重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)

秘密★启用前2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}{},1,0,1,,21-=∈≤<-=B Z x x x A 则=B A （ ）A.}1,0{B.]2,1[-C.}1,0,1{-D.}2,1,0,1{- 2．等比数列}{n a 中，若32,231==a a ，则=5a （ ）A.6B.36C.12D.18 3. 计算 75sin 15sin ⋅的结果是（ ）A.21 B. 41 C. 426- D.426+ 4．下列函数为奇函数的是（ ）A.233)(x x x f += B.xxx f -+=22)( C.x x x f sin )(= D.xxx f -+=33ln)(5．已知非零向量b a ,的夹角为30,31==则=-2（ ）A.32-B.1C.2D.26．圆C 半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y x C ．0422=-+x y xD ．03222=-++x y x7．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若4=AF ，则=p （ ）A.4B.2C.1D.38．已知双曲线Γ过点)4,3(M 且其渐近线方程为x y 332±=，ABC ∆的顶点,A B 恰为Γ的两焦点，顶点C 在Γ上且BC AC >，则sin sin sin BAC ABCACB∠-∠=∠（ ）A ．772-B.772 C.2- D.2 9．若函数x ax x f ln )(-=有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(0,)eD ．(0,)e10．已知)),0(,0,0(),cos()(πϕωϕω∈>>-=A x A x f ，)(x f 的导函数．．．)(x f '的部分图象如图所示，则下列对)(x f 的说法正确的是（ ）A.最大值为2且关于点)0,2(π-中心对称 B.最小值为2-且在]23,2[ππ上单调递减C.最大值为4且关于直线2π-=x 对称D.最小值为4-且在]23,0[π上的值域为]4,0[ 11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A C D ．12．已知ABC ∆的内角,,A B C 满足1sin()sin()sin()2B C A A C B A B C +-++-++-=，且ABC ∆的面积等于2，则ABC ∆外接圆面积等于（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13．直线02018:=-+y x l 的倾斜角为 ；14．已知21,F F 是椭圆2221(3)9x y a a +=>的左、右焦点，P 为椭圆上一点且满足 12021=∠PF F ，则21PF PF ⋅的值为 ；15．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且),2(2*N n n a S n n ∈≥=，则{}n a 的通项公式=n a ；16．已知函数)(x f 满足21)1(=f ，且对任意R y x ∈,恒有)()()2()2(2y f x f yx f y x f +=-⋅+，则=+)2019()2018(f f ．三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 1A B a b c+=. （Ⅰ）证明：,,a c b 成等比数列； （Ⅱ）若3=c ，且4sin()cos 16C C π-=，求ABC ∆的周长.18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(212*++∈=+N n a a a n n n ，数列}{n b 满足)(*11N n a a b b n n nn ∈-=++，且22,5,75311=+==a a a b a . （Ⅰ）求n a 及n b ；（Ⅱ）令*,N n b a c n n n ∈⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S ．图2图1FFC图2图119.（本小题满分12分）如图1，在直角ABC ∆中，32,34,90===∠AB AC ABC，ED ,分别为BD AC ,的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD ∆沿BD 折起，使平面⊥ABD 平面BCD ，如图2所示． （Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 为抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2C 的准线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为和4.（Ⅰ）求1C 和2C 的方程；（Ⅱ）已知动直线l 与抛物线2C 相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于N M ,两点，若椭圆1C 上存在点Q ，使得)0(≠=+λλ，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1≤a ，证明：xex a x f )1()(+>（其中e 是自然对数的底数， 71828.2=e ）．注意：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(3,)6π，曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=，设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点．（Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求AP AQ OP OQ ⋅⋅⋅的值．