数学建模饮酒驾车问题 论文

江西科技师范大学理工学院

理工学科部2010级数学与应用数学专业数学建模实训论文

论文题目：

饮酒驾车问题

第六实训小组

学生姓名与学号：

李颖娇20108634

蔡小鹏20108628

眭玉兰20108615

朱丽20108601

论文完成时间： 2012年5月 13日

饮酒驾车的数学模型

摘要

本文解决的是一个司机安全驾车与饮酒的问题，目的是通过建立一个数学模型（结合新的国家驾驶员饮酒标准）分析司机如何适量饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。在讨论过程中，我们得到两个结论：在短时间喝酒形式下，达到最大值的时间为 1.23小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒结束时酒精含量最高。最后，我们讨论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如果何适量饮酒的一篇短文。关键词：微分方程、模型、房室系统。

一、问题重述

饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：

1、对大李碰到的情况做出合理解释；

2、在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多长时间内驾车会违反标准，喝酒时间长短不同情况会

怎样？

3、分析当司机喝酒后何时血液中的酒精含量最高；

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。

4、测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。

5、酒精在体液中均匀分布。

三、符号说明

k

:酒精从体外进入胃的速率；

f

(t):酒精从胃转移到体液的速率；

1

f

(t):酒精从体液转移到体外的速率；

2

X(t):胃里的酒精含量； Y(t)：体液中酒精含量； V 0:体液的容积；

K 1:酒精从胃转移到体液的转移速率系数； K 2:酒精从体液转移到体外的转移速率系数； C(t):体液中的酒精浓度。

0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)从体液中排到体外。根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃为吸收室，体液为中心室。

图一

（二）模型建立：

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据酒精从胃进入体液的速度f 1(t)与胃中的酒精量成正比，速率系数为K 1；酒精从血液中排出的速率f 2(t)与血液中的酒精量y(t)成正比，速率系数为K 2，可以建立方程如下：

)()(11t x k t f = （1） )()(22t y k t f = （2）

)()

(10t f k dt

t dx -= （3）

将（1）式代入（3）式可得：

)()

(10t x k k dt

t dx -= （4）

通过移项，上式可以转化为；

01)()

(k t x k dt

t dx =+ （5） 利用一阶线性常微分方程的常数变易法对（5）式求解，可以得到；

⎪⎪⎩⎪

⎪

⎨⎧==+=+=-0

11101

11)0()(1x x A c k k A A e c t x t k （6）

又因为)()(11t x k t f = ，联合（6）式可得：

111111)(A k e c k t f t K +=- （7）

0111k e

c k t

k +=-

00011)(k e k x k t

k +-=-

又对中心室（即体液）可建立方程组如下；

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=0

21)0()()()

(y y t f t f dt

t dy （8） 将（2）式代入（8）式可得；

)()()

(21t y k t f dt

t dy -= 将上式转化为：)()()

(12t f t y k dt

t dy =+

因为000111)()(k e k x k t f t

k +-=-，将其代入上式可得到：

000121)()()

(k e k x k t y k dt

t dy t k +-=+- （9） 求解（11）式可得；

t

k t k t

k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++

= （10）