数与代数方程与不等式专题知识树
方程与不等式知识结构图
方程(组)与不等式(组) 知识结构表方程: 含有未知数的等式叫做方程．方程的解:能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程: 求方程的解的过程叫做解方程．定义: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.(1) 一元一次方程 解法: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．定义: 含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．由这样的几个方(2) 二元一次方程(组) 程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．分类 解法: 基本思想是消元，基本方法是代入消元法、加减消元法．方程(组) 定义:只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (0≠a ).(3)一元二次方程 解法; 直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．根的判别式(ac b 42-=∆):当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0<∆时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立.方 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程．程 (4)分式方程 解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解与 分式方程必须要验根．有时也可采用换元法．不 应用: 一般步骤:①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)；⑤检验方程(组)的根；⑥作答． 等式 不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．不等式的解: 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．有关概念 不等式的解集:一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式．性质1: 如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ．不等式的性质 性质2: 如果a ＞b ，并且c ＞0，那么ac ＞bc ．性质3: 如果a ＞b ，并且c ＜0，那么ac ＜bc ．: 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式．不等式（组） 一元一次不等式 解法: 基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．特别要注意当系数化为1时, 不等式两边同乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向必须改变．分类 定义: 几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组 解法: 求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出解集的公共部分．解集有如下规律: 同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解．应用: 解不等式(组)在实际问题中的应用，关键是使学生能从实际问题中抽象出数量关系，列出不等式（组），建立不等式模型，通过转化为纯数学问题来解决实际应用问题．在列不等式时还要密切关注题中的不等关系，如“至少”，“至多”，“不大于”，“不小于”等等．。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。
一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。
2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。
（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
初中数学数与代数知识点总结
别直方图，会分析图表，注重能力的培养，加大训练力度。
初中数学统计与概率知识点总结:
统计与概率知识点是初中学习数学时期的主要知识点之一，主要包括数据与图表、概率初步、等，以下是各具体知识点总结的理解和分析。
初中数学概率初步知识点总结:
概率：分值一般3-6分，题型以选择，填空常见，更多以解答题目为主，难易度为中。
考察内容：①简答事件的概率求解，图表法和数形图法②利用概率解决实际，公平性问题等③注意概率知识与方程相结合的综合性试题，选材贴近生活，越来越新。
突破方法：①牢固掌握概率的求解思想和方法。
注意面积比②注重概率在实际问题中的应用③要关注概率与方程相结合的综合性试题，加大训练力度，形成能力。
初中数学综合题知识点总结: 综合题知识点是初中学习数学时期的主要知识点之一，主要包括综合题、等，以下是各具体知识点总结的理解和分析。
人教版初中数学代数部分知识点总结
一、实数的分类：正整数整数零
有理数负整数有限小数或无限循环小实数数正分数分数负分数正无理数无理数负无理数无限不循环小数1、有理数：任何一个有理数总可以写成pq（分数）的形......。
初二代数知识点归纳总结
初二代数知识点归纳总结[开始]初二代数知识点归纳总结代数是数学中的一个重要分支，也是初中数学的基础内容之一。
在初二学年，学生开始接触更加深入的代数知识，包括方程与不等式、函数与图像、平面直角坐标系等。
本文将对初二代数的主要知识点进行归纳总结，供同学们复习和巩固。
一、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是最简单的代数方程，形式为ax+b=0。
解一元一次方程的基本方法是移项和化简。
2. 一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中的应用非常广泛，比如解决购买物品打折、分配问题等。
3. 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
4. 一元二次方程的应用一元二次方程常常涉及到抛物线的图像、运动问题等实际情景，比如求解物体的抛射运动轨迹等。
5. 一元一次不等式一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示，解一元一次不等式时需要注意不等号的方向。
6. 一元一次不等式的应用一元一次不等式在解决范围、区间问题时非常有用，比如购买商品时根据价格范围选择合适的产品等。
7. 一元二次不等式一元二次不等式的解集也可以用数轴上的区间表示，解一元二次不等式需要将不等式转化为标准形式，并通过求解方程的方法求解。
二、函数与图像1. 函数的概念函数是一种特殊的映射关系，用来描述输入和输出之间的对应关系。
函数的定义域、值域、图像等概念需要熟练掌握。
2. 线性函数与线性图像线性函数是形如f(x)=kx+b的函数，它的图像是一条直线。
线性函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
3. 幂函数与指数函数幂函数是形如f(x)=x^a的函数，指数函数是形如f(x)=a^x的函数。
