2018年全国初中数学竞赛试题及解答
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
最新2018全国初中数学竞赛试题及答案
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得 ≤ ≤ .
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题及答案
2018年全国初中数学竞赛（初一组）初赛试题参考答案和评分标准一、1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D10. 221二、7. -1 9 × 11 = 2 8. 30° ⎭ 9. 3 或-15三、11. （） 1 1 ⎛ 1 1 ⎫； 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖 分 （） n 1 n ) ；1 ⎛ 1 1 ⎫；2 ( )( 2 2n - 1 ⎭2 - 1 2 + 1 10 ………………………………………………………………………………………………………… 分（3）a 1 + a 2 + a 3 + … + a 100 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎛ 1 1= 1 × ⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫ ⎫ + ⎫ ⎫2 ⎝1 -3 ⎭ + 2 × ⎝ 3 - 5 ⎭ + 2 × ⎝ 5 - 7 ⎭ 2 × ⎝ 7 - 9 ⎭ + ⋯ + 2 × ⎝ 199 - 201 ⎭ 153 + ⎭1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫ …………………………………………… 分= 1 × ⎛ 1 ⎫2 ⎝1 - 201 ⎭= 1 × 200 2 201= 100201. 20 分 四、12. （1）130? . 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖? 5 分（2）∠APC = ∠? + ∠β. 10理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E . 厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖? 分因为 AB ∥CD ，所以 AB ∥PE ∥CD .所以∠?=∠APE，∠?=∠CPE.15所以∠APC=∠APE+∠CPE=∠?+∠?.…………………………………………………………分（3）当点P在BD延长线上时，∠APC=∠?-∠?；厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖20分当点P在DB延长线上时，∠APC=∠?-∠?.厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖25分⎛120⎫五、13.（）根据题意，得t⎝120 -50× 5⎭120( )=50 + 5× 2 +150≈ 6.3 h .答：三人都到达B地所需时间约为6.3h.……………………………………………………………… 5 分（2）有，设甲从A地出发将乙载到点D行驶x千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A地出发步行至点E，继续前行后与甲在点F处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.10…………………………………………………………………………………………………………分2∙x+50=5.1550 + 5根据题意，得x -50∙5120 - x120 - x…………………………………………………………20分解得x≈ 101.5.厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖厖分则所用总时间为t=101.5120 - 101.5≈ 5.7( ) 50+5h .答：有，方案如下:甲从A地出发载乙，同时丙步行前往B地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7 h.………………………………………………………………………25分第1页（共1页）。
2018年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2018年初中数学联赛试题（北京）2018年初中数学联赛试题及答案详解说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角形时，其边长为()A ．．D ．【答】C.由题设知2(,)2a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则12||BC x x =-=又AD =，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）所以△ABC 的边长BC ==. 2.如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=︒，，则BE =()A ．C 1D 1 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45︒，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30︒.设BE =x ，则HF =HE =2x，BH因为BF=BH+HF ,所以12x=，解得1BE x ==. 3.设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.若实数a ，b 满足2a b -=，()()22114a b ba-+-=，则55a b -=()A ．46B ．64C ．82D ．128【答】C.由条件()()22114a b ba-+-=得22332240a b a b ab a b ----+-=，即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，由对称性，同样可得()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，所以，由已知可得0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185336120183333M M <⨯⇒>= 又111111()()201820192030203120322050M =+++++++11134513202030205083230>⨯+⨯=所以18323011856113451345M <=，故的整数部分为61.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=︒，则B ∠=． 【答】84°.设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.所以∠B =∠FGC =180248=84-⋅8.若实数x y ，满足()3311542x y x y+++=，则x y +的最大值为．【答】3.由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115()()42x y x xy y +-++= 令x y k +=，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=> 又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以3115423k k xy k+==于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k+=-+=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k+=∆=--⋅≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤⇒<≤ 故x + y 的最大值为3.思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876⨯⨯⨯⨯=18816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876⨯⨯⨯=2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++=．答案：52由已知条件可得222233311[()()],322ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++3()abc abc ab bc ca =+++.