二次型的标准型
二次型的标准型
§2 标准形一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型2222211nn x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，().000000,,,2121212222211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++n n n nn x x x d d d x x x x d x d x d反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C '成对角矩阵.二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的标准形.例 化二次型32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+=为标准形.二、配方法1.,011≠a 这时的变量替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-.,,222111111n n nj j j y x y x y a a y x 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--10001011111121111n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换11AC C A '→为计算11AC C '，可令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α.于是A 和1C 可写成分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=--111111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样.11111111111111111111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--------αααααααααa A OOa E O a a A O a E Oa A a E a O AC C n n n矩阵αα'--1111a A 是一个)1()1(-⨯-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使D G a A G ='-'-)(1111αα为对角形，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=G O O C 12,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=''-D OO a G O O a A O Oa G O O C AC C C 11111111211211αα, 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是21C C C =.2. 011=a 但只有一个0≠ii a .这时，只要把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取列i i P C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100000010000000001000100000010001000),1(1 i 行显然),1(),1(i P i P ='.矩阵),1(),1(11i AP i P AC C ='就是把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换.因此，11AC C '左上角第一个元素就是ii a ，这样就归结到第一种情形.3. ,,,2,1,0n i a ii ==但有一.1,01≠≠j a j 与上一情形类似，作合同变换),2(),2(j AP j P '可以把j a 1搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000100001100111 C ,于是11AC C '的左上角就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12122002a a , 也就归结到第一种情形.4. .,,2,1,01n j a j ==由对称性，.,,2,1,1n j a j =也全为零.于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10A OO A , 1A 是1-n 级对称矩阵.由归纳法假定，有)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使D G A G ='1成对角形.取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=G O O C 1，AC C '就成对角形.例 化二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=成标准形.。
§6.2 二次型化为标准型的三种方法
定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.
上述定理的证明实绩上给出了一种化二次 型为标准型的方法：配方法.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
2a23x2x3 ... 2a2nx2xn ...... 2an1,n xn1xn
令
x1 y1
x
2 x3
y1 y 2 y3
...
xn y n
它是非退化线性的替换,代入后
f (x1, x2,..., xn ) 2a12y1(y1 y2) 2a13y1y3 ... 2a1ny1yn
1 1 01 0 1
C
C1C2
1
1
0
0
1
2
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
正交变换法
由实对称矩阵的理论，对任意n阶实对称阵
A, 存在正交矩阵Q使得
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2 2, 3
得正交向量组
3
( 3 ( 2
,2 ,2
) )
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
6.2 二次型的标准型
