一元一次方程的解法基础知识讲解
一元一次方程的解法 知识方法总结
等式的性质 2
分数线有括号的作用，分子是整体，所以去分 母时需添上括号；不要漏乘不含分母的项
一般先去小括号，再去中括号，最后
去括号法则 括号前是负号的注意要全变号，不要漏乘括号
去大括号
（分配律） 内的任何一项
通常把含有未知数的项移到等号的左
移项时注意改变项的符号，不移动的项不改变
边，把常数项移到等号的右边（分离 含有未知数的项与常数项）
类型 分母中含有小 数 某些项含有分 母
有括号 方程两边均含 有未知数或常 数项
有同类项
ax b
步骤 小数化 为整数 去分母
去括号
移项
合并同 类项 系数化法
依据
注意事项
分子分母同乘一个不为零的数
分数的基本性质 可约分的进行约分
（商不变性质）
方程两边同乘各分母的最小公倍数
得x b a
等式的性质 2 纸上进行检验
等式的性质 1
符号；若移项后含有未知数的项的系数和常数 项均为负数，不妨改变移项的方向，方便运算，
注意最后写成“ x a ”的形式
得到 ax b
合并同类项法则 把同类项的系数相加，未知数和未知数的指数
（分配律的逆用） 均不变
方程两边同除以未知数的系数 a ，解
解的分子分母不要颠倒位置，最后记得在草稿
简单方程的解法讲解
简单方程的解法讲解在数学中，方程是含有未知数的等式。
简单方程指的是只有一项未知数的方程，可以通过特定的方法来求解。
本文将详细介绍几种常见的简单方程的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，形式一般为ax + b = 0（其中a和b为已知数，a≠0）。
求解一元一次方程的方法有以下两种：1. 直接相减法步骤如下：步骤1：将方程化为标准形式，即ax = -b。
步骤2：将方程中的等号两边同时除以a，得到x = -b/a。
这样就求得了方程的解。
2. 移项法步骤如下：步骤1：将方程化为标准形式，即ax + b = 0。
步骤2：将方程中的常数项b移到等号右边，得到ax = -b。
步骤3：将方程中的等号两边同时除以a，得到x = -b/a。
这样就求得了方程的解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，形式一般为ax² +bx + c = 0（其中a、b和c为已知数，a≠0）。
求解一元二次方程的方法有以下两种：1. 因式分解法步骤如下：步骤1：将方程移项，化为ax² + bx + c = 0。
步骤2：尝试将方程进行因式分解，一般形式为(ax + m)(nx + n) = 0。
步骤3：根据因式分解的结果，得到两个一次方程，分别求解得到x的值。
2. 二次根式法步骤如下：步骤1：将方程移项，化为ax² + bx + c = 0。
步骤2：利用求根公式 x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，计算得到x的值。
步骤3：根据√(b²-4ac)的正负性，得到方程的解。
总结：简单方程的解法主要包括一元一次方程和一元二次方程。
对于一元一次方程，我们可以使用直接相减法或者移项法来求解。
而对于一元二次方程，我们可以使用因式分解法或者二次根式法来求解。
当然，在数学中还存在其他类型的简单方程，例如一元高次方程、分式方程等等。
《一元一次方程及其解法》 知识清单
《一元一次方程及其解法》知识清单一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1的整式方程。
形如＄ax ＋ b ＝ 0$（其中＄a$、＄b$ 是常数，＄a ≠ 0$）的方程就是一元一次方程。
这里要注意几个关键点：1、只含有一个未知数。
比如说方程＄x ＋ 2y ＝ 5$ 就不是一元一次方程，因为它含有两个未知数＄x$ 和＄y$。
2、未知数的最高次数是 1。
像方程＄x^2 ＋ 3 ＝ 0$ 就不是一元一次方程，因为未知数＄x$ 的最高次数是 2 。
3、方程必须是整式方程。
比如方程＄＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 0$ 就不是一元一次方程，因为它的分母中含有未知数，是分式方程。
二、一元一次方程的解能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。
求解一元一次方程的解的过程，实际上就是通过一系列的运算和变形，将方程化为＄x ＝某个数$ 的形式，这个“某个数”就是方程的解。
三、一元一次方程的解法1、移项把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如，解方程＄3x ＋ 5 ＝ 14$ ，我们可以通过移项将 5 移到等号右边，得到＄3x ＝ 14 5$ ，即＄3x ＝ 9$ 。
移项的依据是等式的基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2、合并同类项将方程中含有相同未知数的项合并成一项。
比如在方程＄5x 2x ＝ 12$ 中，左边的＄5x$ 和＄－2x$ 是同类项，可以合并为＄3x$ ，方程就变成了＄3x ＝ 12$ 。
3、系数化为 1将方程两边同时除以未知数的系数，使未知数的系数变为 1，从而得到方程的解。
继续上面的例子，方程＄3x ＝ 12$ ，两边同时除以 3，得到＄x ＝4$ ，这就是方程的解。
四、解一元一次方程的一般步骤1、去分母如果方程中有分母，要先在方程两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母。
例如，方程＄＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 1$ ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同乘 6，得到＄3x ＋ 2x ＝ 6$ 。
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
一元一次方程知识点及经典例题
一、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念 1、 一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1） 只含有一个未知数； （2） 未知数的次数是1次； （3） 整式方程． 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c 为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为： －=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同 类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a ，得a b x = 等式性质2 分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。
一元一次方程所有知识点
