龙格库塔方法的由来和推导
python龙格库塔法求解二阶方程
Python是一种高级编程语言，广泛应用于科学计算和工程领域。
而在科学计算中，求解二阶常微分方程是一个常见的问题。
龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值求解方法，可以用来求解常微分方程的初值问题。
在Python中，我们可以利用其强大的数值计算库来实现龙格库塔法求解二阶常微分方程。
在本文中，我们将介绍如何使用Python中的龙格库塔法来求解二阶常微分方程。
文章将从以下几个方面展开讲解：1. 二阶常微分方程的基本概念2. 龙格库塔法的原理与公式推导3. Python中如何实现龙格库塔法求解二阶常微分方程4. 一个具体的求解例子及代码实现5. 总结与展望一、二阶常微分方程的基本概念二阶常微分方程是指具有形如y''(t) = f(t, y, y')(t)的形式，其中t是自变量，y是未知函数，f是已知函数。
求解二阶常微分方程的目标是找到一个满足方程的函数y(t)。
通常情况下，需要给出该方程的初值条件，即y(0)和y'(0)，以求得方程的具体解。
二、龙格库塔法的原理与公式推导龙格库塔法是一种数值求解常微分方程初值问题的方法，通过迭代计算来逼近方程的解。
它的基本思想是将微分方程的解按照一定的步长进行逼近，然后利用逼近值来计算下一个逼近值，直到达到所需的精度。
龙格库塔法的一般形式为：k1 = h * f(tn, yn)k2 = h * f(tn + 1/2 * h, yn + 1/2 * k1)k3 = h * f(tn + 1/2 * h, yn + 1/2 * k2)k4 = h * f(tn + h, yn + k3)yn+1 = yn + 1/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)其中，h是步长，t是自变量，y是未知函数，f是已知函数，k1、k2、k3、k4是中间变量。
三、Python中如何实现龙格库塔法求解二阶常微分方程在Python中，可以利用其强大的数值计算库来实现龙格库塔法求解二阶常微分方程。
龙格库塔算法
龙格库塔算法龙格库塔算法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值解微分方程的方法，其基本原理是通过逐步逼近的方式，根据初始条件和微分方程的表达式，计算出方程的近似解。
该方法具有较高的精度和稳定性，在科学计算、物理模拟、工程建模等领域得到广泛应用。
龙格库塔算法的核心思想是将微分方程的解按照一定的步长进行离散化，从而将连续的求解问题转化为离散的迭代过程。
具体来说，龙格库塔算法通过计算函数在一定步长内的平均斜率，来估计下一个点的函数值。
这个平均斜率是通过多次计算函数在不同点上的导数得到的，从而提高了计算的精度。
龙格库塔算法的一般形式可以表示为：k1 = f(tn, yn)k2 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k1)k3 = f(tn + h/2, yn + h/2 * k2)k4 = f(tn + h, yn + h * k3)yn+1 = yn + h/6 * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)其中，tn是当前时间点，yn是当前函数值，h是步长，f是微分方程的表达式。
通过多次迭代，可以逐渐逼近微分方程的解。
龙格库塔算法的优点在于其精确度较高，可以通过调整步长来控制计算的精度和效率。
此外，该算法具有较好的数值稳定性，可以有效处理非线性、刚性或高阶微分方程等复杂问题。
因此，在科学和工程计算中，龙格库塔算法被广泛应用于各种数值模拟和求解问题。
需要注意的是，龙格库塔算法并非万能的，对于一些特殊的问题，可能存在数值不稳定性或计算精度不够的情况。
此外，算法的步长选择也需要根据具体问题进行调整，过小的步长会增加计算量，而过大的步长可能导致精度下降。
因此，在使用龙格库塔算法时，需要根据具体问题的特点和要求来选择合适的步长和算法参数，以获得满意的计算结果。
总结起来，龙格库塔算法是一种常用的数值解微分方程的方法，具有较高的精度和稳定性。
通过离散化和迭代的方式，可以逐步逼近微分方程的解。
