矩阵理论
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵理论
由基1， 2， 3， 4到1， 2， 3， 4的过渡矩阵为 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
设 =(x1,x2 ,x3 ,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标为y1,y2 ,y3 ,y4 ,则
x1 y1 x2 y2 , =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 y3 x4 y4
i 1 m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi , 则
i 1
m
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无 限维空间，记dim V= ∞.
k1 +k2 +k3 +k4 =1 k +k -k -k =2 5 1 1 1 1 2 3 4 于是有 解之得k1 = ,k2 = ,k3 =- ,k4 =- . 4 4 4 4 k1 -k2 +k3 -k4 =1 k1 -k2 -k3 +k4 =1
1 2 1 1 1 1 练习 : 在R 中求向量A= 在基 ， 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ， 下的坐标. 0 1 1 1
其中1, 2 ,3 , 4为R 4中的标准基.
x1 2 x2 1 即 =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 0 x4 1
0 -2 1 y1 1 1 3 y2 , 2 1 1 y3 2 2 2 y4
矩阵理论-第二章内积空间
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵理论第五章
记作
lim
k
Ak
A
或者
Ak A (k ) .
不收敛的矩阵序列称为是发散的.
例 3 设有二阶矩阵序列
1 1 2 1
k 1
2
2 , 3
4 , …… , k 1
2k
, ……
1 3 1 4
1 k 1
3 2 9 3
3k k
易知该矩阵序列的极限为 10 01 .
性质 1
若 lim k
设 A1, A2 ,, Ak , 为一个矩阵序列,
其中
Ak
的元素
a (k) ij
为自然数的函数.
定义 2 设有矩阵序列 {Ak } ,其中 Ak (aij(k) ) Rmn ,
如果当 k
时,有
a (k) ij
aij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称{Ak }收敛,并称矩阵 A 为{Ak } 的极限,或者说 {Ak } 收敛于 A,
定理 2 设 A C nn , ( A) 为 A 的谱半径,则对任意
给定的正数 ,总存在矩阵 A 的某种范数 ,使得
A (A) .
定理 3 设有矩阵序列 {Ak } : A, A2 ,, Ak ,
则 lim Ak 0 的充要条件是 k
其中 ( A)为 A 的谱半径.
( A) 1
是 Rn 的向量范数.
证明 (1) 非负性显然. (2) 齐次性
对 k R, x ( x1, x2 ,, xn )T R n ，则
n
k x p
(kx1, kx2 ,, kxn )
p
(
k xi )p 1/ p
i 1
n
k (
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵理论在图像与信号处理中的应用研究
矩阵理论在图像与信号处理中的应用研究矩阵理论作为数学的一个分支，近年来更加深入到各种领域的应用中，其中在图像与信号处理中得到了广泛的应用。
本文将围绕这一主题进行深入的研究和探讨。
首先，我们需要了解矩阵理论的基本概念和原理。
矩阵是由若干个数排列组成的矩形数据表，一般表示为m×n的形式，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的运算包括加、减、乘和求逆等，这些基本运算是矩阵理论在图像与信号处理中得到广泛应用的基础。
在图像处理中，矩阵理论主要应用于图像压缩和图像增强。
在图像压缩中，矩阵理论可以将原始图像转换成矩阵形式，然后通过奇异值分解（SVD）来压缩图像。
SVD 是矩阵分解的一种方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中第一个矩阵包含了左奇异向量，第三个矩阵包含了右奇异向量，而中间的矩阵则包含了奇异值。
