高等数学常微分方程的基础知识和典型例题
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
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＿1…秒 －1e' dt)
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dt飞e1 dt J dx
1( － l
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·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy 2 dx 2 例如 y x , x sin t t , 线性的; dx dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
高等数学（上）
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
Ce
P ( x ) dx
过定点的积分曲线; 微分方程的图形
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
高等数学（上）
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程
三、一阶线性微分方程
cos x C.
所以原方程通解为
y
1 cos x C . x
高等数学（上）
1 sin x 求方程 y y 的通解. x x
1 解 P( x) , x
sin x Q( x ) , x
sin x y x ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
高等数学（上）
( x, C1 )
例3 求方程 xy
解
(5)
y
(4)
0 的通解.
(5)
设y
(4)
P ( x ), y
P ( x )
(4)
代入原方程 分离变量,得
xP P 0, （P 0）
1 2 两端积分,得 y C1 x C 2 , 2
原方程通解为
高等数学（上）
(整理)常微分方程(含解答)
第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。
二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。
四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。
五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。
会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。
六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。
所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。
关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。
【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。
【典型例题】。
的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。
的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。
下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
高等数学基础第十一章
形如 y'' +py' qy f (x)
（11-2）
的方程(其中p，q为常数)，称为二阶常系数非齐次线性微分方
程。称 y'' +py' qy 0为方程（11-2）所对应的齐次方程。
定理11.2 (非齐次线性方程解的结构) 若 yp是线性非齐次方程(2)的 某个特解， yc 为对应的齐次线性方程的通解，则 y yp yc 为
以 s t
t0 0
，ds
dt
t0 0
。代入上式得
C1 C2=0
所以
s t 1 gt2
2
二、微分方程的基本概念
定义11.1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微 分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶
把初始条件y x0 2 代入上式,得C 2
所以方程的特解为
y (x2 2)ex2
第三节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程
例1 求微分方程 y 2x sinx 的通解。
解
因为 y 2x sinx，所以
y' x2 cosx C1
y
1 3
x3
sinx
C1x
x3
1 5
x5 )
+
C2
例4 求微分方程(1 ex ) y'' y' 0 的通解。
解
设 y' p(x) ，代入方程，得
(1 ex ) p' p 0
分离变量得
dp p
常微分方程
x
dy u x du , 代入原式 u x du f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
即 du dx , 积分即可. f (u) u x
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y
代入方程, 得 2Ax
B
x(
Ax B)e2x
2A x
,
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
设原方程的通解为y u(x)
代入得u(x) sin x
x
xx
u(x) cosx c
通解为y 1 cosx C.
x
x e ( y)dy ( y 3e ( y)dy dy C)
y2
e2 (
y
3
e
y2 2
dy
C)
y2
2
Ce
y2 2
二、伯努利方程
伯努利方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
常微分方程讲义全文
6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
微分方程复习资料
r pr q 0
2
特征方程
,
特征根 r1 , 2
p
p 4q
2
2
通解的表达式
特征根的情况
1 r2 实根r r 1 2
实根r
y C 1e
y e
x
r1 x
C 2e
r2 x r2 x
y (C 1 C 2 x )e
复 根 r1 , 2
i
( C 1 cos x C 2 sin x )
y ce 为所求通解. （c为任意常数）
x
2
注：在求解微分方程过程中，若积分后出现了未知函数的 对数形式时（未知函数的因变量都在对数形式中出现）， 为简化讨论，则在等式的另一端加任意常数为lnc，且lnc前 面系数的分母及系数前的正负号与未知函数对数前系数的分 母及系数前的正负号保持一致。 lnc前面系数的分子一般取 为1。 因此，上例的求解可改写为：
2. 线性非齐次方程
通解为:
y [ Q( x )e
dy dx
P ( x ) dx
dx C ]e
P ( x ) dx
例1
求方程 y
1 x
y
sin x x
的通解.
解
P(x)
1 x
1 x
,
Q(x)
sin x x
1 x
,
y e
dx
sin x e x
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x, y) 一阶: y y0 x x0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x y 0 , y x x y 0 0 0
微分方程与差分方程详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
常微分方程辅导
常微分方程辅导〔填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。
〕第一章 初等积分法一．根本类型：曲线的切线。
例1． 曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。
分析： 〔1〕这是一个具有根本应用型的一阶方程，它通过斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。
〔2〕它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。
解：〔1〕设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22， 〔2〕该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．根本类型的求解（一）可别离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。
〔一阶线性方程是重点〕1．〔1〕可别离变量方程)()(x g x f dx dy= 别离变量有 ,)()()()(00C dx x f x g dyor dx x f x g dy y y x x ⎰⎰⎰⎰+==〔2〕求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。
求解方程2211x y dx dy ++=。
