§1 二重积分概念答案

数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集，即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来，记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来，记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界，记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε，由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β，在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知，每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等；可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续，由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明：函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证：设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ，则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0，由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间，使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)，其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。

二重积分详细解答

f ( x, y)dy
= ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
y
1
则
0 ≤ x ≤ 1, D: 1 0 ≤ y ≤ 2x − x2 .
D1
1 ≤ x ≤ 2, D2 : 0 ≤ y ≤ 2 − x.
o
D2
1
y = 2− x
2 x
设
D = D + D2 1
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零化整为零 2 以平代曲
z
∆ V i ≈ f ( x i , y i )∆ σ i
3 积零为整 V ≈ ∑ f ( x i , y i )∆σ i
i =1 n
4 取极限令分法无限变细
0 y
∆σ i
.
V = lim ∑ f ( x i , y i )∆ σ i
i =1
D
特殊地
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y) dσ .
D D
性质６性质６设M、m分别 f ( x, y)在是闭区 D 上最域的大
值和最小值，的面积，值和最小值，σ 为 D 的面积，则
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）
性质１性质１为常数时，当 k 为常数时，
∫∫ kf ( x, y)dσ =k∫∫ f ( x, y)dσ .
D D
性质２性质２
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ
D
= ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ .
D D
性质３性质３

经济数学(二重积分习题及答案)

第九章二重积分习题 9－11．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底，以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2．试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<，则将此式两边平方，得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1，且此区域面积为π，则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0，且此区域面积为π，则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-，且此区域面积为π，则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3．试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑　(,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4．根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9－1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9－1 (2) 积分区域D 如图9－2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9－2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5．利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰， :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰， :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰， :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰，22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰（3）因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9－21.计算下列二重积分：22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9－3(2)积分区域D 如图9－4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9－4(3)积分区域D 如图9－5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9－5(4)积分区域D 如图9－6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9－62．积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，且被积函数为()(),f x g y ⋅求证：()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证积分区域D 如图9－7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－73．设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与（）围成，求证：d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9－84．下列条件下，将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分：2(1) 4D y x y x ==由与所围成；(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9－9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9－10 所示. 图9－9将I 化为先对y 后对x 的二次积分，得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分，得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9－105.更换下列二次积分的积分顺序：10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9－13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－11 图9－12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰（4）因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤－－－为Y 型区域, 其图形如图9－14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9－13 图9－14（5）因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭（－）为X 型区域, 其图形如图9－15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9－15 图9－16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6．求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9－16所示.习题 9－31.作适当变换，计算下列二重积分：()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴，y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9－17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩，解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9－17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9－18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9－183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9－19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9－20所示. 图9－19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ （3）积分区域D 如图9－21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩，解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9－21其积分区域D’的图形如图9－22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9－22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.（4）积分区域D 如图9－23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9－23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换，求下列区域D 的面积：(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩，解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9－25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9－25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成，求证：1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9－26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩，解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9－26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故图9－27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4．选取适当变换，求证：()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证积分区域D 如图9－28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9－29所示. 图9－28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9－41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式：()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9－30所示.（1）令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间，且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9－30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9－31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9－32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与，图9－32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9－331cos sin r θθ=+0r =与，而D 被夹在02πθθ==和之间，故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2．将下列二次积分化为极坐标形式：2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9－34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故图9－342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9－35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9－26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为图9－36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9－373．用极坐标计算下列各题：22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成；22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分；222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰（）解 (1) 积分区域D 如图9－38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9－382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9－39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9－39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故图9－40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9－41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故图9－41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4．选择适当的坐标系，计算下列各题：()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰，由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰，、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰，由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰，解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9－42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9－42（2）积分区域D 如图9－43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9－43（3）令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9－44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9－44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9－44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5．试求区域D 的面积，其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9－45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9－45习题 9－51．计算下列广义二重积分：{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解（1）积分区域D 如图9－46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故（2）积分区域D 如图9－47所示. 图9－46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2．用极坐标计算下列广义积分：(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，图9－47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则，故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9－48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故图9－48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分：()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空：(1) 设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时，有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中，（）是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有（）.① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④； (2) ②； (3) ④； (4) ①. 2．计算下列二重积分：.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰，并求此二重积分当0ε→时之极限.解积分区域D 如图9－49所示.交换积分次序，得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9－50所示. 图9－49 交换积分次序，得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9－50(3) 积分区域D 如图9－51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故图9－51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9－52所示. 图9－52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则＝（）（如图9－53）因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9－53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9－54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则，故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序：2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9－55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9－56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－55 图9－56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－57 图9－58 4.计算下列二重积分：24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分；22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成；22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰，()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解（1）积分区域D 如图9－59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）积分区域D 如图9－60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9－59 图9－60（3）积分区域D 如图9－61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则，故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9－61(4) 积分区域D 如图9－62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则，故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9－62（5）积分区域D 如图9－63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9－63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则，故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时，必有，故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==（6.设()[0,]f x a 在上连续，求证：202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰，I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9－64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9－64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续，求证：当0n >时，有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9－65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续，求证：图9－6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9．求证：221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤，解积分区域D 如图9－66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值，为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9－66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上，有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110．已知()[0,1]f x 在上连续，求证：11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续，且由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11．求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解由题意所求立体的图形如图9－67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性，得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令图9－671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9－68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9－682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。

数学分析课本-习题及答案第二十一章

第十一章重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。

高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ）则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质（1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

高等数学教材二重积分答案

高等数学教材二重积分答案在进行高等数学学习的过程中，二重积分是一个非常重要的概念。

掌握了二重积分的求解方法以及相应的答案，对于我们理解和应用高等数学知识有着至关重要的作用。

本文将回答一些关于二重积分的题目，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 求解二重积分∬(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域为x^2+y^2≤1。

首先要确定积分区域，由于条件限制为x^2+y^2≤1，因此积分区域为单位圆。

接下来我们可以将此二重积分转换成极坐标下的积分形式。

当x和y用极坐标表示时，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为极径，θ为极角，那么根据雅可比行列式的性质，dx dy=r dr dθ。

