向量的混合积

同理可得
b j j b cos b cos by,
b k k b cos b cos bz.
3. 两向量数量积的az ), b (bx,by,bz ), 则 a b axbx +ayby +azbz.
（3）结合律：(a) b (a b)（ 为数）.
例1 试证三角形的三条高相交于一点． 证 设 ABC 的 BC,CA 两边上 的高交于 P 点。则有
AB PB PA, BC PC PB, CA PA PC.
因为 PA BC, 所以 PA (PC PB) 0,
2
2
2
由题意知 M1M 2 MP, 即
( x2

x1,
y2

y1, z2

z1)

(x

x1
2
x2
,
y

y1
2
y2
,z

z1
2
z2
),
故有
( x2

x1)(x
x1
2
x2 ) ( y2

y1)( y

y1
2
y2 )
(z2

z1 )( z

z1
2
z2
)

0.
这就是点 P(x, y, z) 的坐标满足的条件．
此时，两向量的数量积可以表示成
a b a Prjab. 类似地,当 b 为非零向量时，又有
a b b Prjba. 这表明， 两向量的数量积等于 其中某一向量的模与另一向量在该向量方向上的
投影之积．
由数量积的定义不难证明数量积符合下列运算律： （1）交换律：a b b a; （2）分配律：(a b) c a c b c;
b (bx,by,bz )，且有b i bx,b j by,b k bz． 证 因为 b | b | b0, 所以
b b (cos, cos , cos ) ( b cos, b cos , b cos ) (bx,by,bz ),
且有 b i i b cos b cos bx,
上述关系式是利用两向量垂直的坐标表示而得到的，
该方法是向量代数在空间解析几何问题里的一个重要 体现。
作业：P21 1.(3); 2.(1)(2)
二、两向量的向量积
1. 两向量的向量积定义 引例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一个力 F 作 用于这杠杆上 P 点处, F
与OP 的夹角为 , 求力
cosAMB MA MB | MA || MB |
1, 2
由此得
AMB .
3
例 5 求到相异两点M1(x1, y1, z1)、M 2 (x2, y2, z2 )距
离相等的点P(x, y, z)的坐标x, y, z 满足的条件．
解 线段 M1M 2 的中点坐标为
M ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ).
一、两向量的数量积
1. 两向量之间的夹角
设有两个非零向量a与b，当把他们的起点放 到同一点时 两个向量之间形成的不超过 的夹角
称为向量a与b的夹角
记作(a,^
b)
或
^
(b,
a)

如果向量a与b中有一个是零向量 则规定它 们的夹角可在0与 之间任意取值.
2. 两向量的数量积定义 引例 设某物体在常力 F 作用下沿直线从点 M1
证 由数量积的运算律及例2结论，得
a b (axi ayj azk) b axb i ayb j azb k axbx +ayby +azbz.
由此可得两个非零向量夹角的余弦公式：
cos a b
axbx +ayby +azbz
.
ab
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
由数量积的定义不难得到如下结论:
（1） a a a 2 , 一般地，我们规定 a2 a a a 2 .
（2） 两个非零向量 a b a b 0.
当 a 为非零向量时，称 b cos 为向量 b 在 a 方向 上的投影，记作 Prjab, 即 Prjab b cos.
即
PA PC PA PB. (1)
又因为 PB CA, 所以 PB (PA PC) 0,
即
PA PB PB PC. (2)
由（1）（2）式得 PA PC PB PC, 即
(PB PA) PC 0, 或 AB PC 0. 这说明 AB PC, 即点 P 在 ABC 的第三条边 AB
．
解 因为 a b 8, a 14, b 2 14, 所以
Prjab

ab |a|
4
14 7
^
,cos(a, b)

ab ab
2. 7
例 4 已知三点M (1,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)，求 AMB．
解 因为 MA (1,1,0), MB (1,0,1), MA MB 1, MA 2, MB 2. 所以
移至 M 2, 以s 表示位移M1M2, 则由物理学知道，力 F 所作的
功为 W F s cos ,

其中 (s,F).
定义 1 对于向量a与b，它们的模 a 、b 及其 夹角 的余弦乘积称为向量a与b的数量积 也称内 积或点积，记作a b，即
a b a b cos .
的高线上，所以 ABC 的三条高交于一点 P.
例 2 设 向 量 b 在 x、y、z 轴 上 的 投 影 分 别 为
bx,by ,bz，试证明： b (bx,by,bz )，且有b i bx,b j by,b k bz．
例 2 设 向 量 b 在 x、y、z 轴 上 的 投 影 分 别 为 bx,by ,bz，试证明：
特别地，两个非零向量
a b a b 0 axbx +ayby +azbz 0.
同时有
Prjab

ab a

axbx +ayby +azbz .
ax2

a
2 y

az2
例 3 设 a (3,2,1) ， b (2,4,6) ， 求 Prjab 及
cos
^
(a,
b)