湖北省荆州中学2020-2021学年高一元月月考数学答案
2020-2021度湖北省荆州市部分重点高中元月调研考试数学试题
2020—2021学年度湖北省荆州市部分重点高中高二年级上学期元月调研考试数学试题一、选择题（一）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线01150cos 30sin :=++y x l 的斜率是（ ） A.33 B.3 C.3- D.33-2、已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是（ ）A.0或1B.0或41 C.1或41 D.413、位于德国东部萨克森州的莱克勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为m 5，跨径为m 12，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A.m 1225 B.m 625C.m 59 D.m 518 4、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为35，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，则椭圆短轴长为（ ） A.8 B.6 C.5 D.45、中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。
”问该人第四天走的路程为（ ） A.48里 B.24里 C.12里 D.6里6、若圆)0(222>=+r r y x 上恒有2个点到直线02:=--y x l 的距离为1，则实数r 的取值范围是（ ）A.),12(+∞+B.)12,12(+-C.)12,0(-D.)12,0(+7、已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 是等差数列，若π7,3311611062=++=⋅⋅b b b a a a ，则931021tana ab b ⋅-+的值是（ ）A.1B.22 C.22- D.3- 8、若双曲线)0(1222>=-a y a x 的一条渐近线方程为x y 21-=，则其离心率为（ ） A.23 B.25C.2D.3二、选择题（二）：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。
2021-2022学年湖北省荆州市云岭中学高一数学理月考试题含解析
2021-2022学年湖北省荆州市云岭中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，，则（）A. B. C. 1 D. 2参考答案：A【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果。
【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，同理可得，因此，，故选：A。
【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
2. 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为参考答案：C3. 已知集合,则（）A． B． C． D．参考答案：C4. 关于x的不等式只有一个整数解，则a的取值范围是（）A．B． C. D．参考答案：C，当时，得，不符合题意；当时，且，解得。
故选C。
5. 已知θ∈R，则直线的倾斜角的取值范围是A．[0°，30°] B．C．[0°，30°]∪ D．[30°，150°]参考答案：C6. 下图是某几何体的三视图，则此几何体可由下列哪两种几何体组合而成（）A．两个长方体B．两个圆柱C．一个长方体和一个圆柱D．一个球和一个长方体参考答案：C7. 若偶函数f(x)在区间（-∞，-1]上是增函数，则( )A.f(-)<f(-1)<f(2) B f(-1)< f(-)<f(2) C f(2)< f(-1)< f(-) D f(2)< f(-)<f(-1)参考答案：D8. 若函数的图像（部分）如图所示，则和的取值分别为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A9. 在下列函数中，最小值是的是（）．A．B．C．，D．参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项，正负不定，不能满足最小值是，故错误；选项，，当且仅当，即时取等号，但，故错误；选项，∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，但，取不到，故错误；选项，，当且仅当即时取等号，故正确．故选：．10. 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足＜0，且f（1）=0，则使得＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣1，1）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得奇函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，f（1）=0，f（﹣1）=0，可得函数f（x）的单调性示意图，数形结合求得使＜0的x的取值范围．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（﹣∞，0]上满足＜0，故函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，故函数f（x）的单调性示意图，如图所示：则由＜0，可得①，或②．解①求得x＞1，解②求得x＜﹣1，故不等式的解集为{x|x＞1，或 x＜﹣1}，故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是两个不重合的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：（1）若∥，∥，则∥（2）若∥，，则∥（3）若则（4）若∥∥，则，其中正确的有（只填序号）参考答案： （2）（4）12. 若等比数列的前项和为，且，则= ．参考答案：13. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 .参考答案： 6014. 在△ABC 中，给出如下命题:①O 是△ABC 所在平面内一定点，且满足，则O 是△ABC 的垂心； ②O 是△ABC 所在平面内一定点，动点P 满足，，则动点P 一定过△ABC 的重心；③O 是△ABC 内一定点，且，则；④若且，则△ABC 为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：①②④． 【分析】①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的. 【详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②: ，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题； ③: 由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题；④: 由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想. 15. 如图, 在直角坐标系中,锐角内接于单位圆, 已知平行于轴, 且,记 , 则.参考答案：16. 已知，则___________.参考答案：17. 等比数列中，，则的值为参考答案： -4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
湖北省荆州中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)
荆州中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知A 为奇数集，B 为偶数集，命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则（）A.:p x A ⌝∀∈，2x B ∉B.:p x A ⌝∀∉，2x B ∉C.:p x A ⌝∃∉，2x B∉ D.:p x A ⌝∃∈，2x B∉2.已知集合{}{}(,)|(),,(,)|A x y y f x x D B x y x a ==∈==，则A B 中的元素个数为（）A.0个B.1个C.2个D.至多1个3.我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数()2211y x x =-+在[]2,2-上的图像大致是（）A. B.C. D.4.关于函数41,25x y x N x -=∈-,N 为自然数集,下列说法正确的是（）A．函数只有最大值没有最小值B．函数只有最小值没有最大值C．函数没有最大值也没有最小值D．函数有最小值也有最大值5.已知{}max ,,a b c 表示,,a b c 中的最大值，例如{}max 1,2,33=，若函数{}2()max 4,2,3f x x x x =-+-++，则()f x 的最小值为()A. 2.5B．3C．4D．56．已知二次函数(1)()y ax x a =--，甲同学：10(,)(,)y a a>-∞⋃+∞的解集为；乙同学：0y <的解集为1(,)(,)a a-∞⋃+∞；丙同学：y 的对称轴大于零.在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为（)A．1a <-B．10a -<<C．01a <<D．1a >7.已知0ab >>，则41a a b a b+++-的最小值为（)A. B.4 C. D.31028．已知2()f x x =，若2()(1)g x f x =-,则()g x （)A．在区间(0,1)内递减B．在区间(1,0)-内递减C．在区间(,0)-∞内递增D．在区间(0,)+∞内递增二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于函数()15f x x x=-，下列说法正确的是（)A.()f x 定义域为()0,+∞B.()f x 的值域为RC.在定义域上单调递减D.图象关于原点对称10．在下列四组函数中，()()f x g x 与不表示同一函数的是（）A．21()1()1x f x x g x x -=-=+，B．1,1()1()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，C．0()1()(1)f x g x x ==+，D．2()()f x x g x ==，11.已知函数()f x =A ，集合{}22290B x x mx m =-+-<．则“12,,x A x B ∀∈∃∈使得21x x =成立”的充分条件可以是（）A.1m = B.3m = C.12m ≤≤ D.01m <≤12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()61f x x x =-+，则下列结论正确的有（）A.()06f =- B.()f x 的单调递增区间为()()2,0,2,-+∞C.当0x <时，()61f x x x=+- D.()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知231,3(),3x x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，若2()33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =___________.14.已知函数()f x 和()g x 分别由下表给出，则((2))g f ＝_____，若(())6f g a >,则实数a 的取值集合为x12345()f x 1491625x23456()g x 1324515.