分析：1）这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解； 2） 它考核的是求解一阶可别离变量方程这一知识点。
解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C 1)。
例3． 求方程y xy dxdyx-=的通解. 分析：1〕这是一个一阶可别离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
(完整版)高等数学期末复习考试之常微分方程部分
第11章 常微分方程习题课一. 内容提要1.基本概念含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ϕ称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y Λ在同一点0x 处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法(1)对于可分离变量方程)()(d d y x xy ψϕ=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得x x y ψy d )()(d ϕ=, 再两边积分即得通解 C x x y y +=⎰⎰d )()(d ϕψ.(2)对于齐次方程d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 作变量代换x y u =,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-⎰⎰d )(d ,再以xy 代替u 便得到齐次方程的通解.(3)形如)(111d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程;②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但当k b b a a ==11时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程111)(d d a c v c kv f b x v +++=; 当11b b a a ≠时,只要作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X ,即⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x (其中),(00y x 是线性方程组⎩⎨⎧=++=++0 0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程)(d d 11Yb X a bY aX f X Y ++=. (4)全微分方程若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件xQ y P ∂∂=∂∂来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为⎰=-x x p C Y d )(e ;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解)(d e )(e d )(d )(⎰⎰+⎰=-x x Q C y x x p x x p .(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n xz -=-+. 3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解n n n n C x C x C x x f x y ++++=--⎰⎰111d )(d Λ4434421Λ次. (2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是 化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理.(3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是可化为一阶方程),(d d P y f yP P =.4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若n y y y ,,,21Λ是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为n n y c y c y c Y +++=Λ2211.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1ο设*k y (m k ,,2,1Λ=)是方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--Λ的解,则∑=*mk k y 1是方程∑=--=+'+++mk k n n n n x f y x p y x p y x p y11)1(1)()()()()(Λ 的解. 2ο若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)(Λ)(i )(21x f x f + 的解,则此解的实部)(x u 是方程)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解;虚部)(x v 是方程)()()()(21)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1ο写出01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n Λ的特征方程0111=++++--n n n n p r p r p r Λ，并求特征根；2ο根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解ο1对于x m x P x f λe )()(=,应设特解x m k x Q x y λe )(=*x m m m m k a x a x a x a x λ)e (1110++++=--Λ, 其中k 等于λ为特征根的重数(n k ≤≤0),01,,,m a a a L 是待定系数.将*y 代入原方程,可定出01,,,m a a a L ,从而求得*y .ο2对于()e [()cos sin ]x l s f x P x x P x λωω=+ (0≠ω),应设特解 ]sin )(cos )([e x x T x x R x y m m x k ωωλ+=*,其中k 等于i μλω=+为特征根的重数(20n k ≤≤),)(),(x T x R m m 是待定的},max{s l m =次多项式.将*y 代原方程,即可定出)(),(x T x R m m ,从而求得*y .或因为()e [()cos ()sin ]x l s f x P x x P x x λωω=+Re e (()i ())(cos isin )x l s Px P x x x λωω⎡⎤=-+⎣⎦ (i )Re ()e x m Q x λω+⎡⎤=⎣⎦（其中()m Q x ()i ()l s P x P x =-是max{,}m l s =次的复系数多项式）.对于方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+可设其特解 (i )()e k x m Y x Z x λω*+=，（()m Z x 是m 次待定复系数多项式，k 等于i μλω=+为特征根的重数），将(i )()e k x m Y x Z x λω*+=代入方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+中，可定出()m Z x ，于是(i )()e k x m Y x Z x λω*+=，从而原方程的特解Re y Y **=.3o 特例(i )()(1)(i )11()e ()cos ()e ()sin ()e ,()e x x l l x l n n x n n l f x P x x f x P x x Y Z x y p y p y p y P x λλλωλωωω*+-+-==='++++=L 当或时,设将其代入,求得,Re Im .Y y Y y Y *****==则原方程的一个特解或6.Euler 方程的解法(1) 形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ的线性变系数微分方程称为Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2) 解法只需作变换 t x e =,即x t ln =,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子td d D =,则 y y x D =',y y x )1D(D 2-='',,Λy n y x n n )1(D )1D(D )(+--=Λ, 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数)(x y y =,据已知条件写出相关的量;(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3) 提出定解条件;(4) 求定解问题的解;(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)1.