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩， 其中， 的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形 化为标准形 问题二 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 常见的方法 针对二次型 拉格朗日(Lagrange)配方法。 拉格朗日( )配方法。 针对二次型所对应的对称阵 针对二次型所对应的对称阵 二次型所对应的 行列对称初等变换法； 行列对称初等变换法； 正交变换法。 正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3， 即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换 列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
二次型的标准型
二次型的标准型在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。
它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论二次型的标准型，以及如何将一个任意的二次型化为标准型。
首先，让我们回顾一下二次型的定义。
一个关于变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$的二次型可以写成如下形式：$$。
Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j。
$$。
其中$a_{ij}$为常数。
我们可以将二次型用矩阵的形式表示为：$$。
Q(x) = X^TAX。
$$。
其中$X$是一个$n$维列向量，$A$是一个$n \times n$的对称矩阵，其元素为$a_{ij}$。
接下来，我们将介绍如何将一个任意的二次型化为标准型。
首先，我们需要找到一个合适的线性变换，使得二次型的矩阵表示变为对角矩阵。
这个线性变换可以通过矩阵的对角化来实现。
具体来说，我们可以找到一个非奇异矩阵$P$，使得$P^TAP$为对角矩阵。
这样，原来的二次型可以通过变量替换$x=Py$化为标准型：$$。
Q(x) = y^T(P^TAP)y = (Py)^T(A)(Py) = y^T(D)y。
$$。
其中$D$为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
这样，我们就将原来的二次型化为了标准型。
在实际应用中，我们经常会遇到需要将二次型化为标准型的情况。
通过将二次型对应的矩阵对角化，我们可以更好地理解二次型的性质，从而简化计算和分析过程。
此外，标准型也有利于我们对二次型进行分类和比较。
总结一下，二次型的标准型是通过合适的线性变换将二次型化为对角型的形式。
这个过程可以帮助我们更好地理解和分析二次型，简化计算过程，以及进行分类和比较。
在实际应用中，标准型有着重要的意义。
希望本文对二次型的标准型有所帮助，谢谢阅读！。
5.2 二次型的标准形
19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使
二次型正交变换 标准型
二次型正交变换标准型
二次型正交变换是指将二次型经过一个正交变换，使得变换后的二次型达到标准型的变换过程。
标准型是指一个二次型经过正交变换后，其系数只有对角线上有非零元素，而其他位置上的系数均为0的形式。
例如，一个n元二次型经过正交变换后的标准型可以表示为：
Q(x) = λ1x1^2 + λ2x2^2 + ... + λnxn^2
其中，λ1, λ2, ..., λn分别是二次型对应的正交变换后的系数。
二次型正交变换的步骤如下：
1. 求出二次型的矩阵表示。
2. 对矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
3. 将特征向量组成一个正交矩阵P。
4. 对二次型进行变换，得到新的二次型Q(x) = (Px)^T A (Px)，其中P为正交矩阵，x为n元列向量，A为原二次型的系数矩阵。
5. 新的二次型经过正交变换后的系数矩阵即为标准型，即Q(x) = λ1x1^2 + λ2x2^2 + ... + λnxn^2。
通过二次型正交变换，可以将复杂的二次型转化为简单的标准型，从而更好地研究和分析二次型的性质。
二次型标准化
二次型标准化在线性代数中，二次型是一种非常重要的数学概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在处理二次型的问题时，标准化是一个非常重要的步骤，它可以简化问题的求解过程，使得我们能够更加方便地分析和理解二次型的性质。
本文将介绍二次型标准化的相关知识，包括标准型的定义、标准化的方法和应用技巧等内容。
首先，我们来看一下什么是二次型的标准型。
对于一个n元二次型，其标准型是指通过合适的线性变换将其化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵中只有对角线上存在非零元素，而其它位置上均为零。
这种形式的二次型更容易进行分析和求解，因此标准化是非常有必要的。
接下来，我们将介绍二次型标准化的方法。
对于一个n元二次型f(x) = x^TAx，其中A是一个对称矩阵，我们可以通过以下步骤将其标准化。
首先，我们要找到A的n个特征值和对应的特征向量，然后构造正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ，其中Λ的对角线上的元素就是A的特征值。
接着，我们进行线性变换y = Px，将原来的二次型化为g(y) = y^TΛy。
最后，我们再进行一次线性变换z = Cy，其中C是一个非奇异矩阵，将g(y)化为h(z) = z^TDz，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为1或-1。
这样，我们就得到了二次型的标准型。
在实际应用中，二次型标准化有着广泛的应用。
例如在矩阵的对角化问题中，我们可以通过对称矩阵的特征值分解来实现矩阵的对角化，从而简化矩阵的运算。
在最优化问题中，标准化后的二次型可以帮助我们更好地理解问题的性质，从而更加高效地求解最优化的目标函数。
此外，在统计学中，二次型标准化也可以帮助我们进行数据的降维和特征的提取，从而更好地进行数据分析和模式识别。
总之，二次型标准化是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们简化问题、提高求解的效率，并且有着广泛的应用前景。
通过本文的介绍，相信读者对于二次型标准化有了更加深入的理解，希望能够在实际问题中灵活运用这一知识，为自己的研究和工作带来更多的便利和收获。
二次型化标准型
二次型化标准型二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个二次型化为标准型，这样可以方便我们进行进一步的计算和分析。
本文将介绍二次型化标准型的方法和步骤，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量$x_1,x_2,\dots,x_n$，二次型可以表示为：$$。
f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j。
$$。
其中$a_{ij}$为常数，称为二次型的系数。
如果$a_{ij}=a_{ji}$，则称该二次型为对称二次型。
接下来，我们将介绍如何将对称二次型化为标准型。