已知函数[]()23,1,5f x x x =-+∈，实数,a b 满足()(1)0f a f b +-=，则(1)a b +的最大值_____．16．已知定义在R 上的函数()f x 同时满足以下两个条件：①对任意x R ∈，都有()()2f x f x x =--；②对任意12,[0,)x x ∈+∞且12x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则不等式()()211f x x f x ++>+的解集为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合2|08x a A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2|(2)10B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦，其中a 为实数.（1）若2a =-，求集合ðA B ；（2）若4a <且A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.函数()29x x ax f b--=是定义在()3,3-上的奇函数，且()118f =．（1）确定()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()3,3-上的单调性，并用定义证明．19.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x ．当年产量不足50千件时，21()202C x x x =+（万元）；年产量不小于50千件时，3600()51600C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.设函数()y f x =是定义在()0,+∞上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ，19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.21.对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数2()(1)8(f x mx n x n m =+-+-≠．（1）若对任意实数n ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当13m <<时，求实数n 的取值范围．22.已知函数3()23,f x x x a x a R =++∈．（1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）设集合{}{}(1)(),,11M x f x f x x R N x x =+≥∈=-≤≤，若N M ⊆，求实数a 的取值范围．湖北省荆州中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学答案一、单项选择题1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.A8.A二、多项选择题9.BD10.ACD11.AD12.BCD三、填空题13.214.2；{}3,5,615.616.2()(,03,)-∞-+∞ 四、解答题17.解:(1)若2a =-，则{}4|0488x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，(){}{}|(4)5045B x x x x x =+-<=-<<，所以ðA B =5≤<8;.................................4分（2）又因为4a <，则{}2|0288x a A x x a x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，当1a =时，(){}2|(2)10B x x a x a ⎡⎤=--+<=∅⎣⎦，当1a ≠时，(){}{}22|(2)1021B x x a x a x a x a ⎡⎤=--+<=<<+⎣⎦，.................................6分若A B B ⋃=，则A B ⊆，.................................8分显然1a =不成立，当1a ≠时，218a+≥，解得a ≥或a ≤，综上所述，实数a 4a ≤<或a ≤...................................10分18.解：(1)因为函数()29xx ax f b--=是定义在()3,3-上的奇函数所以()009bf -==，解得0b =．经检验，当0b =时，()29axf x x =-是()3,3-上的奇函数，满足题意．又()211918a f ==-，解得1a =，所以()()2,3,39xf x x x=∈--．.................................6分（注：不验证扣2分）(2)()f x 在()3,3-上为增函数．证明如下：在()3,3-内任取12,x x 且12x x <，则()()()()()()211221212222212199999x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为210x x ->，1290x x +>，2190x ->，2290x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以()f x 在()3,3-上为增函数．................................12分19.解（1）∵每千件商品售价为50万元．则x 千件商品销售额50x 万元当050<<x 时，2211()50202003020022L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭当50x ≥时，36003600()5051600200400⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L x x x x x x 2130200,05023600400,50()x x x x x x L x -+-<<⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭⎧⎪=⎨⎪⎩................................6分（2）当050<<x 时，21()(30)2502L x x =--+此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元................................8分当50x ≥时，3600()400400⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭L x x x 400120280=-=此时3600=x x，即60x =，则()(60)280L x L ≤=万元................................10分由于280250>，故当年产量为60千件时，获利最大，最大利润为280万元.................................12分20.解：(1)令1x y ==易得(1)0f =，而(9)(3)(3)112f f f =+=--=-，且1(9)()(1)09f f f +==，得1(29f =..................................4分(2)任取12,x x ∈()0,+∞，12x x <则有211x x >，即21(0x f x <2221111()()()()x x f x f x f f x x x ∴==+2121()()()0x f x f x f x ∴-=->()f x ∴在()0,+∞上为减函数..................................8分(3)由条件（1）及（1）的结果得：()12()9f x x f -<⎡⎤⎣⎦，其中02x <<由(2)得：1(2)902x x x -><<⎧⎨⎩,解得x的范围是(1)33-+..................................12分21.解（1）因为()f x 恒有两个不动点，即，2(1)8mx n x n x +-+-=恒有两个不等实根，整理为2(2)80mx n x n +-+-=，所以0m ≠且2(2)4(8)0n m n ∆=--->恒成立．即对于任意2R,(44)3240n n m n m ∈-+++>恒成立．令2()(44)324g n n m n m =-+++，则2(44)4(324)0m m ∆=+-+<，解得06m <<．.................................5分（2）因为()()121222m n f x f x x x m m-+=+=-=-+，.................................6分所以2224(2)2(2)4422222m m m m n m m m m +++-++===++-+++，.................................8分设2t m =+，因为13m <<，所以35t <<，则4()2f t t t=+-，35t <<，设1253t t <<<，则()()()()()121212121212121221444422t t t t t t f t f t t t t t t t t t t t ---⎛⎫-=+---=-=⎭++ ⎪⎝，因为1253t t <<<，所以12120,4t t t t -<>，则()()120f t f t -<，即()()12<f t f t ，所以得4()2f t t t=+-在(3,5)上单调递增，所以47419(3)32,(5)523355f f =+-==+-=，所以719()35f t <<所以71935n <<．.................................12分(注：没证明单调性扣2分）22.解（1）0a =时，()32f x x x =+，对()()()()33,()22x f x x x x x f x ∀∈-=-+-=-+=-R ，所以()f x 是R 上的奇函数；当a ≠0时，f (1)＝3＋3a ，f (1)3-=-＋3,a f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数．.................................4分（2）因为NM ⊆，所以[]1,1,(1)()x f x f x ∀∈-+≥，即(x ＋1)3＋2(x ＋1)＋3a |x ＋1|≥3x ＋2x ＋3a |x |，化简得211x x a x a x ++++≥，因为[]1,1x ∈-，所以10x +≥，所以()211x x a x a x ++++≥，.................................5分当[]0,1x ∈时，210x x a +++≥，所以2min (1)10x x a a +++=+≥，所以1a ≥-；.................................6分当[]1,0x ∈-时，()211x x a x ax ++++≥-，即2(21)10x a x a ++++≥，设()()2211g x x a x a =++++，(1)10g a -=-+≥，所以1a ≤，[]1,1a ∈-时，(0)10,(1)0g a g =+≥-≥，()()2211g x x a x a =++++的对称轴方程为212a x +=-，当2112a +-≤-时，即112a ≤≤时，.................................8分()2211y x a x a =++++在[]1,0-上单调递增，所以min ()(1)0g x g =-≥成立；当21102a +-<-<，即1122a -<<时，()22(21)41430a a a +-+=-<成立，所以2(21)10x a x a ++++≥恒成立；.................................10分当2102a +-≥，即112a -≤≤-时，()()2211g x x a x a =++++在[]1,0-上单调递减，min ()(0)10g x g a ==+≥，综上a 的取值范围为[]1,1.-.................................12分。