现在我们将原来的二重积分改写成极坐标下的形式：∬(r^2) r dr dθ。

由于积分区域为单位圆，所以对于极径r，积分范围为0到1；对于极角θ，积分范围为0到2π。

将上述积分范围代入原式，得到二重积分的答案为：∫[0,2π]∫[0,1](r^3) dr dθ。

2. 求解二重积分∬(2xy-3x^2)dydx，其中积分区域为0≤x≤1，0≤y≤2。

根据题目给定的积分区域，可以直接进行二重积分的计算。

首先计算内层的y方向的积分，即对2xy-3x^2关于y进行积分，得到xy^2-3x^2y。

然后再对x进行积分，积分范围是0到1。

将上一步得到的结果乘以x的积分范围并进行积分，即∫[0,1] (xy^2-3x^2y)dx。

计算这一步的结果，得到(1/4)y^2-(3/4)y。

最后，将y的积分范围0到2代入上一步得到的结果进行积分，即∫[0,2] [(1/4)y^2-(3/4)y]dy。

将这一步的计算结果代入，得到最终的答案为(-11/2)。

通过以上两个例子的解答，我们可以看到在求解二重积分时，首先需要确定积分区域，然后根据积分区域的不同，选择合适的计算方法。

在一些情况下，我们可以将二重积分转换成极坐标下的形式，从而简化计算过程。

二重积分习题练习及解析ppt课件

(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例计算
x 2 y 2 a 2

( x 2 x 3 y 2)d .
2
解积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:

二重积分总结及习题

曲面S的面积为 A
Dxy

z z 1 dxdy; x y
2
2
(3) 重心
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的重心
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0

f ( r cos , r sin ) r dr .
2. 改变下列二次积分的积分次序：
(1)
1 dx 1
2
x2
f ( x , y ) dy;
( 2)
0 dy
1
1 y 2 1 y
2
f ( x , y ) dx.
y x2
解 (1) 积分区域为 1 x 2, D: 2 1 y x .
f ( x , y )d
D
1 1 x 2
1 dx 0
f ( x , y ) dy.
3. 计算
D
x 2 d . 其中 D 由 y x , y 1 , x 2 围成． x y2
4. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
1
y
y 2x x2
在极坐标系中，D 可表示为
, 0 r 2 cos .

【2019年整理】二重积分详细解答

.3
4 z x
. .
y = 00
x=0
0
Dzz=00
4
y
.
2
x
x y 和 x y D: 之间的环域
y
怎么计算？
D3
必须把D分块!
D1
0
I f ( x, y)dxdy
D
I
D1 D2 D3 D4
.
D
1 D2 2 x
D4
此题用直角系算麻烦
例计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在原点，
Vi f (i ,i ) i .
3. 求和
n
i 1
f
(i
,
i
)
i
n
3. 求和
i 1
f
(i
n
,
i
)
iHale Waihona Puke .4. 取极限lim
0 i1
f (i ,i ) i .
max{ 1, 1,, n }
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区
域D上的二重积分，记为：
o
1
2x
y2 x
例求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0, 0), (1, 1),
D
(0, 1)为顶点的三角形.
解因为 e y2dy无法用初等函数表示
因此，积分时必须考虑次序。
D:
0 x y, 0 y 1.
x2e y2dxdy 01dy0y x2e y2dx
D
1e y2
0
［Y－型］
y
y
d
d
x 1( y)
x 2( y)

高数习题答案二

2π
1
2π
2
1 2 1 4 1 1 4 1 2 2 = 2π ( r − r )|0 +2π ( r − r )|1 = 5π. 2 4 4 2 y r = cosθ 3.利用极坐标计算下列二重积分 (1) ∫∫ xdxdy, D: x2 + y2 ≤ x D 0 1 x 解: 画出D的图形:
y
7.交换下列积分次序,并计算: (1)
∫ dy∫ e dx
y 0 y
1
1
1 y=x
0
D
解: 由已给积分次序知
y ≤ x ≤1 D: 0 ≤ y ≤1 ,
x =1 x 1
画出D的图形:
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x eydy = ey |0dx = ∫ dx ∫0 ∫ 0 0
1
x
1
y 1 y=x
x
1 x
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u v
2.将二重积分
∫∫ f ( x, y) dxdy 化为二次积分:
D
(1) D 是由 y = 2, y = 2x 及 x = 0 所围成的区域; 解: 画D的图形: 1 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx∫ f ( x, y)dy
D
y
2D
0
D
x =1 1 x
(2) 解: 由已给积分次序知
0 ≤ x ≤1 D: 2 x ≤ y ≤1 ,
画出D的图形:
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8. 计算下列二重积分
(1) I = ∫∫ yexy dxdy,其中D 是由直线 y = 2, x =1,
x = 2及曲线

