二次型的标准型

二次型的标准型
【例7-1】
试写出二次型 f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23 的矩阵. 解 因为二次型写成了合并同类项的形式，故其矩阵的对角线元 aii为x2i的系数，而非对角线元，即i≠j时aij=aji是乘积项xixj的系数 的一半，故有
二次型的标准型
二次型的标准型
Q-1AQ=Λ 这可改写成
QTAQ=Λ 故可得到化二次型为标准型的现成方法——正交变换 法（这个方法将在第二节中着重介绍）. 需要指出，式（7-13）中的可逆矩阵P不仅一定可以 找到（如可取一正交矩阵），而且满足条件的可逆矩阵P还 不止一个.这样，就导致一个二次型会有不同形式的标准形. 但从式（7-13）可见，标准形的非零系数的个数一定等于 矩阵A的秩R(A).
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
（7-14
则称A与B合同或A与B是合同矩阵或相合矩阵.
若Q为正交矩Biblioteka Baidu，则有
Q－1AQ=QcTAQ=B
所以对实对称矩阵，若正交矩阵P使得A与B相似，则自
然有A与B合同；又因实对称矩阵A一定能对角化，故必有
A=QΛQ－1
成立.
二次型的标准型
二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
谢谢聆听
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.