综合行程问题和多次相遇问题
有关多次相遇的行程问题解析
有关多次相遇的行程问题解析 多次相遇 （1）2倍的关系（两头同时出发相向而行）：对于单个人来讲，从一次相遇到相邻的下一次相遇走了他从出发到第一次相遇的2倍。
（关注2倍的关系，是因为很多题目，只告诉第一次相遇地点距离一段的路程） 【例1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地。
设开始时他们分别从两地相向而行，若在距离甲地3千米处他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距离乙地2千米处，则甲、乙两地的距离为多少千米？ （2）对于一头同时出发同向行驶或者环型行程中，思路是从路程和或者某一个人在不同时间段的关系找到对应的时间关系，再找到单个人或另外一个人两个时间段的路程关系。
（路程关系~~~时间关系~~~~路程关系） 【例2】一列客车和货车从甲同时同向出发开往乙地，货车速度是80千米/时，经过1小时两车在丙地相遇，两车到达了两端后都立即返回，第二次相遇的地点也在丙地。
求客车的速度。
【例3】甲乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。
如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度？ （3）根据速度比m:n,设路程为m+n份 【例4】甲、乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断的往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第3次与第4次相遇点恰好为100千米，那幺AB两地之间的距离是多少千米？ 【例5】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶。
甲、乙两车的速度比为3：7，并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和1997次相遇的地点恰好相距120千米（这里指面对面的相遇），那幺A、B两地之间的距离是多少千米？ （4）n次相遇---画平行线并结合周期性分析 【例6】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。
如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次？(平行线+周期性分析) 【例7】A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返锻炼。
五年级奥数思维多人多次的相遇与追及
多人多次的相遇与追及【知识导学】本讲我们要学习多个对象之间的行程问题．在本讲的学习中，大家一定要重视线段图的作用．本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想；其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致地分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．一、从不同的角度想问题，同一段路程通过不同的角度去分析，会有不同的发现．二、两人的运动时间相同时，他们的路程倍数关系就等于速度倍数关系．【例题精讲】【例1】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时7千米，铛铛的速度为每小时5千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时6千米，铛铛的速度为每小时4千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【例2】甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去．出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．铛铛出发5小时后遇到叮叮，6小时后遇到咚咚．已知叮叮每小时行2千米，咚咚每小时行1.6千米，请问：铛铛每小时能行多少千米？【例3】A、B两城相距48千米，甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时4千米、2千米、2千米．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A出发往B走，另外两人从B出发往A走．已知A、B两地相距28千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时1千米、2千米、3千米的速度前进．那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？【例4】A、B 两城相距 48 千米，甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时 4 千米、2 千米、 2 千米．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A 出发往B 走，另外两人从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 28 千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时 1 千米、2 千米、3 千米的速度前进．那么在出发后多久，老刘正好在老郭与老贺的中点？【例5】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A地时，甲离B地有多远？【及时巩固】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 2 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A 地时，甲离B 地有多远？【课后作业】1. 北京和唐山之间的铁路长 210 千米，甲、乙两辆列车分别从北京和唐山同时出发，甲车的速度是每小时 57 千米，乙车的速度是每小时 90 千米．在甲车出发时，同时有一辆列车丙也从北京开出，车速为每小时 120 千米，那么当乙、丙相遇时，列车甲距离唐山多少千米？2. 甲、乙两人同时从A 骑车出发前往B 地，其中甲的速度为 12 米/ 秒，乙的速度为8 米/ 秒．出发后 10 分钟，甲遇到了迎面走来的丙，又过了 2 分 40 秒，乙也遇到了丙．那么丙的速度等于多少？3. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？4. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老贺正好在老郭与老刘的中点？5. 甲、乙两人从A 出发，丙从B 出发，三人出发时间相同，且相向而行．在出发时，甲和丙的速度相同，而乙是他们的 4 倍．当甲前进了 5 千米时，乙、丙两人相遇，而且两人相遇之后速度大小相互交换但方向保持不变．当甲、丙相遇时，两人也相互交换速度，但方向保持不变，那么当乙到达B 点时，甲在距离B 点多少千米的地方？。
