小学奥数_几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式 ：

三角形面积二底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 •

如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）;

这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 •但是，当三角形的底和高同时

发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的

3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来

3

的一样•这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积

，而不仅仅取决于高或底的变

化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状

•

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ；

② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如

图 S ：S 2 二a: b

④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）；

⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ；

⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等 ，面积比等于它们的高之比

③夹在一组平行线之间的等积变形

反之，如果 ACD = BCD ,

,如右上图 ACD = S A BCD ； 则

可知直线AB 平行于CD •

【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形

⑶6个面积相等的三角形。

【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考

【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是：三角形ABD的面积=12高＜2-6高

三角形ABC的面积（12 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高“2=2高

所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4倍；

3

三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。

【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_______ 平方厘米。

【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3一：一2=6（平方厘米）。

巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示,平行四边形的面积是

50平方厘米，则阴影部分的面积是

平方厘米。

【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半 等于平

行四边形面积的一半 ，为50 - 2 =25平方厘米。

巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形 ABCD ，

它内部阴影部分的面积是 _________

【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接BH 、CH 。

•/AE =EB ,

…AEH - S ^BEH -

冋理，S ^ BFH -S ^ CFH , S cGH =S_DGH ,

1 1 、

•'•S 阴影 S 长方形ABCD 56 =28（平方厘米）.

2 2

巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点

的面积是 ________

，所以阴影部分的面积也

长方形ABCD 的长是20,宽是12，则

【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半

1

，为—20 12 =120。

2

【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、

AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为

,如果正方形的边长是 12 ,那么阴影部分

B

E

C

【解析】把另外三个三等分点标出之后 ，正方形的

3个边就都被分成了相等的三段 。把H 和这些分点以及正 方形的

顶点相连，把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形 。这9个三角形的底边分别是 在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一

。阴影部分被分割成了 3个三角形，

右边三角形的面积和第 1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角 形的面积和第5个第6个三角形相等。 因此这3个阴影三角形的面积分别是

ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就

等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

【例5】长方形ABCD 的面积为36 cm 2，

积是多少？

这样阴影部分的面积就是 厶DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:

E 、

F 、

G 为各边中点，

H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH HC ，如下图：

可得：S EHB S AHB 、

2 即 S EHB ' S BHF ' S D HG

S FHB S CHB 、

2

丄

(S AHB ' S CHB 2 - -

1

S D

S.D HC ，而 S A BCD =S^HB +S 店HB * SfHD =36 1

■ S CHD ) 36=18 ；

2 所以阴影部分的面积是

C 丄C 1 11 1 1

二 So ■ S EBF ， S EBF BE BF ( AB) ( BC) 36=4.5。

2 2 2 2 8

:S 阴影=18 - s EBF =18-4.5=13.5

解法二：特殊点法。找H 的特殊点，把H 点与D 点重合， 那么图形就可变成右图