。
刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。
二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。
2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。
接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。
另外，刚体的转动还受到力矩的影响。
力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。
力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。
3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。
三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。
2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。
根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。
此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。
角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。
四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。
例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。
总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。
动力学中的刚体运动分析
动力学中的刚体运动分析动力学是物理学的一个分支，研究物体在受到力的作用下的运动规律。
刚体运动是动力学中的一个重要内容，刚体是指形状不会发生变化的物体，它的各个部分在同一时间内有相同的速度和加速度。
本文将对动力学中的刚体运动进行详细分析。
一、刚体的基本概念刚体是一个理想化的物体，它具有以下基本特征：1. 完全刚性：刚体的所有部分都是刚性连接的，不会发生形状上的变化。
2. 不可伸缩：刚体的各个部分不会发生伸缩变形。
3. 不可旋转：刚体在运动过程中不会发生自转。
刚体可以用来模拟很多实际物体，如棍子、车辆等，通过对刚体的运动进行研究，我们可以更好地理解物体在力的作用下的运动规律。
二、刚体运动的基本性质刚体运动具有以下几个基本性质：1. 平动：刚体上的任意两点都具有相同的位移和速度。
2. 定点旋转：刚体绕固定轴线作定点旋转运动，其各个部分仅有的位移是纯粹的旋转位移。
3. 平面运动：刚体运动可以限制在一个平面内进行。
三、刚体运动的描述刚体的运动可以通过位置、速度和加速度三个方面的描述来进行分析。
1. 位置描述：刚体的位置可以通过选择一个坐标系以确定刚体的位置矢量来描述。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
2. 速度描述：刚体的速度可以通过位置的变化率来描述，即位置矢量对时间的导数。
刚体的速度矢量与位矢的方向相同。
3. 加速度描述：刚体的加速度可以通过速度的变化率来描述，即速度矢量对时间的导数。
刚体的加速度矢量与速度矢量的方向相同。
四、刚体的运动方程刚体的运动可以通过牛顿运动定律以及动力学中的一些基本定理来描述。
1. 牛顿第二定律：刚体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。
2. 刚体的角动量定理：刚体的角动量的变化率等于合外力对刚体的力矩，即L=dL/dt=τ。
3. 刚体的动能定理：刚体的动能的变化率等于合外力对刚体的功，即dK/dt=P。
根据这些定律和公式，我们可以对刚体的运动进行定量的描述和计算。
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
刚体动力学计算受力
刚体动力学计算受力刚体动力学是物理学中一个重要的分支，主要研究刚体在受力作用下的运动规律。
刚体是指具有固定几何形状且各部分之间相对位置不会改变的物体。
受力是指外界施加在刚体上的力量，可以是作用在刚体上的外力，也可以是刚体内部的相互作用力。
在刚体动力学中，我们可以通过计算来确定刚体在受力作用下的加速度、速度和位移等运动参数。
这需要应用牛顿第二定律和刚体的转动定律。
牛顿第二定律描述了物体在受力作用下的加速度与施加力之间的关系。
对于刚体，牛顿第二定律可以表示为F=ma，其中F是刚体所受的合外力，m是刚体的质量，a是刚体的加速度。
根据这个公式，我们可以计算出刚体在受力作用下的加速度。
刚体的转动定律则描述了刚体在受力作用下的转动运动规律。
对于刚体的转动，我们需要考虑刚体的转动惯量和力矩。
刚体的转动惯量表示了刚体对转动的惯性，可以用I表示。
力矩是指作用在刚体上的力对刚体产生转动效果的程度，可以用M表示。
根据转动定律，我们可以得到以下公式：M=Iα，其中M是力矩，I是转动惯量，α是刚体的角加速度。
通过解这个公式，我们可以计算出刚体在受力作用下的角加速度。
除了牛顿第二定律和转动定律，我们还可以利用刚体的动量守恒和能量守恒来计算刚体的运动参数。
动量守恒描述了刚体在受力作用下动量的守恒，即刚体所受的合外力为零时，刚体的动量保持不变。
能量守恒描述了刚体在受力作用下能量的守恒，即刚体所受的合外力做功等于刚体动能的增量。
通过应用动量守恒和能量守恒原理，我们可以计算出刚体在受力作用下的速度和位移等运动参数。
在实际应用中，我们可以利用计算机模拟和数值计算来求解刚体动力学问题。
通过建立刚体的数学模型，我们可以使用数值方法来解决刚体受力计算问题。
例如，我们可以使用欧拉法或龙格-库塔法等数值方法来求解刚体的运动参数。
刚体动力学是物理学中一个重要的研究领域，通过计算可以确定刚体在受力作用下的运动规律。
牛顿第二定律、转动定律、动量守恒和能量守恒等原理为我们提供了计算刚体受力的基本工具。
刚体动力学
刚体动力学
刚体动力学是指研究力和质量对刚体运动的影响，它涉及物理
和数学，主要研究力对物体运动的影响。
它广泛应用于工程和物理领域，用于描述物体在局部或全局中的运动状态。
如何利用运动学理论
来分析和解释物理世界中物体的运动轨迹，最终揭示物体运动的物理
原理至关重要。
在刚体动力学的概念中，物体的运动被建模为一种力对对对象的
瞬时影响。
