高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的

第六章 微分方程

一、一阶微分方程

1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dx

dy

=+

])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx

x P +⎰⎰

=⎰-通解

2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x

y n

).()(d d 1111x Q y x P x

y n n n

=+⋅---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程

1．)()(x f y n = n 次积分

2．

)',("y x f y = 不显含y

令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。

3．

)',("y y f y = 不显含自变量

令)('y p y =，dy

dp

p dx y d =22，化为一阶方程。 三、线性微分方程

)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ，

0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。

1．二阶线性齐次线性方程

0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）

如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，

则

)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。

如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解,

则

)()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解.

两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为

C x y x y ≡/)

()

(21（常数）

2．二阶线性非齐次线性方程

设

)(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+''

的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程

的通解.

设)(*

1x y 与

)(*2x y 分别是二阶线性非齐次方程

)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''

的两个特解。则+

)(*

1x y )(*

2x y 是

)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''

的特解。（叠加原理）

3.二阶线性常系数齐次方程

0'"=++qy py y

特征方程02

=++q pr r ，特征根

,r r

4．二阶线性常系数非齐次方程

i) 如果

x m e x P x f λ)()(=,

则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。

其中，)(x P m 是

m 次多项式, )(x Q m 也是系数待定的m 次多项式；

2,1,0=k 依照λ为特征根的重数而取值.

i)

如果

[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=,

则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为

[]

x

x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()

2()1(*+=

其中)(),()

2()

1(x R x R m m

是系数待定的m

次多项式,

{}n l m ,m ax =,

1,0=k 依照ωλi +特征根的重数取值.

四、欧拉方程

二阶欧拉方程 )(2x f qy y px y x =+'+''，其中q p ,为常数.

作

变

换

t

e x =，则有

dt

dy x dx dt dt dy dx dy 1=⋅=,

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=dt dy dt

y d x dx y d 222221。 原方程变为二阶线性常系数方程 )()1(2

2t

e f qy dt

dy p dx y d =+-+。 第七章 空间解析几何

一、1、φβαβαsin ||||||

=⨯，其中φ是α

与β

的夹角；

2、向量积满足下列运算律：

1）反交换律

)(αββα

⨯-=⨯； 2）结合律 )()()(βλαβαλβαλ

⨯=⨯=⨯，其中λ是数量 ；

3） 左分配律 βγαγβαγ

⨯+⨯=+⨯)(，

右分配律 γβγαγβα

⨯+⨯=⨯+)(．

3、3

21

3212

12131313232b b b a a a k j i

k b b a a j b b a a i b b a a

=+-=

⨯βα 4、若0

},,{321

≠=a a a α，则α

αα

|

|10

=称为α

单位化向量，并有

0||ααα

=．此时

}cos ,cos ,{cos ,

,

2

322213

23

22

2

1

22

3222110

γβαα=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=a a a a a

a a a a a a a 其中 是α

的方向余弦．

γβαcos ,cos ,cos