高中数学学案：二项式定理
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计教学目标：1.理解二项式定理的概念和公式；2.掌握二项式定理的应用方法，能够将其用于多项式展开和计算；3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：1.二项式定理的概念和公式；2.二项式定理的应用方法。
教学难点：1.二项式定理的应用方法；2.数学推理能力的培养。
教学准备：1.教材《高中数学》；2.黑板、彩色粉笔；3.教学投影仪。
教学过程：Step 1 引入（5分钟）1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子，让学生观察这个式子有什么特点。
2.引导学生思考，当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时，会得到怎样的结果。
Step 2 概念讲解（10分钟）1.分析上面提到的式子，得出一个结论：“当一个多项式的指数为2时，展开后的结果是一个三项式”。
2.引入二项式的概念：“若为任意正整数n，a和b为任意常数，则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。
”3.引入二项式定理的公式：“对任意正整数n，有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。
”4.解释公式中的C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
Step 3 示例讲解（15分钟）1.通过一个具体的示例，将二项式定理的应用方法展示给学生。
2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。
3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。
4.将计算结果代入公式，展开“(a+b)³”。
Step 4 练习（20分钟）1.让学生尝试展开不同次数的二项式，并听取他们的答案。
2.提示学生根据二项式定理的公式，计算组合数的值，并将其应用于展开计算中。
高中数学《二项式定理》导学案
第一章计数原理第三节二项式定理（第1课时）一、学习目标1.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.【重点、难点】二项式定理；二项式定理的性质.二、学习过程【情景创设】二项式定理研究的是(a+b)n的展开式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的展开式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.【导入新课】问题1:(1)二项式定理:(a+b)n= (n∈N+).(2)错误!未找到引用源。
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= (n∈N+).问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,展开式的第r+1项为(r=0,1,2…n),其中的系数错误!未找到引用源。
(r=0,1,2…n)叫作.问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项T r+1是第项,不是第r项;②通项T r+1的作用:处理与、、、等有关的问题.③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)3=错误!未找到引用源。
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a2·(2b)+错误!未找到引用源。
a·(2b)2+错误!未找到引用源。
(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为,第三项的系数为.问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的,而且a的次数逐渐,b的次数逐渐,每一项的次数都为.答案：问题1:(1)错误!未找到引用源。
a n+错误!未找到引用源。
a n-1b+错误!未找到引用源。
a n-2b2+…+错误!未找到引用源。
二项式定理教学设计高三
二项式定理教学设计高三一、教学目标1. 理解二项式定理的定义和基本性质。
2. 掌握二项式定理的运用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
4. 培养学生对数学问题的兴趣和探索精神。
二、教学重点1. 掌握二项式定理的展开和应用。
2. 培养学生的数学思维和运算能力。
三、教学难点1. 帮助学生理解二项式定理的证明过程。
2. 培养学生抽象思维和推理能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和讲述引导学生回顾高中阶段已学习的数学知识，如排列组合、多项式等内容。
然后向学生介绍今天的学习内容：二项式定理。
2. 概念解释（10分钟）教师通过示意图和具体例子，向学生阐述二项式定理的概念和基本性质。
帮助学生理解二项式定理是将两个数相加或相乘的展开式。
3. 二项式定理的展开（15分钟）教师通过板书和示范展示如何将二项式展开。
先给出一个简单的二项式，并指导学生按照二项式定理的公式进行展开。
然后通过一些具体的例子，让学生逐步掌握二项式定理展开的方法和技巧。
4. 二项式定理的应用（20分钟）教师通过实际问题和应用题，引入二项式定理的应用领域。
如组合数学、概率统计等。
通过解答一些实际问题，让学生认识到二项式定理在数学和实际生活中的重要性和应用价值。
5. 二项式定理的证明（20分钟）教师通过逻辑推理和数学推导，带领学生理解和证明二项式定理。
可以使用归纳法和数学归纳法等方法，引导学生参与证明的过程，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
6. 练习和巩固（15分钟）教师设计一些练习题，让学生巩固和应用所学知识。
通过学生的练习，检验学生对二项式定理的掌握程度和运算能力。
7. 总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并给出一些延伸阅读和学习资料，鼓励学生在课后继续学习和探索。
五、教学评价1. 教师通过课堂讨论、学生练习和问题解答等形式，对学生的学习情况进行评价和反馈。
2. 鼓励学生积极参与课堂活动，发表自己的观点和思考。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》二项式定理说课稿高三第一阶段复习，也称“知识篇”。
在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。
在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。
对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。
一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：(1)二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。