首先，我们需要将二次型表示为矩阵的形式。
设$\boldsymbol{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$为列向量，$\boldsymbol{A}=(a_{ij})$为对称矩阵，则二次型可以表示为：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{AX}。
$$。
其中$\boldsymbol{X}^T$表示$\boldsymbol{X}$的转置。
接下来，我们需要对矩阵$\boldsymbol{A}$进行对角化，将其化为对角矩阵。
设$\boldsymbol{P}$为可逆矩阵，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，则有：$$。
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DP}。
$$。
将$\boldsymbol{A}$代入二次型中，得到：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DPX} = (\boldsymbol{PX})^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{PX})。
二次型标准型的概念
二次型标准型的概念
二次型是线性代数中的重要概念，它描述的是将一个向量映射到其自身的操作。
二次型可以通过实数乘法和向量加法进行定义，并且可以表示为矩阵的形式。
对于一个给定的二次型，我们可以通过一系列的变换将其化为一种标准形式，这就是二次型的标准型。
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指经过适当的线性变换，一个二次型可以被化简为一个具有形式为f(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annnxnn的二次型。
在这个标准形式中，系数aii称为二次型的特征值，而矩阵A=(aij)称为二次型的矩阵。
二次型的标准型判定
要判断一个二次型是否为标准型，我们需要将其化简为一个矩阵形式，然后检查该矩阵是否是对角矩阵。
如果该矩阵是对角矩阵，则原二次型是标准型；否则，它需要进一步进行变换来达到标准型。
二次型的标准型分类
根据特征值的性质，二次型的标准型可以分为三种类型：正定、负定和不定。
正定是指所有的特征值都是正数；负定是指所有的特征值都是负数；不定是指特征值既包括正数也包括负数。
二次型的标准型应用
二次型的标准型在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，二次型的标准型被用于描述物体的运动规律；在经济学中，二次型的标准型被用于描述收益率的分布情况；在信号处理中，二次型的标准型被用于描述信号的频率特性等。
二次型的标准型
小结
f (x1, x2,, xn ) a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn a22x22 2a2n x2 xn
annxn2
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为对称矩阵
a11 a12 a1n x1
f
x1
,
x2
,,
xn
y2
λn yn
称为标准形式的二次型，简称标准形
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2.求出A的所有特征值1, 2,, n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 , 2 ,, n ;
解令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x3
y3
x1 1 1 0 y1
即 x2 1 1 0 y2
x3 0 0 1 y3
A 3 0 4
0 4 0
A的特征多项式为
() E A 3
3
0 4
0 4
(2 25)
A的特征值为 1 5, 2 5, 3 0
于是二次型的标准形为 5y12 5y22
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
A的对应于特征值
1
(2, 1,
1
1
2)T
的特征向量为
单位化得 A 的对应于特征值 1 1
的单位特征向量为
1
(2 3
,
1 3
,
2 )T 3
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
线性代数二次形及其标准型
f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
二次型的标准型
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次型的表示 • 二次型的变换 • 二次型的标准型 • 结论
01
引言
什么是二次型
二次型定义
二次型是一种由实数变量和二次形式构成 的数学对象，一般形式为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中$x_i$是实 数变量。
VS
二次型的变量
二次型的向量表示
二次型的向量表示法中，向量是单位向量。
二次型的向量表示法可以用来计算向量的长度，以及求解向 量的加法和数量积。
二次型的几何意义
二次型的几何意义可以表示为平面上一个点的轨迹。 二次型的几何意义可以用来求解最短路径问题，以及计算点到直线的距离。
03
二次型的变换
合同变换
1 2
定义
合同变换是在线性代数中，通过非奇异线性变 换将一个二次型化为标准型。
弹性力学
在弹性力学中，物体的应变能密度通常表示为应变向量的二次型。通过将应 变能密度表示为标准型，可以简化弹性力学问题的求解过程，并得到一些有 用的物理性质。
二次型的表示
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵表示法中，矩阵是实对称矩阵 。
二次型的矩阵表示法可以用来求解线性方程 组，以及判断线性变换是否可逆。
二次型标准型的计算和模拟需要大量的计算资源和时间 ，对于大规模高复杂度的系统可能存在计算效率低下的 问题。
THANKS
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应用
相似变换在矩阵的分解和化简、 特征值求解等领域有着广泛的应 用。
位似变换
定义
位似变换是在复数域上的一种线性变换，通过位似变换可以将一个复二次型化为具有相同主轴长度的复二次型。
过程
二次型化为标准型的三种方法
f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
二次型的标准型
对于任何一个二次型，都存在可逆矩阵P，使得P^TAP成为标准型。这个结论是二次型理 论的重要基础。
二次型的标准型的唯一性
如果两个可逆矩阵P和Q都可以将二次型表示为标准型，那么它们一定可以通过相同的对 角矩阵来表示，也就是说，这两个标准型是等价的。
二次型的几何意义拓展
二次型的几何意义
案例二：二次型在力学计算中的应用
总结词