数值计算中的龙格库塔算法
数值计算中的龙格库塔算法龙格库塔算法，又称龙格-库塔算法，是一种数值计算方法，主要用于求解微分方程。
它的好处是通过迭代得到更加精确的数值解，对于很多科学和工程问题，如天体力学、化学反应动力学、电路分析等，都有广泛的应用。
一、初识龙格库塔算法最早提出龙格库塔算法的是瑞士数学家卡尔·龙格和德国数学家马丁·库塔，他们在20世纪初期分别提出了一种求解常微分方程组的方法，后来又被合并为一种更为完善的算法，即现在我们所说的龙格库塔算法。
它的基本思想是将微分方程分解成一系列递推的步骤，通过不断迭代，逐渐逼近准确的解。
龙格库塔算法的核心是求出微分方程在某个时刻的斜率。
一般而言，我们可以使用欧拉法或者梯形法来求解，但这些方法往往会出现舍入误差，导致数值解偏离实际解。
相比之下，龙格库塔算法则将微分方程的初始值向前推进一个尽可能小的步长，通过不断缩小步长的大小进行迭代，在保证精度的同时大大提高了计算效率。
在实际应用中，我们通常会使用四阶龙格库塔算法（RK4）来求解微分方程。
具体做法是先求出微分方程在 $t$ 时刻的斜率$k_1$，然后将$t$ 向前推进一半的步长，求出此时的斜率$k_2$，再用 $k_2$ 推进一半的步长，求出此时的斜率 $k_3$，最后以$k_3$ 推进一个步长，求出微分方程在 $t+h$ 时刻的斜率 $k_4$。
最终的数值解为：$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$其中 $y_{n+1}$ 表示下一个时刻的函数值，$y_n$ 表示当前时刻的函数值，$h$ 表示步长。
这个公式看起来比较复杂，但实际上只是对斜率的加权平均。
通过不断迭代，我们就可以得到越来越精确的解。
二、优缺点及应用与其他数值计算方法相比，龙格库塔算法具有以下优点：1. 高精度：通过四阶跑格库塔公式，可达到高精度计算。
2. 稳定可靠：在每一步均会进行收敛性检验，确保计算结果准确无误。
二阶微分方程龙格库塔法
二阶微分方程龙格库塔法
1.什么是二阶微分方程？
二阶微分方程是指二阶导数出现的方程，其通用形式为
y''+P(x)y'+Q(x)y=F(x)，其中P(x)、Q(x)、F(x)均为已知函数，y是所求函数。
2.为什么要用龙格库塔法？
求解二阶微分方程是数学、物理等领域中常见的问题，然而大多数情况下无法直接解题，所以需要使用数值方法。
龙格库塔法是一种数值方法，被广泛应用于求解微分方程，其优点是精度高、计算速度快。
3.龙格库塔法的原理
龙格库塔法是一种迭代方法，将微分方程看作初值问题，从初始点出发，采用一定的步长h，在每个点上用插值公式逼近y(x+h)，以此求得y(x+h)的近似值，一步步逼近所要求的精度。
4.龙格库塔法的步骤
（1）确定步长h和积分区间[a,b]。
（2）用初值y(x0)=y0，y'(x0)=y'0求出y(x0+h)的近似值。
（3）根据龙格库塔公式求得y(x0+2h)的近似值。
（4）对于连续求解的情况，重复以上步骤，直到求得所需的精度或者达到指定的终点。
5.龙格库塔公式
龙格库塔法的精度与所采用的公式有关，一般采用二阶或四阶的龙格库塔公式。
二阶龙格库塔公式为：
y0=y(x0)
k1=h*f(x0,y0)
k2=h*f(x0+h,y0+k1)
y(x0+2h)=y0+1/2(k1+k2)
其中，f(x,y)是待求函数。
6.总结
龙格库塔法是求解微分方程的一种常用数值方法，可以高精度、高效地解决二阶微分方程的问题。
该方法所需的计算量较小，易于编写程序实现，在实际应用中具有广泛的用途。
四阶龙格—库塔法的原理及其应用
《四阶龙格—库塔法的原理及其应用》
龙格—库塔法(又称龙格库塔法)是由一系列有限的、独立的可能解组成的无穷序列,这些解中每个都与原来的数列相差一个常数。
它是20世纪30年代由匈牙利著名数学家龙格和库塔提出的,故得此名。
1.它的基本思想是:在n 阶方阵M 上定义一个函数,使得当n 趋于无穷时,它在m 中所表示的数值为M 的某种特征值,从而构造出一族具有某种特性的可计算函数f (x)= Mx+ C (其中C 为任意正整数)。
例如,若f (x)=(a-1) x+ C,则称之为(a-1) x 的龙格—库塔法。
2.它的应用很广泛,可以求解各类问题,且能将大量的未知数变换成少数几个已知数,因此它是近似计算的一种重要工具。
3.