这两类函数在图像上均表现出特定的规律。
4. 实际问题中的函数与图像函数与图像在解决实际问题中有广泛应用，比如描述温度随时间变化的规律、模拟人口增长等。
三、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系的构建平面直角坐标系是由横轴x和纵轴y构成的，原点是坐标系的起点。
知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
代数知识点总结图
代数知识点总结图一、代数的基本概念1. 代数表达式代数表达式是用字母、数字和运算符号等符号表示数与数关系的式子。
代数表达式的一般形式为a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an-1x + an，其中a1，a2，...，an-1，an为系数，x为未知数，n为非负整数。
2. 代数方程代数方程是含有未知数的等式，一般是将代数表达式的两个部分用等号连接起来。
代数方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为实数且a≠0。
3. 代数不等式代数不等式是含有不等号的式子，表示两个代数表达式之间的大小关系。
代数不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
4. 代数函数代数函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
代数函数的一般形式为y = f(x)。
二、代数运算1. 代数运算的基本法则代数运算的基本法则包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则及分配律等。
2. 代数运算的性质代数运算的性质包括结合律、交换律、分配律、零律、乘法逆元等。
3. 代数运算中的优先级代数运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算优先级最高。
4. 代数运算的逆运算代数运算的逆运算指的是对一种运算进行相反的操作。
例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
三、代数方程和代数不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a，b为已知数且a≠0。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
3. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为已知数且a≠0。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。
初中数学代数知识点梳理
初中数学代数知识点梳理代数是数学中一个重要的分支，它以符号和变量为基础，研究数字和运算规则之间的关系。
代数在初中数学中占据着重要的地位，它涉及到方程、函数、多项式等许多重要的概念和技巧。
下面将对初中数学代数知识点进行梳理和总结。
一、方程与不等式1. 一元一次方程：一元一次方程是代数中最基础的方程形式，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程可以通过移项、合并同类项等方法，最终得到x的值。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是一元一次方程的扩展，其形式为ax + b < c或ax + b > c。
解一元一次不等式与解方程类似，可以通过移项、合并同类项等方法，最终得到x的取值范围。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组，其一般形式为{ax + by = cdx + ey = f解二元一次方程组可以通过消元、代入等方法，最终得到x和y的值。
4. 二元一次不等式组：二元一次不等式组是由两个一元一次不等式组成的不等式组，其形式为{ax + by < cdx + ey > f解二元一次不等式组可以通过图像法、代入法等方法，最终得到x和y的取值范围。
二、函数与图像1. 函数与自变量、因变量：函数是两个数集之间的一种对应关系，其中一个数集称为自变量集合，另一个数集称为因变量集合。
自变量的取值范围决定了函数的定义域，因变量的取值范围决定了函数的值域。
2. 一元函数的图像：一元函数的图像是自变量和因变量之间的对应关系在坐标系中的表示形式。
在直角坐标系中，通常将自变量表示为x轴坐标，将因变量表示为y轴坐标，然后将所有点的坐标连成曲线，即为函数的图像。
3. 二元函数的图像：二元函数的图像是两个自变量和因变量之间的对应关系在三维坐标系中的表示形式。
在三维坐标系中，通常将两个自变量表示为x轴和y轴的坐标，将因变量表示为z轴的坐标，然后将所有点的坐标连成曲面，即为函数的图像。
人教版初中数学《数与代数——方程与不等式专题》说课稿
新增
解法
概念
2012中考 方 程 与 不 等 式
应用
新增
解法
一元二次方程 一元一次方程
概念
2012中考 方 程 与 不 等 式
应用
一元一次不等式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程
新增
概念
解法
2012中考 方 程 与 不 等 式
一元二次方程 图形与几何 一元一次方程
应用
一元一次不等式
一次函数 分式方程
数学思考 知识技能
了解
方程与方程组
﹡了解一元二次方程的根与系数的关系。
新增
理解
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系 数的一元二次方程。
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个 新增
实根是否相等。
掌握
能根据具体问题中的数量关系列出方程
体会方程是
掌握等式的基本性质。
刻画现实世
能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
元 一 次 不
一 次 函 数
图象的交点坐标
程等
式一
专题之间整合 △＞0
△=0 有两不等实根 x1，x2
有两个公共点 （x1,0）( x2,0 ）
△＜0
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
数形结合
有一个公共点 （ b ,0）
2a
无实数根
无公共点
一元二次方程 ax2bxc0
(a 0)
一元二次 方程的根
立体整合
育人为本
总目标 课 程 目 标
培养科学态度
了解数学的价值， 提高学习数学的兴 趣，增强学好数学 的信心，养成良好 的学习习惯，具有 初步的创新意识和 科学态度。
七年级下册数学知识树
画出扇形
标注
易于显 示数据 的变化 趋势
易于显示数据 的分布情况
列频数分布表 画频数分布直方图
目的、对象、 如何设计…
收集(shōují)数据知识树
统计调查
科学实验
查
阅
资
二
料
手
数
据
问卷、访问、
邮寄、电脑辅助、
电话（一手）
一 手
数 据
数据 来源
报刊杂志、
个体
总体
广播、电视
（二手）
第十八页，共28页。
1．了解通过全面调查(diào chá)和抽样调查(diào chá)收集数据的方法； 会设计简单的调查(diào chá)问卷收集数据；能根据问题查找有关资料， 获得数据信息。
2．通过抽样调查(diào chá)，初步感受抽样的必要性，体会用样本估 计总体的思想。
3．了解频数及频数分布，掌握划记法，会用表格整理数据表示频数分 布，体会表格在整理数据中的作用。
分类
七年级下册第八章知识树
解法
二元一次方程组 应用(yìngyòng)
应用