二次型在力学计算中被广泛应用，它可以 帮助我们更好地理解和分析物体的运动和 受力情况。
VS
详细描述
在力学计算中，二次型可以用于表示和度 量物体的质量和能量等物理量。例如，二 次型可以用于计算物体的动能和势能，以 及分析物体的运动轨迹和振动频率。通过 使用二次型，我们可以更好地理解和分析 物体的运动和受力情况，从而更好地预测 和控制物体的行为。
变得简单易解。
02
确定二次型的类型
通过观察标准型，可以确定二次型的类型。例如，对于一个实对称矩
阵来说，它的标准型一定是对角矩阵。
03
唯一性
由于任何二次型都可以化为标准型，并且这种标准型是唯一的，因此
在进行数值计算时，将二次型化为标准型可以避免数值误差的影响。
二次型的几何背景
二次型的几何意义
任何一个二次型都可以看作是向量空间中的一种度量。例如 ，对于一个三维向量空间来说，其上的任何一个二次型都可 以表示为三个向量的内积的组合。
二次型的图形表示
通过图形的方式，可以形象地表示二次型的形状和大小。例 如，对于一个椭圆来说，其上的任何一个点都可以用一个二 次型来表示。
02
二次型的矩阵表示
二次型与矩阵的关系
1
二次型可以被表示为矩阵形式，矩阵中的每个 元素对应于二次型中对应的项。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的重要问题，通常有几种方法可以实现这个目标。
在本文中，我们将探讨这些方法的比较以及一些技巧，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、化二次型为标准型的基本概念和方法在线性代数中，二次型是一个关于变量的二次多项式表达式，通常可以表示为以下形式：Q(x) = x^T A xx 是一个 n 维向量，A 是一个n×n 的对称矩阵。
化二次型为标准形的问题，就是要找到一些变换，将原始的二次型转化为一个更简单的形式，便于进一步的讨论和计算。
常见的标准形有以下几种：1. 标准型一：对角型如果存在一个非奇异矩阵 P，使得 P^TAP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则原始二次型可以化为对角型。
1. 特征值分解法对于对称矩阵 A，我们可以通过特征值分解来化二次型为标准型。
特征值分解的具体步骤如下：Step 1: 求出对称矩阵 A 的特征值和对应的特征向量。
Step 2: 将特征向量构成的矩阵 P 与特征值构成的对角矩阵 D 相乘，即可得到P^TAP = D。
2. 正交相似变换法Step 3: 利用正交矩阵 Q，将原始二次型进行正交相似变换，即可得到 P^TAP = I。
通过正交相似变换，我们可以将二次型化为规范型，即得到规范化的标准形。
3. 秩-零空间法Step 2: 构造一个非奇异矩阵 P，使得 P^TAP = diag{I_r,-I_s,0}。
三、技巧和注意事项1. 特征值分解时，需要注意对称矩阵 A 是否具有 n 个线性无关的特征向量。
如果不是，则需要进行相似变换或者扩展特征向量的方法来满足这一条件。
2. 正交相似变换时，需要注意构造正交矩阵 Q 的方法。
常用的方法包括施密特正交化和 Givens 变换等。
3. 使用秩-零空间法时，需要注意对称矩阵 A 的秩和零空间的维数。
通常情况下，我们可以利用矩阵的秩和零空间的维数的关系来构造非奇异矩阵 P。
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵 , (1)求一可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角矩阵 . (2)求一正交矩阵 Q, 使Q 1 AQ为对角矩阵 . (3)求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . (4)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ为对角矩阵 .
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f ( x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵 . (2)任一方阵均可利用对等 的初等行、列变换化为 对角矩阵. 这里, " 对等" 指的是作一次初等行变 换后, 立即再作一次同种的初 等列变换.
例5 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 .
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 g ( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d p y 2 p d p 1 y p 1 d r y r ,
1 , 2 , , n为A的n个特征值.
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 .
问题 : 设A为实对称矩阵 , 求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . 方法 : (1)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ Q 1 AQ为对角矩阵 . 令P Q即可. (2)求一正交变换 x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为标准形 . 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换 x Py( P为可逆矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
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二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
（7-14
则称A与B合同或A与B是合同矩阵或相合矩阵.
若Q为正交矩阵，则有
Q－1AQ==B
所以对实对称矩阵，若正交矩阵P使得A与B相似，则自
然有A与B合同；又因实对称矩阵A一定能对角化，故必有
A=QΛQ－1
成立.
二次型的标准型
Q-1AQ=Λ 这可改写成
QTAQ=Λ 故可得到化二次型为标准型的现成方法——正交变换 法（这个方法将在第二节中着重介绍）. 需要指出，式（7-13）中的可逆矩阵P不仅一定可以 找到（如可取一正交矩阵），而且满足条件的可逆矩阵P还 不止一个.这样，就导致一个二次型会有不同形式的标准形. 但从式（7-13）可见，标准形的非零系数的个数一定等于 矩阵A的秩R(A).
谢谢聆听
二次型的标准型
【例7-1】
试写出二次型 f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23 的矩阵. 解 因为二次型写成了合并同类项的形式，故其矩阵的对角线元 aii为x2i的系数，而非对角线元，即i≠j时aij=aji是乘积项xixj的系数 的一半，故有
二次型的标准型