它的优点主要有:(1)可以将多项式或不等式化成比较简单的形式;(2)对于同一问题可以用不同的方法来解决,并取得同样的结果;(3)适合处理高次多项式或者不等式,尤其适合处理多元函数的二次型。
龙格 库塔方法 数学课的讲解
得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开
假设式
y' =f(x,y) (a≤x≤b)
中的 f(x,y) 充分光滑,将y(xi+1)在x i点作Taylor展开，若 取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到 计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。
14
注意到，a2 b21 1, c1就是c2二阶12龙格 - 库塔公式，也就
是改进的欧拉法。
y
K2
yi 1
yi
1 2
K1
K2
K1 hf (xi , yi )
y y(x)
K1
K
K2 hf (xi h, yi K1)
xi
xi1
x
因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格
式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改
3
Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步法,简称R-K法 9.4.1 龙格-库塔(R-K)法的基本思想
Euler公式可改写成
yi1 yi K K hf (xi , yi )
则 yi+1 的 表 达 式 与 y(xi+1) 的 Taylor 展 开 式 的 前 两 项 完全相同,即局部截断误差为O(h2)。
答案是否定的！无论四个参数怎样选择,都不能使公式 的局部截断误差提高到三阶。
这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为 二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数 值的次数。
2020/3/22
17
9.4.3 三阶龙格—库塔法
为进一步提高精度，在区间[xi, xi+1]上除两点xi和
龙格库塔法推导
于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的 线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在 (xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式 的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。 既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。 或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值， 然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更 高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge龙格— 龙格 库塔（ Kutta）法的基本思想 ）法的基本思想。
[
]
K1 =hf(xi, yi)
∴
yi +1 = yi + (c1K1 + c2 K 2 )
= y ( xi ) + c1hf ( xi , yi )
′ ′ + c2 h f ( xi , yi ) + a2 hf x + b21hff y + O ( h 3 )
[
]
= y ( xi ) + (c1 + c2 ) hf ( xi , yi )
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 无穷多个解。 无穷多个解 阶 龙格 - 库塔格式。 库塔格式。
2011-12-8 14
1 注意到， 就是二阶龙格 注意到，a 2 = b21 = 1, c1 = c2 = 就是二阶龙格 - 库塔 2 y 公式，也就是改进的欧拉法 改进的欧拉法。 公式，也就是改进的欧拉法。 K2
称为P阶龙格－库塔方法。 其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作 Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。
2011-12-8 7
龙格库塔方程
龙格库塔方程1.介绍龙格-库塔（RK）方法是求解常微分方程（ODE）最常见的数值方法之一。
对于大多数非线性ODE问题，解析解并不存在或难以获得，因此需要使用数值方法来近似计算解。
RK方法通过迭代逼近ODE的解来得到精确性可控、收敛性好、易实现的数值解。
RK方法的基本思想是将ODE中的一阶导数转化为一组计算步骤，以得到相邻时间点之间的函数值和一阶导数的近似值，然后将其结合起来得到一个更精确的解。
2.RK方法的推导RK方法的推导过程是基于欧拉方法的，欧拉方法是RK方法的一阶近似。
假设有ODE$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，欧拉方法的迭代公式为$$x_{n+1}=x_n+hf(x_n,t_n)$$其中$h$是时间步长，$t_n=n*h$。
这个公式的意思是，从$x_n$开始，用一阶导数$f(x_n,t_n)$来列出切线，然后沿着切线向前移动$h$个单位，得到$x_{n+1}$。
更高阶的RK方法则基于更精细的近似。
例如，经典的四阶RK方法（RK4）迭代公式为：\begin{align*}k_1&=f(x_n,t_n)\\k_2&=f(x_n+\frac{h}{2}k_1,t_n+\frac{h}{2})\\k_3&=f(x_n+\frac{h}{2}k_2,t_n+\frac{h}{2})\\k_4&=f(x_n+h k_3,t_n+h)\\x_{n+1}&=x_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\end{align*}其中，$k_1$是欧拉方法的一阶导数解，依次计算得到更高阶的导数近似值$k_2-k_4$。
3.RK方法的优势RK方法与其他数值方法相比具有众多优点。
首先，RK方法的精度可控。
