运筹学-网络流问题(名校讲义)

[例5-14]图5-38所示图G中，已给出现有流（边旁边的前后
两个数字分别表示容量和实际流量），试用标号法求出
最大流。
v1 • 16,15
14,14
3,1
•
x
15,9 v•2
12,10
v•513,12 v6•
6,3 7,5
22,22
9,9
5,5 6,6
•y
[解]
v•3 4,3 v•4
19,10
图 5-38
• 任意边e (S，S)为零边
定理3 设f和K分别是图G的一个流和一个割，且满足等式 V(f) = C(K)。则：f和K必分别是图G的最大流和最小割。
§2 最大流与最小割 （6）
3．增广链及应用定理 ①有关术语和定义
i) 若G中有u到v的有向边(u，v)，则称(u，v)为Q的前向边。
ii)若G中有v到u的有向边(v，u)，则称(v，u)为Q的后向边。
•
v2 13,7
•v5
图 5-35
知l(Q1)=0，因此，Q1为f的饱和链。
§2 最大流与最小割 （8）
2) 取Q2=xv2 v5 v4 v3y，则知： ·前向边为(x，v2)，(v2，v5)和(v3，y)，其l值为l(x，v2)=2，l(v2，
v5)=6，l(v3，y)=6。 ·后向边为(v4，v5)和(v3，v4)，其l值为l(v4，v5)=3，l(v3，v4)=3。
其各边流量值为：
f (e) l(Q)
当 e是Q的正向边
fˆ
(e)


f
( e)

l(Q)
当e是Q的后向边

f
( e)
其它边
此时，新流值V ( fˆ) V ( f ) l(Q)
则称 fˆ 为f基于Q链的修改流，对于 fˆ 而言，Q是 fˆ 的饱和链。
§2 最大流与最小割 （10）
1) 根据图5-38所给出的初始流，为图G所有点标号，标号
过程示于表5-11中。
§3 最大流算法 （3）
表5-11
检查点
x v2 v2
v3
v5
v5
v4
新生点
x v2 v3 v5 v4 v1 v6
y
新生点标号 +∞ +6 －6 +2 +1 +2 +1 +1
v1
从表5-11中得知，Qy=xv2 v3 v4y，14,14
•v5
图 5-36
§3 最大流算法 （1）
1．算法思路 判别图G中当前给定的f是否存在的增流链，若没有，则
该流f即为最大流；否则，求出修改流fˆ，V ( fˆ) V ( f ) l(Q) 然后把 fˆ看成f，再进行判断和计算，直到找到最大流为止。
2．算法步骤（标号算法）
§3 最大流算法 （2）
若f是原图G中一个流，则可定义与此相应的新图G’中一个流f ’：
f (e)
当e E(G)
f
(e)

f
(x)
f
(x)，当x
X且e

( x，x )