所以55552a b c abc ++=第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.满足()2211x x x ++-=的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=() A ．5B ．6C ．7D ．8解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故222112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t a n ABF ∠=() A ．12B ．35C ．D解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ∆≅∆，所以4BH BA ==由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++四边形得2111144(4)43412222x x =⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅，解得85x =所以1245AF x =-=，3tan 5AF ABF AB ∠==.4.方程()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令y 0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由已知得， 201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，， 由120()()170a b c --=，可得1,2017a b or c ==（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或20182017a =- （2）当 abc =≠时，解得12017a b ==，120182017c =- （3）当a b ≠时，12017c =，此时有：12017a =，120182017b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,c )共有5个. 6.已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()A ．2B ．3C ．4D ．5【答】A.有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，，两式相加得33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=因为2222()()()()[13111121(1)(1)4(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>所以20a b +-=，因此2a b +=.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-==++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以32k < 而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等.当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故 2q =.于是2221qr qr q r =++-故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即 3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()110(101)m n --= 又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以()21,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()21,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .9.已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=ABD ∠，则DE =．【答】4.1//2CD F DF DC DE AF DE AF ==延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是 10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥，90.FAB FDB ∠=∠=︒故6AB AF =又，故，所以14.2DE AF ==已知二次函数()()222221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n)的个数为． 解析：16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以222[()](22)144500m n m n ∆=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122)11m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(122.)15m n <++ 又12m +≥，所以25212n +<，故5n ≤. 当n=1时，1m +253≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；当n=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n=3时，1m +257≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=4时，1m +259≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=5时，1m +2511≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有8421116＋＋＋＋＝个第二试(A)一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.因为a 是方程210110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①类似可得211011100.c c a ac -+-=②①－②得)((1210)a c a c -+-=因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=︒=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以(111101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=⨯+≤⨯=⋅⋅=当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.683612=105EF OE OF ⋅=-=-此时，212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结 因为1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以12DE EG =故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥C ,E ,G 三点共线时等号成立2CE DE +故的最小值为.三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数．解：记()33222m n m n S m n +-=+，则()2222332222()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-⎛⎫===+-- ⎪+++⎝⎭+,,(,?,,1).mnm n p q p q p q m n==+因为为正整数，故可令为正整数，且 于是222233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①所以2n mn n m n m n=-++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②3223222³(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以³m n m n =由对称性，同理可得，故34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()11195555a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求()111a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则()111111555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪+-+-+----⎝⎭⎝⎭22323[312()36()](936)6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得272xy z = 所以()111272xy a b c a b c z ⎛⎫++++==⎪⎝⎭.