行程问题之相遇追及综合专项练习题
行程问题之相遇追与综合问题相遇、追与问题中的基本数量关系是：路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和路程差=速度差×追与时间速度差=路程差÷追与时间追与时间=路程差÷速度差练习题：1、小李骑自行车每小时行13 千米, 小王骑自行车每小时行15 千米. 小李出发后2 小时, 小王在小李的出发地点前面6 千米处出发, 小李几小时可以追上小王?2、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行. 出发2 小时后, 两人相距54 千米；出发5 小时后,两人还相距27 千米. 问出发多少小时后两人相遇?3、小强每分钟走70 米, 小季每分钟走60 米, 两人同时从同一地点背向走了3 分钟, 小强掉头去追小季,追上小季时小强共走了多少米?4、甲乙两人同时从两地相向而行. 甲每小时行5 千米, 乙每小时行4 千米. 两人相遇时乙比甲少行3 千米.两地相距多少千米?5、夏夏和冬冬同时从两地相向而行, 夏夏每分钟行50 米, 冬冬每分钟行60 米, 两人在距两地中点50 米处相遇, 求两地的距离是多少米?6、甲、乙两列火车同时从A地开往B地, 甲车8 小时可以到达, 乙车每小时比甲车多行20 千米, 比甲车提前2 小时到达. 求A、B两地间的距离.7、小王、小李共同整理报纸, 小王每分钟整理72 份, 小李每分钟整理60 份, 小王迟到了1 分钟, 当小王、小李整理同样多份的报纸时, 正好完成了这批任务. 一共有多少份报纸?8、小明的家住学校的南边, 小芳的家在学校的北边, 两家之间的路程是1410 米, 每天上学时, 如果小明比小芳提前3 分钟出发, 两人可以同时到校. 已知小明的速度是70 米/分钟, 小芳的速度是80 米/分钟 .求小明家距离学校有多远?9、王老师从甲地到乙地, 每小时步行5 千米, 张老师从乙地到甲地, 每小时步行4 千米. 两人同时出发, 然相遇, 相后在离甲、乙两地的中点1 千米的地方相遇, 求甲、乙两地间的距离.10、两地相距3300 米, 甲、乙二人同时从两地相对而行, 甲每分钟行82 米, 乙每分钟行83 米, 已经行了15分钟, 还要行多少分钟两人可以相遇?11、甲乙二人同时分别自A、B 两地出发相向而行, 相遇之地距A、B 中点300 米, 已知甲每分钟行100 米,乙每分钟行70 米, 求A 地至B 地的距离.12、甲、乙两车同时从A地向B地开出, 甲每小时行38 千米, 乙每小时行34 千米, 开出1 小时后, 甲车因有紧急任务返回A地；到达A 地后又立即向B地开出追乙车, 当甲车追上乙车时, 两车正好都到达B地.求A、B两地的路程.13、甲、乙二人同时从A地去B地, 甲每分钟行60 米, 乙每分钟行90 米, 乙到达B地后立即返回, 并与甲相遇, 相遇时, 甲还需行3 分钟才能到达B地, A、B两地相距多少米?14、甲乙两车分别从A、B 两地同时相向开出, 4 小时后两车相遇, 然后各自继续行驶3 小时, 此时甲车距B 地10 千米, 乙车距A 地80 千米. 问：甲车到达B 地时, 乙车还要经过多少时间才能到达A 地?15、甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出, 第一次在离A地95 千米处相遇. 相遇后继续前进到达目的地后，又立刻返回，第二次在距离B地25千米处相遇，求A、B两地的距离。
多次相遇追及问题及详解
行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是25千米/时,乙车的速度是15千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离分析：多次相遇问题,最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3,第一次相遇两车共行了一个全程,其中乙行了;第三次两车共行了5个全程,乙行了5× = 个全程,第四次相遇两车共行了7个全程,乙行了7× = 个全程,两次路程差是个全程,所以AB两地相距200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行,乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进,甲到B地,乙到A地后立即返回;已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米,那么,A﹑B两地相距多少千米分析：第一次相遇,甲乙的路程和是一个全程,甲行的路程是全程的,乙行了全程的,第二次相遇,甲乙的路程和是3个全程,此时甲行了×3= 个全程,两次相遇的距离是个全程,即20千米,所以AB的距离是20÷=50千米;3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次分析：在第一次相遇与第一次追上之间,乙在100-80=20分钟内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度,即等于甲在80+100分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍=180÷20,则BF的长为AF的9倍,所以,甲从A到B,共需走80×1+9=800分钟,乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程,因此,追及时间也变为200分钟,所以,在甲从A到B的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇;已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,慢车到甲地停留1小时后返回,快车到乙地停留2小时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间分析：慢车相遇后经过12.5-5=7.5小时到甲地,13.5小时后从甲地返回;所以甲乙的速度比是7.5：5=3：2;因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程,第二次相遇时共行三个单程,所以若两车都不停留,则第一次相遇到第二次相遇需10小时;现在慢车停留1时,快车停留2小时,所以第一次相遇后11小时两车间的距离还需快车再行1小时;这段距离两车需行3÷3+2=0.6小时;从第一次相遇到第二次相遇共需11.6小时;5、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米分析：方法一：不用比例甲40分钟行了40×40=1600米,即甲还没有返回到A地,第一次相遇,甲乙行了两个全程,行了950×2÷150+40=10分,甲距离B地950-10×40=550米,第二次相遇,乙比甲多行了2个全程,距B地950-950×2÷150-40×40≈200米,第三次相遇,甲乙共行了4个全程,距B地950-950×4÷150+40×40=150米,第四次相遇,乙比甲多行了4个全程,甲行了950×4÷159-40×40=1.8米,距B地1.8-950=431.8米;所以第三次相遇近;方法二：用比例,把全程分成19份,那么每次相遇的点占全程的积分之几就一目了然了;略。
