九年级数学上册 21.4 二次函数的应用 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题同步练习

21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题
知识点 1 体育运动型
1．小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度h (m)与发球的时间t (s)满足关系式h ＝－2t 2＋2t ＋2，则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为( )
A ．1.5 m
B ．2 m
C ．2.5 m
D ．3 m
2．小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )
A ．0.71 s
B ．0.70 s
C ．0.63 s
D ．0.36 s
图21－4－13
3．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2
＋3.5的一部分(如图21－4－
14)．若恰好命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( )
A ．3.5 m
B ．4 m
C ．4.5 m
D ．4.6 m
图21－4－14
知识点 2 水流抛物型
4．如图21－4－15，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y ＝－1
5(x ＋
1)(x －7)的一部分．铅球落在A 点处，则OA ＝________米．
图21－4－15
5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A ．4米
B ．3米
C ．2米
D ．1米
图21－4－16
5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米B．3米C．2米D．1米
6．如图21－4－17(a)，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2.25 m，试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式．
图21－4－17
学生小龙在解答该问题时，具体解答如下：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图
(b)所示的平面直角坐标系；
②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝ax2；
③根据题意可得点B与x轴的距离为1 m，故点B的坐标为(－1，1)；
④代入y＝ax2，得1＝a×(－1)2，所以a＝1；
⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝x2.
数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的．”
(1)请指出小龙的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是____________________；
(2)请写出正确的解答过程．
7．［教材习题21.4第4题变式］如图21－4－18，某学生的一次抛物线形传球，球出手(点A 处)的高度是5
3
m ，出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度y ＝3 m ，水平距离x ＝4 m.
(1)试求篮球运行的高度y 与水平距离x 之间的函数表达式； (2)若队友接球的最佳高度约为5
3
m ，则队友距这名学生多远处接球？
(3)此时防守队员断球的最大高度是2.25 m ，则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？
图21－4－18
8．公园水池中央有一个喷泉，从A 喷出的水流呈抛物线形，如图21－4－19所示，已知水流的最高点M 距离地面2.25米，距离y 轴2米，水流落地点B 距离点O 5米，且恰好不流出池外．
(1)求水管OA 的高度；
(2)现在公园欲将水管OA 增加0.75米，喷出的水恰好不流出池外(水流的形状不变)，求水池的半径要增加多少米．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)
图21－4－19
9．如图21－4－20，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A 在y轴上)，运动员乙在距点O6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式；
(2)足球第一次落地点C距O处的守门员约多少米？(取4 3≈7)
(3)运动员乙要抢到足球的第二个落地点D，他应再向前跑约多少米？(取2 6≈5)
教师详解详析
1．C
2．D [解析] h ＝3.5t －4.9t 2
＝－4.9(t －514)2＋58.∵－4.9<0，∴当t ＝5
14
≈0.36 s 时，h 最大．故
选D .
3．B [解析] 把y ＝3.05代入y ＝－15x 2
＋3.5，解得x 1＝1.5，x 2＝－1.5(舍去)，则所求距离
为1.5＋2.5＝4(m )．
4．7 [解析] 铅球落地时，y ＝0，则－1
5(x ＋1)·(x－7)＝0，解得x 1＝7，x 2＝－1(舍去)．
5．A [解析] ∵水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x 的一部分， ∴水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y ＝－x 2＋4x 的最大值． ∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴y 的最大值为4，
∴水喷出的最大高度为4米． 故选A .
6．解：(1)③ 点B 的坐标错误，应为(－1，－1)
(2)①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b )所示的平面直角坐标系；
②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y ＝ax 2；
③由题意可得点B 与x 轴的距离为1 m ，故点B 的坐标为(－1，－1)； ④从而－1＝a·1，所以a ＝－1；
⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y ＝－x 2.
7．解：(1)根据抛物线的顶点为(4，3)，由已知可设抛物线的函数表达式是y ＝a(x －4)2＋3(a ＜0)．
∵抛物线经过点A(0，5
3)，
∴53＝a×(0－4)2＋3，解得a ＝－112. 故所求的函数表达式为y ＝－1
12
(x －4)2＋3.
(2)令y ＝53，则－112(x －4)2＋3＝5
3，解得x 1＝8，x 2＝0(舍去)．
∴队友距这名学生8 m 远处接球最佳． (3)令y ＝2.25，则－1
12
(x －4)2＋3＝2.25，
解得x1＝1，x2＝7(舍去)．
∴防守队员距他1 m内才能抢断成功．
8．解：(1)设这条抛物线的表达式为y＝a(x－k)2＋h.由题意知顶点M(2，2.25)，则表达式为y＝a(x－2)2＋2.25.
将B(5，0)代入，可求得a＝－0.25，
所以抛物线的表达式为y＝－0.25(x－2)2＋2.25，
即y＝－0.25x2＋x＋1.25.
令x＝0，得y＝1.25，
所以水管OA的高度为1.25米．
(2)因为水流的形状不变，所以抛物线的形状和对称轴均不变，设抛物线为y＝－0.25(x－2)2＋m.
将(0，2)代入，得m＝3，则抛物线的表达式为y＝－0.25(x－2)2＋3.
当y＝0时，－0.25(x－2)2＋3＝0，
解得x1＝－2 3＋2(舍去)，x2＝2 3＋2≈5.5，
5．5－5＝0.5(米)．
所以水池的半径要增加0.5米．
9．解：(1)设足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4.
当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，∴a＝－1
12，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－1
12
(x－6)2＋4.
(2)令y＝0，即－1
12
(x－6)2＋4＝0，
∴(x－6)2＝48，
解得x1＝4 3＋6≈13，x2＝－4 3＋6＜0(舍去)．
∴足球第一次落地点C距O处的守门员约13米．
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD.
根据题意，得CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，
∴2＝－1
12
(x－6)2＋4，
解得x1＝6－2 6，x2＝6＋2 6.
∴CD＝|x1－x2|＝4 6≈10，
∴BD≈13－6＋10＝17(米)．
即他应再向前跑约17米．
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