试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2000年上海市初中数学竞赛试卷

一、填空题（每小题7分，共70分）

1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG=

2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．

3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。

4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是

6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围

7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程

21113

4

x y xy ++=的整数解（x ，y ）=

9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则

BM

BA

=

=，则y的最大值为

10、设x、y y

二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）

11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。

12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．

13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。

2000年上海市初中数学竞赛试卷详解

一、填空题（每小题7分，共70分）

1、如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线与AC相交于点E、与AD相较于点F、与CD的延长线相交于点G，若BE=5，EF=2，则FG=

2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，

C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定、两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．

3 若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有个数码9。

4 在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=

5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是

6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围

7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个．

解：∵千位数与个位数之差的绝对值为2， 可得“数对”，分别是：（0，2），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（5，7），（6，8），（7，9），

∵（0，2）只能是千位2，个位0， ∴一共15种选择，

∴从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有15×8×7=840个． 故答案为：840． 8、方程

21113

4

x y xy ++=的整数解（x ，y ）=

9、如图，在正△ABC中，点M、N 分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于

点O，若△ABC的面积为7，△OBC的面积为2，则BM BA

=，则y的最大值为

10、设x、y y

二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）

11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。

12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．

解：（1）至少要涂7个小方格，

证明：假设只涂了6格或更少，则4行中至少有1行未涂或只涂了1格，

若某行未涂，其他3行至少有1行涂了不多于2格，划去这2格所在的2列，划去其他2行，剩下的4格都未涂色，

若某行只涂了1格，其他3行涂了5格或更少，则其中至少有1行涂了不多于1格，划去这2格所在的2列，划去其他2行，剩下的4格都未涂色，所以只涂了6格或更少，不能满足要求，

另一方面，如果第1行涂1，2格，第2行涂2，3格，第3行涂1，3格，第4行涂第4格，能满足要求，

所以至少要涂7个小方格．

（2）至少要涂5个小方格，

证明：显然涂4格或更少是不满足要求的，

如果选5个不同行不同列的小方格（如对角线上的5个小方格）涂成红色，能满足要求，因为，这时任何2行2列，至多只能包含其中4个小方格．

13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。