(完整版)行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
相遇问题追及问题（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
第四次相遇第五次相遇第六次相遇第二次相遇第三次相遇第一次相遇折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
行程问题3.7.1丨多次相遇问题基础知识
行程问题3.7.1丨多次相遇问题基础知识
1 根据题意，画好示意图,以2004年广东卷为模板
2. 路程问题：相遇N次，总路程和（2N-1）S
3. 两人速度保持不变，时间与路程正比例关系。
可以根据比例构建等式。
2004年广东
11.两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。
到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。
这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。
问：该河的宽度是多少？A.1120米 B.1280米 C.1520米 D.1760米
【解析】D。
多次相遇中两次相遇问题。
3×720-400=1760。
2004年江苏C
19.AB两地相距98公里，甲乙两人同时从两地出发相向而行，第一次相遇后继续前进，到达对方车站时，两人都休息20分钟，然后再返回各自原地，途中第二次相遇，已知甲速30公里／小时，乙速是甲的3/5，两人从出发到第二次相遇，共用多少小时?
2008年深圳
47.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。
请问A、B两地相距多少千米?（）
A.120
B.100
C.90
D.80
【解析】A。
多次相遇问题。
54×3-42=120。
关键知识：第一次相遇和为S,第二次相遇和为3S。
行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
相遇问题追及问题（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
第四次相遇第五次相遇第六次相遇第二次相遇第三次相遇第一次相遇折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
行程(多次相遇)问题—2022-2023学年五年级数学思维拓展 学生版
周二2022-2023学年小学五年级思维拓展专题 行程(多次相遇)问题知识精讲专题简析：通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：(1)相向而行：相遇时间=距离÷速度和(2)相背而行：相背距离=速度×时间(3)同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化。
解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求问题之间的关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决。
典例分析1.(2019•岳麓区)甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙，两地相距80米，求A、B两地相距多少米？2.(2019•郑州)如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进(乙车速度小于甲车速度)，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米？周二3.(2018春•江宁区期末)小欣和小鸣分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间．小欣每分钟走65米，小鸣每分钟走70米，经过5分钟后两人第二次相遇．这座桥长多少米？4.(2018•广东)甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？真题演练一、选择题(共5小题，满分5分，每小题1分)1.(1分)(2015秋•漳州期末)爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回⋯直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了()A.2kmB.4kmC.6km2.(1分)甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。
小学数学 行程问题之多次相遇问题(二) PPT带详细答案
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约 开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈 佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况． 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中 用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇 到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子 夜． 如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮 船．
全程：45×（3+4）=315（米）
相遇时间：315÷（4-3）=315（秒）
答：如果同向而行，315秒后两人再次相遇。
练习1 周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米， 周老师每分钟走65米。已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同 时背向而行。在他们第10次相遇后，王老师再走多少米就回到出发点？
练习5 A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两 地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30 分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？ 最近距离是多少？
解答：甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两 人相遇．在 30 分钟内，两人共行了 (150 60) 30 6300 米，相当于 6 个全程又 300 米，由图可知，第 3次相遇时距离 A地最近，此时两人共走了 3 个全程，即 1000 ×3 =3000千米，用时3000÷（150+60）=100/7分钟，甲行了 60×100/7=6000/7米， 相遇地点距离 B 地1000-6000/7 143米．