2021届湖北省荆州中学高三上学期第一次月考数学试题
荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{}||1,A y y x x R ==-∈∣，{}2B x x =≥∣，则下列结论正确的是（ ）A ．3A -∈B ．3B ∉C ．A B B =D ．A B B =2．据记载，欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数4iz e π=的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．22-- B ．22-+ C ．22+ D ．22- 3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0．35B ．0．25C ．0．20D ．0．154．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（ ）①图2的建议为减少运营成本 ②图2的建议可能是提高票价 ③图3的建议为减少运营成本 ④图3的建议可能是提高票价 A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③5．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()0.9x y k x N *=⋅∈，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9B ．10C ．11D ．126．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F ，6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ） A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种7．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-8．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)2xf x x a =++-，则满足()23120f x x --+<的实数x 的取值范围是（ ）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．()0,3D ．()1,2二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且C 的离心率）A ．C 的渐近线方程为y =B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．CD ．曲线1x y e=-经过C 的一个焦点10．已知函数()cos 22sin cos ()344f x x x x x R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的最大值为1C ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x = 11．设0b a >>，c R ∈，则不列等式中正确的是（ ）A ．1122a b <B ．11c c a b->- C ．22a ab b+>+ D ．22ac bc <12．已知已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[]60,300，若使标准分X 服从正态分布(180,900)N ，（参考数据：①(P Xμσ-<)0.6827μσ≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．则（ ）A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997 C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．(240270)0.0428P X <≤= 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||AF =3||2BF ，则直线l 的斜率为___________． 14．如图所示的圆中，已知圆心角23AOB π∠=，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ，若CD 的长为a ，则弧ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为___________．15．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()sin f x x π=，当[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，3a ，…，n a …，并记相应的极大值为1b ，2b ，3b ，…，n b …，则数列{}n n a b +前9项的和为___________．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥ ，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ⊥于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCE -的体积的取值范围为___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且112a =，公比1q ≠． （1）求n a ；（2）设{}n a 的前n 项和为n T ，求证112n T ≤<． 18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin b B． （1）求 sin sin A C ； （2）若1cos cos 6A C =，3b =，求a c +的值． 19．（12分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：()()i i i i nnt ty y t y ntyr ∑--∑-==7.547≈，5185.2i i i t y =∑===（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．①某位顾客购买了1050元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率．②某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回200元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AD =．（1）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（2）若二面角A PC D --的平面角大小θ满足cos 4θ=，求线段AB 的长． 21．（12分）已知函数21()ln ()2f x x x ax a R =++∈，23()2x g x e x x =+-． （1）当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率等于5． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证12λλ+为定值．荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题答案1-8． CDBD CDDC 9． ABD 10．BD 11． ABC 12．BC 13． 14215．11032 16．10,3⎛⎫⎪⎝⎭17．（1）由等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且11a =，公比1q ≠．得：2123102q q q -+=⇒=或1q =（舍去），所以111111222n nn n a a q--⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：因为112a =，12q =，所以11122111212nn n T ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎭==- ⎪⎝⎭-，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且102xy ⎛⎫=> ⎪⎝⎭恒成立，所以当n N *∈，1n ≥时，11022n⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以111122nn T ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭．18．（1）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵ABC △的面积为23sin b B，∴21sin 23sin b ac B B⋅=，即223sin sin b ac B B =⋅． 再利用正弦定理可得223sin sin b ac B B =⋅， 因为sin 0B >， ∴2sin sin 3A C =． （2）1cos cos 6A C =，3b =，2sin sin 3A C =， ∴1cos cos sin sin cos()cos 2A C A C A CB -=-=+=-，∴1cos 2B =，∴3B π=．由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C ====∴22sin sin 224123a c ac ac A C R R R =⋅===，8ac =，再根据余弦定理，222292cos ()3b a c ac B a c ac ==+-⋅=+-， ∴2()9333a c ac +=+=，∴a c +=．19．（1）由题知，1(12345)35t =++++=，1(2.4 2.7 4.1 6.47.9) 4.75y =++++=， 511185.2i t y =∑===则ni i t y ntyr ∑-===14.70.970.7515.095≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；（2）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A ，122312()5525P A C =⋅⋅=；②设X 表示顾客在四次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ∴2()4 1.65E X np ==⨯=． 由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.6100160⨯=．由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金， 故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．20．