通过压缩奇异值，我们可以将图像压缩成更小的尺寸，从而节省存储空间。
在图像增强中，矩阵理论主要应用于图像滤波和去噪。
在图像滤波中，我们可以将滤波算子表示为矩阵形式，然后将其与原始图像矩阵相乘，得到一个新的图像矩阵。
这种方法可以有效地去除图像中的噪声和杂点，并使图像变得更加平滑。
在去噪方面，我们可以使用矩阵平均值滤波和中值滤波等方法，这些方法依靠矩阵的基本运算来实现对图像的去噪处理。
另外，在信号处理中，矩阵理论同样得到了广泛的应用。
在信号处理中，矩阵可以表示为时间序列或频域数据表，可以通过基本的矩阵运算来显示和处理信号。
例如，在数字信号处理中，频域矩阵的奇异值分解和小波变换被广泛地应用于信号滤波、特征提取等方面。
此外，矩阵理论还可以应用于自动化控制系统，用于控制和监测复杂系统的状态和变化，例如天气预测、金融数据分析等等。
总之，矩阵理论是图像与信号处理中不可或缺的基础理论，它为我们处理大量的数据提供了基本思路和方法。
在未来的发展中，矩阵理论将会继续在图像与信号处理领域得到更加广泛的应用，使我们的世界变得更加智能和高效。
矩阵理论-第七讲
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1 0
a12 (− a12 ) + a22 a11 M a12 (− a1n ) + a2 n a11
a1n L (− a12 ) + a2 n a11 O M a1n L (− a1n ) + ann a11
AH Ax = λ x ，且 x ≠ 0 x=0 否则， 否则， AH Ax = λ x = 0
y = Ax ≠ 0
AAH y = AAH Ax = A( AH Ax) = Aλ x = λ y
H H H 的特征值（ 同理可证 AA 的非零特征值也是 A A的特征值（只要设 y = A x ）
3. 由
x H Ax = x H P H Px = ( Px) H ( Px) = Px, Px > 0
兰州大学信息科学与工程学院
λ2 L
矩阵理论第7讲-5
Hermite矩阵的正定性 – 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 正定矩阵的行列式大于零 由 det A = λ1λ2 L λn > 0 易知
a12 L a1n a22 L a2 n M O M a2 n L ann
1 − a12 / a11 L − a1n / a11 1 O 1
矩阵理论第7讲-10
兰州大学信息科学与工程学院
Hermite矩阵的正定性
a11 0 = M 0
• 充分性
对阶数n用数学归纳法证明 用数学归纳法证明A是 设 ∆ k = det Ak > 0 ( k = 1,L , n) ，对阶数 用数学归纳法证明 是 Hermite正定矩阵。 正定矩阵。 正定矩阵 当k = 1时，a11 = det A1 > 0 时
矩阵理论 -Kronecker积
返回
(8) 当m n, p q时，
tr( A B) trA• trB
(9) rank(A B) rankA• rankB
(10) 当m n, p q时，
det( A B) (det A) p g(det B)m
证：
1
A
P 1
2
O
P
P 1J1 P
a22 L LL
am1 am2 L
a1n
a2n L
amn
记A的列为 Ac1, Ac2 ,K , Acn A ( Ac1, Ac2 ,K , Acn )
Ac1
向量化算符:Vec
A
Ac2 M
Acn
返回
性质1： Vec (kA lB) kVec A lVec B
定理5：设 A Cmn , X Cnr , B Crs , 则 Vec ( AXB) (BT A)Vec X
0
m
返回
1
பைடு நூலகம்
B
Q1
0
2
O
Q
Q 1 J 2Q
p
A B (P1J1P) (Q1J2Q) (P Q)1(J1 J2 )(P Q)
det( A B) det(J1 J2 )
p
p
p
m
p
( 1 j )( 2 j )L ( m j ) ( i ) p ( j )m
(2)当U,V均为酉矩阵时,U V也是酉矩阵;
(3) ( AB)[k] A[k]B[k].
返回
例1：以1或-1为元素的m阶矩阵H，如果有 HH T mEm
则称H 为m阶Hadamard矩阵.设Hm , Hn分别为m, n阶Hadamard矩阵,则 Hm Hn为mn阶Hadamard
矩阵理论
矩阵函数
我们知道，在复变函数论中，复变量幂级数：
zm ∑ m =0 m!
∞
R = +∞ = ˆ ez
m =0
∑ (−1) m−1
∞
∞
z 2 m −1 (2m − 1)! z 2m (2m)!