通过应用力，物体的运动可以得到估计。
瞬时力是指在特
定时空会给物体造成瞬时影响的力。
可以从特征定律出发，将其用于
物体运动分析。
这些定律涉及到物理力学，牛顿力学和拉普拉斯力学，上述定律可将物体的运动状态的分类。
与此同时，通过测量物体的加
速度、速度和位移，有可能解释其运动轨迹，解析物体的运动和定义
有关的物理参数，这些物理参数的累积可以描述物体的运动状态，从
而揭示物体运动的原理。
刚体动力学的原理也可以用来处理运动学中更加抽象的问题，例
如变换，尤其是物体受力时联合受力的问题。
此外，它还可以用于研
究物理系统中某些复杂的力的运动模式，包括动量、角动量、能量和
声学等。
可以说，它是物理上最基本的模型，用于解释物体的局部或
全局运动。
利用刚体动力学的原理，可以研究物体运动在各种复杂条
件下的变化，从而揭示物体运动的物理原理。
第1章-刚体转动动力学基础
cos cos n Cb sin sin cos cos sin -cos sin cos sin sin
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
-sin cos cos cos
2013-7-17 10
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述 选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。 依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。
两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第 一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。
2013-7-17 11
cos( zb , xn ) c32 cos( zb , yn ) c33 cos( zb , zn )
yb c21 cos( yb , xn ) c22 cos( yb , yn ) c23 cos( yb , zn )
zb c
2013-7-17
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确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3 的矩阵），可以确定刚体的角位置。
20
§1.2 常用参考坐标系
三 地理坐标系 1. 地固地理坐标系
坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固 结，东北天指向。
(ie ) xn 0 n n ωin ωie (ie ) yn ie cos (ie ) zn ie sin
2013-7-17
V ωe cos sin K Re ωe cos cos K V sin K ωe sin tg K Re
x 2 0 0 0 C 2 C1 0 C 2 0 1 n 1 y2 z 2 0
动力学的基本概念和公式
动力学的基本概念和公式动力学是研究物体运动的力学分支，它通过分析物体的受力和力的效应，来揭示物体运动的规律。
本文将介绍动力学的基本概念和公式，帮助读者了解和应用动力学的知识。
一、动力学的基本概念动力学主要研究物体的运动状态及其与受力的关系。
以下是动力学的基本概念：1.1 质点和刚体在动力学中，我们通常把没有考虑物体内部结构和形变的物体称为质点。
质点具有质量，但没有大小和形状。
另外，如果物体的各个部分在运动过程中保持相对位置不变，则称之为刚体。
1.2 参考系参考系是用来描述和观测物体运动的一种标准，可以是固定的坐标系、运动的物体或观测者自身。
不同的参考系会导致不同的观测结果，因此在分析动力学问题时需要选择适当的参考系。
1.3 位移、速度和加速度位移是描述物体位置变化的概念，可以表示为物体从初始位置到最终位置的距离和方向。
速度是位移随时间的变化率，表示物体运动快慢和方向。
加速度则是速度随时间的变化率，表示物体速度变化的快慢和方向。
1.4 力和受力力是影响物体状态变化的原因，可以通过作用于物体上的力来改变物体的运动状态。
根据牛顿第三定律，任何作用在物体上的力都有一个与之相等大小、方向相反的反作用力。
力的单位是牛顿(N)。
二、动力学的基本公式在动力学中，有一些基本公式可以帮助我们描述和计算物体运动的规律。
下面是其中几个常用的公式：2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律是动力学的核心定律之一，描述了物体的加速度与作用在物体上的力的关系。
它可以表示为：F = ma其中，F表示作用在物体上的力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度等于作用在物体上的力除以物体的质量。
2.2 动量和动量守恒定律动量是描述物体运动的一个重要物理量，它可以表示为物体的质量乘以速度。
动量守恒定律指出，当物体受到的外力为零时，物体的总动量保持不变。
动量守恒定律可以表示为：m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
刚体的运动和转动
刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。
在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。
本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。
平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。
根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。
质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。
因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。
同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。
转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。
在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。
刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。