二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE．145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=︒==解（）由题意知，所以,AC DCDCA ECB BC EC∠=∠=，所以ADC BEC ∆∆∽，故45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥（2）设AE x =，因为30ACE ∠=，可得,2,AC CE x DE DC === 因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ∆∆∽，故可得12APE DPC S S ∆∆=又22,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S S S S x ∆∆∆∆∆∆+==+=，于是可得2(2DPC S x ∆=，21)EPC S x ∆=所以DPC EPC S DP PE S ∆∆==三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ．( ,.) 2x abcd m n m n =解设，由题设知与的最大公约数为大于的素数 91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能88999799.x =于是可得或。
2018年全国初中数学联赛决赛试卷(含答案)
2018年全国初中数学联赛决赛试卷(含答案)2018年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：（每题7分，共42分）1、化简：$\frac{1}{4}+\frac{59+30}{2}+\frac{1}{3}-\frac{66+402}{3}$的结果是(。
)A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为(。
)A、78.5B、97.5C、90D、1023、设$r\geq4$，$a=-\frac{1}{r^{2}+r+1}$，$b=\frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$，$c=\frac{r}{r+1}$，则下列各式一定成立的是(。
)A、$a>b>c$B、$b>c>a$C、$c>a>b$D、$c>b>a$4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是(。
)A、$\frac{5}{\sqrt{2}}$B、$6$C、$\frac{1}{25-\pi^{2}}$ D、$\frac{1}{16-\pi^{2}}$5、已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示，记$p=|a-b+c|+|2a+b|$，$q=|a+b+c|+|2a-b|$，则(。
)。
A、$p>q$B、$p=q$C、$p<q$D、$p$、$q$大小关系不能确定6、若$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，$x_{5}$为互不相等的正奇数，满足$(2005-x_{1})(2005-x_{2})(2005-x_{3})(2005-x_{4})(2005-x_{5})=24$，则$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}$的个位数字是(。
)A、1B、3C、5D、7二、填空题:(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为___________。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）12+2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92 <D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若y a ，最为b ，则22a b +的值为 .小值10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.<第12题）13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o ，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC内，且52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由于1a =-，1a +=， 262a a =-， 所以 2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，<第13题）<第14题）所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，由于()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即2<，164m ∆=-≥0，所以2<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 由于点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又由于2BD AC =，于是 所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（）， 即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又由于[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 由于AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. 又由于点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由得 2203x kx t --=， 于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又由于P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 由于∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD，所以 AC2-，AD=2.由于PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是可求得2a b ==将b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k = 所以直线PQ的函数解读式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解读式为13y x =-+，或13y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.所以，直线PQ的函数解读式为1y =+，或1y +. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是224AQ AP BQ CP ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+ .故 21sin 602ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年全国初中七年级数学联合竞赛答案