(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。
(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。
2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。
二、学校情况与学生分析(1)我校是一所镇普通高中，学生的.基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。
但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。
(2)授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低(60﹪)，注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。
三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：(1)理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。
高二数学《二项式定理》教案
高二数学《二项式定理》教案《高二数学《二项式定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力.二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等.如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心.正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，怎样使二项式定理的教学生动有趣?使得在这节课上学生获得主动?我采用启发探究式教学方式，遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”，在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.具体为：一是从名人、问题引入课题。
采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。
二是从特殊到一般。
观察发现二项式定理的基本内容.遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性.重视学生的参与过程，问题引导，师生互动.重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯.三是采用小组合作、探究的方式。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用;尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.四是教师的启发与学生的探究恰当结合。
高二数学二项式定理教案
高二数学二项式定理教案一、课题：二项式定理二、教学目的：1. 正确理解二项式定理及有关概念2. 会根据二项式定理写出二项式的展开式，会利用通项公式求展开式中特殊项3. 领悟从特殊到一般的思维方法，培养学生观察、归纳、猜想的能力三、教学重点：1. 二项式定理2. 展开式中通项公式r r n r n r b a C T -+=1四、教学难点：1. 某项的二项式系数与该项系数的区别2. 通项公式的灵活运用五、教学方法：启发引导法六、教学过程：引导1：观察下面两个公式，请从右边的项数，每项的次数，系数进行研究，你会发现什么规律？抽生回答后，教师明确：项数比左边次数多1；每项次数均为左边指数，a,b 指数a 降b 升；系数33231303221202C C C C C C C ，，，；，，猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？引导2：①展开式中，每一项是怎样得到的？(每个括号中任取一个字母相乘而得)②既然这样，每一项的次数都应为几次？（4次）展开后具有哪些形式的项呢？(a 4，a 3b ，a 2b 2，ab 3，b 4)③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项系数为什么？探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中：每个都不取b ，有04C 种取法，a 4的系数04C 恰有一个取b ，有14C 种取法，a 3b 的系数为14C 恰有2个取b ，有24C 种取法，a 2b 2的系数为24C恰有3个取b ，有34C 种取法，ab 3的系数为34C 4个都取b ， 有44C 种取法 , b 4的系数为44C 师述：(a+b)4展开式中项的形式已清楚，系数也明确了，因此：44433422243144044)(b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+再次强化特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a 降b 升；系数为04C ，14C ，24C ，34C ，44C 。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇作为一名老师，经常要写一份优秀的教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
我们应当怎么写教案呢？这次秀丽的我为您带来了高三数学教案《二项式定理》优秀3篇，期望能够挂念到大家。
回顾小结：篇一通过同学主动探究的学习过程，使同学清楚的把握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复试验恰好发生k次）的学习打下了基础。
而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，由于二项分布中全部概率和恰好是二项式。
课后记：预备这节课，我主要思考了这么几个问题：（1）这节课的教学目的“使同学把握二项式定理”重要，还是“使同学把握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，认为后者重要。
于是，我这节课花了大部分时间是来引导同学探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数？”（2）同学怎样才能把握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过同学对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。
我还是要求同学自主的去探究二项式定理。
这样也符合以老师为主导、同学为主体、师生互动的新课程教学理念。
（3）预备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用；为了更好的让同学体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培育同学学问的迁移力量，我增加了例题，但是难免还有一些有不足之处，期望各位老师能不吝赐教。