酱菜学校二重积分习题参考答案

第八章二重积分习题参考答案（2012）练习8.11.二重积分定义中,极限过程为什么不取0σ∆→{}12(max ,,...,)n σσσσ∆=∆∆∆,即最大区域面积趋于零来描述“对D 的无限细分”？答：n 无限增大，精细的分割是指分割后每个小区域的任意两点的距离很小，这样(,)k k k f ξησ∆才接近实际值；直线上小区间长度很短就能保证其内任意两点距离很小，而平面上，小区域面积很小和其内任意两点距离很小却不是一回事，比如非常扁的长条面积虽小，但两头的点的距离却很大；定义的里0d →必有0σ∆→，但0σ∆→，不一定0d →，故不取0σ∆→来描述“对D 的无限细分”.2.有人说：“二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义是以(,)z f x y =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积.”是否正确？为什么？答：不正确，二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义包含三种情形而不是这一种情况.3.比较下列二重积分的大小：（1）2322()():(2)(1) 2.DDx y d x y d D x y σσ++-+-≤⎰⎰⎰⎰与（2）2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ++⎰⎰⎰⎰与:(1,),(1,1),(2,0)D A B C 顶点为0的三角形闭区域.解：（1）在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.xx y +（2）由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4.利用二重积分性质估计下列积分值：（1）(1),:01,02;DI x y d D x y σ=++≤≤≤≤⎰⎰ （2）2222(9),: 4.DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰解:（1）由于114(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.（2）因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS x y d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5.判断二重积分22ln()DI x y d σ=+⎰⎰值的符号，: 1.D x y +≤解: 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤于是22()0DIn x y d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习8.21.若(,)f x y 在:,D a x b c y d ≤≤≤≤上两个二次积分都存在,则它们必定相等,即(,)(,)b dd baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰对否？为什么？xxyx解：对. 因为根据定理1有(,)(,)bdacDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(,)(,)d bcaDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰，所以等式成立.2. 交换下列二次积分次序：（1）2211(,)x dx f x y dy ⎰⎰；解：由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,1,2y x y x ===围成；写成y 型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）10(,)y dy f x y dx ⎰ 解：由已知得积分区域D 为： y x y y ≤≤≤≤，10 推出D 由2,y x y x ==围成；写成x 型区域 2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）211(,)yydy f x y dx ⎰⎰解：由已知得积分区域D 为： y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成；将D 写成x 型区域y xyx=12y =x1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）1220010(,)(,).x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰ 解：由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域 :012D y y x y ≤≤≤≤-，故12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3.计算下列二重积分：（1）323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01；解：1132332300(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰24132100(3)24y y x y xdx =++⎰ 132031()24x x dx =++⎰43111()1424x x x =++=.（2）223/2(1)Dyd x y σ++⎰⎰，其中D 是矩形闭区域x y ≤≤≤≤01，01；解：3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰x31122220011[(1)]2(1)d x y dx x y =++++⎰⎰121221001[(2)(1)]2x y dx -=⋅-⋅++⎰ 11221220[(2)(1)]x x dx --=-+-+⎰=11-⎰⎰（利用第六章公式）1100ln(ln(x x =+-ln(1ln(1=-+2)ln(1=-.（3）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是三顶点分别为,πππ(0,0),(,0)和()的三角形闭区域；解：由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；:0,0D x y x π≤≤≤≤cos()cos()xDx x y d dx x x y dy πσ+=+⎰⎰⎰⎰=00[sin()]xx x y dx π+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰sin 2sin x xdx x xdx ππ=-⎰⎰01(cos 2)cos 2xd x xd x ππ=-+⎰⎰ 00001(cos 2cos 2)cos cos 2x x xdx x x xdx ππππ=-++-⎰⎰0011(cos 2cos 22)sin 22xd x x πππππ=-+--⎰ 322πππ=--=-.（4）2Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 是由22(0)2py px x p ==>,围成的闭区域.解：D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ x22222p y pp pDxy dxdy dy xy dx -=⎰⎰⎰⎰=22222p y p px y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 22621()88pp p y y dy p-=-⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分：（1）222:D x y a +≤；解：因为222:D x y a +≤将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y a +=得222(r a x y a =+=的极坐标方程)极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，所以200(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰（2）22:2.D x y x +≤解：因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.xx2px2a =5.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分：（1）2200()Rdx f x y dy +⎰；解：已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成；极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rdx f x y dy +⎰2200()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.（2）200(,).Rdy f x y dx ⎰解：已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤ 推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6.利用极坐标计算下列二重积分：（1）{}22(4)(,)|4Dx y d D x y x y σ--+≤⎰⎰，=解： 22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，22(4)(4cos sin )(4cos sin )DDx y d r r rdrd d r r rdrπσθθθθθθ--=--=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰332222200(2cos sin )33r r rd πθθθ=--⎰ 2088(8cos sin )33d πθθθ=--⎰xxx2R 422()y R R -=2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.（2）22:1,0,0DD x y x y σ+≤≥≥，解：22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，200Dd πσθ=⎰⎰2d πθ=⎰⎰02π=⎰2200()44r t ππ===⎰⎰111()44ππ==-⎰⎰⎰21101(arcsin 42t π=-⎰121[(1)]422t ππ=+-⎰()(1)(2)42428ππππππ==-=-. （3）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=以及坐标轴所围成的在第一象限的区域；解： 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，22222ln(1)ln(1)Dx y d d r rdr πσθ++=+⎰⎰⎰⎰220ln(1)2r rdr π=+⎰2220ln(1)4r dr π=+⎰2220ln(1)(1)4r d r π=++⎰521ln (1)4tdt r t π=+=⎰x1=x45511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.（4）222222sin(),:4,0,0.Dx y dxdy D x y x y ππ+≤+≤≥≥⎰⎰解： 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，22222sin()sin Dx y dxdy d r rdr πππθ+=⎰⎰⎰⎰ 222()(s i n )d r r d r πππθ=⋅⎰⎰ 22222sin sin 24r rdr r dr ππππππ==⎰⎰2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.3（不作要求）1. 用二重积分变换计算：（1）22(),:;Dx y dxdy D x y x y ++≤+⎰⎰解： 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤11()()(1)22DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰:0202D r θπ'≤≤≤≤=，20()cos sin 1)Dx y dxdy d r r rdr πθθθ+=++⎰⎰⎰20[(cos sin )d πθθθ=+⎰x22001sin )124d d ππθθθθ=++⎰⎰220cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）222222(),:1,0,0.Dx y x y dxdy D a b a b ++≤>>⎰⎰解：令,,x y u v a b== 作变换,,x au y bv ==000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤ 222222()()DD xy dxdy a u b v abdudv '+=+⎰⎰⎰⎰:0201D r θπ'≤≤≤≤，21222222220()(cos sin )Dx y dxdy d a r b r abrdr πθθθ+=+⎰⎰⎰⎰ 21222230(cos sin )d a b abr dr πθθθ=+⎰⎰42222210(cos sin )4rab a b d πθθθ=+⎰22222200(cos sin )4ab a d b d ππθθθθ=+⎰⎰2222001cos 21cos 2()422ab a d b d ππθθθθ+-=+⎰⎰222222011[(sin 2)(sin 2)42222ab a b ππππθθθθ=++-22()4ab a b π=+. 2. 用二重积分求由直线,(0),x y m x y n m n +=+=<<,(0)y ax y bx a b ==<< 所围成的区域D 的面积S . 解：令 ,,yu x y v x=+= 作变换,.11u uv x y v v==++x122211(1)0(1)1(1)u v v uJ v u v vv -++==≠+++在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤221()[](1)(1)n b m a DD D u S dxdy J dudv dudv udu dv v v ''====⋅++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++.习题八 1. 填空题（1）设D 是第II 象限内的一个有界闭区域，且01y <<记32312,DDI yx d I y x d σσ==⎰⎰⎰⎰1323,DI y x d σ=⎰⎰则123I I I 、、的大小顺序为 . 答案：312I I I <<分析：因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.（2）若D 是由直线1x y +=与两坐标轴围成的三角形区域，且1()()Df x dxdy x dx ϕ=⎰⎰⎰，则()x ϕ= .xax n答案： ()(1)()x x f x ϕ=-分析：因为1100()()xDf x dxdy dx f x dy -=⎰⎰⎰⎰1100()(1)()f x x dx x dx ϕ=-=⎰⎰所以()(1)()x x f x ϕ=-（3）设D 由(0)01y kx k y x =>==、、围成的有界闭区域，且21,15Dxy dxdy =⎰⎰则k = . 答案： 1k =分析：311220003kxkxDy xy dxdy dx xy dy xdx ==⎰⎰⎰⎰⎰3353141001,3351515k k x k x dx ====⎰ 31(0)k k =>，所以 1k =.（4）设()00(,)(,)(0)aa x ady f x y dx dx f x y dy a ϕ-=>⎰⎰⎰,则()x ϕ= .答案：()x ϕ=分析：因为0,y a x ≤≤-≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤()(,)(,)(,)aaa x aady f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ϕ--==⎰⎰⎰⎰所以()x ϕ=（5）设{}(,)10D x y x y x =+≤≥且,按先y 后x 的积分次序写二次积分()Dx y dxdy +⎰⎰= (结果中被积函数不含绝对值符号).答案：10110100()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰ 分析：由12D D D =1:01,10,D x x y ≤≤-≤≤ 2:01,01,D x y x ≤≤≤≤-有10110100()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 若322111()00()(,)(,)x y x y dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰,则12((),())y y ϕϕ= .