2018年全国初中数学联合竞赛（初一年级）参考答案与评分标准一、选择题（1）B ；（2）C；（3）A；（4）C ；（5）A ；（6）B ；（7）B；（8）D．二、填空题（9）3-；（10）3；（11）d b a c >>>；（12）36．（13）14-；（14）9．第二试一、（本题满分15分）解：设A B 、两地间的距离为x km，根据题意得4224x -+=⨯解得=10x …………………………………………………………………12分答：A B 、两地间的距离为10km.………………………………………………………15分二、（本题满分15分）解：30(1)410(2)a b c a b c =⎧⎨=-⎩K K +2-2+-6由（2）×2—（1）得=24a c -（3）…………………………………………………3分把（3）代入（2）得=62b c -…………………………………………………6分因为a b c 、、均为非负数，所以240200a c b c c =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪≥⎩6，23c ≤≤.……………………10分336S a b c c ==--+-7………………………………………………………………12分max 12S =-，min 15S =-，xy =180…………………………………………………15分三、（本题满分20分）解：设每船可装a 升汽油，则每升油可行驶300a 海里，设两船用了x 升汽油返回，根据题意得22a x a x a x a -+-+-=…………………………………………………………12分解得25a x =.……………………………………………………………………………14分12300()21025a a a⨯+⨯=………………………………………………………………19分答：第3艘船最远可巡逻至210海里处.………………………………………………20分四、（本题满分20分）解：不妨设a b c >>，则111a b c<<，因为6665ab bc ca abc ++=，所以11156a b c ++=，………………………………………………………………………5分所以11113c a b c c<++<，……………………………………………………………………8分所以1536c c <<，所以61855c <<，所以=2c 或3.…………………………………12分当=2c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，所以1123b b <<，所以36b <<，所以=4b 或5.若=4b ，则=12a ；若=5b ，则15=2a （舍）.…………………………………16分当=3c 时，111=3a b +，1112b a b b <+<，……………………………………………18分所以1122b b<<，所以24b <<，所以=4b （舍）.所以=18a b c ++.……………20分。
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关 系是（ ） A ．外离 B ． 外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（ ）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。
最新-2018年全国初中数学联合竞赛试题及答案 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--= （ ） A.24. B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）A.314. B. 37. C. 12. D. 47.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ D ）A.3B. 23.C. 13.D. 106．设n 是大于1918的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是 （ ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.DC第一试答案： ACCBDB ；－3，，－1，－7第二试 （A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解: （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解 作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. 连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠︒.C同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I = 三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=..第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，NB即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=， 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.。
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题(带答案)
2018年全国初中数学竞赛（初一组）初
赛试题（带答案）
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2018年全国初中数学竞赛初赛试题
得分
一、选择題
.已知,6两个数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，现有下列四种说法:D|a1-|61>0
2a+6<0;3ab<0;@a+b+ab+1<a其中，一定成立的是
02。
023
on3o
第1题1
03D
2著2+1的值与y一3的值互为相反数，则4+2的值为-
-2
2
3.某种商品若按原标价出售，则可获利50%,若按原标价的八折出售，则可获利
15%20%
40%
30%
4.定义““运算为.b=2a+ab,若+-22则x的值为
-11-2
2
如图，有一个无益的正方体纸盒，下底面标有字母“m",若沿图中粗线将其剪开，则纸盒展开的平
面图形为
B)
D)
如图,AB//cD,若用會Z1,2,，1+2263
21+23-22
c)180*+3-21-2
2+23-21-180。
最新-2018年全国初中数学竞赛试题解答精品
2018年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若
，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P
＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千
米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题(有答案)
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2018年全国初中数学竞赛（初三组）初赛试题（有答案）
2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题
一、选择题(本题满分42分，每小题7分) 1无理数、3+、了的小数部分是(C) ↓3+↓3-4 (A)J3+3-4 (B)3-13-、5 (D) ↓5+J3-3 2若式是方段2-6r+3=0的两个根，则的值为三 (C) 3 (A)2 (D) 3 设有甲乙满把不相同的锁甲锁配有两把钥匙，乙锁配有两把钥匙，这4把钥匙与不能开这两把锁的两把钥匙混在一起，从中任取青托钥匙能
打开甲己这两把债的概事是 (A)15 (D) 如果点4.R.C.D的坐际分别
是(1.7).1.1.(4,1).(6.1),以C.D.为顶点的三角形与OABC相似，
则点民的坐标不可能是日 ' 品” ” ” in 是 (C) (6.5) (D) (4.2) (B) (6.3) (A) (6.0 $S2F 5.如在矩形ABCD中.DELAC 于点E.LEDC CEDA= 3.RAC-10.则ADEC的面积是[ (C) 23.2-2 A)52 (D) S. M校
在公园内举行定向越野挑战弃路线图如图1所示，点正为炬形ABCD
边1D的中点，在矩 ABCD的四个顶点处都有定位仅，可监测运动员
的越野进程，其中一位运动员户从点8出发给看B-E -D的路线匀
�B行进，到达点D.设运动员户的运动时间为，到监洲点的距离为现有。
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案