一元一次方程所有知识点一、一元一次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
- 例如：2x + 3=5x - 1是一元一次方程，它只含有一个未知数x，x的次数是1，等号两边2x + 3和5x-1都是整式。
- 一般形式：ax + b = 0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
- 例如：对于方程2x+3 = 7，当x = 2时，左边=2×2 + 3=4 + 3 = 7，右边=7，所以x = 2就是方程2x+3 = 7的解。
二、一元一次方程的解法。
1. 移项。
- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
- 例如：在方程2x+3 = 5x - 1中，为了求解x，我们将5x移到左边变为-5x，3移到右边变为-3，得到2x-5x=-1 - 3。
- 移项的依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2. 合并同类项。
- 将方程中含有相同字母且相同字母的指数也相同的项合并在一起。
- 例如：在2x-5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1-3 = -4，方程变为-3x=-4。
3. 系数化为1。
- 在方程ax = b(a≠0)的形式下，将方程两边同时除以a，得到x=(b)/(a)。
- 例如：对于方程-3x=-4，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。
三、一元一次方程的应用。
1. 行程问题。
- 基本公式：路程=速度×时间。
- 相遇问题：两者路程之和等于总路程。
例如：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是v_1，乙的速度是v_2，经过t小时相遇，AB两地间的距离s=(v_1 + v_2)t。
- 追及问题：两者路程之差等于初始距离。
例如：甲、乙两人同向而行，甲的速度是v_1，乙的速度是v_2（v_1>v_2），开始时甲、乙相距s_0，经过t小时甲追上乙，则s_0=(v_1 - v_2)t。
一元一次方程的解法知识讲解
一元一次方程的解法知识讲解解一元一次方程的方法有两种：平衡法和倒运算法。
1.平衡法平衡法的基本原则是在方程的两边逐步交换操作，使方程变为x=一个已知的数值的形式。
步骤：a)首先将方程转化为标准形式，即将b移到等号的另一边。
例如，方程为2x+3=1，可以变为2x=1-3b)然后再对方程进行化简，将x的系数移到方程左边，将常数项移到方程右边。
继续上面的例子，可以得到2x=-2c)接下来，将方程两边同时除以x的系数，即将方程左边的2x除以2，得到x=-1、这就是方程的解。
2.倒运算法倒运算法的基本思想是使用与方程中运算相反的运算，从而将方程变为x=一个已知的数值的形式。
步骤：a)用方程中的运算逆运算，去消去x的系数。
例如，对于方程2x+3=1，可以用减法逆运算去消去2x的系数，得到2x-2x+3=1-2x。
b)化简方程，将常数项移到方程的右边。
继续上面的例子，可以得到3=1-2x。
c)接下来，用减法逆运算去消去常数项的系数，得到3-1=-2x。
继续计算，可以得到2=-2x。
d)最后，将方程两边同时除以x的系数，即将方程左边的-2x除以-2，得到x=-1、这也是方程的解。
这两种解法可以互相验证，使用任意一种方法得到的解都可以代入方程进行验证。
除了这两种基本的解法，还可以使用图形解、代数解、矩阵解等方法来解一元一次方程。
这些方法更加灵活，可以用于更复杂的方程求解。
需要注意的是，一元一次方程可能有一个解、无解或无数解。
如果方程化简后得到的是一个恒等式，比如0=0，那么方程就是一个恒等方程，它对任何x都成立，即有无数解。
如果方程化简后得到一个矛盾的式子，比如1=0，那么方程无解。
如果方程化简后得到一个确定的式子，比如x=5，那么方程有一个解，即x=5总结一下，解一元一次方程的关键是将方程变为x=一个已知的数值的形式，可以使用平衡法或倒运算法进行计算。
解一元一次方程能够帮助我们解决各种实际问题，如计算成本、求解速度等。
初一上册数学一元一次方程知识点讲解
利润问题常用等量关系：售价-进价=利润
(5)配套问题：
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历||史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁||传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”||，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也||有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师||长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说||不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传||授知识的对象和本身明确的职责。(6)分配问题：
||课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使||运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死||”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天||花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“||积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮||流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教||师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名||言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑||中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增||色添辉。以上内容由查字典数学网独家专供，希望这篇初一上||册数学一元一次方程知识点讲解能够帮助到大家。
系数化为1---------除前面
10.列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:多用于和，差，倍，分问题
仔细读题，找出表||示相等关系的关键字，例如：大，小，多，少，是，共，合，为，完成，||增加，减少，配套-----，利用这些关键字列出||文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入||代数式，得到方程.