23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数12)(+--=x x x f ． （Ⅰ）解不等式1)(≤x f ；（Ⅱ）记函数)(x f 的最大值为m ，若)0,,(3>=++c b a mc b a ，证明：1≥++ca bc ab ．2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试数学参考答案（理科）一、选择题：D A B D B C B A C D A C二、填空题：13题：43π； 14题：36； 15题：⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ; 16题：23-三、解答题17.（1）证明：由正弦定理得：cos cos 1A B a b c +=⇒cos cos 1sin sin sin A B A B C+=…………………2分sin()1sin sin sin A B A B C+⇒=⇒2sin sin sin C A B =，……………………………………4分2,c ab ⇒=所以,,a c b 成等比数列………………………………………………6分（1）由1)62sin(22cos 2sin 31cos )6sin(4=-⇒=-⇒=-ππC C C C C ,3C π⇒= (8)分由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，…………………………………………9分 又3=c ，所以92==c ab ………………………………………………………10分 于是得：229()3()27a b ab a b =+-=+-6a b ⇒+=………………………………11分 所以ABC ∆的周长为9a b c ++=.…………………………………………………12分 18. 解：（1）由题可得}{n a 等差，}{n b 等比，设}{n a 的公差为d ，则d b b nn =+1…………………2分由题有1221221022251167513-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+==++==n a d a d a a a a d a a n ………………………5分 于是21=+nn b b ，而11121-=⇒==n n b a b ，…………………………………………6分， （2）由题有：12)12(-⋅-==n n n n n b a c ，由错位相减法，得：122102)12(2)32(252321--⨯-+⨯-+⋯⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ……………………7分=n S 2 n n n n 2)12(2)32(2321121⨯-+⨯-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+⨯+⨯-……8分两式相减，得：n n n n n n n S 2)12()42(12)12()222(21112⋅---+=⋅--+++⨯+=-+- (10)分n n 2)32(3⋅---=…………………………………………………………11分于是：)(32)32(*N n n S n n ∈+⋅-=………………………………………………12分19.（1）证明：由条件可知AB AD =，而E 为BD 的中点，∴AE BD ⊥，……………………2分又面ABD ⊥面BCD ，面ABD 面BCD BD =，且ABD AE 面⊂，∴AE ⊥平面B C D…………4分 又因为CD ⊂平面BCD ，∴AE CD ⊥． …………………………………………6分（2）由（1）可知，EA EF EB ,,两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：(000),(0,0,3),(0,1,0),E A F ，，((D C -…………………7分易知面AEF的法向量为(0)ED =，，……………………………………………8分设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，易得∴(3,1,1)n =-…………………10分设平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角为θ，则15cos cos ,ED n θ=<>=12分20.（1）由题得2224ba b ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩2,=24a b p c ===，故22212:1,:884x y C C y x +==……4分（2）由题知l 存在斜率且不为0，设),0(:≠+=m n my x l ),(),,(),,(002211y x Q y x N y x M …5分联立⇒⎩⎨⎧=+=xy nmy x 820882=--n my y ，因为l 与2C 相切，故02021=+⇒=∆n m (6)联立⇒⎩⎨⎧=++=8222y x nmy x 082)2(222=-+++n mny y m ，两根为21,y y ，所以28,222221221+-=+-=+m n y y m mn y y ………………………………7分)2,4(82840222-∈⇒+-=+<⇒>∆n n m n ，又022>-=n m ，因此)0,4(-∈n (8)分由⇒=+λ⎩⎨⎧=+=+021021y y y x x x λλ，由韦达定理，代入计算得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=)2(2)2(42020m mn y m n x λλ (9)分而点),(00y x Q 在椭圆上，即822020=+y x ，代入得)0,4(,4228)2(8)2(162222222222222-∈-=+=⇒=+++n nn m n m n m m n λλλ……………………10分令)8,4(4∈-=n t ，则)2,0()0,2()4,0()816(22 -∈⇒∈-+=λλtt ……………………12分21. 