转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。
转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。
这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。
对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理掌握刚体的概念和刚体的基本运动理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法了解进动现象和基本描述§6.1 刚体和自由度的概念一. 力矩力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.讨论:(1)力对点的力矩.(2) 力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定.(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)求摩擦力对y 轴的力矩.解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为则该线元的摩擦力对y轴的力矩为积分得摩擦力对y轴的力矩为注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如二. 刚体对定轴的转动定律实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成国际单位中k=1.若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.讨论:(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较,转动定律的理论证明:如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩对所有质量元求和,则得等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.又.则有即证.三. 转动惯量刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.(1) J 与刚体的总质量有关例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为显然，本题中，则(2) J 与质量分布有关例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元则积分得圆盘的转动惯量为(3) J 与转轴的位置有关例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为四. 平行轴定理及垂直轴定理1. 平行轴定理设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.例1 : 求均匀细棒的转动惯量.解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有2.垂直轴定理如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和此即为垂直轴定理.例求对圆盘的一条直径的转动惯量解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为根据垂直轴定理,有又则五. 转动定律的应用举例例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)求: (1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度解: (1) 根据转动定律,有(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有，因为，所以有例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为又故由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.则角加速度为:又, 则杆下摆至角速度为例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止求到圆盘静止所需时间解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为该环带的摩擦力对质心轴的力矩为积分得圆盘的摩擦力力矩为由转动定律得所以,得则例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处求轴对棒的作用力(也称轴反力)解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.由转动定律得由质心运动定理得解得打击中心则思考题1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?(点击图片播放动画)§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理一. 转动动能刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.二.力矩的功力的累积过程——力矩的空间累积效应功的定义如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.力矩作功的微分形式对一有限过程刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为若力矩M为常数,则上式可以进一步写成既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.讨论:(1) 合力矩的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 内力矩作功之和为零三. 转动动能定理——力矩功的效果力矩的元功此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.其中的重力势能为故刚体的机械能又可表示为刚体的机械能守恒,则有对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为由动能定理,重力矩作的功得又,由此得即例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.