一元一次方程的解法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲 一元一次方程的解法1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．知识点1 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母两边同乘最简公分母 2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 abx =； （2）注意：分子、分母不能颠倒【题型1 解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【变式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【变式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【变式2-1】解方程：（1）4x+5＝3（x﹣1）；（2）﹣＝1．【变式2-2】解方程：（1）3x﹣5（2x﹣4）＝7﹣4（x﹣1）；（2）．【变式2-3】解方程：（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）（2）＝1．【题型2 一元一次方程的整数解问题】【典例3】是否存在整数k，使关于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整数解？并求出解．【变式3-1】当整数k为何值时，方程9x﹣3＝kx+14有正整数解？并求出正整数解．【变式3-2】若关于x的方程ax﹣3＝0有正整数解，则整数a的值为（）A．1或﹣1或3或﹣3B．1或3C．1D．3【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例4】若代数式与的值的和为5，则m的值为（）A．18B．10C．﹣7D．7【变式4-1】若P＝2a﹣2，Q＝2a+3，且3P﹣Q＝1，则a的值是（）A．0.4B．2.5C．﹣0.4D．﹣2.5【变式4-2】若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3【变式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，则a等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，则x的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【题型4 错解一元一次方程的问题】【典例5】一位同学在解方程5x﹣1＝（）x+3时，把“（）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（）”处的数字看成了（）A．3B．﹣C．﹣8D．8【变式5-1】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数看成了（）A．5B．6C．7D．8【变式5-2】某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y ＝﹣5，他把“口”处的系数看成了（）A．5B．﹣5C．6D．﹣6【变式5-3】小明同学在解方程5x﹣1＝mx+3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了（）A．3B．C．8D．﹣8【变式5-4】某同学解方程2x﹣3＝ax+3时，把x的系数a看错了，解得x＝﹣2，他把x的系数a看成了下列哪个数？（）A．5B．6C．7D．8【题型5 一元一次方程的解与参数无关】【典例6】定义一种新运算：a⊙b＝5a﹣b．（1）计算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化简：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化简后代数式的值与x的取值无关，求y的值．【变式6-1】（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理数对（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，则x＝．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．【变式6-2】（1）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差与x，y的值无关，求n m+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【题型6 一元一次方程的解在新定义中运用】【典例7】定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【变式7-1】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为．【变式7-2】规定一种新的运算：a*b＝2﹣a﹣b，求*＝1的解是．【变式7-3】已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，那么当＝18时，x的值是．1．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7 2．（2022•海南）若代数式x+1的值为6，则x等于（）A．5B．﹣5C．7D．﹣7 3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x 4．（2023•陇西县校级模拟）定义aⓧb＝2a+b，则方程3ⓧx＝4ⓧ2的解为（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝2D．x＝﹣2 5．（2023•青山区一模）若的值与x﹣7互为相反数，则x的值为（）A．1B．C．3D．﹣3 6．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6 7．（2021•广元）解方程：+＝4．8．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021•西湖区校级自主招生）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．10．（2022秋•陵城区期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023春•榆树市期末）一元一次方程8x＝2x﹣6的解是（）A．x＝1B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝﹣1 2．（2022秋•汾阳市期末）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5B．3x﹣2x﹣6＝5C．3x﹣2x+3＝5D．3x﹣2x+6＝5 3．（2023•乐东县一模）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（）A．B．2C．﹣2D．无法计算4．（2022秋•宜城市期末）定义“※”运算为“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，则x等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2 5．（2022秋•泸县期末）如果表示ad﹣bc，若＝4，则x的值为（）A．﹣2B．C．3D．6．（2022秋•潮安区期末）设a⊕b＝3a﹣b，且x⊕（2⊕3）＝1，则x等于（）A．3B．8C．D．7．（2022秋•泰山区期末）王林同学在解关于x的方程3m+2x＝4时，不小心将+2x看作了﹣2x，得到方程的解是x＝1，那么原方程正确的解是（）A．x＝2B．x＝﹣1C．x＝D．x＝5 8．（2022秋•碑林区校级期末）小亮在解方程3a+x＝7时，由于粗心，错把+x 看成了﹣x，结果解得x＝2，则a的值为（）A．B．a＝3C．a＝﹣3D．9．（2022秋•六盘水期末）已知代数式6x﹣12与4+2x的值互为相反数，那么x 的值等于．10．（2022秋•嘉祥县期末）解下列方程：（1）2x﹣3（2x﹣3）＝x+4；（2）．。