二元一 次方程
组
第十四页，共28页。
解一元(yī yuán)一次不 数学问题的解 等式（组）
一元(yī yuán)一次不等式 （组）的概念
第九章不等式 实际(shíjì)问题的答案 和不等式组
七 年 级 下 册
第十五页，共28页。
内容(nèiróng)总结
义务教育课程标准教科书。四 教材处理。四 教材处理。经历将一些实际问题 抽象为数与代数问题的过程。感受证明过程的严谨性以及结论的确定性。不等式与
No 不等式组。不等。与算术平方根的区别(qūbié)与联系。主要内容是收集数据和整理数据的常 用方法。问题入手，介绍通过全面调查获得数据的方法和步骤，在解决这个具。体 问题的过程中，使学生经历收集、整理、描述和分析数据得出结论。谢谢
数与式方程与不等式知识点
第一单元数与式第1课时实数1．数轴规定了_______、_______、_______的直线,叫做数轴．_____和数轴上的点是一一对应的．2．相反数1实数a的相反数为_______；2a与b互为相反数_________；3相反数的几何意义：在数轴上,表示相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离________.3．倒数1实数a的倒数是____,其中a____0；2a和b互为倒数_______.4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝即|a|＝错误!对值等于它_____,0的绝对值是___,负数的绝对值是它的_______.错误!实数错误!1．若x2＝aa≥0,则x叫做a的_______,记作±记作错误!.2．平方根有以下性质1正数有两个平方根,根．3．如果x3＝a,那么x叫做a的立方根,记作考点四科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数法把一个数N表示成a×10n11时,n等于原数N的整数位数减1；当|N|＜1且N起第一个非零数字前零的个数含整数位上的零．2．近似数与有效数字一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从左边第___个不为0的数字起,到末位数字为止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．考点五实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、_____、_____六种,其中减法转化为____运算,除法、乘方都转化为______运算．2．有理数的运算定律在实数范围内都适用,常用的运算律有：____________、___________、___________、___________、_____________3．在实数范围内运算顺序是：先算_________,再算___,最后算____,有括号的先算____同一级运算,从___到____依次进行计算．考点六零指数、负整数指数幂若a≠0,则a0＝__；若a≠0,n为正整数,则a－n＝错误!.考点七实数大小比较1．在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数总比左边的点表示的数_____；两个负数比较,绝对值大的反而_____2．设a、b是任意两个数,若a－b＞0,则a____b；若a－b＝0,则a___b；若a－b＜0,则a____b.3．实数大小比较的特殊方法①开方法：如3＞2,则错误!___错误!；②商比较法：已知a＞0、b＞0,若错误!＞1,则a___b；若错误!＝1,则a___b；若错误!＜1,则a___b.③近似估算法；④中间值法．4．n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为0.如：若|a|＋b2＋错误!＝0,则a＝b＝c＝0.第2课时整式及因式分解1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子,而多项式是指几个单项式的____2．单项式中的数字因数叫做单项式的______；单项式中所有字母的______叫做单项式的次数．3．多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数________的次数就是这个多项式的次数．1．整式的加减1同类项与合并同类项所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变．2去括号与添括号①括号前是“＋”号,去掉括号和它前面的“＋”号,括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号,去掉括号和它前面的“－”号,括号里的各项________②括号前是“＋”号,括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号,括到括号里的各项都改变符号．3整式加减的实质是合并同类项．2．幂的运算同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m·a n＝____m、n都是整数．幂的乘方,底数不变,指数相乘,即a mn＝_____m、n都是整数．积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所有的幂相乘,即ab n＝_____n为整数．同底数幂相除,底数不变,指数相减,即a m÷a n＝____a≠0,m、n都为整数．3．整式的乘法单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即ma ＋b＋c＝______________多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即m ＋na＋b＝ma＋mb＋na＋nb.4．整式的除法单项式除以单项式,把______________相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式,把这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加．5．乘法公式1平方差公式两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即a＋ba－b＝_______2完全平方公式两数和或差的平方,等于它们的平方和加上或减去它们的积的2倍,即a±b2＝__________考点三因式分解1．因式分解的定义及与整式乘法的关系1把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种运算就是因式分解．2因式分解与整式乘法是互逆运算2．因式分解的常用方法1提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式,那么这个相同的因式,就叫做公因式．提公因式法用公式可表示为ma＋mb＋mc＝___________,其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．2运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式,这种方法叫做公式法,即a2－b2＝______,a2±2ab ＋b2＝_________.3．因式分解的一般步骤1一提：如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；2二套：如果各项没有公因式,那么可以尝试套用公式法来分解；3三彻底：分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．