解：（1）定义域),1()1,0(+∞∈ x ，2)1(ln 11)(---='x x x x f ………………………………2分 令x x x u ln 11)(--=，则21)(xxx u -='，所以)(x u 在↓+∞↑),1[,]1,0(， 故),1()1,0(+∞∈ x 时，0)1()(=<u x u ，也即0)(<'x f ，………………………………3分 因此，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上也单调递减；…………………………………4分 （2）因1≤a 故x x e x e x a )1()1(+≤+，因此只需证明),1()1,0(,11ln +∞∈+>- x ex x x x （记为⊗）…5分①先证明),1(+∞∈x 时的情况：此时01ln 2>--⇔⊗x e x x ，令xx x xexx x e x g e x x x g --+='--=2322)(,1ln )( (6)令)1(046)(,143)(,2)(223>>-+=''--+='--+=x x e x h x x e x h x x x e x h xxx， 故)(x h '在↑+∞),1(，故)(02)1()(x h e h x h ⇒>-='>'在↑+∞),1(，…………………7分 于是02)1()(>-=>e h x h )(0)(x g x g ⇒>'⇒在↑+∞),1(，因此，),1(+∞∈x 时0)1()(=>g x g ，即01ln 2>--xe x x …………………………………8分 ②下面证明)1,0(∈x 时的情况（相对更难一点点）：01)(,1)(>-='--=xxe x g x e x g ，故)(x g 在↑)1,0[， 于是)1,0(∈x 时110)0()(<+⇒=>xe x g x g ，………………………………………10分 令01,1ln )(>-='+-=xxh x x x h ，故)(x h 在↑]1,0( 故)1,0(∈x 时，0)1()(=<h x h 即01ln <+-x x 即x ex x x 111ln +>>-，证毕；……………12分)1,0(∈时，1ln 2<--⇔⊗x ex x ，令xx x xe xx x e x g e x x x g --+='--=2322)(,1ln )(令46)(,143)(,2)(223-+=''--+='--+=x e x h x x e x h x x x e x h xxx，显然)(x h ''在↑)1,0(而02)1(,03)0(>+=''<-=''e h h ，故)1,0(0∈∃x 使)(x h '在↑↓)1,(,),0(00x x ，而02)1(,0)0(>-='='e h h ，故必存在唯一的)1,0()1,(01⊆∈x x 使得)(x h 在↑↓)1,(,),0(11x x 且)(1='x h 即1431211++-=x x e x ，故1352)()(121311213111++-=--+=≥x x x x x x e x h x h x记)3)(13()1,0(,135)(23--='∈++-=x x u x x x x x u ，，所以)(x u 在↓↑)1,31(,)31,0(，注意到0)1(,01)0(=>=u u ，因此)1,0(∈x 时0)(>x u ，故0)(>x h ，故0)(>'x g …………………故)(x g 在↑)1,0(，因此，)1,0(∈x 时，01ln 0)1()(2<--⇒=<xe x x g x g (12)),1()1,0(,11ln 11ln 2+∞∈>-⋅⇔+>- x x xe e x x x x ， 令1ln )(2-=x x e x x ϕ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-='x x x x x x e x x ln )121)1()(222（ϕ…………………………6分令),0(,ln )12(1)(2+∞∈--+-=x x x x x x x u ，则x x x x xx u ln )22(111)(2-+--+=' x x xx x u ln 23212)(23++-+-=''，423)3(22)(x x x x x u +-+='''…………………………7分 显然)(x u '''在),0(+∞恒正，故)(x u ''在),0(+∞单增………………………………………8分 注意到0)1(=''u ，于是)(x u ''在)1,0(为负，在),1(+∞上为正，也即)(x u '在)1,0(上单调递减，在),1(+∞单调递增………………………………………9分 因此),1()1,0(+∞∈ x 时有0)1()(='>'u x u ，故)(x u 在),0(+∞上单调递增， 又注意到0)1(=u ，于是)(x u 在)1,0(为负，在),1(+∞上为正，而)(x u 与)(x ϕ'正负一致，因此)(x ϕ在)1,0(上单调递减，在),1(+∞单调递增 (10)分因此),1()1,0(+∞∈ x 时，122)ln 1(lim )(lim )(11>=+=>→→e x x x e x x x x x ϕϕ（洛必达法则） (12)分22. （1）:l 0x =，曲线:C 22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=…………………4分（2）点A 的直角坐标为，发现A 在直线l 上且0=A t ，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈联立l 的参数方程与C 的直角方程得：210t ++=，则1P Q AP AQ t t⋅=⋅=…………7分联立l 及曲线C 的极坐标方程得：210ρ-+=，则1P Q OP OQ ρρ⋅=⋅=，故所求=1……10分23.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+--≤=2,321,121,3)(x x x x x f ，易得1)(≤x f 的解集为),0[+∞∈x ………………5分 （2）由（1）知m x f ==3)(max ，于是1=++c b a …………………………………7分 因为a c b c c a b b c a a b 222++≥+++++，移项即得证………………10分。