通过增加迭代次数或者近似阶次，RK 方法可以获得任意高的精度。
这个特性非常适用于涉及长时间尺度和小尺度特征的问题，例如天气预报，需要同时精确地处理地球的自转和大气的扰动。
龙格-库塔方法基本原理
c1 c2 c3 1
a2c2
a3c3
1 2
,
a22c2 a32c31 3,b221c2
(b31
b32 )2 c3
1 3
a 2 b32 c 2
1 6
,
b21c2
(b31
b32 )c3
1 2
a2b21c2
a3c3 (b31
b32 )
1 3
1 b21b32c3 6
2021/5/25
6
同理，改进Euler公式可改写成
y
i
1
yi
1 2
K1
1 2
K2
K
1
hf
( xi ,
yi )
K
2
hf
( xi
h, yi
K1)
局部截断误差为O(h3)
上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些 点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增加计 算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉 法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法 需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。
17
若取 a2b2 塔公式。
11 2,
c1，就0,是c2另一1种形式的二阶龙格
-
库
yi1 yi K2
K1 hf(xi, yi)
K2
hf(xi
1h, 2
yi
12K1)
此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中
xi
1为h区间
2
x的i , x中i1点。也称中点公式。
Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
《龙格-库塔方法》课件
适用于求解一般和刚性常微分方程，并且具有较好的稳定性和收敛性。
龙格-库塔方法的原理
1
基本思路
通过将微分方程转化为差分方程，使用逼近公式计算数值解。
2
推导过程
使用泰勒级数展开和积分逼近，推导出不同阶次的龙格-库塔方法公式。
龙格-库塔方法的算法流程
1
步骤分解
包括选择步长、计算斜率、更新数值、迭代等一系列操作。
《龙格-库塔方法》PPT课 件
欢迎大家来到本次的PPT课件《龙格-库塔方法》。在本课程中，我们将一起 探索这一数值计算方法的原理、算法流程、应用领域以及注意事项。
什么是龙格-库塔方法？法。
特点
通过多步骤迭代计算，可以得到精确性较高的数值解。
2
具体实现过程
将算法流程转化为编程语言中的相应代码实现。
图解龙格-库塔方法
龙格-库塔方法示意图
图中展示了使用龙格-库塔方法进行迭代计算的示意 图。
对比其他数值方法的表现
通过与其他数值方法的比较，可以更好地理解龙格库塔方法的优势。
龙格-库塔方法的应用领域
常见应用范围
广泛应用于科学研究、工程计算、物理模拟等领域。
实际计算案例
通过实际案例，展示龙格-库塔方法在解决实际问题中的应用。
注意事项
1 龙格-库塔方法的收敛性和稳定性
在使用龙格-库塔方法时，需要注意数值解的收敛性和算法的稳定性。
2 常见误差和偏差的处理方法
介绍常见的误差和偏差来源，并提供相应的处理方法。
总结
龙格-库塔方法的优势和不足
总结龙格-库塔方法的优点和局限性，指出其适 用性和改进空间。
对未来数值计算的展望
展望未来龙格-库塔方法在数值计算领域的发展 和应用前景。
龙格库塔 高阶常微分方程组
龙格库塔高阶常微分方程组龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值解常微分方程的方法，它由卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·康托尔·库塔（Martin Kutta）分别独立发现。
这种方法常常被用来解决高阶常微分方程组，其优点在于精度高且适用范围广。
1. 龙格库塔法的基本原理我们来简要介绍一下龙格库塔法的基本原理。
对于一个一阶常微分方程y′=f(x,y)，我们可以通过欧拉法进行数值解，其迭代公式为y_(n+1) = y_n + hf(x_n, y_n)。
而龙格库塔法则通过多个步骤的迭代来提高精度。
常见的四阶龙格库塔法的迭代公式如下：k1 = hf(x_n, y_n)k2 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k1)k3 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k2)k4 = hf(x_n+h, y_n+k3)y_(n+1) = y_n + 1/6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)2. 高阶常微分方程组的数值解对于高阶常微分方程组，我们可以通过变量替换的方式将其转化为一组一阶微分方程，然后利用龙格库塔法进行数值解。
以二阶常微分方程为例，我们可以令y1 = y，y2 = y'，然后构造一组一阶微分方程：y1' = y2y2' = f(x,y1,y2)这样，我们就可以利用龙格库塔法对其进行数值解了。
3. 个人观点和理解在我看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值解法，尤其适用于高阶常微分方程组。
通过多步迭代的方式，可以大大提高数值解的精度，从而在实际问题中得到更为可靠的结果。
当然，龙格库塔法也存在一定的局限性，比如对于一些特殊形式的方程可能不够有效，需要结合其他方法进行求解。
总结回顾通过本文的介绍，我们对龙格库塔法有了更深入的了解。
从基本原理到在高阶常微分方程组中的应用，我们了解了其在数值计算中的重要性。
我也分享了自己对这一方法的个人观点和理解。
龙格库塔法介绍
h 0.005稳定.
2) 改进欧拉法(预测 — 校正，即二阶R K法)：
yn
1
yn
h
k1 2
k2 2
,
k1
f (xn, yn ) yn,
k2 f (xn h, yn hk1) ( yn hyn )，
即yn1 故
yn
当初值准确即e0 0时，整体误差为en O(h p ).
证明
考察单步法的收敛性归结为验证增量函数(x, y,h)是否
满足Lipschitz条件.
欧拉法 : (x, y,h) f (x, y)，L L.