待测物 A 的机械能:重物m 的机械能:由机械能守恒得:又则可得故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为思考题1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)特例：质点作圆周运动时,说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.求此时刻质点对三个参考点的动量矩解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩2. 质点的动量矩定理质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有两边对时间求导,得由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.质点动量矩定理的微分形式:质点动量矩定理的积分形式:质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量说明:(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.3. 质点动量矩守恒定律在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即若时,=常矢量这就是质点动量守恒定律.讨论:(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面求θ 角及着陆滑行的初速度多大解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得由质点的动量矩守恒得则所以有二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.2. 刚体定轴转动的动量矩定理将动量矩表达式对时间求导,得由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.动量矩定理微分形式:将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即=0时,=常量.以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.求昆虫沿杆爬行的速度解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有化简此式可得杆的转动角速度,即由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为根据动量定理,有由题设不变,所以其中的值为带入上式有因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为说明:此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.三. 进动如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理→可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)事实上,由于,带入动量矩定理式中.得所以,若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.思考题1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大小和方向会发生变化吗?3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。
刚体动力学.ppt
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
刚体动力学的基本概念
刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。
3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。
4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。
6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。
二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。
在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。
刚体是静力学中的理想化力学模型。
3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。
在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。
约束对非自由体施加的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。
其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。
前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。
力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。
按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。
9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。
刚体动力学
1 ml 2 12
5
将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴
为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
dx
o
x
l
=J
∫0l= x2 ml dx
1= m x3 l 3l 0
1 ml 2 3
6
常用的几个J
C R m 均匀圆环：
JC = mR2
C R m 均匀圆盘：
4
例：求长度为 l ，质量为m的均匀细棒对过中点
和端点轴的转动惯量。