R = +∞ = ˆ sin z
1 + ∑ cos z
都在整个复平面上收敛，因而都有确定的和（如上） 。由上节 Th3.及 推论知 ∀A ∈ C n×n ，则方阵幂级数：
矩阵（矩阵函数） f ( A) ——是本节课所要解决的问题。 Th1.对 ∀Z ∈ C n×n ， 若 ∑ cm Z m 收敛，其和记为 f ( Z ) ， 即： f ( Z ) = ∑ c m Z m
m=0 m =0 ∞ ∞
则当 Z = diag ( Z1 , Z 2 ,", Z t ) 时，有 f ( Z ) = diag ( f ( Z 1 ), f ( Z 2 )," , f ( Z t )) Proof: f ( Z ) = f (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) = lim ∑ c m (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) m N →∞
1 ⎞ ⎛ ⎜1 ⎟ − 2 − 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ 1⎛ 2 −1 ⎟ 令P =⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟=⎜ ⎜ 0 − 2⎟ ⎟ ，则 P 可逆，且 P = − 2 ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜0 − ⎟ 2⎠ ⎝
则 A = P⎜ ⎜
⎛ 0 0 ⎞ −1 ⎟ ⎟P ⎝ 0 − 2⎠
即 PAP −1 = ⎜ ⎜
m =0 ∞
∞
( z < R)
矩阵理论
个列向量线性无关，对任意 x ( x1 , x2 , xn )T C n , 规定：
x
Ax
n 则 x 是 C 中的向量范数。
x1 x2 证 （1） Ax ( A1 , A2 ,, An ) x1 A1 x2 A2 xn An 0 x n
kx
E
(kx )e
i 1 i
n
i E
( kxi ) k ( xi ) k x
2 2 i 1 i 1
n
1 2
n
1 2
E
（3）对 x xi ei , y yi ei V , 有
i 1 i 1
n
n
x y
E
( xi yi )ei
则
x y
p
( xi yi ) .
p i 1
n
1 p
由于
( xi yi ) . ( xi ) ( yi )
i 1 i 1 i 1
n
1 p p
n
1 p p
n
1 p p
（闵可夫斯基不等式 Minkowski） 其中 1 p ，从而得到： x y 故 x
x y
A( x y) Ax Ay Ax Ay x y ,
n 故 x 是 C 中的向量范数。
此例说明 C 中可以定义无穷多种向量范数。
n
e1, e2 ,, en 是 V 的一组基，则对 例5 设 V 是 n 维线性空间，
x V , x 有唯一表示式： x x1e1 x2e2 xnen
§3.2 函数矩阵的微分和积分
矩阵理论在量子力学中的应用
矩阵理论在量子力学中的应用量子力学作为一门研究微观世界的科学，涉及到许多复杂的数学工具和理论。
其中，矩阵理论是量子力学中的重要组成部分之一，它为我们理解和描述微观粒子的行为提供了有力的数学工具。
本文将探讨矩阵理论在量子力学中的应用，并分析其对我们理解量子世界的重要性。
首先，我们来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由一组数按照一定的规则排列而成的矩形阵列。
在量子力学中，我们常常用矩阵来表示物理量的测量结果。
例如，对于一个粒子的自旋，我们可以用一个二维矩阵来表示其可能的自旋状态，其中每个元素代表了不同自旋状态的概率。
矩阵理论在量子力学中的应用可以追溯到早期的量子力学发展历程中。
在20世纪初，量子力学的创始人之一狄拉克（Paul Dirac）提出了著名的狄拉克符号，即用矢量（ket）和对偶矢量（bra）来表示量子态和算符。
这种符号表示法中的算符可以用矩阵来表示，从而方便了对量子态的描述和计算。
矩阵理论在量子力学中的应用不仅限于量子态的描述，还包括了量子力学中的一些基本运算。
例如，矩阵的乘法可以用来描述量子态的演化过程。
在量子力学中，我们通常用一个单位矩阵和一组厄米矩阵来表示系统的哈密顿量，从而描述系统的演化。
通过对这些矩阵进行乘法运算，我们可以得到系统在不同时间的量子态。
此外，矩阵的本征值和本征向量也在量子力学中发挥着重要的作用。
在量子力学中，物理量的测量结果往往是一个本征值，而对应的本征向量则代表了测量结果所对应的量子态。
通过矩阵的本征值和本征向量，我们可以计算出物理量的平均值和概率分布，从而对量子系统的性质进行研究。
除了上述基本的应用，矩阵理论还在量子力学中的一些高级问题中发挥着重要的作用。
例如，矩阵的对角化可以帮助我们求解含时薛定谔方程，从而得到系统的时间演化。
矩阵的对角化是一个复杂的数学问题，但通过矩阵理论的方法，我们可以将其转化为一个相对简单的求解本征值和本征向量的问题。
总之，矩阵理论在量子力学中具有广泛的应用。
《矩阵理论》课程教学大纲【精品资料】