填空题(1)已知2e 1x y =及2e 2x x y =是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解,则其通解为 )(e 212x C C x +.解:因2e 1x y =,2e 2x x y =都是解,且线性无关,故)(e 212x C C x +是通解.(2)设一质量为m 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为v k R =,则其下落的距离s 所满足的微分方程是s g m ''=, 初始条件是 (0)0,(0)0 s s '==. 解:因为ma F =,而v k mg F -=,s v '=,s a ''=,故得方程s m s k mg ''='-,化简得g s mk ='+''s ; 在如图所示的坐标系下,初始条件为 0)0(,0)0(='=s s . (3)微分方程x x y y y e 62=+'-''的特解*y 的形式为 )e ( 2x b ax x +.解: 因为特征方程为0122=+-r r ,121==r r ,而1=λ是二重特征根,故应设x b ax x y )e (2+=*.(4)若x x x x y x y x y 522322221e e ,e ,++=+==都是线性非齐次微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,则其通解为25212 e e x x C C x ++.解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可O s (0)s ()s t知,x y y Y 2121e =-=, x y y Y 5232e =-=都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为x x C C Y C Y C Y 52212211e e +=+=;由非齐次方程解的结构得其通解252211e e x C C y Y y x x ++=+=.(5)(补充)已知)(x f 满足⎰+=x t t f t x xf 0 2d )(1)(,则221() e x f x x =.解:两边对x 求导得)()()(2x f x x f x x f ='+,整理得()1()()f x x f x x'=-, 分离变量后积分得c x x x f ln ln 2)(ln 2+-=,即22e )(x x c x f =,0≠x ; 又当1=x 时,)1e (1d e 1)1(211 0 222-+=+=⎰c t t c t f t ,即c c c -+=2121e 1e 故1=c ,所以22e 1)(x xx f =. (6)(补充)设)(x f 有连续导数,且1)0(=f .若曲线积分⎰-+L y x x f x x yf 2d ])([d )(与路径无关,则 22e 3 )(--=x x f x .解: 记2)(),(x x f Q x yf P -==.因为积分与路径无关,故有xQ y P ∂∂=∂∂,即x x f x f 2)()(-'=,亦即x x f x f 2)()(=-'.它的通解为 ]d e 2[e ]d e 2[e )(d d c x x c x x x f x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰--x c x e 22+--=. 由1)0(=f 得3=c ,于是22e 3)(--=x x f x .2π4(),=()1(0)π,(1) πe .y x y y x x y o x x y y αα∆=∆=+∆+==(7)(补充)已知在任意点处的增量其中， 则解：由题设知，2d .d 1y y x x =+ arctan 12π4d d ln arctan ,e .1(0)ππ,(1)πe .x y xy x C y C y xy C y ==+=+===分离变量得，积分得即由得故2.选择题(1)函数221e c x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的(A) 通解. (B)特解.(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.答( D )解:因为221e c x c y +=x c 2e =,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.(2)微分方程x y y 2sin 222='-'',其特解形式为=*y(A)x C x B A 4sin 4cos ++. (B)x Cx x Bx A 4sin 4cos ++.(C)x C x B Ax 4sin 4cos ++. (D)x Cx x Bx Ax 4sin 4cos ++. 答( C)解:x y y 2sin 222='-''1cos 4x =-,特解为***+=21y y y .因为022=-r r ,2,021==r r ,而0=λ是特征方程的单根,故应设Ax y =*1;而i 4i =+ωλ不是特征方程根,故应设x C x B y 4sin 4cos 2+=*,因此***+=21y y y x C x B Ax 4sin 4cos ++=.(3)微分方程x y x y y x d )45(d )2(+=-是(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程.(C)齐次方程. (D)可分离变量方程.答( C )解:原方程可化为x yx y yx y x x y -⋅+=-+=245245d d .(4)(补充)具有特解x y -=e 1,x x y -=e 22, x y e 33=的三阶常系数线性齐次微分方程是(A)0=+'-''-'''y y y y . (B)0=-'-''+'''y y y y . (C)0=-'+''-'''y y y y . (D)0=+'-''+'''y y y y .答( B )解: 由方程的特解可知,其特征根为1,1321=-==r r r ,于是特征方程为0)1()1(2=-+r r 即0123=--+r r r ,故方程为0=-'-''+'''y y y y .(5)(补充)方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点处与直线1πy x +=-相切的积分曲线为(A)x C x C y 3sin 3cos 21+=. (B)x C x y 3sin 3cos 2+=. (C)x y 3cos =. (D)x x y 3sin 313cos -=.答( D) 解:因为092=+r ,i 32,1±=r ,故通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.由初始条件1)(,1)(='-=ππy y 得31,121-==C C ,所以所求积分曲线为 x x y 3sin 313cos -=.(6)(补充) 方程x y y x sin 3e )4(+=-的特解应设为 (A)x B A x sin e +.(B)x C x B A x sin cos e ++.(C)x C x B Ax x sin cos e ++. (D))sin cos e (x C x B A x x ++.答(D)解:对应的齐次方程的特征方程为014=-r ,特征根为 i ,i ,1 ,14321-==-==r r r r .令)()(sin 3e )(21x f x f x x f x +=+=.对于x x f e )(1=,因1=λ是 单特征根,故设x Ax y e 1=*;对于x x f sin 3)(2=,因i i μλω=+=是单特征 根,故设)sin cos (2x C x B x y +=*；从而)sin cos e (21x C x B A x y y y x ++=+=***. (7)(06考研)函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 (A)23e x y y y x '''--=. (B) 23e x y y y '''--=. (C) 23e x y y y x '''+-=. (D) 23e x y y y '''+-=.答(D)解:因为121,2r r ==-，即特征方程为220r r +-=，故排除（A ）、 （B ）.由1λ=是特征方程的单根，知()e x f x A =，故排除（C ）. 3.求下列方程的通解(2) ()x y y x y -=ln 2d d ; 解:方程化为y yx y y x ln 22d d =+,是一阶线性方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y y x y y yyd e ln 2e d 2d 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⎰C y y y y y d ln 2122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=C y y y y 22241ln 2121221ln -+-=Cy y .(5)0d d d d 22=+-++y x yx x y y y x x ;解:原方程可化为()()0arctan d 21d 21d 22=⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x ,故通解为C yx y x =++arctan 212122. (10) y x x y +=+'2.解:设y x u +=2,即y x u +=22,则x xu u x y2d d 2d d -=.