（1）取AD 的中点O ，∵侧面P AD 为正三角形，∴OP AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面P AD ， 平面PAD平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面ABCD ，如图所示，以O 为原点，建立空间直角坐标系，设AB a =，则(1,0,0)A ，(1,,0)C a -，(1,0,0)D -，P，1,0,22E ⎛- ⎝⎭，∴32AE ⎛=-⎝⎭，(0,,0)DC a =，DP =，∴30220AE DP AE DC ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=⎩，即AE DP ⊥，AE DC ⊥， ∵DP 、DC ⊂平面PCD ，且DP DC D =，∴AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PCD ． （2）由（1）可知，(2,,0)AC a =-，(AP =-，平面PCD的法向量为3,0,22AE ⎛⎫⎪⎪⎝=-⎭， 设平面APC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x ay x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则2y a=，3z =，∴21,m a ⎛= ⎝⎭，∴32cos ,||||4m AE m AE m AE -⋅<>===⋅+，由题可知，二面角A PC D --的平面角为锐角，∴cos 4θ==，解得a =（舍负），∴线段AB21．（1）当4a =时，2141()4x xf x x x x-+'=+-=，当()0f x'>时，即241002x x x -+>⇒<<-2x >当()0f x '<时，即241022x x x -+<⇒<<∴()f x 的单调递增区间为(0,2-，(2)++∞，()f x 的单调递减区间为(22．（2）2213()()()ln 22x F x f x g x x x ax e x x =-=++--+2ln (0)x x x ax x e x =-++->，∵()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x -+=有解，令2ln ()(0)x e x xh x x x+-=>，()221(1)ln (1)ln (1)(1)()xx e x x xe x x x x h x x x++-+-+++-'==， 令()0h x '=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()(1)1h x h e ≥=+，当1a e ≥+时，()F x 有不动点， ∴a 的范围为[1,)e ++∞．22．（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由题意知1b =．==25a =． ∴椭圆C 的方程为2215x y +=． （2）设A 、B 、M 点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ．又易知F 点的坐标为()2,0．显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)y k x =-．将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得()222215202050k xk x k +-+-=．∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k-=+． 又∵1MA AF λ=，2MB BF λ=， 将各点坐标代入得1112x x λ=-，2222x x λ=-， ∴()()12121212121212222242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++22222222202052215151020205421515k k k k k k k k -⨯-⨯++==--⨯+++.。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学试题(Word版)
湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期末考试数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算0cos(330)-=A ．12B C ．12-D ．2.已知{{}|,|sin ,A x y B y y x x R ====∈,则A B =A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞3.若0.220210.22021,log 2021,(0.2)a b c ===,则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 4.已知函数()tan sin 2()f x x k x k R =-+∈，若13f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．0B ．1C ．3D ．5 5.现将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为 A ．()sin(4)3g x x π=-B ．()sin g x x =C ．()sin()12g x x π=-D ．()sin()6g x x π=-6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的下嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角．．．大约等于A.3π B.4π C. 2π D. 23π7.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小值为0B ．()f x 的最大值为2C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 8.已知函数20()lg 0x x f x xx ⎧+≤=⎨>⎩，则方程(())10f f x -=的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．11a b> 10.给出下面四个结论，其中正确的是 A ．角6πα=是1cos 22α=-的必要不充分条件 B ．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”是的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<”C ．方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点D ．若奇函数()f x 满足(2)(),f x f x +=-且当10x -≤≤时，(),f x x =-则(2021)1f =11.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x mx -+=的两个实根，则下列结论正确的是A ．tan tan m αβ+=-B ．22m > C ．tan 4m α+≥ D ．tan()mαβ+=-12.函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是 A ．(0)1f = B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．2()()3f x f x π=--D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为3π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1sin(),54πα-=则2cos(2)5πα-= 14.若函数[](),4,f x ax b x a a =+∈-的图像关于原点对称，则a = ，若am bx x=+，则[]1,2x ∈时m 的取值范围为15.写出一个最小正周期为2的偶函数()f x = .16.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图.车辆驾驶人员血液酒精含量阈值且右图表所示的函数模型0.540sin 13,023()9014, 2.x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩假设该人喝一瓶啤酒后至少经过(*)n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为 （参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式;（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 已知00,2x x π+是函数22()cos sin ()(0)6f x x x πωωω=-->的两个相邻的零点.（1）求()12f π的值；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点(,)(0),P m n n >将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为.Q （1）若513m =，求Q 点的坐标； （2）若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值.20.(本小题满分12分)已知函数()2sin cos f x x x a =+-.（1）当0a =时，求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）当0a >时,已知2()log (3)2g x a x =+-，若12,,[1,5]2x x ππ⎡⎤∃∈∀∈⎢⎥⎣⎦有12()()f x g x =，求a 的取值范围.21．(本小题满分12分)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头,卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？22．(本小题满分12分)若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,xxf x k -=+⨯其中k 为常数.（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3()2f x >的解集； （2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)(1,3]--上是“局部偶函数”， (),[1,1]()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨∈--⎩(i)求函数()F x 的值域；(ii)对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.荆州中学2020级高一年级上学期期末考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题1-8 B B C D D A C A 二、多项选择题 9-12 AB BC BCD BCD三、填空题13.7814. []2,1,2（第一空2分，第二空3分）15. cos x π（答案不唯一） 16. 6 四、解答题17.解（1）2221m m +-=32m =-或1m =（2分）又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，31,()m f x x ∴==（5分）（2）()f x 为增函数，224a a -<- 2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-（10分）18.