答案：12((),())y y ϕϕ=分析：因为3223113200(,)(,)([0,1])x x x x dx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰(,)Df x y dxdy =-⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤原二次积分1100(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx =-=⎰⎰211()()(,)y y dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰故 12((),())y y ϕϕ=.(7) 若{}222(,)D x y x y a =+≤(0)a >,Dπ=，则a = .答案：a = 分析：因为:020D r a θπ≤≤≤≤，2Dd πθ=⎰⎰322222320001122()[()]2[()()]2233ad a r a r a πθπππ=⋅--=-⋅-==⎰⎰33231,32a a ==，所以a =. （8）已知22222()():(0)DF t f x y dxdy D x y t t =++≤>⎰⎰,则()F t '= .答案：2()2()F t tf t π'=分析：由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算 :02,0D r t θπ≤≤≤≤222()()()DDF t f x y dxdy f r rdrd θ=+=⎰⎰⎰⎰222220()()[()]2()t t td f r rdr d f r rdr f r rdr ππθθπ==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰得 2()2()F t tf t π'=.2. 选择题（1）估计积分22||||101100cos cos x y I dxdy x y +≤=++⎰⎰的值，则正确的是（）. A. 11.042I << B. 1.04 1.96I << C. 1.962I << D. 2 2.14I << 答案：C分析：由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=,根据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++ (,)D ξη∈ 又220cos cos 2ξη<+<, 得 200200102100I << 即1.962I <<，故选C .（2）设区域12:11,22;:01,02,D x y D x y -≤≤-≤≤≤≤≤≤又1222322312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰则正确的是（）.A. 124I I >B. 124I I <C ．124I I = D. 122I I = 答案： C分析：因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，被积函数关于y 、x 都是偶函数，x所以124I I =，故选C .（3）设22:1,0,0,D x y x y +≤≥≥则Dxydxdy ⎰⎰=（）.A. 100dx ⎰ B. 00C. 100dx ⎰ D. 110dx xydy ⎰⎰答案： C分析：因为:01,0D x y ≤≤≤≤所以100Dxydxdy dx =⎰⎰⎰,故选C . （4）cos 200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰=（）.A. 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 100(,)dx f x y dy ⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰10(,)dx f x y dy ⎰，故选C.（5）设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列等式成立的是（）.A. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰ B. (,)(,)bddba c c a dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰ C. ()()()()(,)(,)bg x g x ba x x a dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰D. ()()()()(,)(,)b g x b g x a x a x dx f x y dy dy f x y dx ϕϕ=⎰⎰⎰⎰ 答案：B分析：正确的是(,)(,)bdd ba ccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .（6）1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（）.A. 1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰B. 1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ C. 1100(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 答案：D分析：已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤- 所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)ydy f x y dx -⎰⎰, 故选D .（7）圆1r =之外和圆r θ=之内的公共部分的面积S =（）. A．/60d rdr πθθ⎰B. /6d rdr πθθ⎰C. /602d rdr πθθ⎰D. /62d rdr πθθ⎰答案：C分析：由1r =有21r =得221x y +=2cos r r θθ=由有22222(x y x x y +=+=得即 12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰, 1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11(),()2222- 故有1sin ,26πθθ==1:016D r πθθ≤≤≤≤于是S=1/60122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .（8）当D 是由（）围成的区域时，112Ddxdy =⎰⎰.A. 0x =，0y =及220x y +-=B. 1x =,2x =及3y =,4y =C. 11,22x y == D. 1,1x y x y +=-= 答案：D分析：1111122222A I S ∆==⋅⋅⋅=, 111(21)(43)222B I S ==-⋅-=矩,211111[()]22222C I S ==--=矩, 11144111222D I S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=即112D DI dxdy ==⎰⎰ 故选D . (9)下列结论中不成立的有（）.A. (,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰B. (,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ C.(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰ D. 111000(,)(,)dv f u v du f u x du x∂=∂⎰⎰⎰答案：D分析：因为(,)Df x y d x d y=⎰⎰常数，所以(,)0Dd f x y dxdy =⎰⎰，(,)0D f x y dxdy x ∂=∂⎰⎰，(,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰均成立，故选D .(10)设12(,)()()f x y f x f y =且11()()F x f x '=，22()()F y f y '=，则11(,)dx f x y dy ⎰⎰=（）.A. (1,1)(0,0)f f -B. 1212(1)(1)(0)(0)F F F F ⋅-⋅C. 111200()()F x dx F y dy ⋅⎰⎰D. 12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F ⋅-⋅-⋅+⋅ 答案：D 分析：1111120(,)()()dx f x y dy dx f x f y dy =⋅⎰⎰⎰⎰11120(())(())f x dx f y dy =⋅⎰⎰111020[()][()]F x F y =⋅1122[(1)(0)][(1)(0)]F F F F =-⋅-12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选D .(11) 100(,)xdx f x y dy =⎰⎰（）；A. 100(,)xdy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)x dy f x y dx ⎰⎰ C. 110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ D. 100(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 答案：C分析：已知:010D x y x ≤≤≤≤, 推出D 由,0,1y x y x ===围成；交换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) 设22:14D x y ≤+≤,则Ddxdy =⎰⎰（）；A. πB. 3πC. 4πD. 15π 答案：B分析：因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰，故选B .(13)设12D D D = ，而1D 是以(0,0),(2,1),(2,0)为顶点的三角形区域,2D 是以(0,0),(2,0),(21-，）为顶点的三角形区域，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）；A. 0B. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰+ 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰C. 2(,)D f x y dxdy ⎰⎰ D. 1(,)D f x y dxdy ⎰⎰答案：B分析：由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D = ，所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .（14）若D 是以(1,1),(1,1),(11---，）为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（）；A. 21cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B. 21D xydxdy ⎰⎰C. 41(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D. 41cos sin D x ydxdy ⎰⎰答案：A分析：设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y关于x 是偶函数，xy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .（15）若已知00()dx xf y dy ππ⎰⎰=1,则0()f x dx π=⎰（）；A. 1πB.21π C. 22π D. 不能确定答案： C分析：因为2000000()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 2()12f y dy ππ==⎰, 所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C（16）设平面区域22:1D x y +≤,0y ≥,且DI f dxdy =⎰⎰的被积函数在D 上连续,则在极坐标下,I =（）；A. 10()rf r dr π⎰ B. 102()rf r dr π⎰ C. 102()f r dr π⎰ D. 10()f r dr π⎰ 答案： A 分析：:001D r θπ≤≤≤≤1()DI f dxdy d f r rdr πθ==⎰⎰⎰⎰1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A .（17）若{(,)2D xy x y x =≤≤,则在极坐标下(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）； A. /4100(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰ B. /21/40(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰⎰ C. /42cos 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰ D. /22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰答案：D分析：由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成；将cos ,sin x r y r θθ== 代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .（18）二重积分I 在极坐标系下为100(cos ,sin )I d f r r rdr πθθθ=⎰⎰,则在直角坐标系下I =（）；A. 100(,)dx f x y dy ⎰B. 102(,)dx f x y dy ⎰C. 110(,)dx f x y dy -⎰D. 1(,)dy f x y dx ⎰答案： C分析：由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤110(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) 设31()DI ln x y d σ=+⎰⎰,32()DI x y d σ=+⎰⎰,33sin ()DI x y d σ=+⎰⎰,D 是由0x =，0y =，12x y +=与1x y +=围成的区域,则（）；123321132312....A I I I B I I I C I I I D I I I <<<<<<<<答案： C分析：由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2lnln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+ 所以132I I I <<, 故选C . (20) 设sin (,)xf x y x=，则(,)f x y 在由0y =,y x =及1x =围成的平面区域D 上的平均值为（）.A. 22cos1-B. 1sin1-C. cos11-D. 1 答案：A分析：由已知有:010D x y x ≤≤≤≤10011sin (,)(,)1112xDDxf f x y dxdy dx dy S xξη==⋅⋅⎰⎰⎰⎰11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3.利用二重积分性质估计下列积分值：（1）2222(49),:4DI x y d D x y σ=+++≤⎰⎰；解：由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤ 显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++ 满足2222x y +=的最值，方法①：将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==方法②：令2222(,,)49(4)F x y x y x y λλ=++++-2222084200x y F x x F y y F x y λλλ+-'=+==⎧⎪'=+=⎨⎪'=⎩解得0x =，2y =±；0y =，2x =± 可能的极值点(0,2),(0,2),(2,0),(2,0)--检验可得(0,2)(0,2)25f f -==为最大值，即25M = 于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈所以 229(49)25D D DS x y d S σ≤++≤⎰⎰, 4D S π=即 2236(49)100Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰ 故 36100I ππ≤≤.