2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案2018年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷（考试时间：2018年3月14日下午3:00—5:00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数$a$、$b$满足$|a-3|+|b-2|+1-a+a=3$，则$a+b$等于（）A、$-1$B、$2$C、$3$D、$5$2、如图，点$D$、$E$分别在$\triangle ABC$的边$AB$、$AC$上，$BE$、$CD$相交于点$F$，设四边形$EADF$、$\triangle BDF$、$\triangle BCF$、$\triangle CEF$的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则$\frac{S_1S_3}{S_2S_4}$的大小关系为（）A、$S_1S_3>S_2S_4$B、$S_1S_3=S_2S_4$C、$S_1S_3<S_2S_4$ D、不能确定3、对于任意实数$a$，$b$，$c$，$d$，有序实数对$(a,b)$与$(c,d)$之间的运算“$\ast$”定义为：$(a,b)\ast(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$。
如果对于任意实数$m$，$n$都有$(m,n)\ast(x,y)=(n,-m)$，那么$(x,y)$为（）A、$(1,-1)$B、$(-1,1)$C、$(1,1)$D、$(-1,-1)$4、如图，已知三个等圆$\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$有公共点$O$，点$A$、$B$、$C$是这些圆的交点，则点$O$一定是$\triangle ABC$的（）A、外心B、重心C、内心D、垂心5、已知关于$x$的方程$(x-2)^2-4|x-2|-k=0$有四个根，则$k$的范围为（）A、$-1<k<\pi$B、$-\pi<k<\pi$C、$-\frac{\pi}{4}<k<\frac{\pi}{4}$ D、不能确定6、设在一个宽度为$w$的小巷内搭梯子，梯子的脚位于$P$点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
2018 年全国初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．设二次函数 2a2y x ax 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B,C .当△ABC 为等边三角22形时，其边长为（）A. 6 ．B.2 2 ．C.2 3 ．D.3 2 ．【答】C.2a由题设知A (a ,) .设B(x1,0) ，C(x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则22aBC | x 1 x |(x x ) 4x x 4a 42a .2 2 22 1 2 1 2223 3a又AD BC | | 2a，则 2 ，解得a 2 6 或a 2 0 （舍去）.2 2 2所以，△ABC 的边长BC 2a 2 2 3 .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD的平分线交BD 于点E ，AB 1，CAE 15，则BE （）A.33． B.22． C. 2 1． D. 3 1． A D 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得BAF FAD AFB HEF 45，B F AB1，EBH ACB 30.EB CH F设BE x，则xHF HE，23xBH .2因为BF BH HF ，所以13 xx，解得x 3 1.所以BE 31.2 23．设p,q 均为大于 3 的素数，则使p 2 5pq 4q 为完全平方数的素数对(p,q) 的个数为（）2A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 10 页）设p2 5pq 4q2 m2 （m 为自然数），则(p 2q)2 pq m2 ，即(m p 2q)(m p 2q) pq .由于p,q 为素数，且m p 2q p,m p 2q q ，所以m p 2q 1，m p 2qpq ，从而pq 2p 4q 1 0，即(p 4)(q 2) 9，所以(p,q) (5,11)或(7, 5) .所以，满足条件的素数对(p,q) 的个数为 2.2 24．若实数a,b 满足a b 2，(1 ) (1 ) 4a b，则a5 b5 （）b aA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.( 2 21 a) (1 b)由条件 4得a b 2a2 2b2 4ab a3 b3 0，b a即(a b) 2[(a b)2 4ab] (a b)[(a b)2 3ab] 0，又a b 2，所以2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0，解得ab 1.所以a2 b2 (a b)2 2ab6 ，a b a b a b ab ，a5 b5 (a2 b2 )(a3 b3) a2b2 (a b) 82 .3 3 ( )[( )2 3 ] 145．对任意的整数x, y ，定义x@ y x y xy ，则使得(x@ y)@z (y @z)@x (z@x)@ y的整数组(x, y, z) 的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@ y)@z (x y xy)@z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ，由对称性，同样可得(y@z)@x x y z xy yz zx xyz ，(z@x)@ y x y z xy yz zx xyz .所以，由已知可得x y z xy yz zx xyz 0 ，即(x 1)(y 1)(z 1) 1.所以，x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：x 11, y 1 1,z 1 1,x 11,或y 11,z 11,x1 1,或y 11,z 11,x或yz1111,1,1,所以，(x, y, z ) (2,2,0)或(2,0,2) 或(0,2,2) 或(0,0,0)，故共有 4 个符合要求的整数组.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 10 页）1 1 116．设M ，则2018 2019 2020 2050 1M的整数部分是（）A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.1 201815 因为M 33 ，所以61.2018 M 33 331 1 1 1 1 1又M ( ) ( )2018 2019 2030 2031 2032 20501 1 134513 20 ，2030 2050 832301 183230 1185所以61 ，故的整数部分为 61.M 1345 1345 M二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC 2AB ，CE AB于E ，F 为AD 的中点，若AEF48，则 B _______．【答】84.AF 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形.D由AB // FG // DC及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点.又CE AB，所以CE FG ，所以FH 垂直平分CE ，故DFC GFC EFG AEF 48.所以B FGC 180 248 84 .E HB CG2．若实数x, y 满足1 15x 3 y 3 (x y ) ，则x y的最大值为．4 2【答】3.1 1 1515由x 3 y 3 (x y ) 可得x y x 2 xy y 2 x y ，即( )( ) ( )4 4 222 2 1 15(x y)(x xy y ) . ①4 2令x y k ，注意到 2 2 1 ( )2 3 2 1 0x xy y x y ，故x y k 0 .y4 2 4 4又因为x2 xy y2 1 (x y)2 3xy 1 ，故由①式可得 3 3 1 15k xyk k ，所以4 4 4 2 115k k34 2xy .3k1 15k k34 2于是，x, y 可看作关于t 的一元二次方程t2 kt 0 的两根，所以3k1 15k k34 22 ，( k) 4 03k化简得k3 k 30 0 ，即(k 3)(k2 3k 10) 0，所以0 k 3.故x y 的最大值为3.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 10 页）3．没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8787 6 18816个.