代入原方程得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121d d u x x u .此为齐次方程,再设xu v =,则x v x v x u d d d d +=,故方程化为v v x v x v 21d d +=+.分离变量为 x x v v v v d 112d 22-=--，两边积分得 ()()()12ln ln 1ln 3112ln 3112ln 21C x v v v v +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---.代回原变量并整理得 ()C xy x y x ++=+23332.4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)()0d 2d 223=-+y xy x x y ,11==x y;解:原方程化为()2232d d x xy y x y -=,即2322d d x yx y y x -=-.令1-=x Z ,得322d d yZ y y Z =+.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C y y Z y yyyd e 2ed 23 d 2()C y y +=ln 212,即 ()C y y x +=ln 2112,故通解为()C y x y +=ln 22.由11==x y,得1=C ,所以特解为 ()1ln 22+=y x y . (3)02sin 2=-''y y ,()20π=y ,()10='y ;解:令y P '=,则y P P y d d ='',原方程化为 y y yP P cos sin 2d d 2=,即y y P P sin d sin 2d 2=.积分得 C y P +=22sin .由()20π=y ,()10='y ,得0=C ,故y P y sin =='.解之得C x y+=2tan ln .由()20π=y ,0=C .故特解为 x y e arctan 2=.5(补充).设x y e =是微分方程x y x p y x =+')(的一个解,求此微分方程满足条件0)2(ln =y 的特解.解:将x y e =代入微分方程得)(e x p x x +x x =e ,解之得x x x p x -=-e )(,于是此微分方程为x y x x y x x =-+'-)e (,即1)1e (=-+'-y y x .其对应的齐次方程的通解为xxC Y +-=ee ,于是此微分方程的通解为xxx C y e ee +=+-.由0)2(ln =y 得21e--=C ,故特解为21e ee -+--=x xx y .6(补充).设)(:x y y L =是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点),(y x 处的曲率为211y '+,且此曲线上点)1,0(处的切线方程为1+=x y ,求该曲线的方程.解:因为曲线向上凸,故0<''y ,于是有='+''-32)1(y y 211y '+,化简得二阶方程)1(2y y '+-=''.令y P '=,则P y '='',故方程化为)1(2P P +-='.分离变量后积分得x C P -=1arctan .由题设有1)0()0(='=y P ,于是可定出41π=C ,所以πtan()4y P x '==-,再积分得2πln cos()4y x C =-+.由1)0(=y 得2ln 2112+=C ,因此该曲线:L π1ln cos()1ln 242y x =-++. 7(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm 0.问至少需经过多少年,湖泊中污物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的.)解:设2000年初(记此时0=t )开始,第t 年湖泊中污物A 的总量为m ,浓度为V m ,则在时间间隔]d ,[t t t +内,排入湖泊中污染物A 的量为t mt V V m d 6d 600=⋅,流出湖泊的水中A 的量为t m t V V m d 3d 3=⋅,因而在此间隔内湖泊中污染物A 的改变量为t m mm d )36(d 0-=,005m m t ==.分离变量解得30e 2t C m m --=,由005m m t ==得029m C -=,故)e 91(230t m m -+=.令0m m =,解得 3ln 6=t ,即至少需经过3ln 6年湖泊中污物A 的含量降至0m 以内.8.求下列Euler 方程的通解(2)x y y x y x =+'-''642.解:设tx e =,方程化为 t y t yty e 6d d 5d d 22=+-.………………….（*）0652=+-r r ⇒21=r ,32=r . t t C C y 32 21e e +=. 设t a y e =*,代入方程（*），得 ()t t a a a e 65e =+-.由此定出21=a ,故ty e 21=*.从而原方程的通解为 x x C x C y 213221++=.9.设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S , 都有0d d e d d )(d d )(2=--⎰⎰y x z x z x xyf z y x xf xS， 其中()x f 在()+∞,0内具有连续的一阶导数,且()1lim 0=+→x f x ,求()x f .解:由曲面积分与曲面无关的条件0=∂∂+∂∂+∂∂zRy Q x P ,有 ()()()0e 2=--+'x x xf x f x f x ,即()()x x x f x x f 2e 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--'.所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-C x x x f x x x x x d e e 1e d 112d 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎰-C x x x x x x x d e e 11e 2()C xx x +=e e 1.由()1lim 0=+→x f x ,即()1e e 1lim 0=++→C xx x x ,可求出1-=C ,故 ()()1e e 1-=x x xx f .10(补充).设函数)0)((≥x x y 二阶可导且1)0(,0)(=>'y x y .过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P ,作该曲线的切线及Ox 轴的垂线,上述二直线与Ox 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间] ,0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求此曲线)(x y y =的方程.解:曲线)(x y y =上点),(y x P 处的切线方程为))((x X x y y Y -'=-.切线与Ox 轴的交点为)(0 ,)()(x y x y x '-.由1)0(,0)(=>'y x y ,知0)(>x y ,于是211()()()2()2()y x y x S y x x x y x y x ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭;而⎰=x t t y S 0 2d )( (0≥x );故由条件1221≡-S S 得1d )( 02=-'⎰x t t y y y ,由此还可得1)0(='y .将1d )( 02=-'⎰x t t y y y 两边对x 求导并整理得2)(y y y '=''.令P y =',则y P P y d d ='',于是方程化为P yP y =d d ,解之得y C P y 1==',由1)0(='y 和1)0(=y 得11=C ,于是y y =',从而x C y e 2=.再由1)0(=y 得12=C ,故所求曲线方程为x y e =.11(06考研).设函数()f u 在(0, )+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220zz x y ∂∂+=∂∂. （1） 验证()()0f u f u u'''+=； （2） 若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. 解: （1）由(),z f u u ==()2222223222()()()y z z x f u f u f u x x x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++，()2222223222()()()y z z x f u f u f u y y x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++. 因为22220z z x y ∂∂+=∂∂，所以有()0f u ''+=，即 ()()0f u f u u'''+=. （2）由（1）得11()f u C u '=+，由(1)1f '=知10C =，即1()f u u'=；于是得2()ln f u u C =+，由(1)0f =，得20C =，所以()ln f u u =.12(07考研).