改进的欧拉法：
yn1
yn
h[ 2
f
(xn, yn )
f
( xn 1,
xn
f
( x,
y ( x))dx
r
h ci
i 1
f
( xn
ih,
y ( xn
ih)).
yn1 yn h(xn, yn, h),
(3.4)
其中
r
(xn, yn, h) ciki ,
(3.5)
i 1
k1 f (xn, yn )，
欧拉法r 1, p 1.改进 欧拉法r 2, p 2.
k1)
k3）
k3 f (xn h, yn hk1 2hk2 )
称为库塔三阶方法.
阶数p和段数r（计算函数值次数）的关系
r12 p1 2
3 4 5 6 7 r≥8 3 4 4 5 6 r-2
常用的经典四阶龙格 库塔方法:
龙格库塔方法理解及应用
龙格库塔方法理解及应用龙格库塔方法是一种常用的数值解微分方程的方法，也是许多科学、工程和经济领域中常用的算法之一。
本文将介绍龙格库塔方法的原理及其应用。
一、龙格库塔方法原理在计算微分方程时，往往需要对方程进行离散化，采用数值方法处理。
龙格库塔方法（Runge-Kutta method）就是一种离散化的数值方法，其原理可以概括为：通过相应的递推公式，将微分方程在离散时间点上进行逼近，从而得到近似的解。
具体来说，假设要求解如下形式的一阶常微分方程：$$ y'=f(t,y) $$其中，$f(t,y)$是已知的函数，$y(t)$是未知函数，并且已知初值$y(t_0)=y_0$。
为了离散化这个方程，我们可以采用以下的递推公式：$$ \begin{aligned} y_1 &=y_0 + h\varphi_1 \\ y_2 &=y_0 +h\varphi_2 \\ \cdots &=\cdots \\ y_n &=y_0 + h\varphi_n \end{aligned} $$其中，$h$是离散时间点的时间步长，$t_n=t_0+nh$，$\varphi_i$是与$t_i$有关的递推公式。
根据龙格库塔方法的不同级别，$\varphi_i$也有不同的形式。
二、龙格库塔方法的应用由于龙格库塔方法的较高精度和鲁棒性，以及易于实现等特点，它在各个领域都有着广泛的应用。
1. 数学领域在数学领域，龙格库塔方法可以用于求解常微分方程、偏微分方程、常微分方程组等等，特别是对于复杂的高阶微分方程，龙格库塔方法更是可以发挥其优势。
2. 物理学领域在物理学领域，各种微分方程是研究物理过程的基础。
龙格库塔方法在求解各种物理问题时也得到了广泛的应用，如天体力学、流体力学、电磁场问题等等。
3. 经济学领域在经济学领域，许多经济问题可以通过微分方程的形式进行建模，并采用龙格库塔方法进行数值求解。
第六章 常微分方程数值解(龙格-库塔法)
h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
即
k1 k2 yn 1 yn hk yn h 2 k1 f ( xn , yn ) k2 f ( xn 1 , yn hk1 )
1. （更一般地）二阶龙格-库塔方法 （选k1，k2）： xn为一点，区间[xn, xn+1]再选一点
则：
其中
（复合函数 求导）
h2 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) O (h 3 ) 2
y ( xn )=f ( xn , yn ) f n y ( xn ) ( y ( xn )) ( f ( xn , yn )) ( f n ) [
xn xn 1
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn h ), h
y ( xn 1 ) y ( xn ) hy ( xn h ),
平均斜率
0 1
0 1
k * y ( xn h )
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
1. 分别用欧拉法和改进欧拉法求初值问题，
y 2 xy y (0) 1 0 x 0.5
取步长h=0.1，并与精确解 y e x 进行比较。
2
2. P93, 实验六 6.1 (1) 分别用二阶(Ⅱ)和四阶龙格库塔公式求解此初值问题(0≤x≤1, 取步长h=0.2)
龙格-库塔方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) hk *
xn
xn+1
龙格-库塔方法（特例） 欧拉法 即 改进欧拉法
yn 1 yn hf ( xn , yn )
四阶龙格——库塔法
