27.2.1相似三角形的判定(1)
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1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 5, AC = 7 ， AD= 2， 求：AE的长。
D
A B
E
C B
C
(B组)
2、已知 ∠A =∠E=60°A AB CB = 4，—— = BE
2 — 3
D
E
求：BD的长。
？
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
△ADE与△ABC有什么关系?
A O E F
B
△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来. 解： 与△ABC相似的三角形有3个:
A G D O B E C
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
F
如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一点， 连结CE并延长交BA的延长线于点F， 请找出相似的三角形并表示出来。
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三 角形相似的方法．
如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.
？
思考
,
对于△ABC和△A’B’C’, 如果
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. 又A A' , ABC ∽ A' B' C '
L1 L2
A B C
D E F
L3
L4 L5
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等. L1 L2 定理的符号语言 A D L3 B E L3//L4//L5 L4 DE C AB F L5
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
L1 L2
A B C
D E F
L3
L4 L5
LBaidu Nhomakorabea L2
L3
L4 L5
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 证明 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
类似于判定三角形全等的方法，我们能通 过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
AB AC k A' B' A' C ' A A'
B` A
C`
∴
DE BC EA C A , BC BC CA CA
D
E
.
因此 DE BC, EA CA . ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
AD AE BF AE , AB AC BC AC 四边形DEFB是平行四边形， DE AE DE=BF BC AC AD AE DE AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF. DE / / BC , EF / / AB,
∴△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所得的三 角形与原三角形________. 相似
“A”型
A
D B
（图1）
E C
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形。 图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB, AB AB
AD AE DE AB AC BC
5 5
C
E
练习二: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, D AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， 求：AD的长。 B A (B组) 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。 BC AC ＝ —— 求证：—— EC DC C E C D
E
达标检测题: (A组)
相等 对应边的比相等 1. 对应角_____, ————的两个
三角形, 叫做相似三角形 比相等 2.相似三角形的对应角相等 ———————,各对应边的————
A
如果△ ABC∽ △DEF, 那么 B ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
D
E F
C
在△ABC和△A’B’C’中,如果 ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似, 并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
AB 4 1 BC 6 1 (2) , , A' B' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 △ABC与△A’B’C‘的三组对应边 AB BC AC . 的比不等，它们不相似． A' B' B' C ' A' C '
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的 长应改为多少？
∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC ∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
A E F D
G H I C
B
类似于判定三角形全等的方法，我们 还能不能通过三边来判断两个三角形相似 呢？
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
AB AC BC 已知:如图△ABC和△ AB C 中, AB AC BC
D
B
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
我们就说△ABC与△A’B’C’相似, k就是它们的相似比. 记作:△ABC∽△A’B’C.
如果k=1,这两 个三角形有怎 样的关系?
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
D E C
F
A
B
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
C
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2）
L1L2
L3
L4 L5
L2 L1
L3
L4 L5
L2 L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边相
交,所构成的三角形与原三角形相似;
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解:
∴
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
∵ DE∥BC
即
∴
∴
AB AC —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 —— ＝ —— 4 CE D 12 CE ＝ — 5 2 12 AE= AC+CE=9+ — =11—
300
450
学习三角形全等时，我们知道，除了可 以通过证明对应角相等，对应边相等来判定 两个三角形全等外，还有判定的简便方法 （SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两 个三角形相似时，是不是对所有的对应角和 对应边都要一一验证呢？ 为了证明相似三角形的判定定理，我们先 来学习下面的平行线分线段成比例定理。
三边对应成比例,两三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等,两三角形
相似.
D
A B
E
C B
C
(B组)
2、已知 ∠A =∠E=60°A AB CB = 4，—— = BE
2 — 3
D
E
求：BD的长。
？
思考
如图,在△ABC 中,DE//BC,
DE分别交AB,AC 于点D,E,
△ADE与△ABC有什么关系?
A O E F
B
△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来. 解： 与△ABC相似的三角形有3个:
A G D O B E C
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
F
如图在平行四边形ABCD中，E为AD上一点， 连结CE并延长交BA的延长线于点F， 请找出相似的三角形并表示出来。
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三 角形相似的方法．
如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.
？
思考
,
对于△ABC和△A’B’C’, 如果
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. 又A A' , ABC ∽ A' B' C '
L1 L2
A B C
D E F
L3
L4 L5
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等. L1 L2 定理的符号语言 A D L3 B E L3//L4//L5 L4 DE C AB F L5
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
L1 L2
A B C
D E F
L3
L4 L5
LBaidu Nhomakorabea L2
L3
L4 L5
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 证明 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
类似于判定三角形全等的方法，我们能通 过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
AB AC k A' B' A' C ' A A'
B` A
C`
∴
DE BC EA C A , BC BC CA CA
D
E
.
因此 DE BC, EA CA . ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
AD AE BF AE , AB AC BC AC 四边形DEFB是平行四边形， DE AE DE=BF BC AC AD AE DE AB AC BC
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论.
先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF. DE / / BC , EF / / AB,
∴△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所得的三 角形与原三角形________. 相似
“A”型
A
D B
（图1）
E C
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形。 图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB, AB AB
AD AE DE AB AC BC
5 5
C
E
练习二: (A组)
1、如图: 已知 DE∥BC, D AB = 14, AC = 18 ， AE = 10， 求：AD的长。 B A (B组) 2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。 BC AC ＝ —— 求证：—— EC DC C E C D
E
达标检测题: (A组)
相等 对应边的比相等 1. 对应角_____, ————的两个
三角形, 叫做相似三角形 比相等 2.相似三角形的对应角相等 ———————,各对应边的————
A
如果△ ABC∽ △DEF, 那么 B ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
D
E F
C
在△ABC和△A’B’C’中,如果 ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似, 并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
AB 4 1 BC 6 1 (2) , , A' B' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 △ABC与△A’B’C‘的三组对应边 AB BC AC . 的比不等，它们不相似． A' B' B' C ' A' C '
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的 长应改为多少？
∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC ∵
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
A E F D
G H I C
B
类似于判定三角形全等的方法，我们 还能不能通过三边来判断两个三角形相似 呢？
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
AB AC BC 已知:如图△ABC和△ AB C 中, AB AC BC
D
B
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
我们就说△ABC与△A’B’C’相似, k就是它们的相似比. 记作:△ABC∽△A’B’C.
如果k=1,这两 个三角形有怎 样的关系?
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 相似比是多少？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
D E C
F
A
B
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
C
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2）
L1L2
L3
L4 L5
L2 L1
L3
L4 L5
L2 L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L2
L1
L3
L4 L5
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边相
交,所构成的三角形与原三角形相似;
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解:
∴
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A
∵ DE∥BC
即
∴
∴
AB AC —— ＝ —— （推论） BD CE B 15 9 —— ＝ —— 4 CE D 12 CE ＝ — 5 2 12 AE= AC+CE=9+ — =11—
300
450
学习三角形全等时，我们知道，除了可 以通过证明对应角相等，对应边相等来判定 两个三角形全等外，还有判定的简便方法 （SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两 个三角形相似时，是不是对所有的对应角和 对应边都要一一验证呢？ 为了证明相似三角形的判定定理，我们先 来学习下面的平行线分线段成比例定理。
三边对应成比例,两三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等,两三角形
相似.