《矩阵理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Matrix Theory2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《线性代数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：适用于理、工等专业9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院教授委员会11、制定(修订)时间：2015年6月二、课程的目的与任务《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。
三、课程的基本要求本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。
线性代数的矩阵理论
线性代数的矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，涉及向量空间以及在这些空间中的线性变换。
矩阵是线性代数核心的工具之一，其不仅在理论上具有深远的意义，还在计算和应用中起着不可或缺的作用。
本文将探讨矩阵的基本概念、性质、运算以及在实际中的应用。
一、矩阵的基本概念定义矩阵是按照矩形排列的复数或实数集合，用方括号或圆括号表示。
一个 m 行 n 列的矩阵称为 m x n 矩阵。
矩阵元素通常用 a_ij 表示，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。
特例矩阵零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作 O。
单位矩阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵称为单位矩阵，记作 I。
对称矩阵：若 A = A^T（A 的转置），则称 A 为对称矩阵。
逆矩阵：若存在一个 B 使得 AB = I，则 B 称为 A 的逆矩阵，记作 A^(-1)。
二、矩阵的性质加法性质两个同型矩阵相加结果也是同型矩阵，即对于任意的 m x n 矩阵 A 和 B，有 C = A + B 也是 m x n 矩阵。
乘法性质矩阵乘法并不满足交换律，但满足结合律和分配律。
在计算时，如果 A 是 m x n 矩阵，B 是 n x p 矩阵，则 C = AB 是 m x p 矩阵。
转置性质矩阵的转置乘积法则为 (AB)^T = B^T A^T，可以利用这个性质简化计算。
行列式与迹方阵的行列式是标量，拥有判别矩阵可逆性的意义。
迹是方阵对角线元素之和，在多种计算中具有重要作用。
三、矩阵运算加法与减法对于同型矩阵，可以逐元素进行加法或减法。
例如：数乘对任意实数或复数 k，与矩阵 A 的乘积 kA 是新的一组修改后的元素，该运算对每个元素进行扩展。
乘法假设 A 为 m x n 矩阵，B 为 n x p 矩阵，对应元素乘积规则如下：转置与逆转置是一种符号操作，将行列互换。
逆是求解 Ax = b 的重要方法，只有当行列式不为零时才存在。
四、特征值与特征向量定义及求解给定一个方阵 A，若存在标量λ 和非零向量 v，使得 Av = λv，则称λ 为 A 的特征值，而 v 为对应的特征向量。
矩阵理论知识点整理
欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。
引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。
行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。
矩阵理论第2章
1 1 及反厄米特矩阵均为正规矩阵；但 A= 也为正规矩阵。 1 1 a b H H 例3 设 A= 为正规矩阵，则 b 0 ， B B BB 。 0 B
a b a b a b a b 证明由 A A AA 可得， ，从而 0 B 0 B 0 B 0 B
k E B2
故 0 的代数重数至少为 k ，故 m k 。 注： A 的特征子空间为线性子空间，所有几何重数之和不超过 n ，所有代数 重数之和为 n 。
1 1 0 例1设线性变换 T 在基 e1 , e2 , e3 之下的矩阵为 A 4 3 0 ，求 T 的特征值 1 0 2
H AH x 证明 设 Ax x, x 0 ， 则 xH
x H Ax x H x x H x 。 。 由 AH A 可得，
由 x 0 可知， ，即特征值 为实数。 推论2 厄米特阵不同特征值对应的特征向量正交。
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证明设 Ax x, Ay y, x 0, y 0 ，则 x H AH x H 。由 AH A 和 可 得， x H y x H Ay x H y ，从而 x H y 0 ，即 x 与 y 正交。 例4 设 A, B 为厄米特阵，证明 AB 为厄米特阵的充要条件是 AB BA 。 证明 由 AB B H AH BA ，又 AB AB ，故 AB BA 。
第 2 页 共 23 页