四阶龙格——库塔法2013-2014（1）专业课程实践论文题目：四阶龙格—库塔法一、算法理论由定义可知，一种数值方法的精度与局部截断误差()po h有关，用一阶泰勒展开式近似函数得到欧拉方法，其局部截断误差为一阶泰勒余项2()o h，故是一阶方法，完全类似地若用p阶泰勒展开式2'''()11()()()......()()2!!pp p n n n n n h h y y x hy x y x y x O h p ++=+++++ 进行离散化，所得计算公式必为p 阶方法，式中'''''()(,),()(,)(,)(,)....x y x f x y y x f x y f x y f x y ==++由此，我们能够想到，通过提高泰勒展开式的阶数，可以得到高精度的数值方法，从理论上讲，只要微分方程的解()y x 充分光滑，泰勒展开方法可以构造任意的有限阶的计算公式，但事实上，具体构造这种公式往往相当困难，因为符合函数(,())f x y x 的高阶导数常常是很烦琐的，因此，泰勒展开方法一般不直接使用，但是我们可以间接使用泰勒展开方法，求得高精度的计算方法。
首先，我们对欧拉公式和改进欧拉公式的形式作进一步的分析。
如果将欧拉公式和改进的欧拉公式改写成如下的形式：欧拉公式{111(,)n n n n y y hK K f x y +==+改进的欧拉公式11211()22n n y y h K K +=++， 1(,)n n K f x y =，21(,)n n K f x h y hK =++。
这两组公式都是用函数(,)f x y 在某些点上的值的线性组合来计算1()n y x +的近似值1n y +，欧拉公式每前进一步，就计算一次(,)f x y 的值。
另一方面它是1()n y x +在n x 处的一阶泰勒展开式，因而是一阶方法。
改进的欧拉公式每前进一步，需要计算两次(,)f x y 的值。
第二节_龙格_库塔方法
yn1 yn hf ( xn , yn )
n1 yn1 yn1
n1 n h[ f ( xn , yn ) f ( xn , yn )] [1 hf y ( xn , )]n
如果 |1 hf y | 1，则误差是不增的，故可认为是稳定的
例如：对于初值问题
y y
y(
x0
)
a
精确解为
k2
f ( xn
h 2
,
yn
h 2 k1)
hh k3 f ( xn 2 , yn 2 k2 )
k4 f ( xn h, yn hk3 )
例2：用经典的龙格-库塔方法
求解下列初值问题 h 0.1
dy 。 dx
y
2x y
x
(0,1)
解：经典的四阶龙格-库塔公式： y(0) 1
h
y
ae x x0
y y
而实际求解的初值问题为
y(
x0
)
a
a
精确解为 y (a a)e x x0在 xn 处的误差为ae xn x0
可见误差随着 xn的增加呈指数函数增长
y y
如果初值问题为
y( x0 ) a
精确解为 y ae x0 x
y y
实际求解的初值问题为
y( x0 )
2C( h)5 2
y( xn1)
y(h/ 2) n1
y( xn1)
y(h) n1
1 16
记
|
y(h/ 2) n1
y(h) n1
|
16( y( xn1)
y(h/ 2) n1
)
y( xn1)
y(h) n1
y( xn1)
y(h/ 2) n1
第3讲(龙格-库塔方法)
易见，它与二阶泰勒级数方法仅相差 O( h3 )!
这一分析给我们提供了一个重要信息，那就是 我们所遇到的泰勒级数方法中求导数的困难是可以 克服的，改进的欧拉方法就没有用到导数，而是借 助于函数在某些点处的值 (复合函数的思想）。
又 y( x ) df ( x , y( x )) f x f y y f x f y f dx
故二阶泰勒级数方法为 h2 yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( f x ( xi , yi ) f ( xi , yi ) f y ( xi , yi )) 2! 更高阶方法更复杂，主要是求导复杂！
yi 1
h2 hk ( k ) yi h y y yi i i 2! k!
这样的数值方法称为k 阶泰勒级数方法。
yi 1
h2 hk ( k ) yi h y y yi i i 2! k!
泰勒级数方法也是单步法，且其局部截断误差为
h2 hk ( k ) LTE y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) y ( x i ) 2! k!