环形跑道上的行程问题
环形跑道上的行程问题环形问题：环形跑道上的多次相遇追及:(1)从同点背向出发，每次相遇，两人都共行1个全程。
所用基础公式为：环形总长度÷速度和=相遇时间环形总长度÷相遇时间=速度和相遇时间×速度和=一个环形长度(2)从同点同向出发，每次追及，快者比慢者多行1个全程；所用基础公式为：环形长度÷速度差=追及时间环形长度÷追及时间=速度差追及时间×速度差=环形总长度典型题讲解例题1、黑、白两只小狗沿着周长为300米的湖边跑，黑狗的速度为每秒5米，白狗的速度为每秒7米，若两只小狗同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第一次相遇？如果他们继续不停的跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？例题2、有一个周长是40米的圆形水池，甲沿着水池散步，每秒钟走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行，当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？练习1、一环形跑到周长为400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米？例题3、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问：甲出发后多少分钟第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？例题4、甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处第二次相遇.求此圆形场地的周长？练习2、如图，有一个环形跑到，甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，且乙的速度快于甲，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长度是跑道总长的四分之一.请问跑道周长多少米？（1200米）例题5、环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反向行走，甲比乙走的快，12分钟后两人相遇。
六年级行程问题、相遇问题专项练习(含知识点)
一、相遇问题常见公式：1、两者相遇路程＝两者速度和×相遇时间2、相遇时间＝两者相遇路程÷两者速度和3、两者速度和＝两者相遇路程÷相遇时间4、两者速度和＝甲的速度＋乙的速度5、两者相遇路程＝甲走的路程＋乙走的路程6、甲的速度＝两者相遇路程÷相遇时间－乙的速度7、甲走的路程＝两者相遇路程－乙走的路程二、解决实际问题的技巧1、解答相遇此类问题，首先要弄清题目的题意，按照题意画出路程、时间或速度的相关线段图；然后分析各数量之间的关系；最后选择最适合的解答方法。
2、相遇问题除了要弄清路程、速度与两者相遇时间之外，还要注意一些其他重要的细节：（1）两者是否是同一起点、同时出发。
如果有谁先出发了，先行走了路程，要考虑先出发者所走的路程值对题目的影响，该加还是该减掉。
（2）两者所行走的方向是否一致：梳理清楚两者是相向、同向，还是背向的。
方向不一样，处理问题就会不一样。
（3）所行走的路线是环形的，还是直线型的。
如果是环形的，要考虑再次相遇的可能。
【培优练习】1、小客车从长泾镇到杨梅镇要行驶3小时，大货车从杨梅镇到长泾镇要行驶6小时。
两车分别从长泾镇和杨梅镇同时出发，多久后两车会相遇？2、两列高铁同时从两地相对开出，经过个小时后，两列高铁在途中相遇。
已知甲车每小时行驶240千米，乙车每小时行驶256千米，那么两地原来相距多少千米?3、吴玲和杨嘉两人同时从相距18.6千米的两地骑车相向而行。
吴玲每小时骑行6.4千米，吴玲每小时比杨嘉少骑行2.7千米。
那么，几小时后她们两人在途中能相遇？4、刘磊和武英两人同时步行出发相向而行，经过小时后两人相遇。
已知两地相距3千米的；刘磊每小时走2.5千米，问武英每小时走多少千米?5、两辆小轿车同时从甲、乙两地相向开出，2.4小时后相遇。
已知甲、乙两地相距420千米，且两辆小轿车的速度比是2∶3，求出每辆小轿车的速度?6、有两辆客车同时从客运中心相背而行出发，已知甲客车每小时行驶84千米，乙客车每小时行驶76千米。
行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
行程体系之多次相遇与追及问题知识点总结：1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差例题训练：【例1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？解答：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【例2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．解答：注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完0.5圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+0.5＝1.5圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300=1.5圈，解出此圆形场地的周长为480米．【例3】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?解答：第五次相遇时，共合走5各全程：400×5=2000（米）甲乙的速度和：2000÷8=250（米/分）甲乙的速度差：0.1×60=6（米/分）甲的速度（250+6）÷2=128（米/分）乙的速度：（250-6）÷2=122（米/分）8分钟时甲的路程跑的圈数：128×8÷400=2（周）余224米400-224=176（米）【例4】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？解答：从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300×10=3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3000÷（3.5+4）×3.5=1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300-200=100米才能回到出发点【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？解答：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分）爸爸骑行16千米需要16分钟，8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
行程问题综合 (一)