础解系为 0, 0,1
T
。由此可得，T 对应于 2 的特征向量为 ce ，其中 c 为非零
矩阵论定义
矩阵论定义矩阵论是一种主要研究矩阵结构及其相关性质的数学研究领域。
矩阵理论的发展起源于19世纪50年代，当时名为“行列式”的矩阵数学研究已经出现。
阵论的内容涉及非常广泛，涵盖线性代数、概率论、几何、数值分析、控制论、信号处理等数学学科，以及它们之间的联系和应用。
矩阵论的基本概念是矩阵（Matrix）。
矩阵是指二元数组，一般用粗体字母来表示，它表示一组数字，可用二维形式来表示。
一张矩阵可以通过网格表示出来，每个格子都有一个数字，这些数字的总和就是矩阵的大小。
矩阵论的基本定义是：矩阵（Matrix）是一种多元有序数组，其元素以行和列进行组织，称为行向量和列向量。
矩阵是一个容器，可以容纳多个元素，这些元素可以是数值类型，也可以是文本类型。
矩阵中的每一行和列都是独立的，它们之间都有一定的联系。
矩阵论也涉及矩阵的运算，例如加法、乘法、转置等。
矩阵的加法表达式为A+B=C，其中A和B是两个矩阵，C是他们的和，它的大小和行列数和A和B一样。
矩阵的乘法表达式为A×B=C，其中A和B 都是矩阵，C是他们的乘积，它的大小和行列数和A和B不一样。
矩阵也可以进行转置，即A-1=C，其中A是一个矩阵，C是它的转置，它的大小和A相同，但行列相反。
矩阵运算不仅可以用于理论研究，还可以应用于工程和科学研究中，如线性系统分析、图论、网络分析等。
矩阵论从定义到实际应用，这些矩阵的应用极其广泛，表明它的重要性。
综上所述，矩阵论是一门融合数学、工程和科学等多个学科的学科，主要研究矩阵结构及其相关性质，其基本定义是矩阵是一种多元有序数组，由行和列构建，它的主要运算有加法、乘法、转置等，并可以在理论研究和实践应用中都有所体现。
因此，矩阵论的发展具有重要的现实意义，仍然具有广阔的发展前景。
第一章矩阵理论(管理数学基础)课件
其中凡是幂次kij
0的一次因式幂（
-
）kij
j
均称为A的初等因子
（i=1, ,n;j=1, ,s; kij n）
ij
28
计算方法
法一:求的不变因子dk ()，再分解为( i )ki ,见14页1.12及1.13
Tn a1n1 amnm，
即：
a11
[T
1
T
n
]
[1
m
]
am1
a1n ，
amn
a11
a1n
记
A
，
am1
amn
则上式简记为T A，
称A为线性变换T 关于基、的一个矩阵表示（简称矩阵）。
10
思考：若映射为T : X X，X的维数为n， [1n ]
是X中的一组基，则T的矩阵表示应为：
（1）
16
在上式两边同乘以s得
k1s x1 kss xs 0，
（2）
因为Axi i xi (i 1，，s)，用A左乘(1)式得
k11x1 k x s1 s1 s1 kss xs 0， （3）
将(3)、(2)二式两边分别相减得
k1(1 s )x1 ks1(s1 s )xs1 0 由于x1，，xS1线性无关，且i s
变换（算子）：非空集合X 到Y的映射，记T：X Y
（若T：X X，则称T为X 上的变换。）
线性变换：满足线性性的变换：T ( x y) Tx Ty
（注：这里X 与Y为线性空间）
例3：考虑变换T：R2 R2，对任x R2，x (x1 x2 )T ，
Tx (x1，0)T ，则有：
T
(
(i 1，s 1)，故必有k1 ks1 0， 从而ks 0。即x1，
矩阵理论课件-第一章 线性代数引论
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
矩阵理论（PDF）
§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。
因而可以逐项求导。
t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。
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矩阵理论通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。
一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。
本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。
一 线性方程组对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。
由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。
对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。
所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。
判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。
但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。