感谢！教材分析：篇二1、学问内容：二项式定理及简洁应用2、地位及重要性二项式定理是支配在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合学问的应用，同时也是自成体系的学问块，为随后学习的概率学问及高三选修概率与统计，作学问上的铺垫。
二项开放式与多项式乘法有亲密的联系，本节学问的学习，必定从更广的视角和更高的层次来端详学校学习的关于多项式变形的学问。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
二项式定理学案
1.3.1 二项式定理鹤壁高中数学组 郝天琪一、学习目标1. 能从特殊到一般理解二项式定理；2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念二、学习重点、难点重点：参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式，系数，字母的幂次，展开式项数的规律；应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程三.学习思路利用从特殊到一般的思想方法，观察、归纳、大胆猜想、证明从而得出二项式定理四、学习过程一、课前准备（预习教材P29~ P31，找出疑惑之处） 复习：在n=2,3时，写出 nb a )(+的展开式.2)(b a +=_______________________________________ 3)(b a += ______________________________________二、新课导学探究任务： 二项式定理问题1：4个不同容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有_____种不同的结果，其中取到4个红球有 ____ 种不同取法，取到3个红球1个黑球有____ 种不同取法，取到2个红球2个黑球有_____种不同取法，取到1个红球3个黑球有 ，取到4个黑球有_____种不同取法.问题2： 观察4)(b a +的展开式，并回答下列问题：①展开式中有哪些项？ ②展开式中各项的系数是什么？ 猜想：n)(b a +=证明可从以下两个方面：①n)(b a +展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？新知：二项式定理=+n b a )( ____________________________________________（*,,N n N k n k ∈∈≤）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中kn C （k ＝0，1，2，…，n ）叫做___________，____________叫做二项展开式的通项，用符号 ________表示，即通项为展开式的第_____项。
高中数学教案：二项式定理(说课稿)
高中数学教案：二项式定理(说课稿)尊敬的各位评委、老师们：大家好！我是××中学的××，我将要为大家说课的内容是高中数学二项式定理。
一、教学背景分析：二项式定理是高中数学中的重要内容，它是高中数学中的一个较为复杂的概念，也是以后学习乘方与根式定理以及函数与导数的基础。
该内容包含很多实际应用，因此能够培养学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标：1.知识与技能：掌握二项式定理的基本概念和公式，能够应用二项式定理计算多项式的展开结果。
2.过程与方法：培养学生归纳总结的能力，激发学生的兴趣，提高观察、思维和解决问题的能力。
3.情感态度：培养学生正确的学习态度，善于思考和发现问题，培养学生的数学思维和数学逻辑思维。
三、教学重点难点：1.掌握二项式定理的基本概念和公式。
2.掌握应用二项式定理计算多项式的展开结果。
3.培养学生归纳总结的能力。
四、教学过程安排：1.导入(5分钟)首先，我会通过引导学生回忆乘方的内容，提问：如何计算(2+3)²、(4-5)³等表达式的值？通过回忆与思考，引出二项式定理的概念。
2.新课呈现(10分钟)介绍二项式定理的定义：当n为自然数，a、b为任意实数，有：(a+b)ⁿ=aⁿ+naⁿ⁻¹b+...+n(n-1)...(n-k+1)aⁿ⁻ᵏbᵏ+...+bⁿ。
引导学生通过观察与分析，发现并总结二项式定理的规律与特点。
利用例题，让学生体会并巩固二项式定理的应用。
3.合作探究(20分钟)学生自主或小组合作完成练习和问题解决。
可以设计一些展开多项式的计算题目，让学生通过计算，并灵活应用二项式定理进行展开。
4.归纳总结(10分钟)引导学生根据前面的学习和探究，总结出二项式定理的公式形式，并将其写在板书上，让学生进行回顾与复习。
5.拓展应用(10分钟)通过生活实际问题的讨论，培养学生实际应用二项式定理解决问题的能力。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》一、教学目标1.了解二项式定理的定义和公式2.掌握应用二项式定理求解数学问题的方法3.培养学生的数学思维和解决实际问题的能力二、教学内容1. 二项式定理的定义二项式定理是指：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数。
2. 二项式定理的公式二项式定理的公式为：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数，计算公式为：$$C_{n}^{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中n!表示n的阶乘，计算公式为：$$n! = 1 \\times 2 \\times 3 \\times ……\\times n$$3. 应用二项式定理求解数学问题的方法1.直接将a和b代入公式计算2.通过变形将问题转化为求和式3.应用组合恒等式计算三、教学方法1. 讲授法通过讲解定义、公式和应用方法，让学生了解二项式定理的基本概念和计算方法。
2. 例题教学法通过讲解例题，帮助学生理解和掌握二项式定理的应用方法，增强解题的能力。
3. 课堂练习法通过课堂练习，帮助学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 讨论法通过小组讨论或全班讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
四、教学过程1. 介绍二项式定理的定义和公式教师向学生介绍二项式定理的定义和公式，让学生了解该定理的基本概念和计算方法。
2. 讲解二项式定理的应用方法教师通过讲解例题，向学生讲解二项式定理的应用方法，帮助学生掌握如何应用二项式定理来解决数学问题。
3. 课堂练习教师在课堂上进行练习，让学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 学生小组讨论教师安排学生小组讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。
Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。
Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。
2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。
Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。
2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。
Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。
Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。
Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。
2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。
完整版)二项式定理教案
完整版)二项式定理教案1.3.1 二项式定理（第一课时）一、教学目标1.知识与技能1）理解二项式定理，并能简单应用。
2）能够区分二项式系数与项的系数。
2.过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3.情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在研究的过程中养成独立思考的好惯，在自主研究中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1.教学重点：二项式定理及二项式定理的应用。
2.教学难点：二项式定理中单项式的系数。
三、教学设计教学过程一、新课讲授引入：让学生回顾多项式乘法法则，利用排列、组合理解，写展开式，设计意图是师生活动展开(a+b)²、(a+b)³。
学生完成：a+b)² = a²+2ab+b²a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³分析(a+b)的展开式：展开式有3项，a、b的指数分别为2、1、0，各项系数分别为1、2、1.教学过程设计意图是师生活动恰有1个因式选b的情况有C₂¹种，所以ab的系数是C₂¹；2个因式选b的情况有C₂²种，所以b的系数是C₂²；每个因式都不选b的情况有C₂⁰种，所以a的系数是C₂⁰。
思考3个问题：1.项数2.每一项a、b的指数和3.各项的系数是什么？a+b) = C₁aCb类比展开(a+b)³：a+b)³ = C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³归纳、类比(a+b)的展开式。
二、二项式定理：a+b)ⁿ = C₀aⁿ+C₁aⁿ⁻¹b+。
+Cₙbⁿ学生完成：按照a的降幂排列，解释ab的系数。
二项式定理教案_高二数学《二项式定理》教学设计
1.3.1 二项式定理教学目标1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教学重点、难点重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别学习过程一、 旧知设疑：思考:今天是5月8号，星期四,31天后的这一天是星期几？396天后的这一天是星期几？试问 天后的这一天又是星期几呢？二、新课导学探究： 二项式定理()2a b +=问题1：展开后共几项？ 我们是怎样得到这几项的？问题2：每一项的能否用一个统一的形式表示？问题3：项、项、项前的系数能否用学过的组合知识分析，表示成组合数的形式？ 2a ab 2b = （系数用组合数表示）2)(b a +问题4：按同样的道理,展开 ()3a b +=()4a b +=猜想：= n)(b a +证明：是 个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选或选，n b a )(+)(b a +)(b a +a b 由分步计数原理可知展开式共有 项（包括同类项），其中每一项都是 的形式，对于每一项，它是由 个选了， 个选了得r rn b a -)(b a +b )(b a +a 到的，它出现的次数相当于从个中取r 个b 的组合数 ，将它们合并同类n )(b a +项，就得 到展开式，这就是二项式定理． 1008二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式,共有___ ____项,n b a )(+其中各项的系数______ _ _____叫做二项式系数, 式中的______________叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，用 表示， 即思考：(1) 把代替， =b 用-b n()a b -（2）令， =1,a b x ==n (1)x +（3）当时，= 1,1a b ==n (11)+问题释疑：今天是星期四，那么 天后的这一天是星期几？三、典型例题 例1：的展开式共7项，n x x ）（12-（1）等于多少？ （2）求出二项展开式.n1008变式： 化简观察：例1中展开式常数项是多少？思考：你能否直接求出展开式的常数项？例2：对于二项式， 91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x （1）、求展开式中第四项的二项式系数；（2）、求展开式中的系数。
最新-高中数学《二项式定理》学案3 新人教A版选修2-3
二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ .2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅ ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ， 令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n nC C C C C -=-+-++- ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++ ，∴0213n n n n C C C C ++=++ ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++= . 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数 解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+， ∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415= ∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n 2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r 10r 101r x C )2()x 2()x (C T --+-=-= 令2r 02r 510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；（2）1)n x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ． （3）0n C +12n C +24n C ++ 2n n n C 729=，则123n n n n n C C C C ++++= （ ）A ．63 B.64C.31D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++ ，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++ 的值答案：（1）202，203，11；（2） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴ 10n =， 3734101()T C x ==（3）A ．五、小结 ：1．性质1是组合数公式r n r n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++- ， 展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1n a na +≈+。
