微积分课件

=( 1,2)U(2,3)
1 δ=1 2 δ=1 3
x
微积分
函数-函数概念
定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空 数集，若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则f 总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
线就称为数轴。
数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的 关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x， 就是指数轴上与数x对应的那个点。
O
x
-1 0 1
微积分
函数-集合
有 闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}
限 区
O a
x
b
间
开区间：(a,b)={x|a<x<b}
O
a
b
x
左闭右开区间：[a,b)={x|a≤x<b}
3
微积分
函数-集合
空 Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
心 邻
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ}
域
=(a- δ, a)U(a , a+ δ)
称为点a的δ空心邻域。
a- δ
a
a&#)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3 }
函数值全体组成的数集
Z {y y f (x), x D} 称为函数的值域.
微积分
函数-函数概念
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定:如果不考虑函数的实际意义，函数的定义域 就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 ，称为函数的自然定义域。
如果A B且或AB，则称A与B相等。
1. AA即集合A是其自己的子集。 2. 传递性 AB、B C 则A C。 3. A，即空集是任何集合A的子集。
微积分
全集与空集
函数-集合
所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。
不含任何元素的集合称为空集，记为： 。
例1：x2+1=0实数根集合为空集。 例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。
微积分
函数-函数概念
非负小数部分函数 取整函数 y=(x)=x-[x]
x=7/3时,[x]=2，(x)=0.5 x=1/3时,[x]=0，(x)=1/3 x=-8/5时,[x]=-2，(x)=0.4
y y=(x)
1
-2 -1 O 1 2
x
微积分
函数-函数概念
(3) 狄利克雷函数
y

D( x)

1 0
微积分
函数-集合
例子 1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。
2. 彩电、电冰箱、VCD。
3. x2-5x+6=0的根。
4. 全体偶数。
集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个 集合是确定的，是或不是二者必居其一。 由有限个元素构成的集合，称为有限集合。 由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；
注：{0}及{}都不是空集，前者有元素0，后者 有元素。
微积分
集合的运算
函数-集合
集合的并：AB={x|x A 或x B}
集合的交：A B={x|x A 且x B} 集合的差：A-B={x|x A 且x B}
微积分
函数-集合
区 在一条直线上指定了一点作为原点O，再指 间 定了正向，此外又规定了单位长度，这条直
微积分
集合的表示法
函数-集合
1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并 用{}括起来。
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：
A={2,3}
注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。
微积分
函数-集合
2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A 为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：
函数y f ( x)的图形.
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
4321
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
阶梯曲线
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
微积分
第一章 函数
• 集合 • 函数概念 • 函数的几种特性 • 反函数 • 复合函数 • 初等函数
微积分
函数-集合
集 合 集合是指具有特定性质的一些事物的总体. 定 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 义
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示 元素.
a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).
O a
b
x
左开右闭区间：(a,b]={x|a<x≤b}
O a
b
x
微积分
函数-集合
无
[a, + ∞)={x|a≤x}
O
限
a
区 (-∞ ,b]={x|x≤b}
间
O
(a, +∞)={x|a<x}
O
a
x x
b
x
(-∞ ,b)={x|x<b}
O
b
x
实数集 Ｒ＝(-∞ ,+∞)={x | - ∞ <x<+ ∞}
A={a|P(a)}
例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为： A={x|x2-5x+6=0}
例：全体实数组成的集合通常记作R，即： R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集
如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
微积分
函数-集合
邻 Ｕ(a,δ)={x| |x-a|< δ}={x|a-δ<x<a+}=(a-δ,a+δ) 域 称为点a的δ邻域。a称为邻域的中心，δ称
为邻域的半径。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
例如， y 1 x2 D : [1,1]
例如， y 1 1 x2
D : (1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
y
W y o
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数