对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：23(1)(log )()(log )()()(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。
LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。
这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。
但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。
但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。
如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。
在计算机处理数据的过程中，由于其精度的问题，可能会出现大数吃掉小数的情况，这就是小主元带来的误差危害，因此在消去的过程中，可以通过选主元技术，以避免方大数据误差。
二 线性空间与线性变换向量空间是本科的线性代数曾经学习过的，而现在学的矩阵理论这门课程，引入了新的概念——线性空间。
如果把向量空间比作“原始人”，那么线性空间就是“现代人”。
什么是向量空间呢？如果n 维向量的非空集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间。
一个很容易犯的错就是集合1212{[,,1],,}T V x x x x x x R ==∈不是一个向量空间。
因为加法不封闭。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。
它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。
线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。
尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。
从向量空间到线性空间，依然要满足一下8条运算律：交换律：αββα+=+加法结合律：()()αβγαβγ++=++具有加法单位元（零向量）2R θ∈，使得αθα+= 具有加法逆元（负向量）2R α-∈，使得()ααθ+-= 数乘的结合律：()()k l kl αα=数乘的单位元：1αα⋅=分配律1：()k k k αβαβ+=+分配律2：()k l k l ααα+=+这八个运算律是线性空间的本质特性，因此，可以这样定义线性空间：如果非空集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足上面8条运算律，那么就称集合V 为数域F 上的线性空间。
当然，这里的线性不再只是我们以前简单认为的线性，而是可以自己定义运算规律的。
线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。
借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。
常见的变换有旋转变换（Givens 变换）、反射变换（Householder 变换）、伸缩变换、投影变换。
同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的。
相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。
矩阵的Jordan 标准型相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值、行列式、迹及秩等，这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。
“代表矩阵”当然越简单越好。
对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。
但是一般矩阵未必与对角矩阵相似，因此找一个与对角阵接近的矩阵，这就是研究约旦标准型的目的。
三 内积空间现实世界是3维空间，也就是欧几里得空间，将它推广到维空间，也就是定义了内积的线性空间就是欧氏空间，内积公式为1122(,)n n x y x y x y x y ≡+++ ，其中，有一个重要的不等式——柯西--施瓦茨不等式：2(,)(,)(,)x y x x y y ≤，还有一个平行四边形公式（可以通过内积公式来证明），即平行四边形的对角线长度的平方和等于四边的边长的平方和：222222x y x y x y ++-=+。
通过内积运算，可以在n 维空间得到标准正交基。
QR 分解在矩阵计算中占据相当重要的地位。
利用QR 分解，可以解决各种应用中出现的最小二乘问题、特征值问题等矩阵计算中的核心问题。
QR 分解也是基于内积以及标准正交化运算而得出的，把一个矩阵分解成QR 形式，对于计算机运行来说大大的降低了复杂度。
当线性空间中向量的坐标分量的取值由实数域推广为复数域时，欧氏空间中关于向量的内积、标准正交基、向量元素之间的正交变换等概念和结论都可以“平滑地”推广到所谓酉空间。
