高中数学2020年月月考-三角函数与导数交汇压轴题

绝密★启用前

高中数学2020年06月月考

试卷副标题

考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

请点击修改第I 卷的文字说明

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明

一、解答题

1．（2019·安徽省高三月考（文））已知函数sin ()ln x

f x x x

=-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x a

f x x x x

++

≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）⎫+∞⎪⎣⎭

． 【解析】 【分析】

（1）对函数求导得2

(cos 1)sin ()x x x

f x x

--'=

，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++

≤，可化为不等式1

sin sin 22

x x a +≤，令1

()sin sin 2,(0,2)2

g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案.

【详解】

（1）证明：由sin ()ln x

f x x x

=

-得 22

cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x x

f x x x x ---'=-=

当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3

()ln

066

f ππ

π

=

->，()ln 0f ππ=-<

试卷第2页，总71页

所以函数()f x 在()0,π上有唯一零点，得证． （2）由题知不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++≤，可化为不等式1

sin sin 22

x x a +≤， 则由题有1

sin sin 22x x a +

≤对()0,2x π∀∈恒成立， 令1

()sin sin 2,(0,2)2

g x x x x π=+∈

则有()2

cos cos22cos cos 1g x x x x x '=+=+-

()()cos 12cos 1x x =+-，

其中cos 10x +≥， 由2cos 10x -=得3

x π

=或53

x π=

则当03

x π

<<或

523

x π

π<<时，()0g x '>， 当

53

3

x ππ

<<

时，()'0g x ≤， 当且仅当x π=时，()0g x '=，

所以函数()g x 在(0,)3π5,23π

π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减，

又3g π⎛⎫=

⎪⎝⎭

，(2)0g π=0>， 所以max ()g x =

，则a ≥ 即得实数a 的取值范围是,4⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

． 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.

2．（2020·广东省高三期末（理））已知函数()2

1sin f x x a x =+-，[]0,x π∈，a R ∈，

()'f x 是函数()f x 的导函数.

（1）当1a =时，证明：函数()f x 在区间[]0,π没有零点； （2）若()'sin 0f x a x a ++≤在[]0,x π∈上恒成立，求a 的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）a π≤- 【解析】 【分析】

（1）当1a =时,()2

1sin f x x x =+-,由[]0,x π∈可得211x +≥,0sin 1x ≥-≥-且

()01f

=,2

24f ππ⎛⎫=

⎪⎝⎭,()2

1f ππ=+,即可得0,,22x πππ⎛⎫⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

时,1sin 0x -<-<,即可得到21sin 0x x +->恒成立,进而证明；

（2）()'2cos f x x a x =-,则2cos sin 0x a x a x a -++≤在[]0,x π∈上恒成立,设()2cos sin x a x a g a x x =-++,[]

0,x π∈,则()000g =≤,()220g a ππ=+≤,可得

a π≤-,对()g x 求导,由导函数的单调性进而判断()g x 的单调性,从而求解即可

【详解】

（1）证明：若1a =,则()2

1sin f x x x =+-,[]0,x π∈,

又211x +≥,0sin 1x ≤≤,故0sin 1x ≥-≥-,所以21sin 0x x +-≥, 又()01f

=,2

24

f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()21f ππ=+, 当0,,22x πππ⎛⎫⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

时,1sin 0x -<-<,

所以21sin 0x x +->恒成立,

所以当1a =时,函数()f x 在区间[]0,π没有零点. （2）解:()'2cos f x x a x =-,[]0,x π∈,

故2cos sin 0x a x a x a -++≤在[]0,x π∈上恒成立, 设()2cos sin x a x a g a x x =-++,[]0,x π∈, 所以()000g =≤,()220g a ππ=+≤,即a π≤-,

因为()2sin cos 24'g a x x a x x π⎛

⎫=++=++ ⎪⎝

⎭,

由a π≤-,得0a <,

所以在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭

上()'g x 单调递减,所以()()2'0''24a g g x g π⎛⎫

+=≥≥=+ ⎪⎝⎭；

在区间,4ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上()'g x 单调递增()()2'''24g g x g a ππ⎛⎫+=≤≤=- ⎪⎝⎭,