解初值问题2(),(1)1,(1) 1.y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩解：令2,,(),y P y P P x P P '''''==+=则原方程化为即d 1.d x x P P P-=于是()11d d 111e e d d ().PPPP x C P P P C P P C P ---⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由11d (1)1,0,d x yP y C P x='=====得且即解得322221,(1)1,33y x C y C =+==又由得故3221.33y x =+12（07考研）. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在(, )-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足 240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--=== （I ）证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L（II ）求()y x 的表达式.解：（I ）对0n n n y a x ∞==∑求一、二阶导数，得1212,(1),n n n n n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=并整理得201(1)(2)240.nnnn n nn n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑ 于是 202240,(1)(2)2(2)0,1,2,,n n a a n n a n a n +-=⎧⎨++-+==⎩L从而有 22,1,2,.1n n a a n n +==+L（II ）因为01(0)0,(0)1,y a y a '====故 20,0,1,2;k a k ==L212121*********,0,1,2,.21!!k k k k a a a a a k k k k k k k +---=======-L L所以22212121000()e ,(, ).!!k k nk x n k n k k k x x y a x a xx x x k k ∞∞∞∞+++=========∈-∞+∞∑∑∑∑213().()()3()6,()1().f x xf x f x x y f x x x D x f x '-=-==补充设满足且由曲线与 直线及轴所围的平面图形绕轴旋转一周得到的旋 转体的体积最小,求33d d 3232.()36,1()e6e d 6d 6.xx xx f x y y x x y f x C x x x C x x Cx x ---⎰⎰'-=-⎡⎤⎡⎤==+-=-⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+满足的方程解可写为 其通解：()112322001265402()π()d π(6)d π(1236)d 36 π2.75V C f x x Cx x x C x Cx x xC C ==+⎰⎰=++⎰=++旋转体的体积为()2322π()π207,()0,777.()67.C V C C V C C f x x x '''=+==-=>=-=-令，得惟一驻点且故是极小值点，也是最小值点于是。
第六讲 常微分方程
第六讲 常微分方程 一 知识点详解（一）常微分方程的概念 1内容展开（1） 定义：含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程 （2） 微分方程的阶：微分方程中含有的未知函数的导数色最高阶称为微分方程的阶 （3） 微分方程的解：1） 解得定义：将()y f x =带入微分方程，使方程称为恒等式，则称()y f x =是微分方程的解 2） 通解：微分方程的解中含有自由常数，且含独立自由常数的个数等于微风方程的阶数，则称该解为通解3） 特届：不含任意常数的解称为微分方程的特解。
求特解时，初始条件的个数等于微分方程的阶数 （二）一介微分方程 1 内容展开（1）变量可分离微分方程 1）方程形式()()'y f x g y =2) 解法 当()0g y ≠时，()()()()'dyy f x g y f x dx g y =⇔= 两边求不定积分()()dy f x dx C g y =+⎰⎰其中拨C 为任意常数，其中()dyg y ⎰表示函数()1g y 的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数若0y 使()00g y =，则0y y =也是原方程的一个特解注：①尽可能把y 写成x 的函数，也尽可能把y 从对数中“解脱”出来 ②不要漏掉()00g y =这种常数解 （2）齐次微分方程 1）方程形式 'y y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭2）解法 令y u x =由于''y u xu =+，所以微分方程'y y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭变为()()'1u f u u x =-，这是关于未知函数u 的一个变量可微分方程，由此方程解得未知函数()u u x =，进而得到微分方程的解()()y x xu x =（3）一阶线性微分方程 1）方程形式 ()()'y p x yq x +=当右端项()q x 恒为零时称其为一阶齐次线性微分方程，否则称其为一阶非齐次线性微分方程 2）解法()()()p x dx p x dy y e q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (4)伯努利方程1）方程形式 形如()()()',0,1n y p x y q x y n +=≠2）解法 令1n u y -=，则伯努利方程变为()()()()'11u n p x u n q x +-=-，这是关于未知函数()u u x =的一个一阶线性微分方程 （5）全微分方程1）方程形式 ()(),,0p x y d x Q x y d y+=，若P Qy x∂∂=∂∂，该方程称为全微分方程 2）解法()()()()00,,,,x y x y P x y dx Q x y dy C +=⎰2 记忆方法（1）齐次微分方程和一阶齐次线性微分方程最终都要化为变量可分离微分方程求解 （2） 齐次微分方程的基本方法是：令y u x=; (3) 一阶非齐次线性微分方程的求解就是记公式 3 例题讲解【例6.1】微分方程()'1y x y x-=的通解是（） 解析：可分离变量微分方程()()11,y x x dy dy dx dx x y x--== 1,dy dx dx y x =-⎰⎰⎰即ln ln y x x C =-+所以xy Cxe -=【例6.2】微分方程'2ln xy y x x +=满足()119y =-的解为（） 解析： 将'2ln xy y x x +=化为'2ln y y x x+=带入通解公式得 222ln 2ln ln ln dx dxx x x x y e x e C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰221ln x xdx C x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2ln 39x x C x x=-+由()119y =-求得0C =所以1ln 33x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例6.3】 微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y=（）解析：令y ux =，有dy du u x dx dx =+原方程化为312du u x u u dx +=-即 32du dx u x =-，积分得21ln x C u =+即22ln x y x C=+ 由于1,1,x y ==得C=1，所以得解y =（三）可降阶微分方程 1内容展开 （1） 方程()()n yf x =求n 次定积分得解（2） 方程()''',y f x y =这类方程的特点是不显含未知函数y ，显含自变量x ，令()'p x y =，则微分方程()''',y f x y =变为()',p f x p =，这是关于()p p x =的一个一阶微分方程（3） 方程()''',y f y y =这类方程的特点是不显含自变量x ，显含未知函数y ，令()'p y y =，则2'2d y d p d p d y p p d x dx dy dx===，因此微分方程()''',y f y y =变为()',p p f y p =这是一个以y 为自变量，()p y 为未知函数的一阶微分方程2记忆方法1） 方程形如()''',y f x y =时，令()'p x y = 2） 方程形如()''',y f y y =时，令()'p y y =3例题讲解【例6.4】微分方程()2'''0yy y+=满足初始条件'011,2x x yy ====的特解是（） 解析：令''',d p d p d y d p y p y p d x d y d x d y ===⋅=原方程化为：20dp yp p dy+=得00dpp yp dy=+=或 0p =不满足初始条件'01x y ==舍弃0dpyp dy +=按分离变量法解之得1C p y=由初始条件'012x y ==解得112C =于是得12dy