当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为887 6 2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504（个）.4．已知实数a,b,c满足a b c 0 ，a 2 b 2 c 2 1，则a5 5 5b cabc．5【答】.21 2 2 2 21由已知条件可得ab bc ca a b c a b c ，a 3 b 3 c 3 3abc ，所以[( ) ( )]2 2a 5bc (a 2 b 2 c2 )(a 3 b 3 c3) [a2 (b 3 c3 ) b2 (a 3 c3) c2 (a 3 b3)]5 53abc (a2b2c a2c2b b2c2a) 3abc [a b (a b) a c (a c) b c (b c)]2 2 2 2 2 21 53abc abc(ab bc ca ) 3abc abc abc .2 2所以5ab5abc5c52.第一试(B)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．满足(x 2 x 1)x 2 1的整数x 的个数为（）A.1． B.2． C.3． D.4．【答】C.当x 2 0且x 2 x 1 0时，x 2.当x2 x 1 1时，x 2或x 1.当x2 x 11且x 2为偶数时，x 0.所以，满足条件的整数x 有 3 个.2．已知x1, x2 ,x3 (x1 x2 x3 )为关于x 的方程x3 3x2 (a 2)x a 0 的三个实数根，则4x x x x （）2 2 21 12 3A.5．B.6．C.7．D.8．2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 10 页）【答】A. 方程即 (x1)(x 22x a ) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小于 1，另一根大于 1，于是 x 2 1, x 1 x 3 2 ，故4x x x x (xx )(xx )4x12(xx ) 4x12 2 2 1123313113112(x x )15 .313．已知点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边CD ， AD 上，CD 4CE ，EFB FBC ，则tan ABF（）A. 12 ．B. 35．C. 2 2．D. 3 2．【答】B. 不妨设CD 4，则CE 1,DE 3.设 DF x ，则 AF 4 x ， EFx 29 .作 BHEF 于点 H .因为 EFBFBC AFB ， BAF 90 BHF ， BF 公共，所以△ BAF ≌△ BHF ，所以 BH BA 4.由 S 四边形ABCDSABFSBEF SDEFSBCE 得ADF1 11 14 2 xx 2x， 222 2 4 (4 ) 4 934 18解得 所以x . 512 AF 3 AF4 x， tanABF.5 AB 5BH EC4．方程 3 9 x3 x 的实数根的个数为（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B. 令 y 9 x ，则 y 0，且 x y 2 9 ，原方程变为 3 y 3 y 2 9 ，解得 y 1或 y 6，从而可得 x 8或 x 27 .检验可知： x 8是增根，舍去； x27 是原方程的实数根.所以，原方程只有 1 个实数根.5．设 a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样的三元 数组 (a ,b ,c )的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得， a 2017bc 2018，b 2017ac 2018 ，c 2017ab 2018，两两作差，可得(a b)(1 2017c) 0，(b c)(1 2017a) 0，(c a)(1 2017b) 0.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 10 页）1由(a b )(1 2017c ) 0，可得 a b 或c .20172018（1）当a b c 时，有2017a 2 a 2018 0，解得a 1或a .20171 1a ， c 2018 .2017 2017（2）当a b c 时，解得b1 1 1 11 （3）当a b时，c ，此时有：a ,b 2018 ，或a 2018 ,b .2017 2017 2017 2017 2017故这样的三元数组(a,b,c)共有 5 个.6．已知实数a,b 满足a 3 3a 2 5a 1，b 3 3b 2 5b 5，则a b （）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得(a 1)3 2(a 1) 2，(b 1)3 2(b 1) 2 ，两式相加得(a 1) 2(a 1) (b 1) 2(b 1) 0 ，3 3因式分解得(a b2)[(a 1)2 (a 1)(b 1) (b1)2 2] 0 .因为1 3(a 2 a b b 2 a b 2 b 2 ，2 41) ( 1)( 1) ( 1) 2 [( 1) ( 1)] ( 1) 2 0所以 a b 2 0，因此 a b 2.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．已知p,q,r 为素数，且pqr 整除pq qr rp 1，则p q r _______．【答】10.设kpq qr rp 1 1 1 1 1，由题意知k 是正整数，又p,q,r2 ，所以pqr p q r pqr3k ，从2而k 1，即有pq qr rp 1pqr ，于是可知p,q,r 互不相等.当2 p q r 时，pqr pq qr rp 1 3qr ，所以q 3，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r，故(q 2)(r 2) 3，所以q 2 1,r 2 3，即q 3,r 5 ，所以，(p,q,r) (2,3,5) . 1再由p,q,r 的对称性知，所有可能的数组( p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3) ，(3,2,5) ，(3,5,2) ，(5,2,3) ，(5,3,2) .于是p q r 10 .2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 10 页）2．已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为m2 ,n (m 2 n) ，则m 2 n m2n 1000，即(m 2 1)(n 1) 1001.又1001100111437 9111 7713 ，所以(m 2 1,n 1) ＝(1001, 1) 或(143, 7) 或(91,11) 或(77,13) ，验证可知只有(m 2 1,n 1) (143,7) 满足条件，此时m 2 144,n 8.3 ．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB 6 ，BC 10 ，BAD BCD ，EDC ABD ，则DE ．F【答】4.1延长CD 至F ，使DF DC ，则DE// AF 且DE AF ，A2AFD EDC ABD ，故A, F, B, D 四点共圆，于是所以DEB CBFD BAD BCD，所以BF BC 10 ，且BD FC ，FAB FDB 90.故1又AB 6，故AF 102 62 8，所以AF 4DE .24．已知二次函数y x 2 2(m 2n 1)x (m 2 4n 2 50) 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为．【答】16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以 [2(m 2n 1)]2 4(m 2 4n 2 50) 0 ，整理得514mn 2m 4n 49 ，即(m n .因为m,n 为正整数，所以(m 1)(2n 1) 25.1)(2 1)225又m 1 2，所以2n ，故n 5.1225 22当n 1时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 8 个；m ，故3 3当n 2 时，m 1 5，故m 4，符合条件的正整数对(m,n)有 4 个；25 18当n 3时， 1m ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 2 个；7 725 17当n 4 时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个；m ，故9 925 14当n 5时，m 1 ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个.11 11综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有 8＋4＋2＋1＋1＝16 个.2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 10 页）第二试（A）一、（本题满分20分）设a,b,c,d 为四个不同的实数，若a,b 为方程x 2 10cx 11d 0的根，c,d为方程x 2 10ax 11b 0的根，求a b c d 的值.