一元一次方程的基础解法-讲义(学生版)
一元一次方程的基础解法一、课堂目标1．掌握移项、去分母、去括号的依据，会用移项和合并同类项、去括号、去分母等手段解一元一次方程．2．掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练准确的解方程．二、知识引入前面我们学过等式的性质：等式性质——如果，那么．等式性质——如果，那么；如果（），那么．也能用等式的性质解简单的一元一次方程，例如，①解方程；②解方程．三、知识讲解1. 解方程——移项、合并同类项解方程解：两边加，得这个过程也可以看成把原方程左端的常数项移动到方程右端、得，此时这项在等号右端变成符号（ →）；像上面这样把等式一边某一项变号后移到另一边叫做移项，所以我们可以用移项这个手段来解形如的一元一次方程．【注意】移项要变号．解方程解：两边减 ，得这个过程也可以看成把原方程左端的未知数项 移动到方程右端、得 ，此时这项在等号右端变成符号（ →）．再比如，解方程 ，观察到这个方程两边都有含未知数项和常数项，因此【总结】解形如 的一元一次方程的一般步骤为：移项→合并同类项→系数化．经典例题11.已知关于的方程的解是，那么．思路梳理知识点：1、2、3、A. B.C.D.2.方程移项后，正确的是（ ）．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A. B. C.D.1.对方程合并同类项正确的是（）．（1）（2）（3）（4）2.给下列各方程移项：： ．：．： ．：．A. B. C. D.3.若，则的值是（）．经典例题2解关于的方程：．思路梳理知识点：1、2、3、 题目练习21.解方程：．2.解方程：．（1）3.解方程：．4.当 时，代数式与的值互为相反数．2. 解方程——去括号接下来看这个方程．观察发现这个方程多了带括号的成分，因此【总结】解带括号的一元一次方程的一般步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化．经典例题3阅读下列解方程的过程，回答问题：，去括号，得： ①，移项，得： ②，合并同类项，得： ③，系数化为， 得： ④，上述过程中，第 步计算出现错误，其错误原因是 ，第②步的数学依据是．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习3A.由 得B.由 得C.由得 D.由得1.下列方程去括号正确的是（）．。
初中数学知识归纳一元一次方程的概念和解法
初中数学知识归纳一元一次方程的概念和解法初中数学知识归纳：一元一次方程的概念和解法一、概念一元一次方程是指只含有一个未知数（一元）且其次数为1（一次）的方程。
一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知的常数，x代表未知数。
二、解法解一元一次方程的基本思路是通过变换使得方程只剩下一个未知数，然后通过一系列运算得出未知数的解。
1. 合并同类项对于形如ax + b = 0的方程，将所有含有未知数x的项合并在一起，即将ax和b合并。
例如，对于方程2x + 3 - 4x + 5 = 0，我们可以合并同类项得到-2x +8 = 0。
2. 移项将等式中的常数项移到等式的另一边，未知数项移到等号的另一边。
以-2x + 8 = 0为例，我们可以将8移到等号的另一边，变为-2x = -8。
3. 消元若方程中含有多个未知数，我们可以通过消元的方法将其化为只剩下一个未知数的方程。
例如，对于方程3x + 2y = 10和2x - y = 1，我们可以通过消元的方法，将y消去，从而得到只含有x的方程。
4. 乘法原理和除法原理在解一元一次方程过程中，我们可以使用乘法原理和除法原理。
乘法原理：方程两边同时乘以同一个非零数，不改变等式的解。
除法原理：方程两边同时除以同一个非零数，不改变等式的解。
例如，对于方程2x - 4 = 0，我们可以将其除以2，得到x - 2 = 0。
5. 求解未知数经过合并同类项、移项、消元等步骤后，得到只剩下一个未知数的方程。
将方程中的未知数项系数约掉或消去后，即可求出未知数的解。
例如，对于方程2x - 6 = 0，我们可以将其整理为x = 3，即未知数x 的解为3。
三、示例以下是一些应用一元一次方程概念和解法的示例。
例1：解方程3x + 5 = 2x - 1。
解：首先合并同类项，得到3x - 2x + 5 = -1。
然后移项，得到x + 5 = -1。
接着将常数项移向另一边，得到x = -6。
所以方程的解为x = -6。
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：【典型例题】例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？x+2y=9 x 2－3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ；(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3．解下列简易方程1．5223-=+x x 2．4.7-3x=113．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x例4．解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1．列方程解决实际问题的一般步骤（1）找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系.（2）设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数.（3）列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度＝船速－水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题——建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2.设加工螺栓人数为x，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母总数为24（100－x）个.解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x （人）.∴加工螺母的人数为 100－x ＝100－40＝60（人） 答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）? 分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积＝长方体器容积. 解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ， 答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a 元，情况如何？ 分析：关键把握等量关系： 进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价.