第二节 龙格-库塔方法
（Runge-Kutta）
根据局部截断误差与整体误差的关系可知， 局部截断误差的阶是衡量一个方法优劣的重要依据。 考虑用提高局部截断误差的阶来提高数值方法的 精度。 泰勒级数法 龙格―库塔方法
一、泰勒级数方法
d y f ( x, y ), x I 如果初值问题 d x 的精确解 y(x) 在 I y( x ) y 0 0
数值分析9-3(龙格-库塔方法)
总结词
除了Python和MATLAB，还有许多其他编 程语言可以用于实现龙格-库塔方法。
详细描述
例如C、Java和R等编程语言也提供了相应 的数值计算库或框架，可以实现龙格-库塔 方法。使用这些语言实现龙格-库塔方法需 要一定的编程基础和对相应语言的数值计算 库的了解。
龙格-库塔方法可以用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程转化为常微分方程组，利用龙格 -库塔方法进行迭代求解，能够得到较为精确的结果。
积分方程的数值解
积分方程是描述函数与积分之间的关 系的数学模型，常见于物理、工程等 领域。
VS
龙格-库塔方法也可以用于求解积分 方程的数值解，通过将积分方程转化 为常微分方程组，利用龙格-库塔方 法进行迭代求解，能够得到较为精确 的结果。
重要性及应用领域
龙格-库塔方法是数值分析中非常重要的内容， 它为解决常微分方程提供了一种有效的数值方 法。
在科学、工程和经济学等领域中，许多问题都 可以转化为求解常微分方程的问题，因此龙格库塔方法具有广泛的应用价值。
例如，在物理学、化学、生物学、金融学等领 域中，龙格-库塔方法被广泛应用于模拟和预测 各种动态系统的行为。
数值分析9-3：龙格-库塔方法
目录
• 引言 • 龙格-库塔方法概述 • 龙格-库塔方法在数值分析中的应用 • 龙格-库塔方法的实现与编程 • 龙格-库塔方法的改进与优化 • 结论与展望
01 引言
主题简介
龙格-库塔方法是一种用于求解常微 分方程的数值方法。
它通过构造一个离散化的时间序列来 逼近微分方程的解，并利用已知的离 散点来计算新的离散点，逐步逼近微 分方程的真实解。
02 龙格-库塔方法概述
定义与原理
动力学有限元问题的龙格库塔法 知乎
动力学有限元问题的龙格库塔法知乎动力学有限元问题的龙格库塔法1. 介绍动力学有限元问题是一类涉及结构物或系统在时间变化下的运动和响应的问题。
为了解决这类问题，我们可以使用数值方法，其中最常用的之一是龙格库塔法（Runge-Kutta method）。
本文将探讨龙格库塔法在解决动力学有限元问题中的应用，并对其进行深入思考和全面分析。
2. 龙格库塔法的基本原理和应用龙格库塔法是一种数值求解常微分方程的方法，通过迭代逼近来计算方程的数值解。
它的优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，并且对于非线性问题也有较好的适用性。
在动力学有限元问题中，我们通常需要求解结构物或系统在时间上的响应，而龙格库塔法可以提供相对精确的数值计算结果。
3. 动力学有限元问题在动力学有限元问题中，我们需要考虑结构物或系统在外部作用下的运动和响应。
这通常涉及到求解质点、刚体或弹性体的运动方程。
通过建立合适的模型和边界条件，我们可以得到动力学方程。
通过数值方法求解这些方程，我们可以得到系统在一段时间内的响应。
4. 龙格库塔法的步骤和计算过程龙格库塔法的基本步骤包括选择适当的时间步长和计算时间步数，以及计算中间步骤的函数值。
具体来说，龙格库塔法将时间区间划分为若干个小时间步，并通过迭代逼近的方式计算每个时间步的系统响应。
这个过程可以通过多种不同的方法进行，其中最常用的是四阶龙格库塔法。
5. 龙格库塔法的优点和缺点龙格库塔法作为数值求解常微分方程的方法，具有一定的优点和缺点。
其优点在于能够准确地模拟系统的动态行为，对于非线性问题也有较好的适用性。
而缺点在于需要选择合适的时间步长和计算步数，以及计算量较大。
在处理某些特殊问题时，龙格库塔法可能会出现数值不稳定或数值误差较大的情况。
6. 对龙格库塔法的个人观点和理解在我个人看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值求解方法。
它可以帮助我们更好地理解和分析动力学有限元问题，提供精确的数值计算结果。
通过选择适当的参数和方法，我们可以获得准确的结果，并在实际工程和科学研究中得到有效的应用。
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进的欧拉格式是众多的二阶龙格—库塔法中的一种
特殊格式。
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若取 a2 阶龙格
-= b库21塔= 公12 ,式c1。=
0,
c2 = 1 ，就是另一种形式的二
yi+1 = yi + K2
K1 = hf (xi , yi )
K2
=
hf
( xi
+
1 2
h,
yi
+
1 2
K1)
此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中
2
=
hf (xi
+
h 2
,
yi
+
1 2
K1)
K3 = hf (xi + h, yi - K1 + 2K 2 )
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9.4.4 四阶(经典)龙格—库塔法
如果需要再提高精度，用类似上述的处理 方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜 率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一 系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即 局部截断误差是O(h5)。
yi+1 = yi + K
K可以认为是y = y(x)在区间[xi , xi+1]上的平均斜率
y
只要使用适当的方法求出y(x)在区 间[xi , xi+1]上平均斜率的近似值K
就可得到相应的Runge-Kutta方法
y = y(x)
K
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xi
xi +1
x
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如果以y(x)在xi处的斜率作为y(x)在[xi , xi+1]上的平均斜率K
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一般龙格－库塔方法的形式为
yi+1 = yi + c1K1 + c2K2 + + cpK p
K1
=
hf
(
xi
,
yi
)
K
2
=
hf
( xi
+
a2h,
yi
+
b21K1)
• •• •• •• •• ••
K p = hf (xi + a ph, yi + bp1K1 + + bp, p-1K p-1)
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于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的 线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在 (xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式 的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。 既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。 或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值， 然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更 高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（RungeKutta）法的基本思想 。