f
( y)
f
( y)，当y Y且e

( y，y)
§1 网络流 （6）
可见，f ’便为G’定义一个相应流。反之，若定义G’上一个流f ’， 则f ’落在图G中的部分必是图G上一个相应流。可见，多源多 汇网络与单源单汇网络之间转换完全是等效变换。
问题是：
求出达到最 大运输总量 的最优运输 方案。
(+120) 70v1 •
50 • y1 (-180)
x1 •
70
v2
•
40 150
100
(-200)
• y2
130
(+240)x•2
150
• 120
v3
图 5-31
§1 网络流 （3）
②有关术语
i) 运输网络 给定有向图G＝(V，E)，对每条边都给出相应的非
§1 网络流 （5）
①在原图G中增加两个新的顶点x和y，令为新图G’中之单源和单 汇，则G中所有顶点V成为G’之中间顶点集。
②对x’X，用有向边（x，x’）连接顶点x与x’，边之容量命为+ 或某一具体值（根据实际情况确定）。
③同理，对y’Y，用有向边（y，y’）连接顶点y与y’，边的容量 亦可命为+或某一具体值。
[解] 1) 取S1={x，v1}， 则： K1={(v1，v3)， 15
5
13
•
(v1，v2)，(x，v2)}和C(K1)=10+6+9=25
x 6 v4•
2）取S2={x，v1，v2，v4}，则：K2={(v1，v3)，9 •
6
(v4，v5)，(v2，v5)}和C(K2)=10+6+13=29 3）取S3={x，v1，v2，v4，v5}，则：K3={(v1，
0 f(e) c(e)，eE（约束条件）
§1 网络流 （4）
f+(v) = f－(v)， vI（守恒条件） 则称f为G的一个网络流或流。 f(e)称为f在边e上的流量。任一网络G，至少存在一个流，若每 条边的f(e)=0，则称为零流。 2．单源和单汇运输网络 实际问题往往存在多源多汇网络（例如图5-31便是双源双汇网 络）。为了计算的规格化，可将多源多汇网络G化成单源单汇 网络G’。
负数c(e)，且已取定V的两个非空子集X（发点集）和Y（收点 集），XY=，则称图G=（V，E，C，X，Y）为一个运输网 络。同时，称c(e)为边 e之容量，X中的顶点x为G之源，Y中顶 点y为G之汇。而顶点集合I=V－(XY)称为G之中间顶点。
ii)网络流 设f(e)为一个以E为定义域且取值为非负的函数，又记 f+(v)和f－(v)分别为以v点为始点和以v点为终点的所有有向边的 相应函数值之和，若对网络G中，f(e)满足下述条件：
为起点在S和终点在S 中的全体有向边之集合，即
K u， | u S， S，则称：
①边集合 K (S，S )为网络G的一个割。
② c(e) 为割（集）K的容量，记为C(K)。 eK
§2 最大流与最小割 （2）
[5-12]给定图G为图5-34所示，求与给定的Sj （j=1，2，3）相对应的割集容量C(Kj)。 v1 • 10 • v3
[例5-10]运输公司接受任务，需将产地x1及x2两处所存物资经由v1， v2， v3等三个中转站运往用户y1及y2两处。公司所获利润与运输总 量成正比。已知x1，x2有物资分别为120吨和240吨，y1及y2各需 180吨和200吨，全部交通网络布置及交通干线容量示于图5-31中。
§1 网络流 （2）
则知l(Q2)=20，因此，Q2为f的不饱和链。
从上面分析中看出：若Q为f的饱和链，则链中只少有一条前向 边为f饱和边或至少有一条后向边为f的零边；相反，若Q为f的 不饱和链，则链中不存在饱和前边和零后边。
§2 最大流与最小割 （9）
v) 一条从源x至汇y的不饱和链，称为f的增流链。
vi) 若网络G中存在一条f增流链，则可得到G上的一个新流fˆ ，
§2 最大流与最小割 （4）
有关其它术语：若f为图G上的一个流，对eE，则定义： 若f(e)=c(e)，称边e为f的饱和边； 若f(e)<c(e)，称边e为f的不饱和边； 若f(e)>0，称边e为f的正边； 若f(e)=0，称边e为f的零边。
§2 最大流与最小割 （5）
定理2 设f和K分别为图G中任一流和任一割，则必存在： i) V(f) C(K) ii) V(f) = C(K)的充要条件为： • 任意边e (S，S )为饱和边
f
(x，x1 )

f (x1，1 )
f (x1，2 )
百度文库
70 50
120

f
(
x，x2
)

f (x2，2 )
f (x2，3 ) 100 130 230
f
( y1，y)