解：（1）设第一件进价为x 元，则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元，则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得： a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=， a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数a 元，同时又将题中的25%改为m%（0＜m ＜100）情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量＋乙管工作量＝1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后x 小时可注满全池）解：设两管一起打开后x 小时可注满全池，依题意，得140208=++xx . 解得 8=x （小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路，后31的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3－5－1所示，相等关系是A 车行驶时间＝B 车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x 千米，A 车从甲地到丙地，需要15010032xx=（小时），B 车从乙地到丙地，需要2107031x x=（小时）， ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）＝存入钱数×年利率，2.利息（不免税的）＝存入钱数×年利率×（1－税率），3..大宝的收益＝小宝的收益.解：设大宝的工钱为x元，则小宝的工钱为（1000－x）元，由题意，得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x（元），1000－x=490(元).=答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B 两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润＝销售额－成本－应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一元一次方程是数学中的基本概念和基础知识，解一元一次方程是数学学习的重要内容。
在本文中，我们将详细讨论一元一次方程的解法，并介绍一些常见的解题思路和方法。
一、基本概念1. 一元一次方程定义：一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数，a ≠ 0，x表示未知数。
2. 方程的解：解方程是指找到使得方程等式成立的未知数的值。
对于一元一次方程来说，解就是未知数x的值。
二、解一元一次方程的方法1. 基本性质法：根据一元一次方程的定义，方程ax + b = 0的解即为x = -b/a。
2. 移项法：将方程中的项移动到等号两侧，使方程变为等价方程，从而求得解。
具体步骤如下：a) 如果方程形式为ax + b = c，可以通过移动b到等号右边得到ax = c - b，再除以a求解x。
b) 如果方程形式为ax - b = c，可以通过移动b到等号左边得到ax = c + b，再除以a求解x。
3. 消元法：当方程出现了未知数的系数一样但符号相反的两个项时，可以通过相加或相减的方式消去这两个项。
具体步骤如下：a) 如果方程形式为ax + b = cx + d，可以将方程变形为ax - cx = d - b，再整理得到x(a - c) = d - b，进而求解x。
b) 如果方程形式为ax + b = cx - d，可以将方程变形为ax - cx = -d- b，再整理得到x(a - c) = -d - b，进而求解x。
4. 代入法：将方程中的一个解代入原方程，验证等式是否成立，进而求得方程的其他解。
这是一种常用的检验解的方法，但只能找到有限个解。
5. 图像法：将方程转化为直线的方程，通过观察直线和x轴的交点来求解方程。
具体步骤如下：a) 将方程变形为y = ax + b的形式，其中y表示纵坐标，x表示横坐标。
b) 绘制出直线y = ax + b在笛卡尔坐标系中的图像。
方程的解法与技巧
方程的解法与技巧方程是数学中一种重要的表达式，涉及到未知数与常数之间的关系。
解方程是我们在数学学习和实际问题中经常遇到的任务，掌握解方程的方法和技巧对我们的数学能力提升至关重要。
本文将介绍一些常见的方程解法和解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握解方程的方法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过运用逆运算，将方程化简为x = a的形式。
首先，将方程中的常数项移到方程右边，得到ax = -b。
然后，通过除以系数a，消去x前面的系数，即得到x = -b/a。
这样，我们就求得了一元一次方程的解。
需要注意的是，当系数a为0时，方程无解或有无数解。
当方程形如0x + b = 0时，无论b为何值，方程都没有意义，因为无论什么数字乘以0都等于0。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的常用方法包括因式分解、配方法和求根公式。
1. 因式分解法如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式，那么可以通过将方程两边等于0，使得其中一个一次因式等于0，进而求得方程的解。
2. 配方法配方法又称“完全平方公式”，适用于一元二次方程的形式不易进行因式分解的情况。
通过将方程两边进行配方，化简为(x + m)² = n的形式，可以进一步解方程。
3. 求根公式一元二次方程的求根公式是方程的根与系数之间的关系式。
对于方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)值得注意的是，当方程的判别式b²- 4ac 小于0时，方程无实数解。
三、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，解分式方程的常用方法包括通分法和消元法。
(完整版)一元一次方程及其解法
3.1 一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x ＝3,3(x ＋2)＝4－x 等都是一元一次方程．解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根． ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解．如x ＝3是方程2x －4＝2的解，而y ＝3就不是方程2x －4＝2的解． (3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】 下列各式哪些是一元一次方程( )．A ．S ＝12ab ；B.x －y ＝0；C.x ＝0；D.12x ＋3＝1；E.3－1＝2；F.4y －5＝1；G .2x 2＋2x ＋1＝0；H.x ＋2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C ，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】 x ＝－3是下列方程( )的解． A ．－5(x －1)＝－4(x －2) B ．4x ＋2＝1C ．