解：化简解析式得1(2)1213()cos 2222cos wx cos wx f x wx π--+=-=+1cos 2cos sin 2sin 233wx wx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3cos 22)43wx wx wx π==+（2分） 周期002()2T x x ππ=+-=22T wππ== 1w =())23f x x π∴=+（4分）（1）()sin(2)1221232f πππ=⨯+=6分）（2）222232k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈ 51212k x k ππππ-+≤≤+，（8分） 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（12分）注：没写成区间扣2分，用了“”扣1分.19.解：因为角α的终边与单位圆交于点(,)(0)P m n n >， 所以sin ,cos .n m αα==（2分） 因为角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边， 所以sin sin()cos 2m πβαα=+==，cos cos()sin 2n πβαα=+=-=-.（4分）（1），因为角β的终边与单位圆的交点为Q ，2222sin cos 1,0n m n αα+=+=>，所以点Q 的坐标为125(,)1313-.（6分） （2）因为221sin cos ,sin cos 1,cos 05βββββ+=-+=<，所以34sin ,cos 55ββ==-，即34cos ,sin 55αα==.（10分）所以sin 4tan cos 3ααα==.（12分） （其他方法酌情给分）20.解（1）当220,()1cos cos cos cos 1a f x x x x x ==-+=-++ ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x = 22151()24y t t t =-++=--+ ,[]1,0t ∈-()f x ∴的值域为[]1,1-（4分）（2）设()f x 的值域为集合,()A g x 的值域为集合,B B A ⊆（5分）2()cos cos 1f x x x a =-++- ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令cos t x = 22151()24y t t a t a =-++-=--+- []1,0t ∈- []1,1A a a =---(6分)2()log (3)2g x a x =+- 又0a > ，所以2()g x 在[1,5] 上单调递增 [2a 2,3a 2]B =-- （8分）由B A ⊆得 22113321340a aa a a a -≥--⎧⎪-≤-⇒≤≤⎨⎪>⎩（10分）a ∴的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（12分） 21.解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===.（2分） 因为0ω>，所以22126T πππω===.（4分） 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（6分）（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥，（8分）所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，（10分） 解得112512,m x m m N +≤≤+∈. 取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时.（12分）（下错结论扣1分）22.（1）()()f x f x -=- 对[3,3]x ∈- 上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=- （2分）3()222x x f x -=->即132022x x --> 令2x t = 即23102t t -->112t > 或12t <- 又20x t => 22x ∴> （3分） 1x ∴> 又[3,3]x ∈-3()2f x ∴> 的解集为{}13x x <≤ .（4分） （2）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩ ①当[1,1]x ∈- 时，令2x t = ,1[,2]2t ∈,1y t t=- 在[1,1]- 上单调递增. 33[,]22y ∈- （5分） ②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =,1y t t =+ 为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃, 565[,]28y ∈ （6分）()F x ∴ 的值域为33565[,][,]2228-⋃ （7分）（3）①当0m >时，2()min 5()max F x mF x +> 3652()528m ⨯-+>⋅ 16065m ∴<< （9分）②当0m =时，2()min 50F x +> 32()5202⨯-+=>成立0m ∴= （10分） ③当0m <时，2()min 5()min F x mF x +> 332()5()22m ⨯-+>- 403m ∴-<< （11分）综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭（12分）高一期末考试数学试卷·第!异常的公式结尾页，共12页12。
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.sin2010°=( )A. 12B. −12C. √32D. −√322.集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|⩽2,x ∈Z}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ⩽2,x ∈R}B. {x|0<x ⩽2,x ∈Z}C. {−1,−2,1,2}D. {1,2,3}3.函数f(x)=1og 12x(x ∈[116,12])，则f(x)的最大值为( )A. 4B. 8C. −4D. −84.对于任意函数f(x)，若f(−x)也有意义，则称g(x)=f(x)+f(−x)2为f(x)的偶部，称ℎ(x)=f(x)−f(−x)2为f(x)的奇部，若f(x)=(x +1)⋅(|x|−1)，则不等式g(x)⋅ℎ(x)>0的解为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (0,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,0)5.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则=( )A.B.C.D.6.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A. 3n(sin 30°n +tan 30°n )B. 6n(sin 30°n +tan 30°n) C. 3n(sin60°n+tan60°n)D. 6n(sin60°n+tan60°n)7.若函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)，则f(x)在[−π8,π8]上的最大值为( )A. √24B. √22C. 12D. 18. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意实数x 都有f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx −k 有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−14,14]B. (0,14]C. (14,13]D. (0,13)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.若a >b >0，则以下结论正确的是( )A. ac 2>bc 2B. a 2>ab >b 2C. lga >lgbD. 1a <1b10. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数，且函数y =f(x +8)为偶函数，则下列结论正确的是( )A. f(6)>f(5)B. f(6)=f(10)C. f(7)>f(9)D. f(7)>f(10)11. 若函数f(x)={2x 2lnx,x >0−x 3−4x 2,x ≤0的图象和直线y =ax 有四个不同的交点，则实数a 的取值可以是( )A. 4B. 2C. 0D. −1e12. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)，ω>0，则下列说法正确的是( )A. 若将f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象与图象重合，则ω的最小值为8 B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为12C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54] D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=______．14. 奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(6)+f(−3)=______．15. 已知函数f(x)={2x −4,x >0−x −3,x <0，则f(f(−4))=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设a ∈R ，定义<x >为不小于实数x 的最小整数(如<π>=4，<−π>=−3)，若n ∈Z ，则满足<n +a >=n 的实数a 的取值范围是 (1) ；若a ∈R ，则方程<3x +1>=2x −12的根为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 二次函数y =ax 2+bx +c(x ∈R)的部分对应值如下表：x−3−2−11234求不等式ax2+bx+c>0的解集．18.已知函数f(x)=12sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，点P，Q分别为函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=√2，f(Aπ)=√34，求角C的大小．19.已知tanα、tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根，且α、β∈(−π2,π2)，求α+β的值．20.已知函数f(x)=|x+1|+|x−3|．(1)求不等式f(x)<4x的解集；(2)若关于x的方程f(x)=|m|存在实数解，求实数m的取值范围．21.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n2+10n)万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；哪一种方案较为合算？请说明理由．22.已知函数f(x)=2x．(1)解方程f(log4x)=3；(2)已知不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立，求实数a的取值范围；(3)存在x∈(−∞,0]，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=sin(180°+30°)=−sin30°=−12．故选：B．直接利用三角函数的诱导公式计算得答案．