行程问题综合（1）基本模式（一）相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解图示:关系式：相遇时间=总路程÷速度和总路程=速度和×相遇时间例1：甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？巩固：1、甲乙两车同时从AB两地出发相向而行。
甲车每小时行45千米，两车相遇后乙车再行135千米到A地，甲车再行2小时到B地。
求乙车行全程共用了几小时？2、甲乙两队学生从相隔17km的两地出发，相向而行，一个同学骑自行车以每刻钟3.5km的速度在两队之间往返联络，如果甲队每小时走4.5km，乙队每小时走4km，问：两队相遇时骑自行车的同学一共行了多少千米？<4>某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间，来去是六昼夜，问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到只同一公司的轮船从对面开来。
<5>甲乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲在早上9点到达C地，而乙到达C地时已经是下午5点了，已知甲乙速度比为5:3,则甲乙相遇时间时是几点？（2）相离问题：“两物体（从同一地点）同时出发，相背而行”，注意对“速度和”的理解，注意时间的因素图示：A B关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间例2：甲乙两人上午8时分别从AB两地同时相向出发，到10时两车相距112.5km两车继续行驶到下午1时，两车还是相距112.5千米，求AB两地之间的距离？基本模式（二）追及问题和领先问题（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”图示：基本数量关系式：追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。
行程问题综合复习2
四．多次相遇、追及直线行程：1、异地相向而行，第1次相遇两人合走1个全程，第2次相遇两人一共合走3个全程…第1次追及走得快的比走得慢的多走1个全程，第2次追及走得快的比走得慢的多走3个全程…2、同地同向而行，第1次相遇两人合走2个全程，第2次相遇两人一共合走4个全程…第1次追及走得快的比走得慢的多走2个全程，第2次追及走得快的比走得慢的多走4个全程…环形行程：第1次相遇两人合走1圈，第2次相遇两人一共合走2圈…第1次追及走得快的比走得慢的多走1圈，第2次追及走得快的比走得慢的多走2圈…典型题1：两辆汽车同时从东，西两站同时相对开出，第一次在离东站60千米的地方相遇后，两车继续以原来的速度前进，各车到站后立即返回，又在离西站30千米处相遇，两站相距多少千米？典型题2：两辆汽车同时从东，西两站同时相对开出，第一次在离东站60千米的地方相遇后，两车继续以原来的速度前进，各车到站后立即返回，又在离东站30千米处相遇，两站相距多少千米？典型题3：两辆汽车同时从东，西两站同时相对开出，第一次在离东站60千米的地方相遇后，两车继续以原来的速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点30千米处相遇，两站相距多少千米？典型题4：甲乙两辆汽车同时从东，西两站同时相对开出，往返于两站之间，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。
两车第一次和第二次相遇地点之间的距离是150米，问A、B相距多少米？典型题5：甲、乙两人同时从A，B两地同时相对而行，往返于两地之间，甲每秒行3米，乙每秒行7米。
两人第四次和第五次相遇地点之间的距离是20千米，问两站相距多少千米？典型题6：龟兔在相距1千米的甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的3倍，它们分别同时在甲、乙两地同对起跑，当它们在途中碰到（包括相遇和追上）了12次时，龟跑了多远？典型题7：张林从甲地走向乙地，同时李明骑车从乙地到甲地，一个小时以后两人相遇，李明继续到甲地后，马上返回乙地，在第一次相遇以后40分钟又追上张林。
综合行程问题和多次相遇问题
第3讲行程问题（一）【知识导航】行程问题是各类竞赛与分班测试中必考题目,大家应把这部分知识掌握扎实。
这部分知识在这一期班中我们将分两讲来阐述。
这一讲中，我们先体会一下各种行程问题的一般解决办法。
【例题解析】〖例1〗一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？〖例2〗两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.〖例3〗甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？〖例4〗某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？〖例5〗甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.〖例6〗甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？先画图如下：〖例7〗甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
〖例8〗一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【巩固练习】A组训练1、甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B地到A地需要30分钟.如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行.已知甲车每小时行驶40千米.两车6小时后相遇.相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B地.问：乙车还要多久才能到达A地？3、一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城.当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米.问：公共汽车什么时候到达B城？4、小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，这样就晚到了2小时.请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？5、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发.如果相向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，3小时后甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？B组练习6、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行.已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟.出发3分钟后，甲、乙仍相距450米.问：还要过多少时间分钟，甲、乙两人才能相遇？7、一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米，两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？8、甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？9、有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。