13x ＋5＝5 D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的基本性质(1)等式的基本性质①性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c .②性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)．③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a .(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .(传递性) 如：若∠1＝60°，∠2＝∠1，则∠2＝60°. (2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换． 谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式．这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系．(2)等式的基本性质2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以0，因为0不能作除数或分母．【例2－1】 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( )．A ．若4y ＋2＝3y －1，则y ＝1B ．若7a ＝5，则a ＝57C ．若x 2＝0，则x ＝2D ．若x 6－1＝1，则x －6＝1解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的基本性质1，等式的两边都减去3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是1；C 根据等式的基本性质2，两边都乘以2，右边应为0，不是2；D 根据等式的基本性质2，左边乘以6，而右边漏乘6，故不正确；只有B 根据等式的基本性质2，两边都除以7，得到a ＝57.答案：B【例2－2】 利用等式的基本性质解方程：(1)5x －8＝12；(2)4x －2＝2x ；(3)x ＋1＝6；(4)3－x ＝7.分析：利用等式的基本性质求解．先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x ＝20. 方程的两边同时除以5，得x ＝4. (2)方程的两边同时减去2x ，得2x －2＝0. 方程的两边同时加上2，得2x ＝2. 方程的两边同时除以2，得x ＝1. (3)方程两边都同时减去1， 得x ＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.∴x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－”，移到右边后需变成“＋”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x －15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“＋”号变为“－”号，而“－”号变为“＋”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“－”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质1 移项要变号合并同类项将方程化为ax＝b的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为1 方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质2 分子、分母不能颠倒值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】 下列各选项中的变形属于移项的是( )． A ．由2x ＝4，得x ＝2B ．由7x ＋3＝x ＋5，得7x ＋3＝5＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋9解析：选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项B 中x ＋5变成5＋x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C 是作的移项变形；选项D 是应用等式的对称性“a ＝b ，则b ＝a ”所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】 解方程2－x 3－5＝x －14.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x )－60＝3(x －1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12， 得4(2－x )－60＝3(x －1)． 去括号，得8－4x －60＝3x －3. 移项，得－4x －3x ＝－3－8＋60. 合并同类项，得－7x ＝49. 两边同除以－7，得x ＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x ＝a (a 是一个已知数)．(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】 解方程0.4x －90.5－x －52＝0.03＋0.02x0.03.分析：由于0.4x －90.5和0.03＋0.02x 0.03的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子0.4x －90.5的分子、分母中都乘以10，变为4x －905，在式子0.03＋0.02x0.03的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得 4x －905－x －52＝3＋2x3.去分母，得6(4x －90)－15(x －5)＝10(3＋2x )． 去括号，得24x －540－15x ＋75＝30＋20x . 移项，得24x －15x －20x ＝540－75＋30. 合并同类项，得 －11x ＝495. 两边同除以－11，得x ＝－45.5.与一元一次方程的解相关的问题 方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】 关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，则k ＝( )．A ．－2B ．43C ．2D ．－43解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－53.将x ＝－53代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选C. 答案：C【例5－2】 若关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，则m ＝__________. 解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8. 答案：86.一元一次方程的常用解题策略 我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣．【例6－1】 解方程34⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫12x －14－4＝32x ＋1. 分析：注意到34×43＝1，把34乘以中括号的每一项，则可先去中括号，34×43⎝⎛⎭⎫12x －14－34×4＝32x ＋1，再去小括号为12x －14－3＝32x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了． 