四 特殊变换及其矩阵特殊变换及其矩阵关心永恒的主题----“对角化”的问题，对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正交对角化。
方阵A 是正规的，当且仅当A 与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。
方阵A 是正规的，当且仅当A 有n 个两两正交的单位特征向量,即对应于不同特征值的特征子空间相互正交（完备正交系）。
Hermite 矩阵可对角化，同样，实数空间中的正交空间也也可对角化，因此，可以将两者联系起来。
实对称矩阵A 满足关系式T A A =，推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足关系式H A A =. 奇异值分解也是一个重要的概念，大大降低了计算机的处理难度，已经成为矩阵计算中最有用和最有效的工具之一，并在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域被广泛使用。
对任意矩阵m n A C ⨯∈，都存在一个完全奇异值分解*A U V =∑，并且奇异值{}j σ是唯一确定的，也就是任意矩阵酉等价于对角阵。
那么奇异值和特征值有什么区别呢？在本科的时候，我以为特征值就是奇异值呢，自从学了矩阵理论后，我才明白，他们是不同的：（1）基的数目不同（2）基的性质不同（3）适用矩阵不同（4）应用不同。
特征值一般处理矩阵及其逆的问题；特征值一般处理矩阵迭代问题。
五 范数及其应用对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。
如果V 是数域F 上的线性空间，对V 中的任意向量x V ∈，都有一个非负实数x 与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：（1）正定性：0;0x x x θ≥=⇔= （2）正齐性：;()x x F λλλ=∀∈（3）三角不等式：,,x y x y x y V +≤+∈ 则称x 是向量x 的向量范数，称定义了范数的线性空间V 为赋范线性空间。
向量是特殊的矩阵，*m n 矩阵可以看成一个mn 维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。
因为是向量的推广，所以矩阵范数也要满足上面的三个性质。
矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。
实际中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。
从几何上看，矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例 的上界。
定义范数这个概念，有什么用途呢？当然有，定义一个概念就是为了应用它。
长度和距离在实分析和复分析中的应用，我们已经有充分认识，而范数是长度和距离的推广，因此范数作为一种推广的度量，由于其抽象性和概括性，其应用范围自然也随之扩展。
至少在矩阵分析和数值线性代数领域，范数有着深刻的应用。
从几何上看，用12,σσ为长、短轴作成的椭圆是所有椭圆中离矩阵A 对应的超椭圆“距离”最近的；如果使用123,,σσσ为轴作成椭球体，则得到所有椭球体中离矩阵A 对应的超椭圆“距离”最近的椭球体。
按这种方式，r 步之后，就得到了A 的全部信息。
但即使到了第r 步，我们也只利用了(21)r nr nr n r ++=+个数据，即矩阵的奇异值和对应的左右奇异向量。
六 矩阵分析及其应用微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究，自然就在情理之中。
微积分的基础是数列极限的收敛理论及其衍生出来的级数理论。
矩阵可看成一个“超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵级数，只要找到度量两个“超数”距离的适当工具。
在矩阵里，这就是范数。
矩阵也可以考虑他的收敛性，是这样定义的：矩阵数列中，每一个矩阵对应的位置上的元素均一致收敛于对应的值，那么就称这个矩阵具有收敛性。
就相当于有一堆收敛的数列，而他们组合成一个矩阵后，这个矩阵就是收敛的。
当然，矩阵这样定义了，就自然而然有了下面类似于实数数列的性质：*m n F 中的矩阵序列{},{}k k A B 分别收敛于,m n A B F ´Î，则(1)()lim k k k A B A B→∞±=± k k (2)(λA )=λA lim Fλ→∞∀∈ 矩阵函数在力学、控制理论及信号处理等学科中具有重要应用。
类比普通函数，矩阵函数的特殊之处在于其自变量与因变量都是方阵。
矩阵函数与函数矩阵的微分、积分常常同时出现。
研究矩阵函数和函数矩阵的微分、积分，这对研究微分方程组以及优化问题等都非常重要。
矩阵函数在控制领域的应用非常多，利用分析学的理论，可以将非线性问题近似成线性问题。
事实上，用“线性化”处理非线性问题是一种重要的思维方式，其中最典型的就是线性微分方程组在线性系统中的应用。