第3课时分式形如错误!A、B是整式,且B中含有字母,B_____的式子叫做分式．1分式有无意义：B＝0时,分式无意义；B≠0时,分式有意义．2分式值为0：A＝0且B≠0时,分式的值为0.分式的分子与分母都乘以或除以同一个________的整式,分式的值不变．①错误!＝错误!,错误!＝错误!m≠0；错误!___ _ 错误!____－错误!.②通分的关键．．是确定n个分式的_________确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时,先________,再取系数的__________,所有不同字母因式的________的积为最简公分母．③约分的关键．．是确定分式的分子与分母中的___________确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时,先________,取系数的________,相同字母因式的_______的积为最大公因式．1．分式的加减法同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,即错误!±错误!＝错误!.异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后相加减,即错误!±错误!＝错误!.2．分式的乘除法分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即错误!·错误!＝错误!.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即错误!÷错误!＝错误!·错误!＝错误!.3．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方,即错误!k＝错误!k是正整数．4．分式的混合运算在分式的混合运算中,应先算乘方,再算乘除,进行约分化简后,最后进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的．运算结果必须是最简．．分式或整式．分式的求值方法很多,主要有三种：①先化简,后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知,而是隐含在方程等题设条件中．解这类题,一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下,才能获得简易的解法．第4课时二次根式式子错误!a≥0叫做二次根式．最简二次根式必须同时．．．．满足条件：1．被开方数的因数是_______,因式是整式；2．被开方数不含能开的尽方的因数或因式．几个二次根式化成_________后,如果________相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式．a≥0是_______数；2．错误!2＝___a≥0；＝|a|＝错误!；＝错误!·错误!a≥0,b≥0；＝错误!a≥0,b____．1．二次根式的加减法先将各根式化为___________,然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除法二次根式的乘法：错误!·错误!＝错误!a≥0,b______；二次根式的除法：错误!＝错误!a≥0,b＞0．二次根式的运算结果一定要化成____________________第二单元方程组与不等式组第1课时一次方程组1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子,叫做等式．等式的性质：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式；等式两边都乘以或除以同一个数除数不能为0,所得结果仍是等式．2．方程的有关概念1含有未知数的_______,叫做方程．2使方程左、右两边的____相等的未知数的值,叫做方程的解只含有一个未知数的方程的解,也叫做根．3求方程解的过程,叫做解方程．4方程的两边都是关于未知数的_____,这样的方程叫做整式方程.1．一元一次方程在整式方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程,叫做一元一次方程．___________________是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤1去分母；2去括号；3移项；4合并同类项；5系数化为1.1．二元一次方程组1几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起,叫做二元一次方程组；2二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c.2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：1代入消元法；2加减消元法；3图象法．1．列方程组解应用题的一般步骤1把握题意,搞清楚什么是条件,求什么；2设未知数；3找出能够包含未知数的等量关系一般情况下设几个未知数,就找几个等量关系；4列出方程组；5求出方程组的解注意排除增根；6检验看是否符合题意；7写出答案包括单位名称．2．列方程组解应用题的关键是：确定等量关系．第2课时一元二次方程在整式方程中,只含有一个未知数,并且含未知数项的最高次数是__,这样的整式方程叫一元二次方程,一元二次方程的一般形式是_________________1．____________________4．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0,则x＝错误!.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程组解应用题步骤一样,即审、找、设、列、解、答六步．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判别式为2－4ac.1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两个不相等的实数根,则x1,2＝错误!；2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两个相等的实数根,即x1＝x2＝－错误!；3．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0没有实数根；1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两根分别为x1、x2,则x1＋x2＝______,x1·x2＝_____.2．简易形式若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2,则x1＋x2＝___,x1·x2＝_____第3课时分式方程1．分式方程分母里含有_______的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程,即分式方程错误!整式方程．3．解分式方程的步骤①去分母,转化为整式方程；②解整式方程,得根；③验根．4．增根在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根．解分式方程时,有可能产生增根使方程中有的分母为__的根,因此解分式方程要验根其方法是代入最简公分母中,使最简公分母为__的是增根,否则不是．1．分式方程的增根必须同时满足两个条件1是由分式方程化成的整式方程的根；2使最简公分母为零．2．