dx y=解之得22y x C =+以'01x y ==带入，得21C =且取+号所以y =（四）二阶线性微分方程解得性质1内容展开()()()'''y p x y q x y f x ++= ①非齐次()()'''0y p x y q x y ++= ②齐次（1） 若12,y y 是②得解，则123c y c y +也是②的解，其中12,c c 为任意常数 （2） 若12,y y 是②得两个线性无关的解12y c y ⎛⎫≠⎪⎝⎭，则1122yc y c y =+ 是②的通解 （3） 若12,y y 是①的解，则12y y -为②得解（4） 若y是②的通解，*y 是①的特解，则*y y y =+ 是①的通解 （5） 若*1y 是()()()'''1y p x y q x y f x ++=得解，*2y 是()()()'''2y p x y q x y f x ++=的解，则**12y y +是()()()()'''12y p x y q x y f x f x ++=+得解 2记忆方法与线性代数中方程组得解的理论是类似的 3例题讲解 无（五） 高阶常系数线性微分方程 1 内容展开（1） 二阶常系数齐次线性微分方程1） 方程形式 '''0y ay by ++=，其中a,b 是常数 2） 解法（特征方程法）方程20a b λλ++=称为它的特征方程，特征方程的根12,λλ称为它的特征根 ①当12λλ≠且均为实数时，微分方程的通解是()1212xxy x C e C eλλ=+②当12λλ=时，微分方程的通解是()1112xxy x C e C xe λλ=+③当1,2i λαβ=±时，微分方程的通解是()()12cos sin x y x e C x C x αββ=+ （2） 高于二阶常系数齐次线性微分方程方法和二阶常系数线性微分方程类似（3） 二阶常系数非齐次线性微分方程 1） 方程形式()'''y ay by f x ++=2） 解法：由解得性质知，需找到对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，下找特解： ①右端项为()xn f x Pe μ=其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()*k x n yx x Q x e μ=，其中A) ()1110nn n n n Q x a x a xa x a --=++++ ，为n 次多项式的一般形式；B) k 的取值：当μ不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当μ是'''0y ay by ++=的单特征根时，k=1 当μ是'''0y ay by ++=的复特征根时，k=2 将()()*k x n yx x Q x e μ=代入微分方程()'''xn y a y b y P x e μ++=求出特定系数(),0,1,2,3,k a k n =②右端项为()()cos xn f x e P x x αβ=的方程，其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()()*cos sin k x n n yx x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中“A ）()1110,nn n n n Q x a x a x a x a --=++++ ()1110,n n n n n W x b x b x b x b --=++++B)k 的取值：当i αβ±不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当i αβ±是'''0y ay by ++=的特征根时，k=1 将()()()*cos sin k x n n y x x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦代入()'''c o s x n y a y b y eP xαβ++=求出待定系数(),0,1,2k k a b k n =注：数三只要求自由项为多项式函数，指数函数，正炫函数，余弦函数的二阶常系数非齐次方程 2记忆方法（1） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数和kx （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ中的μ的作为特征根的重数）（2） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数，相同系数正炫函数与余弦函数，和k x （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ和三角函数()cos sin x x ββ和中的i αβ±是否为特征根）3例题讲解【例6.5】求微分方程'''2432x y y y e -+=的通解解析：与所给方程对应的齐次线性微分方程为'''430y y y -+=它的特征方程为2430r r -+=得特征根121,3r r ==所以，对应齐次线性微分方程的通解为312x x Y C e C e =+由于2不是特征方程的根，故设该非齐次线性微分方程的特解为*2xy Ae=，将()()'''*2*2*2,2,4x x xy Ae y Ae y Ae ===带入原方程，有222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=解得2A =-所以*22x y e =-所以，原方程通解为*32122x x x y Y y C e C e e =+=+- （六） 欧拉方程 1内容展开（1） 方程形式 形如()2'''x y axy by f x ++=的微分方程称为2阶欧拉方程，其中a ，b是常数（2） 解法，当0x >时，令'x e =，欧拉方程变为()2'2(1)d y dya by f e dt dt+-+=，这时一个以t 为自变量，y 为未知函数的2阶线性常系数微分方程当0x <时，作变量代换'x e =-，可类似求解 2记忆方法当0x >时令'x e =；当0x <时，令'x e =- 3例题讲解 无 （七） 差分方程 1内容展开 （1）定义一阶常系数齐次线性差分方程 10t t y ay ++=一阶常系数非齐次线性差分方程 ()1t t y ay f t ++=其中()f t 为已知常数，a 为非零常数 （2）其次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得一阶常系数齐次线性差分方程的通解为：()()tC y t C a =⋅-其中C 为任意常数（3） 非齐次差分方程的解得性质1） 若*y 是非齐次差分方程的一个特解，()C y t 是齐次差分方程的通解，则非齐次差分方程的通解为()*t C t y y t y =+2） 若1t y y 和分别是差分方程()11t t y ay f t ++=和()12t t y ay f t ++=的解，则1t y y +是差分方程()()112t t y ay f t f t ++=+得解 （4） 非齐次差分方程的特解形式非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式的设定如下表2记忆方法其次差分方程1t t y ay ++的通解为()()tC y t C a =⋅- 非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式设定如下3例题讲解【例6.6】差分方程121050t t y y t ++-=的通解为（） 解析：原方程的一般形式为1552t t y y t ++=对应的其次差方程为150t t y y ++=，其通解为()()'5C y t C =-（C 为任意常数）()52f t t =是t 的一次多项式且51a =≠-，故设原方程的特解*t y At B =+带入原方程得()()5152A t B At B t ++++=即5662At A B t ++=比较系数知 55,1272A B ==-故*51126t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而原差分方程的通解为()()'*515126t C t y y t y C t ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭三 典型例题【例6.7】设函数()y x 连续，求解方程：()()2012xy s ds y x x +=⎰1） 分析：题目中遇到变项积分一般都是要求导数的 2） 解析：易判断()y x 可导，等式两端对x 求导得：()()'122y x y x x +=在原方程中令()000x y ==得从而得初值问题()'2400y y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩这是含初始条件时的一阶非齐次线性微分方程，由公式有：222421dx dx xy e xe C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪⎝⎭⎰代入初始条件()001y C =⇒=所以221x y x e -=-+3） 备注：变限积分与微分方程综合考察时，注意确定初始条件，方法—令积分上下限取值相同 【例6.8】求微分方程''cos y y x x +=+1） 分析：自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程的特解利用解得叠加原理 2） 解析：原方程对应的 齐次方程''0y y +=的特征方程为210λ+=，特征根1,2,i λ=±故齐次方程的通解为12cos sin yC x C x =+ 设非齐次方程''y y x +=的特解为1y Ax B =+代入方程，得A=1，B=0所以1y x = 设非齐次方程''cos y y x +=的特解为2c o s s i n y Ex x Dx x =+代入方程得10,2E D ==所以21sin 2y x x = 由于12y y +为原方程''cos y y x x +=+的一个特解，所以原方程的通解为12121cos sin sin 2y yy y C x C x x x x =++=+++ 3）备注：数学三不要求自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程，但大家要学会自由项为一项时的二阶常系数非齐次线性微分方程，即数学三考生要学会解微分方程''y y x +=和''cos y y x +=。