解由韦达定理得a b 10c ，c d 10a，两式相加得a b c d 10(a c) .……………………5 分因为a 是方程x 2 10cx 11d 0 的根，所以a 2 10ac 11d 0 ，又d 10a c ，所以a 110 11 10 0 . ①……………………10 分2 a c ac类似可得c 2 110c 11a 10ac 0 . ②……………………15 分①－②得(a c)(a c 121) 0.因为a c，所以a c 121，所以a b c d 10(a c ) 1210. ……………………20 分二、（本题满分25 分）如图，在扇形OAB 中，AOB 90，OA 12 ，点C 在OA上，AC 4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；A（2）求CE 2DE 的最小值.解(1)分别过O, E 作CD 的垂线，垂足为M , N .CE由OD 6,OC 8，得CD 10.所以FMN1S S OCD S ECD CD (OM EN)OD B21 1CD OE 10 12 60，……………………5 分2 2当OE DC 时，S 取得最大值 60.此时，12 68 36EF OE OF . ……………………10 分10 5G （2）延长OB 至点G ，使BG OB 12 ，连结GC,GE .因为O DOEO EOG12 ，DOEEOG，D EEG12，故EG2DE .所以△ODE∽△OEG，所以……………………20 分所以CE 2DE CE EG CG 242 82 8 10 ，当C, E,G 三点共线时等号成立. 故CE 2DE 的最小值为8 10 . ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 8 页（共 10 页）三、（本题满分25 分）求所有的正整数m,n ，使得m3n 3m2n2(m n)2是非负整数.解记Sm n m n3 3 2 2，则(m n)2S(m n)[(m n ) 3mn ] m n 3mn mn(m n )( ) .2 (m n) 22m n m n因为m,n 为正整数，故可令mnm n qp，p,q 为正整数，且( p,q ) 1.于是S3q q2 3pq q2 (m n ) (m n ).p 2 2p p因为S 为非负整数，所以p | q2 ，又( p,q ) 1，故p 1，即(m n) | mn . ①……………………10 分所以2nmnnmnmn是整数，所以(m n) | n2 ，故n 2 m n ，即n 2 mn .又由S 0，知m 3 n 3 m2n 2 0 . ②所以n 3 m2n 2 m 3 m2 (n 2 m ) m2n，所以n m.由对称性，同理可得m n，故m n. ……………………20 分把m n代入①，得2 | m ，则m 2.把m n代入②，得2m 3 m 4 0，即m 2 .故m 2.所以，满足条件的正整数m,n 为m 2，n 2 . ……………………25 分第二试（B）1 1 1 9一、（本题满分20 分）若实数a,b,c 满足(a b c )( ) ，求a b 5c b c 5a c a 5b 51 1 1(a b c )( )的值.a b c解 记 a b c x ， ab bc ca y ， abc z ，则( a bc )( a 1 b 5cb1 c 5ac1 ) a 5b x( x 1 6ax 1 6bx 1) 6c3 x 2 x [3x 6( a12( a b c )x b c )x36(ab2 36(ab bc bc ca )xca )] 216abcx (9x 36y ) 2 5x 3 36xy 216z， ……………………10 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 9 页（共 10 页）结合已知条件可得x( 9x 36y) 925 3 36 2165x xy z27，整理得xy z .所以21 1 1 xy 27(a b c )( ) . ……………………20 分a b c z 2二、（本题满分25 分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB AC ，DE DC.（1）证明：AD // BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果ACE 30，求DP PE.解（1）由题意知ACB DCE 45，BC 2AC ，EC 2DC ，AD 所以DCA ECB ，AC DC，所以△ADC ∽△BEC ，故DACBC ECEBC 45，所以DAC ACB ，所以AD // BC . EP……………………10 分B C（2）设AE x ，因为ACE 30，可得AC 3x ，CE 2x ，DE DC 2x .1因为EAP CDP 90，EPA CPD ，所以△APE ∽△DPC ，故可得S APE S DPC.2 ……………………15 分3又S EPC APE ACE 2 ，S EPC S DPC S CDE x2 ，于是可得S S x2S DPC ，S EPC ( 3 1)x2 . ……………………20 分(2 3)x2所以DPPESSDPCEPC2 33 1. ……………………25 分3 1 2三、（本题满分25 分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x 1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解设x abcd ，由题设知m 与n 的最大公约数(m,n)为大于 2 的素数.若d 9 ，则n m 1，所以(m,n) 1，矛盾，故d 9. ……………………5 分若c 9 ，则n m 19 m 8 ，故(m,n) (m, 8) ，它不可能是大于 2 的素数，矛盾，故c 9 .……………………10 分若b 9 ，显然a 9 ，所以n m 19 9 9 m 26，故(m,n) (m, 26) 13，但此时可得n ，m n 26 39 36，矛盾. ……………………15 分13若b 9，则n m 19 9 m 17，故(m,n) (m,17) 17，只可能n 17,m 34.……………………20 分于是可得x 8899或9799. ……………………25 分2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 10 页（共 10 页）。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
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2018年全国初中数学竞赛试题及解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ）（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b<a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A ）甲比乙大5岁； （B ）甲比乙大10岁；（C ）乙比甲大10岁； （D ）乙比甲大5岁。
4、一个一次函数图象与直线59544x +平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A ）4个；（B ）5个；（C ）6个；（D ）7个。
5、设a,b,c 分别是△ABC 的三边的长，且a a b b a b c+=++， 则它的内角∠A、∠B 的关系是（ ）。
（A ）∠B＞2∠A；（B ）∠B＝2∠A；（C ）∠B＜2∠A；（D ）不确定。
6、已知△ABC 的三边长分别为a,b,c ，面积为S ，△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1,b 1,c 1，面积为S 1，且a>a 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。
（A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。
二、填空题7、已知: 333421a =++，那么23331a a a ++＝________。
8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝62，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。