高中数学教案：二项式定理
二项式定理课程目标知识提要二项式定理一般地，对于任意正整数，都有这个公式叫做二项式定理（binomial theorem）．二项式定理的通项一般地，对于任意正整数，都有这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），等号右边的多项式叫做的二项展开式，二项展开式共有项，其中各项系数（，，，，）叫做二项式系数（binomial coefficient），式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：一般地，展开式的二项式系数，，，有如下性质：（1）对称性：；（2）；（3）增减性与最大值．当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当为偶数时，中间的二项式系数最大；当为奇数时，中间两项的二项式系数和最大．二项式定理中的赋值法各二项式系数和已知，令，则这就是说，的展开式的各个系数的和等于．二项式定理的应用二项式定理一般应用在以下几个方面：①进行近似计算．当的绝对值与相比很小且不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计；类似地，有．②证明某些整除性问题或求余数；③证明有关的不等式．精选例题二项式定理1. 若二项式的展开式中的系数是，则实数．【答案】【分析】，令，所以，所以，2. 已知的展开式中含的项的系数为，则．【答案】【分析】，，所以，，．3. 展开式中的常数项为．【答案】【分析】，令，所以，常数项为．4. 已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为．【答案】【分析】．所以，令，所以，所以系数为．5. 的展开式中常数项是．（用数字作答）【答案】6. 已知，则．【答案】7. 已知的展开式中项的系数是，则实数的值为．【答案】【分析】，令，，所以．8. 若，则的值为．【答案】9. 在的展开式中的系数是．（用数字作答）【答案】10. 若，则的值是．【答案】11. 设展开式中的系数是．(1)求展开式中的系数的最小值；【解】的展开式中含的系数为，的展开式中含的系数为，由已知得，所以，展开式中的系数为因为，所以当或时，的系数取最小值，其最小值为．(2)当展开式中的系数取最小值时，求展开式中的系数．【解】由（1）知，当展开式中的系数取最小值时，，或，时，此时的系数为12. 求的近似值，使误差小于．【答案】．【解】，，且第项以后的绝对值都小于，从第项起以后的项都可以忽略不计，即．13. 已知，若，(1)求的值；【解】，．由，即，故．(2)求的值；【解】，令，．(3)求的值．【解】令，14. 在的展开式中，(1)二项式系数最大的项是第几项？【解】在二项式系数中，最大，二项式系数最大的项是第项．(2)系数的绝对值最大的项是第几项？【解】设系数绝对值最大的项为，则，，即，，，，．故绝对值最大的项是第项．(3)系数最大的项是第几项？【解】由于系数为正的项为奇数项，故设的系数最大，即，，，，，，解得．系数最大的项是第项．15. 已知在的展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是． (1)求；【答案】的值为．【解】依题意有，化简得，解得或（不合题意，舍去）．所以的值为．(2)求含的项的系数；【答案】含的项的系数为．【解】通项公式为，令，得，所以含的项的系数为．(3)求展开式中所有的有理项．【答案】，，．【解】根据通项公式，由题意得，，，所以，，．所以第项，第项与第项为有理项，它们分别为，，．16. 求展开式的常数项．【解】因为，所以它的展开式通项为．当时，；当时，的展开式的通项为．因为且，所以只能取或，相应的值分别为或，即所以常数项为．17. 在的展开式中，求：(1)第项的二项式系数与第项的系数；【解】，第项的二项式系数是，第项的系数是．(2)倒数第项．【解】展开式中的倒数第项即为第项，．18. 求证：（）能被整除．【解】因为所以能被整除．19. 在二项式中有，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，它是第几项？【解】通项．结合题意知解得，∴系数最大的项为第项．20. 在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；【解】二项式系数之和为．(2)各项系数之和；【解】设展开式中，令，，则．(3)所有奇数项系数之和；【解】由（2）知．令，，可得，将两式相加，可得，即为所有奇数项系数之和．(4)所有项的系数绝对值的和．【解】展开式的通项公式为：（），所以奇数项系数为正，偶数项系数为负，由（2）知，由（3）知，①②得，①②得，即为所有项的系数绝对值的和．二项式定理的通项1. 已知，则的展开式中，关于的一次项的系数为．【答案】【分析】，令，得，所以的一次项的系数为．2. 的展开式中的系数等于，则实数．【答案】3. 的展开式中的系数是．（用数字作答）【答案】【分析】的展开式中的系数是．4. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为．【答案】5. 的展开式中的系数等于的系数的倍，则等于．【答案】【分析】由题意，所以，所以，．6. 已知二项式．(1)求展开式中第项的二项式系数；【解】的展开式的通项是．展开式的第项的二项式系数为．(2)求展开式中第项的系数；【解】展开式的第项的系数为．(3)求展开式的第项．【解】展开式的第项为．7. 已知的展开式中倒数第三项的系数为，求：(1)含的项；【解】已知展开式中倒数第三项的系数为，则，即，，解得（不合题意）或．由通项公式，得，，．故含有的项是第项，．(2)系数最大的项．【解】的展开式中共有项，系数最大的项是第项（在本题中系数最大的项也是二项式系数最大的项），．8. 若展开式中前三项系数成等差数列．求：(1)展开式中含的一次幂的项；【解】二项展开式的通项为：．由已知条件知，解得，或（舍去），则令，解得．∴含的一次幂的项为．(2)展开式中所有的有理项．【解】令，则只有当，，时，对应的项才为有理项，有理项分别为；；．9. 设．(1)求；【答案】．【解】令，得；(2)记（）的最小值为．（1）求；（2）若为奇数，求．【答案】①；②．【解】①；②，当，．记，则所以当时单调递增，而也递增，因此最小值为．当，综上．10. 已知展开式中偶数项的二项式系数之和比展开式中奇数项的二项式系数之和小，求第一个展开式的中间项．【解】展开式中偶数项的二项式系数之和为展开式中奇数项的二项式系数之和为，，即，解得，（舍）．．展开式的中间项为．二项式定理中的赋值法1. 设，则．【答案】2. 已知；那么；；；；．【答案】；；；；3. 若，则．【答案】【分析】令，得．令，得，所以．4. 若，则．（用数字作答）【答案】【分析】令，则；令，则，所以5. 若，则．【答案】【分析】令，则．6. 已知．求：(1) ；【解】令，则因为，所以．(2) ；【解】令，则得(3) ；【解】得(4) ．