九年级数学北师大版下册 垂径定理

北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
O
C
E
B
运动CD
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
D
直径AB和弦CD互相垂直
特殊情况
C
O
A
E
D
特殊情况
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
例题2
例圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E┐
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E 则AE＝BE，CE＝DE AE－CE＝BE－DE 所以，AC＝BD
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
B（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
例题1
例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘 米 ∴⊙O的半径为5厘米。
D
AC =AB ,
BC=BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
O
A
E
B
D
B
O A
O
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
分析
C
O
A
E
D
条件
结论
｝｛ CD为直径，
CD平分弦 AB
点C平分弧ACB
CD⊥AB
点D平分弧ADB
｝｛ （1）过圆心
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
.O
证明：作直径MN⊥AB
N
∵CMA＝B∥DMCD（，垂∴直M平⌒N分⊥弦C⌒D的则直A径M⌒平＝分B弦⌒M，
所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
B
CE=DE，
AC =AD ,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合⌒合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别⌒重和合B，C、AE和BE重
BD重合。因此
AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
B
2、符号语言
因 为 AB CD于 E， AB为 O的 直 径
CE=DE,