本题考查利用三角函数的诱导公式求值，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：解绝对值不等式|x−1|⩽2得：−1≤x≤3，又x∈Z，所以N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，故选：D．由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．3.答案：A解析：解：∵116≤x≤12；∴log1212≤log12x≤log12116；∴1≤f(x)≤4；∴f(x)的最大值为4．故选：A．根据题意可得出116≤x≤12，从而得出log1212≤log12x≤log12116，从而可求出f(x)的值域，进而得出f(x)的最大值．考查函数最值的定义及求法，以及对数函数的单调性，对数的运算．4.答案：C解析：解：∵f(x)=(x+1)⋅(|x|−1)，∴f(−x)=(−x+1)⋅(|−x|−1)=(−x+1)⋅(|x|−1)，∴g(x)=f(x)+f(−x)2=(|x|−1)(x+1−x+1)2=|x|−1，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2=(|x|−1)(x+1+x−1)2=x(|x|−1)，∴不等式g(x)⋅ℎ(x)>0即为x(|x|−1)2>0，解得0<x<1或x>1，故选：C．由f(x)的解析式写出f(−x)的解析式，从而得g(x)和ℎ(x)的解析式，再解不等式即可．本题考查不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查函数图象关于点对称的函数，利用相关动点法，设点P(x,y)为f(x)上任一点，借助中点坐标公式求出P关于点(0,1)的对称点，将对称点坐标代入g(x)即可．解：设上任意一点坐标为(x,y)，关于点对称的点的坐标为(−x,2−y)，所以代入得：．即：y=．故选B．6.答案：A解析：本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于中档题．设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．解：如图，设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，。
湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)
湖北省荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则的虚部为( )A.-4B. C. D.2.如图,在三棱柱中,分别为的中点,则下列说法错误的是()A.四点共面B.C.三线共点D.3.已知,则“”是“"的()A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.在正方体中,点是棱上的动点,则过三点的截面图形是()A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能5.已知正数x 、y 满足,则的最小值为( )A.8B. C.12D.6.已知函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则()A.1B.-1C.0D.-2z (34)|43|i z i +=+z 45-4i-45i -111ABC A B C -E F G H 、、、111111BB CC A B A C 、、、E F G H 、、、11EGB FHC ∠=∠1EG FH AA 、、//EF GH(1,1),(,2)a m b m =-= 2m =//a b1111ABCD A B C D -Q 1DD 1A Q B 、、439x y -=8x y+4+()f x R (1)1f x --(1)f x +(2023)f =7.已知正数a 、b 、c 满足,则()A. B. C. D.8.记函数的最小正周期为.若不等式对恒成立,且的图像关于对称,则的最小值为()A.1B.2C.3D.4二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若复数,则下列说法正确的是( )A.的虚部是B.若复数的共轭复数为,则C.在复数范围内,是方程的根D.若复数满足,则|z|的最大值为610.如图所示,设是平面内相交成角的两条数轴,分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为仿射坐标系.若,则把有序数对叫做向量的仿射坐标,记为.在的仿射坐标系中,,.则下列结论中,正确的是()A. B.C. D.在上的投影向量为323log 252aa b b c ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭a c b<<a b c<<c a b<<b c a<<()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<T ()8T f x f ⎛⎫⎪⎝⎭…x R ∀∈()f x π8x =ω122,34z i z i =-=+12z z -5i-1z 1z 22211111z z z z z ==⋅=1z 2450x x -+=z 21z z -=Ox Oy 、2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭12e e、xOy θ12OM xe ye =+(,)x y OM (,)OM x y =23πθ=(1,2)a =(2,1)b =- (1,3)a b -=-||a =a b⊥ a b 33,714⎛⎫- ⎪⎝⎭11.在锐角中,设分别表示角对边,,则下列选项正确的有( )A. B.的取值范围是C.当时D.若当A ,B 变化时,存在最大值,则正数的取值范围为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知,则___________.13.已知点与点,点在直线AB 上,且,则点的坐标为__________.14.如图,某商场内有一家半圆形时装店,其平面图如图所示,是圆心,直径MN 为24米,是弧的中点.一个时装塑料模特在OP 上,.计划在弧上设置一个收银台,记,其中(1)则__________.(用表示);(2)若越大,该店店长在收银台处的视线范围越大,则当店长在收银台处的视线范围最大时,AB 的长度为__________米.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.分)如图所示棱长为1的正四面体ABCD,E 、F 分别为AB 、AC 中点,为靠近的三等分点.记.ABC a b c 、、A B C 、、1,cos cos 1a b A B =-=2B A =b 32b =ABC 2sin 2sin B A λ-λ⎛ ⎝102,103ab==2ba=(3,4)A -(1,2)B -P ||2||AP PB =P O P MNA 2MA AO = NPB BON α∠=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan ABO ∠=αABO ∠B B 15.(13G D ,a AB b AC ==(1),求的最小值;(2)求证:平面BFG .分)已知,设函数.(1)求函数的表达式及其单调增区间;(2)将函数的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的,横坐标缩短到原来的,得到函数的图象,求函数在区间内的所有零点之和.17.(15分)已知锐角中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,向量,,且与共线.(1)求角的值;(2)若,求的取值范围.18.(17分)如图,正边长为2,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,现沿着DE 将折起,得到四棱锥,点为中点.(1)求证:平面;,R c a tb t =+∈||c //DE 16.(15(2cos ,cos ),sin ,sin 3a x x x b x x π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x a b =⋅ ()y f x =()f x 1212()g x 1()3y g x =+,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ABC (cos )m A A =(2sin cos )n C B B =- m nA 2b =a c -ABC ADE A BCED '-M AC '//ME A BD '(2)若求四棱锥的表面积;(3)过ME 的平面分别与棱相交于点S 、T ,记与的面积分别为,若,求的值.19.(17分)早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.(1)如图一所示,在一个半径为3的半球体中,挖去一个半径为的球体,求剩余部分的体积;(2)如图二,由抛物线和线段围成一个几何形,将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积;（3）将两个底面半径为1,高为3的圆柱体按如图三所示正交拼接在一起,构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积,关键在求两个圆柱公共部分几何体的体积,请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.A B '=A BCED '-A D AB ''、A ST 'A BD 'A ST A BD S S '' 、14A STA BDS S ''= A SA D''3221(33)3y x x =-≤≤3(33)y x =-≤≤y荆州中学2023~2024学年高一下学期5月月考数学试题参考答案一、选择题:BBCD CAAB 二、选择题:10.AD 11.ACD三、填空题:12.313.或14.【详解】(1)因为是是弧的中点,所以.因为,所以,则.由题意知,在中,设,则,由,,,则.故答案为:(2)设.,则.令当即取得最大值.,即的最大值为.9.CD1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭(5,8)-P MNOP MN ⊥1cos 2OA MAO AM ∠==π3MAO ∠=OA ==ABO ABO β∠=πππ22BAO βααβ⎛⎫∠=---=+- ⎪⎝⎭12πsin 2αβ=⎛⎫+- ⎪⎝⎭cos()βαβ=-cos cos sin sin βαβαβ=+tan tan ABO β∠==()0,2f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭sin ,t t α-=∈-cos α==1(),h t t ==∈1t =sin ()h t α=max ()h t h ==tan β因为函数在上单调递增,所以当取得最大值时,也取得最大值,店长在收银台处的视线范围最大,此时.故当视线范围最大时,米.故答案为:四、解答题:15.(13分)【答案】(2)证明见解析【详解】(1)已知，所以………………..…………3分…………………………..3分故.(2)连接CE ,交BF 于,连接分别为AB 、AC 中点,为的重心,,………………………..………………………..4分又,面面面BFG (3)分16.(15分)【答案】(1),单调递增区间为,(2)()tan g ββ=0,2π⎛⎫⎪⎝⎭tan ββB cos cos sin 2AOB παα⎛⎫∠=-==⎪⎝⎭AB ==(R)c a tb t =+∈||c == ==≥||c H ,GH E F 、H ∴ABC ||2||CH HE ∴=||2,//||CG GH DE GD =∴DE ⊂/ ,BFG GH ⊂,//BFG DE ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】(1)因为,所以,.