行程问题之相遇问题
一、行程问题之相遇问题相遇路程=速度和×相遇时间相遇时间=相遇路程÷速度和1、一般相遇问题：如果两个物体同时出发，那么相遇路程就是两个物体；如果两个物体不是同时出发，那么他们相遇路程等于两个物体减去。
2、中点相遇问题：相遇路程等于相遇地点与中点距离的倍。
3、往返相遇问题：同时出发，同时停止，则就是相遇时间。
4、环形相遇问题：同时、同地背向出发，相遇路程就是。
环形跑道上同时背向行驶，相遇几次，则相遇路程就是个全程。
题：客车和货车同时从甲、乙两地相对开出。
已知客车每小时行60千米，经过5小时后，客车已驶过中点25千米，这时与货车还相距20千米。
货车每小时行多少千米？甲、乙两地相距多少千米？二、行程问题之追及问题追及路程=追及时间×速度差追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间1、直线追及：如果两人同时同向不同地出发，那么追及路程就是；如果两人同地同向不同时出发，那么追及路程就是。
2、环形追及：如果两人同时、同地、同向出发，那么追及路程就是；如果是不同时或不同向或不同地出发，需要结合具体背景，借助示意图和列表进行分析。
题：甲、乙两人由A到C，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米。
乙比甲先走6分钟，两人同时到达C地。
求A、C两地的距离。
三、行程问题之过桥问题1、过一座桥：火车通过人所走的路程就是；火车通过桥所走的路程等于加上。
2、过两座桥：火车以相同的速度通过两座桥时，通过比较他们的与，可以求出火车行驶的速度。
（火车的速度=路程差÷速度差；火车的长度=×－）。
如果速度不同，先根据速度与时间的关系将速度变成相同。
路程不变时，速度增加一倍，时间减少一倍；速度减少一倍，时间增加一倍。
3、错车与超车：错车的过程就是相遇，从车头相对，到车尾离开，错车路程即相遇路程等于之和。
超车的过程就是追及，若车头对齐，则追及路程就是；若车尾对齐，则追及路程就是。
六年级 行程问题(综合)奥数 答案
正比例和反比例的性质参考答案典题探究一、行程问题考点1）一般行程问题：基本公式：路程=速度×时间高级公式：（务必倒背如流，此两公式太重要了）相遇问题（速度和×相遇时间=路程和），追击问题（速度差×追击时间=路程差）2）流水问题：水速对追击和相遇时间无影响。
原因？四者中只要知2就可求另外2个量。
基本公式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速高级公式：船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷23）非环形跑道多次相遇问题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全程数”的关系。
环形跑道：每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。
所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。
二：行程问题主要方法：（1）列方程求解；（2）画图分析；（3）抓住原因分析求解；（4）比例（常用到设数的方法）例1小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合.问：小明解这道题用了多长时间？分析这道题实际上是一个行程问题.开始时两针成一直线，最后两针第一次重合.因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针.这是一个追及问题，追及时间就是小明的解题时间。
例2甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A 地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。
画图如下：分析结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10（米/分），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
行程问题七大经典问题公式
行程问题公式如下：
1、相遇问题：路程和=速度和×相遇时间。
2、追及问题：路程差=速度差×追及时间。
3、流水行船：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速—水速。
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。
4、多次相遇：线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1。
环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数。
其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数。
5、环形跑道。
6、行程问题：中正反比例关系的应用。
路程一定,速度和时间成反比。
速度一定,路程和时间成正比。
时间一定,路程和速度成正比。
7、列车过桥问题：车长+桥长=速度×时间。
车长甲+车长乙=速度和×相遇时间。
车长甲+车长乙=速度差×追及时间。
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题。
车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间。
小学数学行程问题之多人多次相遇和追及问题含答案
多次相遇和追及问题知识框架一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；=⨯多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】A 、B 两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
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第3讲行程问题（一）
【知识导航】
行程问题是各类竞赛与分班测试中必考题目,大家应把这部分知识掌握扎实。
这部分知识在这一期班中我们将分两讲来阐述。
这一讲中，我们先体会一下各种行程问题的一般解决办法。
【例题解析】
〖例1〗一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
〖例2〗两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.