解：将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy, 取y 轴 为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
−l
o
2
+l x
2
J
∫−+= ll//22 x2 ml dx
1= m x3 +l / 2
3l
−l / 2
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。
14
例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光 滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置
，求由此下摆 θ 角时的角加速度和角速度。
解 棒下摆为加速过程，
l/2
外力矩为重力对O的力矩。
O
重力作用在棒的重心，当
θ
x
棒处在下摆θ 角时，重力
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置3。
转动惯量的求法：
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
J = ∫ r 2dm = ∫∫∫r 2ρdV
线密度、面密度、体密度
动力学研究中的刚体与弹性体模型
动力学研究中的刚体与弹性体模型动力学是研究物体运动规律的学科，而刚体和弹性体是动力学研究中常用的模型。
刚体和弹性体模型在不同领域的应用广泛，从机械工程到物理学，都离不开对这两种模型的研究。
刚体是指在受力作用下形状和大小不发生改变的物体。
刚体模型假设物体的质点之间没有相对位移，只有整体的平动和转动。
这种模型适用于研究刚性物体的运动，如机械结构中的杆件和桥梁等。
刚体模型的研究可以通过牛顿定律和动量守恒定律来描述物体的运动。
弹性体是指在受力作用下会发生形变，但在去除外力后能够恢复原状的物体。
弹性体模型假设物体在受力作用下会发生弹性形变，当外力消失时，物体能够恢复到原来的形状。
这种模型适用于研究弹性材料的性质，如橡胶、弹簧等。
弹性体模型的研究可以通过胡克定律和应变能守恒定律来描述物体的形变和恢复过程。
刚体和弹性体模型在动力学研究中有着不同的应用。
在机械工程中，刚体模型被广泛应用于机械结构的设计和分析。
通过对刚体的运动学和动力学分析，可以确定机械结构的受力情况和运动规律，从而优化设计和提高性能。
例如，在汽车工程中，对刚体模型的研究可以帮助设计车身结构，提高车辆的稳定性和安全性。
而在物理学中，弹性体模型被用于研究物质的力学性质和能量转换。
通过对弹性体的形变和恢复过程进行分析，可以推导出物质的弹性模量和应力分布等重要参数。
这对于材料科学和工程学的发展具有重要意义。
例如，在建筑工程中，对弹性体模型的研究可以帮助设计和分析建筑结构的变形和承载能力，确保建筑物的安全性和稳定性。
除了在工程领域，刚体和弹性体模型在生物学、地球物理学等领域也有着广泛的应用。
在生物学中，刚体模型被用于研究生物体的运动和力学特性，例如动物的骨骼结构和肌肉运动。
而弹性体模型则被用于研究生物体的柔软组织和弹性特性，例如皮肤和血管等。
在地球物理学中，刚体模型被用于研究地壳的运动和地震活动，而弹性体模型则被用于研究地震波传播和地震波反射等现象。
总之，刚体和弹性体模型在动力学研究中扮演着重要角色。
刚体运动的动力学分析
刚体运动的动力学分析刚体运动是物理学中一个基础而重要的概念，研究刚体在运动过程中受到的力和运动参数之间的关系。
本文将对刚体的动力学进行深入分析，探讨刚体运动的基本原理和相关定律。
一、刚体的定义和特性刚体是指在运动过程中保持自身形状不变的物体。
与之相对应的是弹性体，弹性体在受到外力作用后会发生形变。
刚体的特性包括质量、形状和位置等方面的固有属性，这些属性决定了刚体在运动时的运动状态和受力情况。
二、刚体的运动描述1. 位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体上某一点在运动过程中从一个位置到另一个位置的变化量。
速度是位移变化量与时间的比值，而加速度是速度变化量与时间的比值。
位移、速度和加速度是描述刚体运动状态的重要参数，它们与刚体所受到的力之间存在着一定的关系。
2. 角位移、角速度和角加速度对于刚体的旋转运动，除了位置的变化外，还需要考虑角度的变化。
角位移、角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要参数，它们与刚体所受到的力矩之间存在特定的关系。
三、牛顿定律与刚体运动1. 第一定律：惯性定律刚体在不受外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。
这是因为刚体具有惯性，不易改变其运动状态。
2. 第二定律：动量定律刚体所受合外力等于动量的变化率。
合外力越大，刚体的加速度越大；合外力越小，刚体的加速度越小。
3. 第三定律：作用-反作用定律刚体所受的作用力和反作用力大小相等、方向相反，且作用于不同的物体上。
这一定律描述了力的作用方式，为刚体运动提供了均衡和相互作用的基础。
四、刚体的转动定律刚体的转动运动与直线运动类似，同样遵循着牛顿定律。
利用转动力学原理，可以得到刚体在旋转过程中所受的力矩与角加速度之间的关系，进而分析刚体的运动状态和力的作用效果。
五、刚体运动的应用刚体运动的动力学分析广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域。
在物理学中，刚体运动是解释物体运动规律的重要基础，为其他物理学定律的推导提供了依据。
在工程学中，刚体运动的分析可用于机械设计、运动控制和材料研究等方面。
大物动力学知识点总结
大物动力学知识点总结1. 动力学概念动力学是研究物体运动规律的科学，它描述了物体的运动方式和变化规律。
动力学研究范围包括物体的速度、加速度和力学等相关问题。
动力学的研究对于分析物体的运动方式、设计运动控制系统等具有重要意义。
2. 牛顿运动定律牛顿运动定律是动力学研究的基础，它分为三条定律：- 第一定律：一个物体如果没有受到力的作用，将保持静止状态或匀速直线运动的状态。
- 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，方向与此作用力一致。
- 第三定律：任何一个物体都受到另一个物体的作用力，两个作用力大小相等、方向相反。
3. 力的组合力的组合是动力学研究的关键问题之一，根据牛顿第二定律，物体所受的合力决定了物体的运动状态。
在实际问题中，物体受到多个不同方向的力的作用，合力的方向和大小将决定物体的加速度。