解：去括号，得12x －14－3＝32x ＋1.移项，合并同类项，得－x ＝174.两边同除以－1，得x ＝－174.【例6－2】 解方程x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．解：方程两边分别通分，得5(x ＋3)－7(x ＋2)35＝2(x ＋1)－3(x ＋4)12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012. 去分母，得12(－2x ＋1)＝35(－x －10)． 去括号，得－24x ＋12＝－35x －350. 移项、合并同类项，得11x ＝－362.两边同除以11，得x ＝－36211.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值 利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识．【例7－1】 (1)当a ＝__________时，式子2a ＋1与2－a 互为相反数． (2)若6的倒数等于x ＋2，则x 的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a ＋1＋(2－a )＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x ＋2)＝1，解得x ＝－116.答案：(1)－3 (2)－116【例7－2】 已知x ＝－2是方程x －k 3＋3k ＋26－x ＝x ＋k2的解，求k 的值．分析：把x ＝－2代入原方程，原方程就变成了以k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出k 的值．解：把x ＝－2代入原方程，得 －2－k 3＋3k ＋26－(－2)＝－2＋k2. 去分母，得2(－2－k )＋3k ＋2－(－2)×6＝3(－2＋k )． 去括号，得－4－2k ＋3k ＋2＋12＝－6＋3k . 移项、合并同类项，得 －2k ＝－16.方程两边同除以－2，得k ＝8.【题01】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =．B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=． D ．若x ya a=，则ax ay =． 【题02】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -=B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题03】解为2x =-的方程是（ ） A ．240x -=B ．5362x +=C ．3(2)(3)5x x x ---=D ．275462x x --=- 【题04】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．课后作业【题05】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = ．【题06】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题07】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．【题08】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k = ．若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x = ．【题09】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ） A ．2140- B ．2140C ．5615-D ．5615【题10】解方程：135(3)3(2)36524x x ---=【题11】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题12】解方程：122233x xx-+ -=-【题13】解方程：21511 36x x+--=【题14】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题15】解方程：1(4)33519 0.50.125xxx+++=+【题16】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx++-=-【题17】解方程：0.10.90.21 0.030.7x x--=【题18】解方程：4213 2[()] 3324x x x--=【题19】解方程：111[(1)6]20343x --+=。
一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一、方程的概念与组成1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。
2.方程的组成：a.未知数：用字母表示的数，如x、y等。
b.常数：已知的数，如2、3、4等。
c.运算符号：加、减、乘、除等。
二、一元一次方程的定义与特点1.定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
a.方程中只有一个未知数。
b.未知数的最高次数为1。
c.方程的两边都是整式。
2.移项：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：将方程中同类项合并，化简等式。
4.系数化为1：将方程中的未知数系数化为1，得到未知数的值。
四、解题步骤1.识别方程：判断方程是否为一元一次方程。
2.移项：将未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边。
3.合并同类项：化简等式，使未知数系数化为1。
4.求解：根据合并同类项后的等式，求得未知数的值。
5.检验：将求得的未知数值代入原方程，验证等式是否成立。
五、常见解题方法1.加减法解法：适用于方程两边都有未知数的情况。
2.乘除法解法：适用于方程中有未知数的乘除运算。
3.换元法：适用于方程中未知数的系数较大或较复杂时，通过设定新未知数简化方程。
六、解题注意事项1.保持等号对齐：在移项、合并同类项过程中，要注意保持等号对齐，避免出错。
2.符号变化：移项时，要注意符号的变化，负数移到等式另一边要变正，正数移到等式另一边要变负。
3.检验：求得未知数值后，要进行检验，确保解是正确的。
七、方程的应用1.实际问题：将实际问题转化为方程，通过求解方程得到问题的答案。
2.数学运算：在一元一次方程的基础上，进行加减乘除等运算，解决更复杂的数学问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握一元一次方程的基本概念、解法步骤和应用方法，为后续数学学习打下基础。
习题及方法：1.习题：2x - 5 = 3a.移项：将常数移到等式右边，未知数移到等式左边。
2x = 3 + 5b.合并同类项：将等式右边的常数相加。
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一元一次方程的解法（基础)知识讲解
撰稿:孙景艳 审稿:赵炜
【学习目标】
1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据；
2. 掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想；
3. 进一步熟练在列方程时确定等量关系.