（2）22221(),:1DI ln x y d D x y eσ=+≤+≤⎰⎰；解：因为2211(,)x y x y D e≤+≤∈所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=22()0D DS In x y d σ-≤+≤⎰⎰ 2211(1)D S eπππ=⋅-=- 221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰ 所以1(1)0I e π-≤≤.（3）22sin sin ,:0,0.DI x yd D x y σππ=≤≤≤≤⎰⎰解：由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sin sin 122x y ππ≤≤=于是2220sin sin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰ 所以20I π≤≤.4.化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为二次积分（两种积分次序都要）：（1）{}(,)|||1,|1D x y x y =≤≤；解：:11,11D x y -≤≤-≤≤1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（2）D 是由0x =，1y =及y x =围成的区域；解：将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）（3）D 是由0y =，ln y x =及x e =围成的区域. 解：将D 表示成x 型：1,0ln x e y x ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)eInxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰10(,)y eedy f x y dx =⎰⎰ （先对x 积分，后对y 积分）5.交换下列二次积分次序：（1）1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；解：积分区域为：10,12x x y x ≤≤≤≤-换成y 型： 11:0,02D y x y ≤≤≤≤ 21:1,012D y x y ≤≤≤≤-1120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.（2）122001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤ 第二项积分的积分区域2:12,02D x y x ≤≤≤≤-22222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：:01,12D y x y ≤≤≤≤-1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.（3）2122002(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰；解：第一项积分的积分区域为 211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为 2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：: 02,D y x ≤≤≤21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.（4）10(,).dx f x y dy ⎰解：积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：211:1,12D y y x ≤≤≤≤2211:0,22D y y x ≤≤≤≤=31:0,12D y x ≤≤≤≤10(,)dx f x y dy⎰22111122102(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰.6.计算下列二重积分：（1）(6)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y x =,5y x =及1x =围成的区域；解：:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)(6)Dx y dxdy +⎰⎰150(6)xxdx x y dy =+⎰⎰⎰⋅+=1052)26(dx y xy xx 3763767613102=⋅==⎰x dx x . （2）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域；解：将D 表示成x 型分为：1:1011D x x y x -≤≤--≤≤+，2:01,11D x x y x ≤≤-≤≤-x yDe d σ+⎰⎰12x y x y D D e dxdy e dxdy ++=+⎰⎰⎰⎰ 01111101xxx y x y xx dx e dy dx e dy +-++----=+⎰⎰⎰⎰1111110x y xx yxx x e edx e e dx +-----=+⎰⎰0111111()()x x x x x x e e e dx e e e dx +-----=-+-⎰⎰ 0112112111x x e dx e dx e dx edx +----=--+⎰⎰⎰⎰111111()()22e e e e e e e e=----+=-. （3）22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域；解：:022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)22()Dxy x d σ+-⎰⎰22220()y ydy x y x dx =+-⎰⎰232220()32y y x x y x dy =+-⎰ 232193()248y y dy =-⎰ 432019113()24486y y =-=. （4）22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 由直线y x =,1y =及y 轴所围成；解：:01,0D y x y ≤≤≤≤ (y 型)22y Dx edxdy -⎰⎰2120yy dy x edx -=⎰⎰231003y yx edy -=⋅⎰ 213013y e y dy -=⋅⎰2122016y e y dy -=⋅⎰ 21016t y tte dt=-=⎰111()6t t te e dt --=--⎰110111()663t e e e--=-+=-. （5）cos Dxdxdy x⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与y x =所围成. 解;2:01,D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)cos Dxdxdy x ⎰⎰221100cos cos ()x x x x x x dx dy y dx x x ==⎰⎰⎰ 120cos ()xx x dx x =-⎰10(cos cos )x x x dx =-⎰ 1111000sin sin sin1(sin sin )x xd x x x xdx =-=--⎰⎰10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7.将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分：（1）22:14D x y ≤+≤；解：:02,12D r θπ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy ⎰⎰221(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰（2）22:(1)(1) 1.D x y -+-≤解：由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=r =cos sin θθ=+或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤222(cos sin )(cos sin )2sin cos 0r r θθθθθθ-+++-≤ 2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+(,)Df x y dxdy⎰⎰cos sin 20cos sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθθ++=⎰⎰8.将下列二次积分转化为极坐标系下的二次积分：（1）20x dx f dy ⎰；解：由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D由,,2y x y x ==围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 3004()x dx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.（2）2100(,).x dx f x y dy ⎰⎰解：由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成，将cos ,sin x r y r θθ== 代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤2:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 40[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰2sec 040ec tan [(cos ,sin )(cos ,sin )]s f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=+⎰⎰⎰sec 40sec tan [(cos ,sin )]f r r rdr d πθθθθθθ=⎰⎰sec 40sec tan (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰9.利用极坐标计算下列二重积分：（1）22,:DD x y x +≤；解：由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤cos 0Dd rdr πθπθ=⎰⎰２－２5cos 222)r d πθπθ-=⎰3222cos 5d ππθθ-=⎰2204(1sin )sin 5d πθθ=-⎰ 2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. （2）1222()Dx y dxdy -+⎰⎰,D ：y x =与2y x =所围成的闭区域.解：将cos ,sin x r y r θθ== 代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤1sec tan 22421()Dx y dxdy d rdr rπθθθ-+=⎰⎰⎰⎰4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10.利用适当的坐标系计算下列二重积分：（1）22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由直线2x =,y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；解：1:12,D x y x x≤≤≤≤ (x 型)2221221x x Dx x d dx dy y y σ=⎰⎰⎰⎰22111()xxx dx y =-⎰2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. （2）22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的区域；解：:3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)22()Dx y d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰332()3a y y y ay aax y xdy --=+⎰33321{[()]}3aa y y a ay dy =--+⎰443333411()1434343a aa aaay y a y aa -=-+=.（3）Dσ⎰⎰,其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的区域.解：由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ== 代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤Dσ⎰⎰22cos 0R d ππθθ-=⎰⎰22cos 20R d ππθθ-=⎰⎰22cos 2201()2R d R r ππθθ-=--⎰⎰ 223222cos 012()23R R r d ππθθ-=--⎰ 223331(sin )3R R d ππθθ-=--⎰ 23302133R d R πθπ==⎰. 11.用二重积分求由24x y y =-及4x y +=所围成的平面图形的面积. 解：由224(2)4x y y x y =-=--+有241,44x y y y y x y ⎧=-==⎨+=⎩得 2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)24414y y yDS d dy dx σ--==⎰⎰⎰⎰421(44)y y y dy =--+⎰23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12.计算2110.x y I dy e dx ⎰⎰＝解：由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成，将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221110xx x yI dy e dx dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2211000()x xx e y dx e xdx =⋅=⋅⎰⎰ 221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13．求由曲面22z x y =+、三坐标平面和平面1x y +=所围成的立体体积. 解：因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰而:01,01D x y x ≤≤≤≤-所以 112200()xV dx x y dy -=+⎰⎰312100()3x y x y dx -=+⎰12301[(1)(1)]3x x x dx =-+-⎰ 123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14.计算1(0,0).ln b ax x I dx a b x->>⎰＝解：这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分. 111000()ln b ab b y y a a x x I dx x dy dx dx x dy x-===⎰⎰⎰⎰⎰ 交换二次积分次序：111001()1bbyy aaI dy x dx x dy y +==⋅+⎰⎰⎰ 11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15.设(,)f x y 连续,且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰,其中D 是由20,,y y x ==1x =所围成的区域，求(,)f x y .解：将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分(,)[(,)]DDDDf x y dxdy xydxdy f u v dudv dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)DDDxydxdy f u v dudv dxdy =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,)D DDxydxdy S f u v dudv =+⋅⎰⎰⎰⎰(1)(,)D DDS f x y dxdy xydxdy -=⎰⎰⎰⎰。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)