【解】因为展开式中，，，大于零，而，，，小于零，所以，即可得其值为．其他方法：，表示展开式中各项的系数和，所以．7. 已知，求：(1)；【解】令，得．令，得，所以．(2)；【解】令，得．得，所以．(3)．【解】因为与的展开式中对应项的系数的绝对值相等，而的展开式各项系数均为正数，所以即为的展开式的各项系数和，故．(1)求多项式的展开式中各项系数的和；【解】设其各项系数和即是．所以(2)多项式的展开式中的偶次幂各项系数的和与的奇次幂各项系数的和各是多少？【解】设（且为偶数），，．故的偶次幂各项系数的和为，的奇次幂各项系数的和为．9. 设，求：(1) ；【解】设．(2) ；【解】设．(3) ；【解】设．(4) ．【解】设．10. 在的展开式中，求：(1)二项式系数的和；【解】二项式系数和为．(2)各项系数的和．【解】令，各项系数的和为．二项式定理的应用1. 若 ( 为有理数)，则．【答案】2. 除以的余数是．【答案】【分析】，余数为．3. 除以的余数是．【答案】4. 如图所示，在杨辉三角中，从上向下数共有行，在这些数中非的数字之和为．【答案】【分析】所有数字的总和为，其中共有个．5. 设为奇数，则被除所得余数为．【答案】【分析】因此，被除所得余数为．6. 已知，，用二项式定理证明：．【解】利用二项式定理把左边的式子展开．，，，原式．由二项式系数的性质得．7. 求的值．原式【解】8. 化简：．【解】解法一：令，则也可得，将其相加，利用，，，得故．解法二：9. 用二项式定理证明：能被整除（）．【解】每一项都是的倍数，所以能被整除．10. 求证：（，且）．【解】因为，，所以的展开式至少有四项．因为．所以．课后练习1. 的展开式的常数项是（用数字作答）．2. 已知的展开式中常数项为，则的展开式中项的系数为．3. 在的展开式中，的系数是．4. 已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大，则展开式中系数最大的项为．5. 在二项式的展开式中恰好第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是．6. 若二项式的展开式中的第项是常数项，则．7. 已知的展开式中的系数为，则．8. 关于二项式有下列四个命题：①该二项展开中非常数项的系数和为；②该二项展开式中系数最大的项是第项；③该二项展开式中第项为；④当时，除以的系数是．其中正确的序号是．9. 的展开式中项的系数为．（用数字作答）10. 展开式的常数项为，则正数．11. 在的展开中，的系数为．12. 展开式中的系数是 (用数字作答)．13. 若，则．14. 在的展开式中的系数是．15. 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是．16. 已知，则，．17. 的展开式中，各项系数之和为．18. 若，则的值为．19. 设，则．20. 已知，则；．21. 除以的余数是．22. 除以的余数是．23. 设，则除以的余数为．24. 若，则的值为．25. 数的末尾连续的零的个数是．26. 若，在的展开式中最大的项为第几项？并求出这一项的值．27. 若的展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中含的一次幂的项；(2)展开式中所有含的有理数项；(3)展开式中系数最大的项．28. 求的展开式中的常数项．29. 已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的倍，而又等于它后一项系数的．(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．30. 今天是星期天，再过天后是星期几？31. 已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大，求展开式中系数最大的项和系数最小的项．32. 证明：．33. 求：(1) 展开式中的第项；(2) 的展开式中的第项．34. 若，则展开式中系数最大的项是哪一项？其值等于多少？35. 求证：．(1)在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？(2)的展开式奇数项的二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．37. 在的展开式中，奇数项的系数和是，求第项是多少？38. 在的展开式中，若第项与第项系数相等，则等于多少？39. 已知是等差数列中的一项．求证：的展开式中不含常数项．40. 已知的展开式中前三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项的系数．41. 请先阅读：设可导函数满足．在等式的两边对求导，得，由求导法则，得，化简得等式．(1)利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；(2)当整数时，求的值；(3)当整数时，证明：．42. 已知，求．43. 若．(1)求；(2)求；(3)求．44. 已知，求：(1) ；(2) ．45. 已知，定义．(1)记，求的值；(2)记，求的所有可能值的集合．46. 证明：若，则能被整除．47. 求证：能被整除．48. 已知二项式的展开式中第项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列，(1)求的值；(2)数列中，，，求证：能被整除．49. 求的十进制表达式中的个位数字．50. 用二项式定理证明：是的倍数．二项式定理-出门考姓名成绩1. 在的展开式中，的系数为．2. 已知，则二项式的展开式中的系数为．3. 已知，则二项式展开式中的系数为．4. 设的展开式的各项系数的和为，且二项式系数的和为，，则展开式中项的系数是．5. 若多项式，则．6. 的展开式的常数项为（具体数值作答）．7. 的展开式中与项的系数之比为．（用数字作答）8. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为．9. 在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．10. 的展开式中的常数项为．（用数字作答）11. 设，则．12. 在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）．13. 在的展开式中，系数为有理数的项共有项．14. 已知为实数，展开式中的系数是，则．15. 若在的展开式中，的系数是，则．16. 已知则．17. 若，且，则实数的值为18. 若，则．19. 若展开式中系数的和大于且小于，则正整数．20. 设，则（1）；（2）；（3）．21. 当时，有如下表达式：．两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：．22. 被除所得的余数是．23. 除以的余数是．24. 除以的余数是．25. 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为．26. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第几行从左至右的第个数与第个数之比为？27. 设集合，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为．(1)求的值；(2)求的表达式．28. 已知在的展开式中，第项为常数项．(1)求；(2)求含的项的系数；(3)系数是有理数的项共有多少项？