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常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程1.（05,4分）微分方程_________.12ln (1)9xy y x x y '+==-满足的解为2222223332.+ln ,=ln .111ln ln ln .339111(1)0ln .939dx xdy y x e x dx xdx x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ⎰==+=+-=-=⇒=-⎰⎰分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得(y)= 积分得 y=C+由得2.（06,4分） (1)y x x-'————.微分方程y =的通解为 111(1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y xy Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1.（97,2,5分）222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解.22223122+1-23,1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u xu u x C u u Cx y C u x xy y x x-=-+-+-=-++-=+-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0.分离变量得 积分得 即以代入得通解2.(99,2,7分)1(0(0),0x y dx xdy x y =⎧+-=>⎪⎨=⎪⎩求初值问题的解.1,2y ,(()0,0.ln(.u dx dy x dy xdu udx x u x xdu udx xdu dx x x u C u Cx yCx x=+-+=-=-====解：所给方程是齐次方程(因,的系数(与(-)都是一次齐次函数）. 令带入得化简得分离变量得积分得 ln 即 以代入原方程通解为221.10,=1.(1).2x yC x y x ====-再代入初始条件得故所求解为 ，或写成（三）全微分方程 练习题2()(0)0,(0)1,()()()f x f f xy x f x f x x f x '=='(94,1,9分）设具有二阶连续导数，且[(+y)-y]dx+[+y]dy=0为一全微分方程，求以及全微分方程的通解222200222[()()][()],2()()2,()().()0,1()2cos sin 2.[2(2cos sin )](22sin co x x xy x y f x y f x x y y xx xy f x f x xy f x f x x y y xf x y y f x x x x xy y x x y dx x y x x ==∂∂'+-=+∂∂''''+-=++=''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩=++-+-+++-+解：由全微分方程的条件，有即亦即因而是初值问题的解，从而解得原方程化为22222222s )0.11()2()(2sin cos )(2sin cos )0,221[2(cos 2sin )]0.212(cos 2sin ).2x dy y dx x dy ydx xdy yd x x x x dy d x y xy y x x x y xy y x x C =+++----=++-=++-=先用凑微分法求左端微分式的原函数：其通解为（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程244y4.98,3()=,01(0)=(1)()2.().().().y y x x y x x xx y y A B C e D e ππααππππ=∆∆+∆→+∆（分） 已知函数在任意点处的增量当时,是的高阶无穷小，，则等于 （ ）2arctan 2arctan 41,ln arctan ,.1(0)(),(1).()xx yy xdy dx y x C y Ce y xy y x e y e D πππππ'=+'==+=+===分析：由可微定义，得微分方程.分离变量得两边同时积分得即代入初始条件，得C=，于是由此，应选二、二阶微分方程的可降阶类型5.00,330xy y '''+=（分） 微分方程的通解为_____3303212=P()y =P 330,.y x C xP P x x y P x x C y C x''''''''+====+分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令，则，方程可化为一阶线性方程标准形式为P +P=0，两边乘得(P )=0.通解为.再积分得所求通解为 20016.02,312x x yy y y y==''''+==（分）微分方程=0满足初始条件，的特解是_____ 20111()(.120,ln ln 1101,221,22x dy dP dP y P y y y P dx dx dydP dPyPy P P y dy dy dP dyP yCP y C C yx y P y C y P ydy y =''''===='=+=''===='==分析：这是二阶的可降阶微分方程. 令以为自变量)，则代入方程得+P =0，即+=0(或=0,，但其不满足初始条件）.分离变量得 积分得+=，即P=(P=0对应=0)；由时，=得，于是2 2.2.,11x dx y x C yC y ===+===积分得又由得，所求特解为三、二阶线性微分方程（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构12127.01,3(sin cos )(,)x y e C x C x C C =+（分） 设为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.122212121212121221()()()220.220.(sin cos )[()sin ()cos ],(2s x x x r r i r r r r r r r r r r r r y y y y e C x C x y e C C x C C x y e C =±--=-++=-+='''-+==+'''=-++=-分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是，，从而得知特征方程为由此，所求微分方程为分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解求得112in 2cos ),,220.x C x C C y y y +'''-+=从这三个式子消去与得（二）求解二阶线性常系数非齐次方程29.07,4432=_____x y y y e y '''-+=（分） 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为222232.1243(1)(3)01, 3.,2.(483)2 2.2.x x xxx x x e y Ae A A A e e A y C e C e e αλλλλλλα-+=--====*=-+=⇒=-=+-分析：特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得因此，通解为10.(10,10)322x y y y xe '''-+=分求微分方程的通解. 2122122221320,1,2.2()2,1().(4)223[(2)]2()2,222,x x x x y C e C e f x xe y x ax b e ax a b x a b ax a b x b ax bx x ax a b x a αλλλλα︒︒-+===⇒=+==*=+++++-+++++=-+-=⇒=分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.由相应的特征方程得特征根相应的齐次方程的通解为非齐次项是单特征根，故设原方程的特解代入原方程得 即212121, 2.3(2),x x x b y C e C e x x e C C ︒-=-=+-+原方程的通解为其中，为两个任意常数.（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型22222042,41sin ()(sin cos ).