【要点梳理】
知识点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1)不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号）
(1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项
把方程化成ax ＝b (a ≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a
=． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：
(1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
（2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行。
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，分类讨论：
（1)当0c <时,无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=;（3）当0c >时，原方程可化为:ax b c +=或ax b c +=-。
2。
含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：
（1）当a ≠0时,b x a
=
;（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．
【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程
1．解下列方程
（1)345m m -=- (2)—5x+6+7x ＝1+2x —3+8x 【答案与解析】 解：(1）移项，得3
45m m -+=-．合并，得
245m =-．系数化为1，得m ＝—10． (2)移项，得-5x+7x -2x —8x ＝1-3—6．合并，得—8x ＝—8．系数化为1，得x ＝1．
【点评】方法规律:解较简单的一元一次方程的一般步骤：
（1）移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项（常数项）放在等式的右边．
（2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b （a ≠0）．
（3）系数化为1:即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a =． 举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是( ）．
A ．由2x —3＝-x —4，得2x+x ＝—4—3
B ．由x+3＝2—4x ，得5x ＝5
C ．由2332
x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x —2，得—x ＝-2-3
【答案】D ．
类型二、去括号解一元一次方程
【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+
移项合并得：65x -=
解得:56
x =- (2）去括号得：32226x x --=-
移项合并得：47x -=-
解得：74
x = 【点评】去括号时，要注意括号前面的符号,括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“—”,各项均变号．
举一反三：
【变式】（四川乐山）解方程: 5(x -5）+2x ＝—4．
【答案】解: 去括号得：5x —25+2x ＝—4
移项合并得： 7x ＝21
()()1221107x x +=+()()()
232123x x -+=-
解得: x ＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程：4343431623x x x +++++=． 【答案与解析】
解法1：去分母，得(4x+3）+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，
去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．
移项合并，得24x ＝-12，
系数化为1,得12
x =-． 解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6（4x+3)＝6，即4x+3＝1，
移项，得4x ＝—2，
系数化为1，得12
x =-． 【点评】对于解法l ：(1)去分母时，“1"不要漏乘分母的最小公倍数“6";(2）注意适时添括号3(4x+3）防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3"看作一个整体来解,最后求x ． 举一反三：
【高清课堂:一元一次方程的解法388407 解含分母的一元一次方程】
【变式】22511346
x x x -+--=- 【答案】解：去分母得:4(2)3(25)2(1)12x x x --+=--
去括号得：486152212x x x ---=--
合并同类项，得：49x -=
系数化为1，得94
x =-
． 类型四、解较复杂的一元一次方程 4．解方程：0.170.210.70.03
x x --= 【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：
101720173x x --=． 去分母，得：30x -7(17-20x )＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x ＝140．
系数化成1,得：1417
x =． 【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数,要区分开．
5。
解方程：1
12[(1)](1)223
x x x --=-
【答案与解析】
解法1:先去小括号得：11122
()
22233
x x x
-+=-
再去中括号得：
11122
24433
x x x
-+=-移项，合并得：
511
1212
x
-=-
系数化为1，得:
11
5
x=
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
14
(1)(1)
23
x x x
--=-
去小括号，并移项合并得：
511
66
x
-=-,解得：
11
5
x=
解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223
x x x
-+--=-
去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243
x x x
-+--=-
移项、合并,得
51
(1)
122
x
--=-
解得
11
5 x=
【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号,以使计算简便．例如本题的方法3:方程左、右两边都含（x—1），因此将方程左边括号内的一项x变为（x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
举一反三:
【变式】32
[(1)2]2 234
x
x
---=
【答案】
解：去中括号得：
3
(1)22 42
x
x
--⨯-=
去小括号，移项合并得：
3
6
4
x
-=，解得x＝-8
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x｜-2＝0
【答案与解析】
解：原方程可化为:2
x=
当x≥0时,得x=2，
当x＜0时，得—x=2，即,x＝-2．
所以原方程的解是x＝2或x＝-2．
【点评】此类问题一般先把方程化为ax b
=的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要
漏解．。