第十一章重积分§ 1二重积分的概念1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D「i j网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n其界点•2•证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g •性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得D f =f , D5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且D o = D1 D 2, intD j int D j = •一，试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充要条件是f在D2上都可积，且6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明：(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ；(2) 若在D内任一子区域D D上都有D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。

7・证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点, D，使得f x,yg x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分r r dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值§ 2二重积分的计算1.计算下列二重积分：⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】；D⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】；D2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域⑶!! cosx y dxdy,其中D=D⑷..Dx1 xydxdy，其中D= 0,1 0,11.2 2 2⑵D 由不等式x y _a 与x y <a (a>0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序5. 计算下列二重积分2(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线D⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [D卄 dxdy(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;D2a -x⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x jD(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.D6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域x(1) 0 dx x f (x,y dy ；11 ^x 2⑵ j d ^_1^2fx,y dy ；⑶ 0dy 0 f x,y dy + dxX 专(p >0)所围的区域；3dy .⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域(3)D= ：x,y x2y2zy,x _0「7•用极坐标计算二重积分：⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2'；D(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』；曽F rD(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.D8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：2 2丄(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;(2) i if x,y dxdy ,其中D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若x= U cos4 v ,D4y 二U sin v .(3) i if x,y dxdy，其中D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.9•求由下列曲面所围立体V的体积：(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；2 2 | 一 ,(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；2 2 2 22 x v x v(3) v由曲面Z 和2Z= 所围的立体•4 9 4 911. 试作适当变换，计算下列积分：(1) 11 [x y sin x - y dxdy ,D= ：x.y 0 _ x y _ 二0 _ x - y _ T；Dy(2)I ie x y dxdy ,D= x,y x y 岂1, x _ 0,y _ 0D12. 设f:[a,b] T R为连续函数，应用二重积分性质证明-b I2j b|[f(xdx I 兰(b—a)[f (xdx，其中等号仅在f为常量函数时成立。