29. 求的展开式中的系数．30. 在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．31. 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．32. 计算（精确到）；33. 设，试求展开式中含的项的系数．34. 求的展开式．35. 设成等差数列，求证：．36. 求的展开式中系数最大的项．37. 已知的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．38. 化简：．39. 设展开式中的第项与倒数第项的比是，求展开式中的第项．40. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．41. 已知等比数列，首项是展开式中的常数项，公比，设．(1)求；(2)求．42. 求的展开式中，(1)各项二项式系数之和；(2)奇数项二项式系数之和；(3)偶数项二项式系数之和；(4)各项系数之和；(5)各项系数绝对值之和；(6)奇数项系数之和与偶数项系数之和．43. 设数列是等比数列，，公比是的展开式中的第二项（按的降幂排列）．(1)用、表示通项与前项和；(2)若，则用，表示．44. 已知二项式．(1)展开式的中间项是第几项，写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(4)写出展开式中系数最大的项．45. 的展开式奇数项的二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大项．46. 求被除所得的余数（）．47. 如图，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们的中间留下一些通道，从上面的漏斗直通到下部的长方形框子，前面用一块玻璃挡住．把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层（有几个通道就算第几层）的六棱柱上面，以后，再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里过去，再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里过去……以此类推，最终落到下边的长方形框子中．假设我们总共在木板上做了层通道，在顶上的漏斗里一共放了（颗）小弹子，让它们自由落下，落到下边个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目（按照可能情形来计算）会是多少？你能用学过的二项式定理与概率的知识来解释这一现象吗？48. 求证：能被整除．49. 求的展开式中的常数项，其中是除以的余数．50. 将展开式的各项依次记为，，，．，，设．(1)是否存在，使得的系数成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求证：对任意，恒有．。
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高中数学学案:二项式定理
基础诊断
1. ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第4项为________．
2. 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2x 5中第3项的二项式系数为________；系数为________．
3. 在⎝
⎛⎭
⎪⎫1x ＋
1x 3n
的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和等于1 024,则中间项的二项式系数是________．
4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,则a1＋a2＋…＋a7为________．
范例导航
考向
例1在
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x－
1
2
3
x
10
展开式中,
(1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数；
(2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项．
已知数列{a n}是等差数列,且a1,a2,a3是⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋
1
2x
m
展开式的前三项的系数．
(1) 求m的值；
(2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋
1
2x
m
展开式的中间项．
考向
例2已知
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x＋
1
2
4
x
n
展开式的前三项的系数成等差数列．
(1) 求
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x＋
1
2
4
x
n
展开式中所有的有理项；
(2) 求⎝ ⎛⎭⎪⎫
x－
2
x2
n
展开式中系数的绝对值最大的项．
设⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a x 6(a>0)的展开式中x 3的系数为A,常数项为B,若B ＝4A,求展开式中第4项的系
数．
考向
例3 (1) 设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012＋a 能被13整除,则a ＝________；
(2) S ＝C 127＋C 227＋…＋C 27
27除以9的余数为________．
9191除以100的余数是________．
自测反馈
1. 若⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5
的展开式中x 5的系数为－80,则实数a ＝________．
2. (1－2x)5(2＋x)展开式中含x 3的系数为________．
3. 已知(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 20t 20,则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝________．
4. 若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋12x 3n
(n ∈N *)的展开式中含有常数项,则n 的最小值为________．
1. 通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r
体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理
的核心．
2. 二项式系数的性质,主要是“赋值法”的运用,在具体问题中求关于系数和通常转化为二项式中字母的特殊值．
3. 你还有哪些体悟,写下来:
第7课 二项式定理
基础诊断
1. －160x 解析:第四项为C 36·23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x .