9、已知关于的方程 (a-1)x 2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。
那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。
11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=13x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝________。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：利润率=销售价-进价进价×100％）三、解答题13、设m是不小于-1的实数，使得关于的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2。
（1）若x12+x22=6，求m的值。
（2）求22121211mx mxx x+--的最大值。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。
对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。
现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解答1.答：（B ）。
∵M＝3a b c ++，N ＝2a b +，P ＝222N c a b c +++=，M －P ＝212a b c +-， ∵a b c >>， ∴212a b c +-＞212c c c +-，即M －P ＞0，即M ＞P 。
2. 答：（C ）。
因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3. 答：（A ）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4. 答：（B ）。
在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x ＝－1＋4N ，y ＝－25＋5N ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足－1＋4N ＞0，且－25＋5N≤0， ∴14≤N≤5，即N ＝1，2，3，4，5。
5. 答：（B ）。
由a a b b a b c +=++得a b b a c=+，延长CB 至D ，使BD ＝AB ， 于是CD ＝a+c ，在△ABC 与△DAC 中，∠C 为公共角，且BC:AC ＝AC:DC ，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6. 答：（D ）。
分别构造△ABC 与△A 1B 1C 1如下： ①作△ABC∽△A 1B 1C 1，显然2111s a s a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即S ＞S 1； ②设a=b=101,c=20，则1c h =，S ＝10，a 1=b 1=c 1=10，则S 13×100＞10，即S ＜S 1；③设101,c=20，则1c h =，S ＝10，a 1=b 129 c 1=10，则2c h =，S 1＝10，即S ＝S 1；因此，S 与S 1的大小关系不确定。
7. 答：1。
∵3(21)211a =-=，即3121a=。
∴23331a a a ++=23331a a a ++ =333233333111111121211a a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8. 答：66＋3作AE 、BF 垂直于DC ，垂足分别为E 、F ，由BC ＝，∠BCD＝45°，得AE ＝BF ＝FC＝6。
由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE ＝6得DE ＝AB ＝EF ＝8，DC ＝8＋6＝14＋，∴1(8146662ABCD S =++⨯=+梯形 9. 答：5。
①当a=1时，x=1；②当1a ≠时，易知x=1是方程的一个整数根，再由211x a+=-且x 是整数，知11,2a -=±±，∴a=-1,0,2,3；由①、②得符合条件的整数a 有5个。
10. 答：2.4米。
作PQ⊥BD 于Q ，设BQ ＝x 米，QD ＝y 米，PQ ＝h 米，由AB∥PQ∥CD，得4h y x y =+及6h x x y =+，两式相加得5112h =，由此得h=2.4米。
即点P 离地面的高度为2.4米。
（注：由上述解法知，AB 、CD 之间相距多远，与题目结论无关。
）11. 答：12。
直线y=13x 通过点D （15，5），故BD ＝1。
当b=12时，直线1132y x =+通过110,,15,522⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，则它恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分。
12. 答：17％。
设原进价为x 元，销售价为y 元， 那么按原进价销售的利润率为y x x-×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为93.6%93.6%y x x-×100％，依题意得： y x x-×100％＋8％＝93.6%93.6%y x x -×100％， 解得y ＝1.17x ，故这种商品原来的利润率为1.17x x x-×100％＝17％。
13. 解：因为方程有两个不相等的实数根，所以∆=4(m-2)2-4(m 2-3m+3)=-4m+4>0 ∴m<1。
根据题设，有11m -≤<。
（1） 因为222222121212()24(2)2(33)21010x x x x x x m m m m m +=+-=---+=-+∴221010m m -+由于11m -≤<，故。
（2）22121211mx mx x x +--=22221221121212211212(1)(1)()(1)(1)1m x x x x m x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+-+⎣⎦⎣⎦=----+ =223222(21010)(33)(2882)(33)(24)1m m m m m m m m m m m m m m⎡⎤-++-+-+-⎣⎦=-++-+- =222(1)(31)2(31)(1)m m m m m m m m --+=-+- 设y=22352(31)222y m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,(11m -≤<) Y 在11m -≤<上是递减的，所以当m=-1时，y 取最大值10。
故22121211mx mx x x +--的最大值为10。
14. 解：由题设得AB 2＝2AE 2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB ，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB ＝AD 。
连结AD ，交BD 于H ，则BH ＝HD。
1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1。
∴11122ABD S BD AH ∆==⨯是AC 的中点，∴ABE BCE S S ∆∆=， ADE DCES S ∆∆=，∴ADB DCB S S ∆∆=，∴2ADB ABCD S S ∆==四边形15. 解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。
事实上，设住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，s<t 。
交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第x 层。
①当x<s<t 时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t+3s-3x-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t+3s-3x-3。
②当x=s<t 时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t-3。
③当s<x<t 时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t+x-s-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3t-3x+3s-3，前者比后者多4(x-s)>0。