高等数学二重积分讲义试题答案

第七章多元函数积分学§7.1 二重积分(甲) 内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型I ：设有界闭区域{})()(,),(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Dbax x Ddy y x f dx dxdy y x f d y x f )()(21),(),(),(ϕϕσ模型II ：设有界闭区域{})()(,),(21y x y d y c y x D ϕϕ≤≤≤≤=其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。

多变量微积分习题课参考答案(二重积分概念、性质、计算)_790307533

D D11
2 ln
(
2 +1
)．
∫∫
f ( x, y )dxdy =
1 1 π 1 π 1 2 2 2 2 2 sin θ + cos θ 2 d θ ( r cos θ + r sin θ ) ⋅ r d r = dθ ∫0 2 ∫0 8 ∫0 (sin θ + cos θ ) 4
=
π 1 π π 1 2 π π 1 4 2 sec ( θ − )d θ = [tan 2 (θ − )+1]sec2 (θ − )dθ = ∫ ∫ 0 0 32 4 32 4 4 12 π 2 0 2 sin θ + cosθ 1 sin θ + cosθ
1 1 2− y 1− 1− y 2 0
2
2− x 0
f ( x, y )dy
= ∫ dy ∫
f ( x, y )dx
．
微积分 B(2)第 4 次习题课（3） ∫
∫
π 3 0
2 / 10
dθ ∫ f ( r cos θ , r sin θ ) rdr
0 1 0
1
π 3 0
dθ ∫
π 2 π − 2
4 0
8 3
解法 2：由 ( x − 1)
D
2
． + ( y − 1) ≤ 2 得 r ≤ 2(sin θ + cos θ ) ，所以
2 3π 2(sin θ + cosθ ) 0
∫∫ ( x − y )dxdy = ∫ π4 dθ ∫
4
(r cos θ − r sin θ ) ⋅ rdr
v= u
=∫
2 2
4 / 10

高数二重积分习题加答案沐风教学.ppt

例2 将二重积分化成二次积分 I f ( x, y)dxdy,
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1
–1
优讲课堂
1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
6 a
1
rdr 2 2a a2 r 2 rdr
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
优讲课堂
13
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
15
优讲课堂
6
例7 证明
b
dx
x ( x y)n2 f ( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
a
D
b a
f
(
y)
n
1
1
(
x

数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集，即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来，记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来，记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界，记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε，由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β，在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知，每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等；可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续，由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明：函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证：设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ，则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0，由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间，使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)，其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。