〖例3〗甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？
〖例4〗某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.
时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？
〖例5〗甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.
〖例6〗甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？
先画图如下：
〖例7〗甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
〖例8〗一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
【巩固练习】
A组训练
1、甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B地到A地需要30分钟.如果两个
人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？
2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行.已知甲车每小时行驶40千米.两车6小时后相遇.相遇后
它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B地.问：乙车还要多久才能到达A地？
3、一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时
75千米的速度也从A城出发到B城.当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米.问：公共汽车什么时候到达B城？
4、小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶
30千米，这样就晚到了2小时.请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？
5、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发.如果相向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，3小时后甲
追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？
B组练习
6、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行.已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟.出发3
分钟后，甲、乙仍相距450米.问：还要过多少时间分钟，甲、乙两人才能相遇？
7、一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米，两车相向而行，它们从车头
相遇到车尾相离要经过多长时间？
8、甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完
全超过甲车需要多长时间？
9、有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。
A、B两地相距2700米。
甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙。
请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？
10、西大街小学组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，
再回到队尾，共用6分钟。
请问：队伍的总长是多少米？
第4讲行程问题（二）
【知识导航】
一、行程问题考点
1）一般行程问题：
基本公式：路程=速度×时间
相遇问题（速度和×相遇时间=路程和），追及问题（速度差×追及时间=路程差）
2）流水问题：水速对追击和相遇时间无影响。
原因？四者中只要知2就可求另外2个量。
基本公式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
高级公式：船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷2
3）非环形跑道多次相遇问题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全程数”的关系。
从两端出发的直线型多次相遇问题同一出发点的直线型多次相遇问题
注：两个人相遇，如果没有特殊强调一般都是指两个人的迎面相遇，而在第一种情况两人从两端出发相向而行，他们总是在奇数个全程上相遇（迎面相遇，不包括追及相遇）。
环形跑道：每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。
所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。
二：行程问题主要方法：
（1）列方程求解；（2）画图分析；（3）抓住原因分析求解；（4）比例
【例题解析】
〖例1〗兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一地点同时背向绕水池而行,兄每秒走1.3米,妹每秒走
1.2米,他们第十次相遇时,妹妹还需走多少米才能回到出发点？
A,两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每〖例2〗B
分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米？
〖例3〗甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。
如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，那么在这段时间共相遇了多少次？
〖例4〗两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游
0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时
间一共相遇了多少次？
我们可以作出如下过程图（如图2）：以时间180秒为横轴，以直路长90米为纵轴，就能把这一段时间（而不仅仅是某一时刻）甲、乙两人的运动情况清楚完整地表现出来。
路程（米）
〖例5〗甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地。
从甲地开出的汽车每小时行30千米，从乙地开出的汽车每小时行40千米。
当从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两辆汽车各行驶了多少千米？
〖例6〗甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发,甲以每秒6.25米,乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步,他们共同跑了8分32秒,在这段时间两人多次相遇(两人同时到达同一地点叫做相遇).他们最后一次相遇的地点离乙的起点有多少米？甲追上乙几次？甲与乙迎面相遇多少次？
【巩固练习】
A组训练
1、甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两
端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间相遇了多少次？
2、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。
从池的一端到另一端甲要3分钟，
乙要3.2分钟。
两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？
3、一个游泳池长90米。
甲乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。
甲每秒游3米，
乙每秒游2米。
二人在出发后的2分钟相遇了几次？
B组训练
4、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。
甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。
如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？。