增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代入变形后的整式方程,求出参数的值．1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样．不同之处是列出的方程是分式方程．2．应用问题中常用的数量关系及题型1数字问题．包括日历中的数字规律①设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是__________________②日历中前后两日差___,上下两日差____.2体积变化问题．3打折销售问题．①利润＝___－成本；②利润率＝____×100%.4行程问题．5教育储蓄问题．①利息＝_________________②本息和＝_______________＝本金×1＋利润×期数；③利息税＝________________；④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．第4课时一元一次不等式组1．不等式用________连接起来的式子,叫做不等式．2．不等式的解使不等式成立的_________的值,叫做不等式的解．3．不等式的解集一个含有未知数的不等式的_________叫做不等式的解集．4．一元一次不等式只含有__个未知数,并且未知数的次数是_____且系数不等于___的不等式,叫一元一次不等式．其一般形式为________________________5．解不等式求不等式____的过程或证明不等式____的过程,叫做解不等式．1．不等式两边都加上或减去同一个__或同一个____,不等号的方向____,即若a＜b,则a＋c＜b＋c或a－c＜b－c；2．不等式两边都乘以或除以同一个____,不等号的方向____,即若a＜b,且c＞0,则ac＜bc或错误!＜错误!；3．不等式两边都乘以或除以同一个_____,不等号的方向____,即若a＜b,且c＜0,则ac＞bc或错误!＞错误!．解一元一次不等式的基本步骤：去分母,去____,____,合并_____,系数化为1.列不等式解应用题的一般步骤：1审题；2设未知数；3确定包含未知数的不等量关系；4列出不等式；5求出不等式的解集；6检验不等式的解是否符合题意；7写出答案．考点五一元一次不等式组的有关概念1．定义：类似于方程组,把几个含有相同未知数的_________________合起来,就组成了一个一元一次不等式组．2．解集：几个不等式的解集的_________叫做由它们所组成的不等式组的解集．考点六一元一次不等式组的解法1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集,再求出它们的______一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来,由图形得出公共部分,就得到不等式组的______ 2．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表其中a＜b：考点七一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等．不等式组的特殊解,包含在它的解集中．因此,解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集,然后求其特殊解．考点八一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似,不同的是后者寻求的是等量关系,列出的是等式,前者寻求的是不等量关系,列方的是不等式,解不等式组所得的结果通常为解集,根据题意需从解集中找出符合条件的答案．在列不等式时,“不超过”“不多于”等用“≤”连接,“至少”“不少于”等用“≥”连接．第三单元函数第1课时函数及其图象考点一函数及其图象1．函数的概念1在一个变化过程中,我们称数值____的量为变量,有些数值是____的,称它们为常量．2一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值,y都有____的值与其对应,那么就说,x是____,y是x的函数．3用来表示函数关系的数学式子,叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围1函数有三种表示方法：_______、______ 、______这三种方法有时可以互相转化．2当函数解析式表示实际问题或几何问题时,其自变量的取值范围必须符合____意义或____意义．3．函数的图象：对于一个函数,把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的____与_____在平面内描出相应的点,组成这些点的图形叫这个函数的图象．1画函数图象,一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．2图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上．求函数自变量的取值范围时,首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现,它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现,它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现,它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时,它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中,它的取值范围是使底数不为零．．．．．的数．5．在一个函数关系式中,同时有几种代数式,函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．第2课时一次函数考点一一次函数的概念一般地,如果_________________,那么y叫做x的一次函数．特别地,当b＝___时,一次函数y＝kx＋b就成为y＝kxk是常数,k≠0,这时,y叫做x的_____________1．由定义知：y是x的一次函数它的解析式是_______,其中k、b是常数,且k≠0.2．一次函数解析式y＝kx＋bk≠0的结构特征．．．．：1k___0；2x的次数是__；3常数项b可为任意实数．3．正比例函数解析式y＝kxk≠0的结构特征：1k____0；2x的次数是_____；3没有常数项或者说常数项为____考点二一次函数的图象1．一次函数y＝kx＋bk≠0的图象是经过点0,b和－错误!,0的一条直线．2．正比例函数y＝kxk≠0的图象是经过点0,0和1,k的一条直线．考点三一次函数的性质一次函数y＝kx＋b,当k＞0时,y随x的增大而_____,图象一定经过第______象限；当k＜0时,y 随x的____而减小,图象一定经过第_______象限.考点四一次函数的应用1．求一次函数解析式求一次函数解析式,一般是已知两个条件,设出一次函数解析式,然后列出方程,解方程组便可确定一次函数解析式．2．利用一次函数性质解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．第3课时反比例函数考点一反比例函数的定义一般地,函数y＝错误!或y＝kx－1k是常数,k≠0叫做__________1．反比例函数y＝错误!中的错误!是一个分式,所以自变量x_____0,函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝kk≠0,它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y 之积,总等于已知常数k.1．