()(sin cos ).()sin .()cos .y y x x A y ax bx c x A x B x B y x ax bx c A x B x C y ax bx c A x D y ax bx c A x '''+=++*=++++*=++++*=+++*=+++（，分）微分方程的特解形式可设为（ ）222210,.11sin 2,(2)()sin sin (0,1),(sin cos ).(sin x i y y x y y x y ax bx c f x e x x i y x A x B x y ax bx c x A x αλλβαβαβ+==±''''+=++=*=++====±*=+*=+++分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是特征根为由线性方程解的迭加原理，分别考察方程（）与（）方程(1)有特解方程的非齐次项，是特征根它有特解因此原方程有特解 cos ).().Bb x A +应选 (四)二阶线性变系数方程与欧拉方程22212.(04,4)420(0)_______.d y dy x x y x dx dx++=>分欧拉方程的通解为222222121212122(ln )(41)20,320.320,1,2,.,,.t t t x e t x d y dy d y dyy y dx dt dt dty C e C e C C y C C x x λλλλ--==+-+=++=++==-=-=+=+分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量，将它化成常系数的情形：即相应的特征方程特征根通解为因此，所求原方程的通解为其中为任意常数20(05,2,12cos (0)(1)01,2x x x t t x y xy y yy π=='''=<<--+='==分)用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.222222222122122101(sin ),sin cos (1).0,cos sin .(0)1 1.(0)2 2.x y t y x dy dy dx dy d y d y dy d y dy x t t x x dt dx dt dx dt dx dx dx dxd yy y C t C t dt x y C x C y C C y C C ===-=-=--+==+=+'==⇒==+=⇒=分析：建立对的导数与对的导数之间的关系.于是原方程化为其通解为回到为自变量得由因此2y x =+特解为四、高于二阶的线性常系数齐次方程12312313.084cos 2sin 2(,,()440.()440.()440.(440.x y C e C x C x C C C A y y y y B y y y y C y y y y D y y y y =++''''''''''''+--=+++=''''''''''''--+=-+-=（，分）在下列微分方程中，以为任意常数）为通解的是（ ））2321,2((1)(2)(2)(1)(4)440,440().i i i i y y y y D λλλλλλλλ±=-+-=-+=-+-=''''''-+-=分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：，对应的特征方程是因此所求的微分方程是，选123(00,2,3,2,3()0.()0.()61160.()220.x x x y e y xe y e A y y y y B y y y y C y y y y D y y y y --===''''''''''''--+=+--=''''''''''''-+-=--+=分) 具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ）1232321,1(1)(1)0,10,0.r r r r r r r r y y y y ==-=''''''+-=+--=+--=分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为，从而特征方程为即由此，微分方程为应选(D).五、求解含变限积分的方程[)000,2,8=()0,(0)11()()()01(1)()(2)0,() 1.xx y f x f f x f x f t dt x f x x e f x -+∞='+-=+'≥≤≤⎰（分） 函数在上可导，，且满足等式，求导数；证明：当时成立不等式01(1)()(1)()()0,(1)()(2)()0.0(0)(0)0,(0)1,(0) 1.2(),01()01(0)1,1,xx x f x x f x f t dt x f x x f x x f f f f x u f x u u x e f x u C u x f C -''''+++-=+++=''=+===-+''=+=+'===+'=-=-⎰求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：在原方程中令变限得由得现降阶：令则有，解此一阶线性方程得由得().1(2)1()0(0),(),()(0)1();1()(),()()0(0),()()1(0)0(0),()(00,() 1.2xxx x xx x e f x x e f x x f x f x f x x x x f x e x f x e e x x x x x f x e x x e f x φφφφφ-------'=-+'︒=--<≥≤=≥+''=-=+=≥≥+≥=≥≥≥≥≤≤︒于是方法用单调性.由单调减又设则单调增，因此即）.综上所述，当时方法用积分比较定理.由0000-()(0)(),()1.10(0),01(0).11() 1.txx t t x x tt x x e f x f f t dt f x dt t e e e t dt e dt e x t t e f x -------'-==-+≤≤≥≤≤=-≥++≤≤⎰⎰⎰⎰牛顿莱布尼茨公式，有由于有从而有六、应用问题（一）按导数的几何应用列方程 练习题1.96,1,70,()(,())1(),().xx y f x x f x y f t dt f x x >=⎰（分）设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式022()(,())()()().0()().1()()(),()()()()()()()2()()xxy f x x f x Y f x f x X x X y Y f x xf x f t dt f x xf x xx f t dt xf x x f x f x f x xf x xf x x f x x ='-=-'==-'=-'=-*''''=+--'⎰⎰解：曲线上点处的切线方程为令得轴上的截距由题意（含有未知函数及其导数与积分的方程），为消去积分，两边乘以得恒等式两边求导，得，即112()()0()000,()0(),,0,.()ln .f x f x x f x xy y C y P x y P xP P y P xy f x C x C ''+='''*==+=''''''==+=====+在式中令得自然成立.故不必再加附加条件.就是说是微分方程的通解.令则解得再积分得2.98,2,8(),(,)(0,1)1,()y y x x y y x y y x ==+=（分） 设是一向上凸的连续曲线其上任意一点且此曲线上点处的切线方程为求该曲线的方程，并求函数的极值.22121(),0,, 1.1(),11,arctan .1(0)1(0)1,4tan().4ln y y x y y y yP y P x y P P dPdx P x C P y P C y P x y ππ''=''''''''<=-=-'+'''''===-+=-=-++'==='==-=解：由题设和曲率公式有（因曲线向上凸）化简得令，则方程化为，分离变量得积分得由题意可知即代入可得，故再积分得 22cos()41(0)1,1ln 221ln cos()1ln 24233,,cos()0,,24244444cos()0,ln cos()4413ln cos()1ln 2()4244,ln co 4x C y C y x x x x x x x y x x x ππππππππππππππππ-+==+=-++-<-<-<<->→--→-→-∞=-++-<<=又由题设可知代入确定，故有当即当时而当或时，故所求的连续曲线为显然，当时13s()0,1ln 2,().4244x y y πππ-=+-取最大值显然在，，没有极小值(二)按定积分几何应用列方程0003.(97,2,8)(),(,),(2,0),,.L r r M r L M L OM OM L L M M L θθ=分设曲线的极坐标方程为为上任一点为上一定点若极径与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上、两点间弧长值的一半，求曲线的方程20021122,,.1()11arccos ,arccos (sec )1arccos (0)2arc r d r r d d dt t r t r r Crr C θθθθθθθ='==±=±=-======±+==⎰⎰⎰解：由已知条件得，两边对求导，得解出由于或两边积分，得代入初始条件，得11cos ,arccos .233113cos()cos sin 323 2.r L r L xy ππθπθθθ=⇒=±=±==即的极坐标方程为，从而，的直角坐标方程为。