4. 动力学方程动力学方程是描述物体运动规律的数学形式，常见的动力学方程包括牛顿第二定律和万有引力定律。
这些方程描述了物体的运动状态与作用力之间的关系，为解决物体的运动问题提供了数学工具。
5. 刚体动力学刚体动力学是研究刚体运动规律的学科，它描述了刚体的运动方式和变化规律。
刚体的运动包括平移运动和旋转运动，刚体动力学研究了刚体的受力和角动量等相关问题。
6. 动能和势能动能和势能是动力学研究的重要概念，它们用来描述物体的能量状态和能量转化。
动能与物体的速度有关，势能与外力场的性质有关，它们之间的转化关系是动力学研究的核心问题。
7. 马达和发动机马达和发动机是动力学研究的应用领域，它们将动力学理论应用于实际问题中。
马达和发动机的工作原理基于动力学方程，利用电磁力或热力等形式的力来驱动机械运动。
8. 运动控制系统运动控制系统是将动力学理论应用于工程实践的重要领域，它涉及机器人控制、航天器控制、汽车控制等多个方面。
运动控制系统利用动力学理论分析物体的运动状态，设计控制算法来实现特定的运动规划。
9. 力学模型力学模型是动力学研究的重要工具，它将物体的运动规律抽象为数学模型，利用数学方法来分析物体的运动状态。
什么是理论力学中的刚体动力学？
什么是理论力学中的刚体动力学？在我们探索理论力学的广袤领域时，刚体动力学就像一座神秘而重要的城堡，等待着我们去揭开它的面纱。
那么，究竟什么是理论力学中的刚体动力学呢？简单来说，刚体动力学研究的是刚体在力的作用下的运动规律。
刚体，就是在运动中和受力作用后，形状和大小都不发生改变的物体。
想象一下一块坚硬无比的金属块，无论我们怎么对它施加力，它都不会像面团一样变形，这就是刚体的概念。
在日常生活中，我们能看到很多刚体动力学的例子。
比如一辆飞驰的汽车，车轮的转动、车身的前进，都受到刚体动力学的支配。
再比如旋转的摩天轮，每个轿厢都可以看作是一个刚体，其运动轨迹和速度的变化都遵循着刚体动力学的原理。
刚体动力学中，有几个关键的概念和定律。
首先是力，力是改变物体运动状态的原因。
当一个力作用在刚体上时，会产生加速度，使刚体的运动状态发生改变。
比如推动一个静止的箱子，箱子会在推力的作用下开始移动。
其次是力矩。
力矩是力使物体绕着某个轴转动的趋势。
当一个力不通过物体的质心时，就会产生力矩，导致物体发生转动。
比如用扳手拧螺丝，就是通过施加力矩来使螺丝转动。
然后是转动惯量。
它类似于质量在平动中的作用，是衡量刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。
不同形状和质量分布的刚体，转动惯量是不同的。
例如，一个质量分布离轴较远的圆盘，其转动惯量就比质量分布靠近轴的圆盘要大。
牛顿运动定律在刚体动力学中也有相应的扩展。
牛顿第一定律指出，刚体在没有受到外力或所受合外力为零时，将保持静止或匀速直线运动状态。
而牛顿第二定律则表明，刚体所受的合外力等于其质量与加速度的乘积。
对于转动的刚体，也有类似的定律，合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。
在解决刚体动力学问题时，我们通常需要建立合适的坐标系。
常见的有直角坐标系和极坐标系。
通过对刚体的受力分析，列出相应的运动方程，然后求解这些方程，就可以得到刚体的运动状态，比如速度、加速度、角速度、角加速度等。
让我们通过一个简单的例子来感受一下刚体动力学的应用。
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运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物 体运动的原因。
研究受力物体的运动状态及其变化与作用力 动力学： 之间的关系。
加速度a＝0 加速度a≠0 平衡 动力学
静力学
THEORETICAL MECHANICS
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第二篇 动力学
Theoretical Mechanics
§5-2 力系的分类及其基本公理
一、力系的分类
力系： 汇交力系
若所有力的作用线交于一点，则该力系称为汇交力系
F1
F1
F2
F3
F2 F4
F3
平面汇交力系
THEORETICAL MECHANICS
空间汇交力系
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系：平行力系
一、力系的分类
二、基本公理
? question
FC
左边两个图中，
C B
FB
B C
FC F
那个杆（构件）
是二力构件？
A
D
W
A
FD
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理三（加减平衡力系公理） 在作用于刚体上的已知力系中，加上或减 去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作 用效应。
THEORETICAL MECHANICS
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系的简化：
一、力系的分类
Fq
q
W
DAM
M Fy
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Fx
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结
若 {P1 , P2 ,, Pm } {0} 则 {F1 , F2 ,, Fn }
{F1 , F2 ,, Fn , P1 , P2 ,, Pm }
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
推论1 力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以 沿其作用线移动到刚体内任意点，而不改变该力
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§5-2 力系的分类及其基本公理
一、力系的分类
等效力系: {F1 , F2 ,, Fn } {P1 , P2 ,, Pm } 对同一刚体产生相同作用效应的力系。 合力 ：与某力系等效的力 {F1 , F2 ,, Fn } {FR } 分力：力系中的各力，则称为此合力的分力
例 题
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
二力构件
只受两个力作用而平衡的刚体叫二力构件（或二力体）。
二力杆
不是二力构件
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§5-2 力系的分类及其基本公理