反比例函数y＝错误!k≠0的图象是_________因为x≠0,k≠0,相应地y值也不能为0,所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴,但永不与x 轴、y轴______2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝错误!k≠0的图象总是．．关于原点对称的,它的位置和性质受k的符号的影响．1k＞0图象双曲线的两个分支分别在一、三象限,如图①所示．图象自左向右是下降的当x＜0或x＞0时,y随x的增大而______或y随x的减小而增大．(2)k＜0图象双曲线的两个分支分别在______象限,如图②所示．图象自左向右是上升的当x ＜0或x＞0时,y随x的增大而增大或y随x的减小而减小．决定抛物线______________位置决定抛物线______________位置 决定抛物线______________位置决定抛物线______________位置▲=b 2-4ac由于反比例函数的关系式中只有一个未知数,因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．考点四 反比例函数图象中比例系数k 的几何意义反比例函数y ＝错误!k ≠0中k 的几何意义：双曲线y ＝错误!k ≠0上任意一点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积为_____理由：如图①和②,过双曲线上任意一点P 作x 轴、y轴的垂线PA 、PB 所得的矩形PAOB 的面积S ＝PA·PB ＝|y|·|x|＝|xy|；∵y ＝错误!,∴xy ＝k,∴S ＝|k|,即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线,所得的矩形面积均为|k|,同理可得S △OPA ＝S △AOB ＝错误!|xy|＝错误!|k|.考点五 反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,特别注意自变量的____________第4课时 二次函数考点一 二次函数的定义一般地,如果y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0,那么y 叫做x 的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数,右边是关于自变量x 的____次式；②x 的最高次数是_____；③二次项系数a____0.2．二次函数解析式的三种形式一般形式：______________________顶点式：________________________,它直接显示．．．．二次函数的顶点坐标是________； 交点式：________________________,其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的_________考点二 二次函数的图象和性质表达式 y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0图 象 a>0 a<0性 质 开口方向顶点坐标对称轴增减性最 值2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0的图象与系数a,b,c 的关系 a 决定抛物线______ a>0,抛物线开口向___;a<0,抛物线开口向___b=0,对称轴为y 轴；ab>0,对称轴在y 轴____侧；ab<0,对称轴在y 轴____侧.c=0,抛物线经过原点；c>0,抛物线交于y 轴___;c<0,抛物线交于y 轴___.▲=0时,与x 轴有唯一交点顶点；▲>0时,与x轴有____交点;▲<0时,与x 轴____交点 3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0图象的平移规律．．．．____________________ 决定抛物线______位置,对称轴为___ a,b c1．设一般式：y＝ax2＋bx＋ca≠0．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋ca≠0,将已知条件代入,求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝ax－x1x－x2a≠0．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式：y＝ax－x1x－x2a≠0,将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式．3．设顶点式：y＝ax－h2＋ka≠0．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式：y＝ax－h2＋ka≠0,将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.考点四二次函数的应用二次函数的应用包括两个方法：①用二次函数表示实际问题变量之间关系．②用二次函数解决最大化问题即最值问题,用二次函数的性质求解,同时注意自变量的取值范围．。
初中数学中的代数知识点整理
初中数学中的代数知识点整理代数是数学中重要且广泛应用的一个分支，它通过符号和字母来表示和操作数值以及未知量。
初中阶段学习代数是建立数学思维和解决实际问题的重要基础。
本文将整理初中数学中常见的代数知识点，包括代数式、方程、不等式以及函数等内容。
一、代数式代数式是用数字、字母和运算符号表示出的数学式子。
初中代数式的构成部分主要包括常数（即具体的数值）和变量（即表示未知量的字母）。
通过运算符号（如+、-、*、/）可以对代数式进行加减乘除的运算。
常见的代数式形式包括单项式、多项式和分式。
单项式是只包含一个项的代数式，如3x、-2y^2。
多项式是由多个单项式相加减而成的代数式，如2x^2-3y+5。
分式是由两个代数式相除而成的代数式，如x/(x-1)。
二、方程方程是一个含有等号的数学语句，表示两个代数式相等。
在初中数学中，主要学习一元一次方程和一元二次方程。
一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b是已知的实数，而x是未知数。
解一元一次方程可以通过移项和化简的方法得到。
例如，要解方程2x+3=7，可以先将3移到等号的右边，得到2x=4，然后除以2，得到x=2。
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的实数，而x 是未知数。
解一元二次方程可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法得到。
例如，要解方程x^2-5x+6=0，可以通过因式分解得到(x-2)(x-3)=0，然后令每个因式等于0，得到x=2和x=3。
三、不等式不等式是一个包含不等号的数学语句，表示两个代数式之间的大小关系。
初中主要学习一元一次不等式和一元二次不等式。
一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b是已知的实数，而x是未知数。
解一元一次不等式可以通过移项和判断符号的方法得到。
例如，要解不等式2x+3>7，可以先将3移到不等号的右边，得到2x>4，然后除以2，得到x>2。
初中数学数与代数知识点归纳总结
初中数学数与代数知识点归纳总结初中数学数与代数知识点的知识点一直都是中考的重点知识点，所以对数与代数知识点进行归纳总结很有必要。
和小编一起来看看吧。