……………………………………………..4分由,解得,…………………..3分即的单调递增区间为；(2)依题意可得,……………………………………3分由得,由图可知,在上有4个零点:,根据对称性有,从而所有零点和………………………..5分6π(2cos ,cos ),sin ,sin 3a x x x b x x π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2cos sin (cos )sin 3f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅=++- ⎪⎝⎭ 22212cos sin sin cos cos sin sin cos 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 5,,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭1()03g x +=1sin 433x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1sin 433x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,22ππ⎡⎤-⎢⎣⎦1234,,,x x x x 1234444433333,2222x x x x ππππππ++++++=-=12346x x x x π+++=17.(15分)【答案】(1)(2)【详解】(1)解：因为与共线,所以,-2分法一:由正弦定理得,又由余弦定理得,则,又为锐角三角形,故.………………………..3分法二:由两角和的正弦公式得:,因为,所以,又为锐角三角形,故.…………………………………………3分(2),…………4分由于为锐角三角形,则,且,解得,………………2分所以,……2分而,即的取值范围为...................2分6A π=⎛- ⎝m nsin (2sin cos )cos cos sin )sin 0A B A C B A B A B C A --=+-=cos cos 2sin 0a B b A c A +-=222222cos ,cos ,2sin 022a c b b c a B A c c A ac bc+-+-==∴-=1sin 2A =ABC 6A π=sin()2sin sin sin 2sin sin 0A B C A C C A +-=-=sin 0C ≠1sin 2A =ABC 6A π=52sin sin 1sin cos 6,sin sin sin sin sin B b A b C B a c B B B B Bπ⎛⎫- ⎪⎝⎭======+ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5062C B ππ<=-<,32B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos tan sin sin 22B a c B B B B ⎫-=-+===⎪⎭,264B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan ,2B a c ⎫∈∴-⎪⎭⎛- ⎝18.(17分)【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)取中点,连DN ,MN ,因为点为中点,,且,同时分别是边AB ,AC 的中点,,且,四边形MNDE 是平行四边形,.......................3分又平面平面平面......................2分(2),,.....................2分根据对称性有,而,所以,所以,所以,..............2分而,.....................1分四棱锥的表面积分(3)由(1)知平面,平面平面..........................................2分又……………………………………3分19.(17分)【答案】(1)2S =+A B 'N M AC '//MN BC ∴12MN BC =D E 、//DE BC ∴12DE BC =//,,MN DE MN DE ∴=∴//ME ND ∴ND ⊂,A BD ME '⊂/,//A BD ME '∴A BD '2221,A B A D DB A D DB A B ''''===∴+= 190,2A DB A EC A DB S S '''︒∴∠=∴==AC A B ''==2BC =222AC A B BC ''+=90CA B '︒∴∠=112A BC S AB AC '''=⋅= 22BCDE ABC A DE S S S '+=== A'BCDE -111222S =+++=+//ME A BD 'ST =A BD '⋂,//MEST ME ST ∴11,242A'ST A STA ST A'DN A BDA DN S S S S S S ''''==∴= 221//,,2A STA DNS A S A S ST DN S A D A D ''''''∴==∴= 272716(2)(3)223ππ【详解】(1)依题意该几何体的体积.(2)图1阴影部分是由长方形ABCD (长为6,宽为3)和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3的半圆和直径为3的圆围成的,将图1绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分的几何体记为,将图2以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球的几何体记为,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面或与半球大圆距离为的平面截两个几何体，可得截面都为圆环，纵截面图如下，几何体的截面面积为,几何体的截面面积为,又两几何体等高,由祖暅原理可得两几何体的体积相等,结合(1)可知几何体的体积,而由抛物线跟线段围成一个几何形,将该几何形绕轴该公共部分几何体得到一个抛物线旋转体,是由一个圆柱(底面半径为3,高为3)减去几何体,所以所求的体积.331144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭213y x =O P y M N (03)t t <<M 223)93t ππππ⨯-⨯=-N 2293ππππ⨯-=-M 1272M V V π==21(33)3y x x =-≤≤3(33)y x =-≤≤y M 222727332722M V V ππππ=⨯⨯-=-=(3)首先证明该公共部分几何体的体积公式为(为圆柱的底面半径)：该公共部分几何体是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分,计算其体积的方法是将原来的公共部分几何体平均分为八份,取它的八分之一（如图四）.记正方形OABC 的边长为,设,过点作平面PQRS 平行于平面OABC .又,由公股定理有故此正方形PQRS 面积是.如果将图四的几何体放在棱长为的正方体内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于。
2021届湖北省荆州中学高三年级上学期第一次月考检测数学试题及答案
绝密★启用前湖北省荆州中学2021届高三年级上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．已知集合{}||1,A y y x x R ==-∈∣，{}2B x x =≥∣，则下列结论正确的是（ ）A ．3A -∈B ．3B ∉C ．A B B =D ．A B B = 2．据记载，欧拉公式cos sin ()ix e x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数4i z e π=的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．22--B ．22-+C ．22+D ．22i - 3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A ．0．35B ．0．25C ．0．20D ．0．154．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（ ）①图2的建议为减少运营成本②图2的建议可能是提高票价 ③图3的建议为减少运营成本④图3的建议可能是提高票价 A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③5．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为(0)k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()0.9x y k x N *=⋅∈，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F ，6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ）A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种7．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点,则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-8．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且当0x ≥时,2()log (1)2x f x x a =++-,则满足()23120f x x --+<的实数x 的取值范围是（ ）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．()0,3D ．()1,2二、不定项选择题（本大题共4小题,共20分）。
专题06 水平面及竖直面内圆周运动的临界问题(解析版)
专题06 水平面及竖直面内圆周运动的临界问题一．选择题1.(2020-2021学年·四川棠湖中学高一月考)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v ，下列叙述中不正确的是( )A.v 的值可以小于glB.当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大C.当v 由gl 值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D.当v 由gl 值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小【答案】 D【解析】 细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A 正确；根据F 向＝m v 2l 知，速度增大，向心力增大，故B 正确；当v ＝gl ，杆的作用力为零，当v ＞gl 时，杆子表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C 正确；当v ＜gl 时，杆子表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D 错误。
2.(2020-2021学年·吉林东北师大附中高一月考)如图所示，长为L 的轻质细长物体一端与小球(可视为质点)相连，另一端可绕O 点使小球在竖直平面内运动。