平衡力系： {F1 , F2 ,, Fn} {0}
对刚体不产生任何作用效应的力系
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§5-2 力系的分类及其基本公理 力系的简化：
一、力系的分类
为了便于寻求各种力系对于物体作用的总效应 和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，使其变 换为另一个与其作用效应相同的简单力系。这种等 效简化力系的方法称为力系的简化。
Fx x
Fz
z F
O
Fy y
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§5-1 力与力的投影 2.二次投影法
Fz Fcos Fx Fsin cos
z
Fz
二、
力的投影
F
O
Fy Fxy
y
Fy Fsin sin
x
Fx
力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的 概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。
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第五章 刚体动力学的基本概念
本章我们将学习什么内容
静力学基本概念及公理 约束与约束反力 物体的受力分析图
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§5-1 力与力的投影
力是物体间的相互的机械作用
静力学
静力学的核心问题是利用平衡方程求解物体
或物体系统的平衡问题。而研究力系的等效简化 则是为了探求、建立力系的平衡条件。
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第二篇 动力学
静力学，又称刚体静力学，是将实际物体抽象为刚体， 亦即以刚体作为分析问题的模型，研究物体在力系作用下 的平衡规律。包括三方面内容：
§5-3 力矩与力偶
1、力对点之矩的数学描述 （1）矢量表示式 M O r F
M O Fd
一、力对点之矩
MO
O
z F
d
x
y
r
问题1：已知力 F（矢量）以及该力对 O 点的 矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线？ 问题2：已知作用在长方体上的某个力 对A、O 两点之矩的矢 量方向，能否确 定该力的方向及其作用线？
两力等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用
的物体上。
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
作用力与反作用力 F F’ 作用力和反作用力作用于不 同的物体 二力平衡情况下，两个力作 用的对象是同一个物体
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§5-1 力与力的投影 解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
例 题
Fz Fn sin Fxy Fn cos
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§5-1 力与力的投影
Fz Fn sin Fxy Fn cos
力F 沿某轴的分量的大小与在该轴上投影 是否相等？
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§5-1 力与力的投影
例 题
例5-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已 知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
THEORETICAL MECHANICS
下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三
个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。
F1 F F2 A2 F1 A A3 F2
证明：
F
A1 A A3
=
=
A
A3
F3
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理四（作用与反作用定律） 作用力与反作用力总是同时出现、同时消失，
物体的受力分析－分析结构或构件所受到的各个力 的方向和作用线位置。 力系的等效与简化－为了寻求各种力系对于物体作用 的总效应和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，将其 变换为另一个与其作用效应相同的简单力系（可能是一个 力、力偶或力螺旋或零矢量）。 力系的平衡条件与平衡方程－研究物体处于平衡状态 时作用在其上的各种力系应满足的条件。利用平衡条件建 立所对应的数学方程，称为平衡方程。
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§5-1 力与力的投影
在直角坐标系中力F 的解析式
二、
力的投影
F Fxi Fy j Fzk
Fx，Fy，Fz分别为力矢F在x、y、z轴上的投影，为代 数量。 若已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其大小和 方向分别为
F Fx2 F y2 Fz2
F1
FR
F2 A
F1 A F1 A
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§5-2 力系的分类及其基本公理
二、基本公理
公理二 （二力平衡公理） 作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 = –F2 作用线共线， 作用于同一个 F F F
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§5-1 力与力的投影
二、
力的投影
1. 直接投影法
若已知力F与直角坐标系Oxyz三轴之间的夹角分别为α 、 β、γ，力F在各轴上投影为
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
对刚体的作用。
F1
B
A B
F2
F
B F2
F1
A
F
A
F1 －F2 F
F B