初中数学数与代数知识点一、一次函数图象 y=kx+b一次函数的图象可以由k、b的正负来决定：k大于零是一撇(由左下至右上，增函数)k小于零是一捺(由右上至左下，减函数)b等于零必过原点;b大于零交点(指图象与y轴的交点)在上方(指x轴上方)b小于零交点(指图象与y轴的交点)在下方(指x轴下方)其图象经过(0，b) 和 (-b/k , 0) 这两点(两点就可以决定一条直线)，且(0，b) 在 y轴上， (-b/k , 0) 在x轴上。
b的数值就是一次函数在y轴上的截距(不是距离，有正、负、零之分)。
二、不等式组的解集1、步骤：去分母(后分子应加上括号)、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 。
2、解一元一次不等式组时，先求出各个不等式的解集，然后按不等式组解集的四种类型所反映的规律，写出不等式组的解集：不等式组解集的确定方法，若aA 的解集是解集小小的取小B 的解集是解集大大的取大C 的解集是解集大小的小大的取中间D 的解集是空集解集大大的小小的无解另需注意等于的问题。
三、零的描述1、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的数。
零是自然数，是整数，是偶数。
A、零是表示具有相反意义的量的基准数。
B、零是判定正、负数的界限。
C、在一切非负数中有一个最小值是0;在一切非正数中有一个最大值是0。
2、零的运算性质A、乘方：零的正整数次幂都是零。
B、除法：零除以任何不等于零的数都得零;零不能作除数;0没有倒数。
C、乘法：零乘以任何数都得零。
ab=0 a、b中至少有一个是0。
D、加法a、b互为相反数 a+b=0E、减法(比较大小用) a-b=0 a=b; a-b>0 a>b; a-b<0 a3、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度，不能省略。
初中数学方程与不等式知识点整理
初中数学方程与不等式知识点整理方程和不等式是初中数学中重要的概念和工具。
它们在解决实际问题、建立数学模型以及进行推理和证明中起着关键的作用。
本文将为你整理方程与不等式的基本概念、求解方法以及在实际问题中的应用。
一、方程1. 方程的定义方程是含有一个或多个未知数的等式。
它的特点是通过运算找到满足等式的未知数的值。
2. 一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，它的未知数只有一个，并且次数为一。
一元一次方程可表示为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
求解一元一次方程的方法有两种：合并同类项和移项。
合并同类项是将方程两边的项按照未知数的幂次从高到低进行排列，然后合并同类项。
移项是通过交换方程两边的项的位置，并且改变符号，将含有未知数的项集中在一边，常数项集中在另一边。
3. 一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为已知数，a≠0。
一元二次方程的求解可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式进行。
其中求根公式是最常用的方法，根据公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a可以求得方程的解。
4. 方程的解集解集是方程所有满足条件的未知数的集合。
对于一元一次方程和一元二次方程，解集可以是实数集、有理数集或者整数集。
二、不等式1. 不等式的定义不等式是数之间的大小关系的表示，通常使用符号<、>、≤或≥来表示。
2. 一元一次不等式一元一次不等式类似于一元一次方程，其形式为ax + b < 0或ax + b > 0。
求解一元一次不等式的方法也与方程类似，但是要注意在对等式两边乘以负数时需要改变不等式的方向。
3. 一元二次不等式一元二次不等式是形如ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b 和c为已知数，a≠0。
方程、不等式(组)、多项式知识点总结,推荐文档(2021年整理)
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方程、不等式(组)、多项式知识点总结一、一元一次方程的概念1、方程 含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
(2)等式的两边都乘以（或除以)同一个数（除数不能是零)，所得结果仍是等式。
4、一元一次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程），（0为未知数0≠=+a x b ax 叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
二、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零，其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
三、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
解方程与不等式知识点总结
解方程与不等式知识点总结一、解一元一次方程1. 一元一次方程的定义：形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 解一元一次方程的步骤：a. 将方程中的常数项移到方程左边，得到ax = -b。
b. 如果a不等于0，将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
c. 如果a等于0，则无解或为恒等式，需要根据具体情况判断。
二、解一元二次方程1. 一元二次方程的定义：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 利用二次方程的求根公式解一元二次方程：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
a. 如果判别式(b^2 - 4ac)大于0，则方程有两个不相等的实根；b. 如果判别式等于0，则方程有两个相等的实根；c. 如果判别式小于0，则方程无实根，为复数解。
三、解简单的一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 解一元一次不等式的步骤：a. 将不等式中的常数项移到不等式左边，得到ax > -b或ax < -b。
b. 如果系数a为正数，则不等号方向不变，解为x > -b/a或x < -b/a。
c. 如果系数a为负数，则不等号方向取反，解为x < -b/a或x > -b/a。
d. 如果不等式中有等号，则解为对应的不等号的等于情况。
四、解复合的一元一次不等式1. 复合的一元一次不等式：由多个一元一次不等式组成的不等式。
2. 解复合的一元一次不等式的步骤：a. 将复合不等式改写为多个简单的一元一次不等式；b. 分别解每个简单的一元一次不等式；c. 根据题目要求，将解的范围进行合并，得到最终的解集。
五、解一元高次不等式1. 一元高次不等式指数为大于等于2的不等式，如x^2 + 3x > 0。
小学数学知识体系梳理
小学数学知识体系梳理一、数与代数数与代数部分是小学数学学习的基础，也是未来学习其他数学知识的基础。
这部分内容包括数的认识、数的运算、简易方程、量与计量等。
1、数的认识在小学阶段，学生将学习整数、小数、分数等概念，包括数的读写、数的顺序、数的比较、数的改写等。
同时，学生也将了解数与数之间的关系，如倍数、约数、小数点等。