2. 10 40 解析:由题意可知第三项为
C 2
5(
x)3
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 2
,则二项式系数为C 25＝10,系数为C 25·(－2)2
＝40.
3. 462 解析:奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于所有项二项式系数之和的一半,即1
2×2n ＝1 024,解得n ＝11,所以中间的两项是第6项、第7项,它们的二项式系数都为462.
4. －2 解析:令x ＝0,得a 0＝1；令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1,所以a 1＋a 2＋…＋a 7
＝－2.
范例导航
例1 解析:(1) 因为第4项的二项式系数为C 310＝120,又T 4＝C 3
10·x 10－32·⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－123x 3＝－15x 5
2,所以第4项的系数为－15.
(2) T r ＋1＝C r 10·x 10－r 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r
10·x 30－5r 6,当30－5r 6＝0,即r ＝6时,为常数项⎝ ⎛⎭
⎪⎫－126C 610＝10532,它是展开式的第7项．
解析:(1) 展开式为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…,依题意a 1＝1,a 2＝12m,a 3＝
m （m －1）
8
,由2a 2＝a 1＋a 3可得m ＝1(舍去)或m ＝8,即m 的值为8. (2) 由(1)可知m ＝8,那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m 展开式的中间项是第5项为T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. 例2 解析:(1) T 1＝C 0n (x)n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x 0,第一项系数为1,T 2＝C 1n
(x)n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x 1
,
第二项系数为12
n,T 3＝C 2n (x)
n －2
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x 2
,第三项系数为18n(n －1),若前三项系数成等差数列,则有n ＝1＋n （n －1）8,则n ＝8,因此⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式中,有理项有T 1＝x 4,T 5＝358x,T 9＝1256x －2. (2) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 28展开式的通项为T r ＋1＝C r
8(－2)r ·x4－52r,
再由C r 8·|(－2)r |≥C r －18·|(－2)r －1|及C r 8·|(－2)r |≥C r ＋18·|(－2)
r ＋1|得5≤r ≤6. 因此系数绝对值最大的项为T 6和T 7,T 6＝－1 792x －17
2,T 7＝1 792x －11.
解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·x 6
－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a)r C r 6·x6－32r. 令6－3
2r ＝3,则r ＝2,所以A ＝15a 2. 令6－3
2r ＝0,则r ＝4,所以B ＝15a 4. 由题意得15a 4＝4×15a 2,又a>0,所以a ＝2, 此时展开式中第4项的系数为(－2)3C 36＝－160.
例3 (1) 12 解析:题中512 012数据较大,无法研究与13的整除问题,考虑到512 012＋a ＝(52
－1)2 012＋a,按二项式定理展开,根据题意可得(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012＋C 12 012522 011·(－1)1＋C 22 012522 010·(－1)2＋…＋C 2 0112 012521(－1)2 011＋C 2 0122 012(－1)2 012＋a,除最后两项外,其余各项都有13的倍数52,故由题意可得C 2 0122 012(－1)
2 012＋a ＝1＋a 能被13整除,再由0≤a<13,可得a ＝12,故答案为12.
(2) 7 解析:S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98
＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2,
因此S 被9除的余数为7.
91 解析:9191＝(1＋90)91＝1＋C 19190＋C 291902＋…＋C 91919091,因此,9191
除以100的余数就是
1＋C 191×90除以100的余数,为91.
自测反馈
1. －2 解析:由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5
－r ·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x r ＝a 5－
r
·C r 5·x
10
－2r
·x －r 2＝a 5－r C r 5x10－52r.当10－52
r ＝5时,r ＝2,a 3C 25＝10a 3
＝－80,则a ＝－2. 2. －120 解析:(1－2x)5＝C 05＋C 15(－2x)1＋…＋C 5
5(－2x)5,则(1－2x)5(2＋x)展开式包含x 3
的系数为2·C 35·(－2)3＋C 25·(－2)2
＝－120.
3. 0 解析:因为(t 2－4)10的展开式不包含t 的奇次幂,所以a 1＝a 3＝…＝a 19＝0,则a 1＋a 3＋…＋a 19＝0.
4. 5 解析:该二项式的展开式通项为
T r ＋1＝C r n (3x 2)
n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·3n －r C r n x 2n －2r ·1x 3r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r ·3n
－r
C r n x
2n －5r
,展开式含有常数项,则令2n －5r ＝0,得2n ＝5r,所以展开式含有常数项的n 的最小值是5.。