设小球在最高点的速度为v ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A.v 最小值为gLB.v 若增大，此时小球所需的向心力将减小C.若物体为轻杆，则当v 逐渐增大时，杆对球的弹力也逐渐增大D.若物体为细绳，则当v 由gL 逐渐增大时，绳对球的弹力从0开始逐渐增大【答案】D【解析】 若物体为轻杆，通过最高点的速度的最小值为0，物体所受重力和支持力相等，A 错误；v 增大，根据F 向＝m v 2r 可知向心力将增大，B 错误；若物体为轻杆，在最高点重力提供向心力mg ＝m v 20L ，解得v 0＝gL ，当速度小于gL 时，根据牛顿第二定律mg －F N ＝m v 2L ，随着速度v 增大，杆对球的弹力在逐渐减小，C 错误；若物体为细绳，速度为gL 时，重力提供向心力，所以绳子拉力为0，当v 由gL 逐渐增大时，根据牛顿第二定律F T ＋mg ＝m v 2L 可知绳子对球的拉力从0开始逐渐增大，D 正确。
2024-2025学年湖北省荆州中学高一(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省荆州中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a +2∈{1,3,a 2}，则a 的值为( )A. −1或1或2B. −1或1C. −1或2D. 22.设集合U ={1,2,3,4,5}，M ={1,2}，N ={2,3}，则∁U (M ∪N)=( )A. {4,5}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,3,4,5}3.已知集合A ={x|x =k +16,k ∈Z}，B ={x|x =m 2−13,m ∈Z}，C ={x|x =n 2+16,n ∈Z}，则集合A ，B ，C 的关系是( )A. A⫋C⫋BB. C⫋A⫋BC. A⫋C =BD. A⫋B⫋C4.设等腰三角形△ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且y =x +1，则“△ABC 的周长为16”是“△ABC 其中一条边长为6”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下面命题正确的是( )A. 已知x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的充要条件B. 命题“若∃x 0≥1，使得x 20<2”的否定是“∀x <1，x 2≥2”C. 已知x ，y ∈R ，则“|x|+|y|>0”是“x >0”的既不充分也不必要条件D. 已知a ，b ∈R ，则“a−3b =0”是“a b =3”的必要不充分条件6.已知a >b >c >d ，下列选项中正确的是( )A. 1a <1bB. a c 2+1>b c 2+1C. ad >bcD. ac >bd 7.已知正实数x ，y 满足1x +3y =1，则4x +3y 的最小值为( )A. 24B. 25C. 26D. 278.若不等式x 2−(2a +2)x +2a <0(a >0)有且只有三个整数解，实数a 的取值范围为( )A. 0<a <43B. 0<a ≤43C. a >34D. 34<a ≤43二、多选题：本题共3小题，共18分。
荆州中学年高一3月月考数学(文)试卷及答案
荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷命题人： 审题人：一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U=R ，A=}02|{2≤-x x x ，B=},cos |{R x x y y ∈=，则图中阴影部分表示的区间是（ ）A. [0,1]B. [-1,2]C. ),2()1,(+∞⋃--∞D. ),2[]1,(+∞⋃--∞2．已知方程23log kx x +=的根0(1,2)x ∈，则（ ）A ．3k <B ．1k >-C ．31k -<<-D ．3k <-或1k >- 3．若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 （ ）① {}12+n a ， ② {}2n a ， ③ {}1n n a a +-， ④ {}2n a n +A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．在ABC ∆中，已知30===?a b A ，则在ABC ∆中，c 等于（ ） A.52 B.5 C. 552或 D. 以上都不对5、若3log 41x =，则44x x -+=（ ）A. 1B. 2C.83D.1036.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-a x b y c 且//,⊥，则=a b +( )B.D. 107．等差数列{a n }中，||||93a a =，公差0<d ，则使前n 项和S n 取得最大值的正整数n的是（ ） A ．5B ．7C ．5或6D ．6或78.在D ABC 中,(cos18,cos72)AB =︒︒,(2cos63,2cos27)BC =︒︒,则D ABC 面积为 （ ）A ．42 B ．22 C ．23 D ．29．三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于（ ）A. 30°B.60°C.90°10.已知函数()tan()42f x x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=( ) A ．6B ．4C ．－4D ．－611.关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=，有一个根为（ ） A ．A B ∠=∠ B ．A C ∠=∠ C ．B C ∠=∠ D ．2A B π∠+∠=12. 将函数sin y x =的图象经过下列哪种变换可以得到函数cos2y x =的图象 ( ) A ．先向左平移2π个单位，然后再沿x 轴将横坐标压缩到原来的12倍（纵坐标不变）B ．先向左平移2π个单位，然后再沿x 轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）C ．先向左平移4π个单位，然后再沿x 轴将横坐标压缩到原来的12倍（纵坐标不变）D ．先向左平移4π个单位，然后再沿x 轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ` 13．函数213log log y x=（）的定义域为 ． 14. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度o 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为o 60和o 30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶56A B部，升旗手应以 （米 /秒）的速度匀速升旗．15.已知3()4f x ax bx =+-，其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f = ． 16.已知函数()lg(2)(x f x b b =-为常数），若[1,)x ∈+∞时()0f x ≥恒成立，则b 的取值范围 ．三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分 ）计算（1）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π+-+--+（2）已知01x <<，且13x x -+=，求1122x x --的值18．（本小题满分12分 ）已知|a |=1，|b |=2，|a -b （1）a ⋅b ；（2）a -b 与a +b 的夹角的余弦值.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足3105,9a a ==-（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及使得n S 取最大值的序号n 的值20．（本小题满分12分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C 和D 两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为50AB =米，75DAC ∠=，45CAB ∠=，30DBA ∠=，75CBD ∠=，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C 、D 的距离？21．（本小题满分12分）已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且（Ⅰ）求角A 的值； ，则求c b +的取值范围.22.（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b x x αα==(sin 2sin ,cos 2cos )c x x αα=++，其中0x απ<<< （1）若a 与b 的夹角为3π，且a c ⊥，求tan 2α的值； （2）若4πα=，求函数()f x b c =⋅的最小值及相应的x 的值.A BCD荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷(文科)参考答案13、(0,1) 14、31015、－10 16、(,1]-∞ 三、解答题：17、解：（1）0 （2）－1 18、解：（1）由题意：222727a b a a b b -=⇒-⋅+=212471a b a b -⋅+=⇒⋅=-（2）22()()143a b a b a b -+=-=-=-2221(a b a a b b +=+⋅+=+=设a b -与a b +的夹角为α，则是()()cos 7a b a b a b a bα-+===⋅-⋅+ 19、解：（Ⅰ）112n a n =-（Ⅱ）. 2210(5)25n S n n n =-=--+ 当5n =时取最大值20、 解：在ABD ∆中，75DAC ∠=,45CAB ∠=，120DAB ∴∠=，30DBA ∠=,30ADB ∠=，所以 ABD ∆为为等腰三角形,即50AD AB ==在ABC ∆中，45CAB ∠=,3075105CBA ∠=+=,30ACB ∠=，由正弦定理可得sin105sin 30AC AB=,计算得25AC =；在ACD ∆中，75DAC ∠=,25AC =，50AD =,根据余弦定理可得CD =25==答：河对岸建筑物C 、D 的距离为25米．21、解：（1）B A A C B cos sin cos )sin 2(sin -=- C B A B A B A AC sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=⇒因为在锐角ABC ∆中，所以（2所以)sin (sin 2C B c b +=+22、解：（1）由已知，coscos cos sin sin cos()3||||a bx x x a b πααα∙==+=- 0,0,3x x x παπαπα<<<∴<-<∴-=由,cos (sin 2sin )sin (cos 2cos )0a c x x αααα⊥∴+++= 即sin()2sin 2033x x x ππαααα++=-=⇒=+由5sin(2)2sin 20sin 20322tan 2x παααα++=+=∴=即（2）()cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos f x x x s x x x x αα=+++2sin cos cos )x x x x =++ 令sin cos ()4t x x x ππ=+<<，则(t ∈-且22sin cos 1x x t =-2231(22y t t ∴=-=+-当t =32min y =-此时sin cos x x +=1)sin()442x x ππ+=⇒+=-54244x x πππππ<<∴<+<7114612x x πππ∴+=∴=所以()f x 的最小值为32-，相应的x 的值为1112π.。