应项的系数相等，得到系数方程组：
c1 + c2 + c3 = 1
a2c2
+
a3c3
=
1 2
,
a22c2
+
a32c3
=
1 3
,
b221c2 + (b31 +
a 2b32 c2
=
1 6
,
b32 )2 c3
=
1 3
b21c2
+
(b31
+
b32 )c3
=
1 2
a 2 b21c 2
= y(xi ) + c1hf (xi , yi )
[ ] + c2h f (xi , yi ) + a2hfx¢ + b21hff y¢ + O(h3)
= y(xi ) + (c1 + c2 )hf (xi , yi ) + a2c2h2 fx¢ + b21c2h2 ff y¢ + O(h3)
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就是二阶ห้องสมุดไป่ตู้格
-库塔
公式，也就是改进的欧拉法。
y
K2
yi +1
=
yi
+
1 2
(K1
+
K2 )
K1 = hf ( xi , yi )
y = y(x)
K1
K
K2 = hf ( xi + h, yi + K1)
xi
xi+1
x
因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格
式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改
y(xi+1) - y(xi ) = y¢(xi )(xi+1 - xi )
其中xi Î ( xi , xi+1)
即
y(xi+1) = y(xi ) + hy¢(xi )
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引入记号
y(xi+1) = y(xi ) + K
K = hy¢(xi ) = hf [xi , y(xi )]
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2
显然p=1时, y i+1=y i+hf(xi,y i)
它即为我们熟悉的Euler方法。
当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高 阶微商。这个计算量是很大的，尤其当f(x,y)较复 杂时，其高阶导数会很复杂。因此，利用泰勒公 式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开 法的基本思想是许多数值方法的基础。
推导过程与前面类似，由于过程复杂，这 里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格— 库塔公式。
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设 yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K4
这里K1、K2、K3、K4为四个不同点上的函数值， 分别设其为
K1=hf (xi, yi) K2=hf (xi+a2h, yi+b21K1) K3=hf (xi+a3h, yi+b31K1+b32K2) K4=hf (xi+a4h, yi+b41K1+b42K2+b43K3) 其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、 b32、b41、b42、b43均为待定系数。
在[xi, xi+1]上取两点xi和xi+a2= xi +a2h,以该两点处 的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取 平均斜率k*的近似值K，即
K = c1K1 + c2K2
式中:K1为xi点处的切线斜率值 K1 =hf(xi, yi)=hy'(xi) K2为xi +a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧
K3
K2 = hf (xi + a2h, yi + b21K1)
K1
K
K3 = hf (xi + a3h, yi + b31K1 + b32K2)
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xi
xi +a 2
xi+a3
x
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同理推导二阶公式，将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进 行Taylor展开，使局部截断误差达到O(h4)，使对
yi +1
=
yi
+ hyi¢
+
h2 2!
yi¢¢ +
+
hP P!
yi( P)
P阶泰勒方法
其中 yi¢ = f , yi¢¢ = f (xi , yi )¢x = f x¢ + ff y¢
yi¢¢¢= ( fx¢ + ff y¢ )¢x = f x¢¢x + 2 f x¢¢y f + f y¢¢y f 2 + f x¢ f y¢ + ( f y¢ )2 f
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4
同理，改进Euler公式可改写成
yi+1 = yi K1 = hf (
+ xi
1 2
K1
, yi )
+
1 2
K2
K
2
=
hf
( xi
+
h, yi
+
K1)
局部截断误差为O(h3)
上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某 些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增 加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如 欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进 欧拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。
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[ ] K2 = h f (xi, yi) + a2hfx¢ + b21K1 f y¢ + O(h2)
[ ] = h f (xi, yi ) + a2hfx¢ + b21hff y¢ + O(h3)
K1 =hf(xi, yi)
\
yi+1 = yi + (c1K1 + c2K2 )
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令 y(xi+1) = yi+1 对应项的系数相等，得到
c1 + c2 = 1 ,
a2c2
=
1 2
,
b21c2
=
1 2
这里有4 个未知 数，3 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶 龙格 -库塔格式。
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