2、数的运算学生将学习加减乘除等基本运算，以及简单的四则运算，如混合运算、简便运算等。
学生还将了解一些数学概念，如单位换算、数的范围等。
3、简易方程简易方程是小学数学的一个重要内容，它将帮助学生理解方程的概念，学习如何解方程，以及如何用方程解决问题。
4、量与计量量与计量部分将帮助学生了解量的概念，学习如何进行量的比较和计量，如长度、重量、时间等。
二、空间与图形空间与图形部分将帮助学生了解平面图形和立体图形的概念和性质，学习如何计算图形的周长、面积和体积等。
1、平面图形在小学阶段，学生将学习常见的平面图形，如三角形、长方形、正方形、圆形等，了解它们的性质和特点，学习如何计算它们的周长和面积。
2、立体图形学生将学习常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等，了解它们的结构特征，学习如何计算它们的表面积和体积。
3、图形运动与变换学生将了解一些图形运动和变换的概念，如平移、旋转、对称等，以及如何通过这些运动和变换来解决问题。
三、统计与概率统计与概率部分将帮助学生了解数据的收集、整理和分析方法，学习如何进行概率的计算和应用。
1、数据收集与整理学生将学习如何收集和整理数据，如调查问卷、统计表格等，了解数据的意义和作用。
2、统计图学生将学习如何制作统计图，如条形图、折线图、饼图等，了解不同类型统计图的特点和应用。
小学数学知识体系一、引言小学数学知识体系是培养学生数学基础和逻辑思维的重要阶段。
它包括了从基础算术到复杂概念的理解和应用，从简单几何到数据分析的广泛知识领域。
本文将详细解析小学数学知识体系，帮助读者更好地理解和指导孩子的学习。
数与代数方程与不等式专题知识树
数与代数——
方程与不等式专题
人教版《义务教育课程标准实验教科书· 数学（七～九年级）》
函数 方程与 不等式
图形与几何
统计与概率
数与ห้องสมุดไป่ตู้数 四大领域
实践与综合应用
数与式
初 中 数 学
一、课标要求 二、编写意图 数与代数 方程与不等式 专题
三、体例安排 四、知识内容 五、中考分析
六、教学建议
一、课标要求
情感与态度
方 程 与 不 等 式 专 题
感受数学来源于生活又服 务生活，提高对数学学习 的兴趣
二、编写意图
加 大 了 探 索 交 流 的 空 间
编写意图
三、体例安排
选学栏目 观察、思考、探究、 讨论、归纳等栏目 章前图 和引言
小贴士 和云朵
体例安排
习题
小结
方 程 与 不 等 式
四、知识内容
一元二次方程
分式方程
知识内容
一元一次方程
方 程 与 不 等 式
方程与不等式知识内容之间的关系
一元二次方程
分式方程
知识内容
一元一次不等式
方 程 与 不 等 式
五、中考分析
对于一元二次方程的考查， 常会遇到定义、解的定义、 根的判别式、建立模型解决 实际问题等。 考查二元一次方程组 的定义、解的定义、 应用。
常与一元一次方程、二元 一次方程组结合、根据实 际问题方案设计等问题。
一元二次方程
一元一次不等式 分式方程
二元一次方程组
一元一次方程
中考分析
方 程 与 不 等 式
考查一元一次方程的定义、 解的定义、应用。
考查分式方程的定义、 解法、应用、增根
一元一次方程知识树
例如在讲解从算式到方程这一节 时看学生是否了解了什么是方程, 什么是一元一次方程,什么是方程 的解,是否理解等式的性质,是否 1、对基础知识和基本技能的评价 会用等式的性质解简单的一元一 次方程等问题.
移项法则
将方程转化为 x=a的重要依 据
移项,合并 同类项法则
方程的解 如何构建方程 一元一 方程的认识 次方程 方程
等式的基本性质
一元一次方程的有关 概念及其解法
第五章
一 元 一 次 方 程
实际问题与一元 一次方程
三、说建议
1.教学建议
生活中的实际问题给一元一次方 以画线路图的方式解决应用题中的行程问题可以启发学 程的学习提供了大量真实的素材 生自己说思路。 ，教学时要注意联系实际，从实 例题：1.如图甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向 际出发引入概念，并将所学知识 1、注重联系实际 而行，相遇时那么他们 相遇时的时间的关系是 应用到实际生活中。如，用方程 _______________________ ，相遇时路程的关系是 问题解决移动电话计费方式问题 ___________. 2 .如果甲从A、乙从B同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追及，那么他们走的路程关系是_____________，时 间关系是_________________ 2、让学生经历数学知识的形成过程
方程与不等式 课 程 内 容
内容结构 体例、特点 课程目标 说教材 立体整合
教学建议 说建议
说课标
流程
评价建议
获得“四基”；获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础 说 课程内容 知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 教 增强能力： 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之 材 间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、 分析和解决问题的能力。 培养科学态度：了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数 学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。
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一元二次方程
分式方程
知识内容
一元一次方程
方 程 与 不 等 式
方程与不等式知识内容之间的关系
一元二次方程
分式方程
知识内容
一元一次不等式
方 程 与 不 等 式
五、中考分析
对于一元二次方程的考查， 常会遇到定义、解的定义、 根的判别式、建立模型解决 实际问题等。 考查二元一次方程组 的定义、解的定义、 应用。
常与一元一次方程、二元 一次方程组结合、根据实 际问题方案设计等问题。
一元二次方程
一元一次不等式 分式方程
二元一次方程组
一元一次方程
中考分析
方 程 与 不 等 式
考查一元一次方程的定义、 解的定义、应用。
考查分式方程的定义、 解法、应用、增根
六、教学建议
1、注重联系实际
2、让学生经历数学知识的形成过程
人教
数与代数——
方程与不等式专题
人教版《义务教育课程标准实验教科书· 数学（七～九年级）》
函数 方程与 不等式
图形与几何
统计与概率
数与代数 四大领域
实践与综合Leabharlann 用数与式初 中 数 学
一、课标要求 二、编写意图 数与代数 方程与不等式 专题
三、体例安排 四、知识内容 五、中考分析
六、教学建议
一、课标要求
情感与态度
方 程 与 不 等 式 专 题
感受数学来源于生活又服 务生活，提高对数学学习 的兴趣
二、编写意图
加 大 了 探 索 交 流 的 空 间
编写意图
三、体例安排
选学栏目 观察、思考、探究、 讨论、归纳等栏目 章前图 和引言
小贴士 和云朵
体例安排
习题
小结
方 程 与 不 等 式
四、知识内容
3、注重分析思路，让学生学会思考问题
4、善于总结技术口决和基本图形 5、关注学生的学习兴趣和参与程度
在知识的学习过 程中，养成独立 思考的习惯发展 数学思维能力。
数学思考
解决问题
尝试从不同角度 寻求解决问题的 方法并能有效地 解决问题；体会 在解决问题的过 程中涉及到的数 学思想和方法。
知识与技能 课标要求
理解方程与不等式的有关概 念，熟练解方程（组）与不 等式（组），能够找出实际 问题中的等量关系、不等关 系，正确列出方程、不等式