f
(1，y1 )
f (3，y1 )
50 100
150
§4 最小费用流 （1）
1．应用背景及有关术语 ①问题的提出（应用背景） 如何求出一个流，既满足运输量又使费用最小？这就是最小 费用流问题。 ②有关术语 具有点集合V、边集合E、边容量C、源点x和汇点y的运输网 络G=(V，E，C，x，y)中，又增一项集合W。
§4 最小费用流 （2）
i)若fA为G的一个流，其流值V(f)=A，则定义W(fA)=为流fA的 费用。它表示在图G中，从x至y沿着流fA运送A个单位所需 总费用。
l(Qy)= l(y)=1，故可得基于Qy的 修改流并示于图5-39中。
•
x
15,10v•2
• 16,15
3,1 12,10
v•513,12 v6•
6,3 7,5
22,22
2)针对图5-39，在顶点继续标 9,9
5,5 6,5
•y
号，结果示于表5-12。（略）
v•3 4,4 v•4
19,11
图 5-39
例如图5-35中，Q=xv2 v5 v4 v3y是一条增
流链，其l(Q)=2，将其修改，使f变为fˆ v1 • 10,10 • v3
后，示于图5-36中。 ②有关定理
15,10 •
x
9,9
5,1
6,0 v4•
13,9
•y
6,1 10,10
定理4 流f为G的最大流的充要条件为G 中不存在f增流链。
•
v2 13,9
f ( y2，y) f (1，y2 ) f (2，y2 ) f (3，y2 ) 20 150 30 200
§1 网络流 （8）
具体结果示如图5-33中（图中，箭头旁边有两个数字，前
面表示该边容量c’(e)，后边表示实际给定流量f ’）。
120,120
70,70
v2 13 图 5-34
•y
10
•v5
v3)，(v5，y)}和C(K3)=10+10=20
§2 最大流与最小割 （3）
2．最大流与最小割的关系定理。
①定义：记f流的流值为V(f)，则定义
i)满足下式的f*称为G的最大流V(f*) = max{ V(f)f为G的流}
ii)满足下式的K*称为G的最小割C(K*) = min{ C(K)K为G的割}
G’中每边容量C’(e)定义为：
C(e) C(e)
C
(
x，x1
)

x1的发量＝120，C ( x，x2
)

x2的发量＝240
C( y1，y) y1的收量＝180，C( y2，y) y2的收量＝200
2) 计算G’与图5-32所示的G中f流的相应流f’，则知：
f (e) f (e)
[例5-11] 将图5-31所 示图变换成单源单汇 网络G’，且将图5-32 所示的图G给定流f转 换成图G’中的相应流 f ’。
70v1 •
50 • y1
x1 •
50
v2
•
20 150
100
• y2
100
x•2
130
• 30
v3
图 5-32
§1 网络流 （7）
[解] 1) 首先给出G’的单源x和单汇y，并按规则构成新图G’，
iii)若f为G上的流，对eE(Q)，则定义：
c(e) f (e)
l
(e)
f
( e)
当e是Q的前向边 当e是Q的后向边
l(Q) min l(e) eQ
iv)当l(Q)=0，称Q为f的饱和链。当l(Q)>0，称Q为f的不饱和链。
§2 最大流与最小割 （7）
[5-13]图5-35给出具有流f的图G，试分
②有关定理
定理1设f和 K (S，S )分别为图G中任一流和任一割，则必存
在：V(f)=f+(s)－f－(s) ， 其中，f (s)
f (e)，f (s) f (e)
e(S，S )
e(S，S )
即图G中任一截面之净流值V(f)，必是任何一个横截面的输出量
减去输入量（亦即代数和）。
第二十八、二十九讲 网络流问题
§1 网络流 §2 最大流与最小割 §3 最大流算法 §4 最小费用流
§1 网络流 （1）
1．网络流的概念 ①问题的提出
简而言之，流就是将目标或对象由一个地点送至另一个地点。
希望在已有的物理网络图中，从一个地点输送至另一个地点的运 输最大，或者要求从一个地点经运输网络系统将一定数量物品送 至另一个地点所花费用达到最小。
析上述有关术语和定义。
[解] 1) 首先取Q1=xv2 v1 v3 v4，则知：
v1 • 10,10
15,10
5,3
• v3
13,7
· 前向边为(x，v2)，(v1，v3)和(v3，v4)，x•
其l值为l(x，v2)=2，l(v1，v3)=0，
9,7
6,0 v4•
6,3
•y
10,10
l(v3，v4)=2。 ·后向边为(v1，v2)，其l(v1，v2)=0。则
x1 •
70,50
v1 • v2
•
50,50 40, 20 150,150
x•
130,100
240,230 x•2
•
150,130 v3
• y1 180,150
100,100 • y • y2 200,200
120,30
图 5-33 以后，一般以分析单源单汇网络为主。
§2 最大流与最小割 （1）
1．割的定义及特点 设S为V的一个子集，且源 x S，S＝V－S，汇y S。令K＝（S，S）