二重积分的概念及计算法（一）

⼆重积分的概念及计算法（⼀）习题9-1，9-2 ⼆重积分的概念及计算法（⼀）1．填空题：（1）由⼆重积分的⼏何意义得∫∫≤+=??122221y x d y x σ .（2）根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：①，其中是三⾓形区域，三顶点为（1,0），（1,1），（2,0），则∫∫+=D d y x I σ)ln(1∫∫+=Dd y x I σ22)][ln(D 1I 2I .②，，其中是由∫∫++=D d y x I σ21)1(∫∫++=Dd y x I σ32)1(D x 轴与直线围成的区域，则 1,0?==+x y x 1I 2I .（3）化⼆重积分为两种不同次序下的⼆次积分，其中是直线D 2,==x x y 及双曲线)0(1f x x y =所围成的闭区域，= ∫∫d y x f σ), (D = （4）①交换积分次序：∫∫??=22221),(x x x dy y x f dx ②交换积分次序：∫∫∫∫?=+y ydx y x f dy dx y x f dy 20313010),(),(2．利⽤⼆重积分的性质，估计积分的值：∫∫++=Dd y x I σ)94(22，其中是圆形闭区域：.D 422≤+y x 3．计算下列⼆重积分：（1）∫∫+=D d x x y I σ2)1(cos ，其中是顶点分别为（0,0）,(1,0),(1,2)和（0,1）的梯形闭区域. D （2），其中是由∫∫+=Dy x d e I σD 1≤+y x 所确定的闭区域.4．计算⼆次积分∫∫101dx e dy y x y.5．交换积分次序，证明：∫∫∫=ay ax a m x a m dx x f e x a dx x f e dy 000)()()()()(. 6．设平⾯薄⽚所占的闭区域是由直线D x y y x ==+,2和x 轴所围成，它的⾯密度22),(y x y x +=ρ，求该薄⽚的质量.7．求由曲⾯及所围成的⽴体的体积.222y x z +=2226y x z ??= 习题9-2 ⼆重积分的计算法（⼆）1．填空题：（1）把下列⼆重积分表⽰为极坐标形式的⼆次积分①∫∫≤+=+x y x dxdy xy y x f 22222)arctan ,( ；②{}∫∫=≤+≤=+D y x dxdy ex y y x y x D 22,,41),(22f .（2）化下列⼆次积分为极坐标系下的⼆次积分①∫∫?=+a x ax dy y x f dx 2020222)( ，； )0(f a ②∫∫=+101022)(dy y x f dx ；③∫∫=203(arctan x x dy x y f dx ；④∫∫=1002),(x dy y x f dx .2．⽤极坐标计算下列积分的值：（1）dxdy y x I D ∫∫+=221，其中是由曲线与直线D 2x y =x y =所围成的闭区域.（2）,其中是圆域及坐标轴所围成的第⼀象限内的闭区域. ∫∫++=Dd y x I σ)1ln(22D 122≤+y x 3．选⽤适当的坐标计算下列各题：（1），其中是由直线∫∫+=D d y xI σ)(22D )0(3,,,f a a y a y a x y x y ==+==所围成的闭区域. （2）∫∫=D d xy x I σsin，其中1,0,===x y x y 所围成的区域.（3），其中由不等式确定. ∫∫?=Dd x y I σ2)(D 0,,222≥≤++≤y R y x x R y 4．计算以xoy ⾯上的圆周围成的区域为底，⽽以曲⾯为顶的曲顶柱体的体积.)0(22f a ax y x =+22y x z +=习题9-3 三重积分（⼀）1．填空题：化三重积分为直⾓坐标下的三次积分，其中积分区域∫∫∫Ω=dv z y x f I ),,(Ω（1）由曲⾯及平⾯22y x z +=1=z 所围的闭区域，=I ；（2）由上半球⾯222y x R z ??=及xoy 坐标⾯所围闭区域，=I ；（3）由锥⾯及柱⾯所围成的在第⼀卦限内的闭区域， 222y x z +=122=+y x =I ；（4）由双曲抛物⾯xy z =及平⾯0,1==+z y x 所围成的闭区域，=I ；（5）由曲⾯及所围成的闭区域， 222y x z +=22x z ?==I ；2．计算下列三重积分：（1），其中是由平⾯∫∫∫Ωxdxdyd Ω0,0,0===z y x ，以及1=++z y x 所围成的闭区域.（2），其中是由平⾯∫∫∫Ωzdxdydz Ω1,,0===y y z z 以及柱⾯闭区域. 2x y =3．若Ω为m z l d y c b x a ≤≤≤≤≤≤,,，证明：∫∫∫∫∫∫=Ωb a d c ml dz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321，.4．利⽤“先⼆后⼀”的⽅法计算下列三重积分：（1），其中Ω是两个球⾯：和围成的闭区域.∫∫∫Ω=dxdydz z I 21222≤++z y x z z y x 2222≤++（2），其中：曲⾯与平⾯∫∫∫Ωdv e x 3Ω222z y x +=1=x 围成的闭区域.习题9-3 三重积分（⼆）1．填空题：（1）利⽤柱⾯坐标化三重积分为三次积分并算出结果：①为柱⾯与平⾯Ω122=+y x 1,0==z z 所围成的在第⼀卦限内的闭区域，∫∫∫Ω=xydv ；②是由曲⾯及所围的闭区域Ω22y x z z ??=22y x z +=∫∫∫Ω=xdv ；（2）是由曲⾯Ω222y x z ??=与所围成，在指定的坐标系下，将化为三次积分：22y x z +=∫∫∫Ω=zdv I ①直⾓坐标系=I ；②柱⾯坐标系=I ；③球⾯坐标系=I .2．选⽤适当的坐标计算下列三重积分：（1），其中∫∫∫Ω?=dv y x I )(22Ω是⽴体及的公共部分.22222b z y x a ≤++≤)0(0b a z p p ≥（2），其中为所围的闭区域. ∫∫∫Ω=zdv I Ω)0(,222f h h z z y x ==+（3）∫∫∫Ω++=dv z y x I 222，其中Ω是曲⾯所围成的闭区域. z z y x =++222（4）∫∫∫Ω++=dv y x zI 22，其中Ω是柱⾯22x x y ?=及平⾯),0(f a a z =0,0==y z 所围成的闭区域.（5），其中是⽴体及的公共部分. ∫∫∫Ω=zdv I Ω2222)(a a z y x ≤?++222z y x ≤+3．⽤三重积分计算由曲⾯225y x z ??=及所围成⽴体的体积.z y x 422=+习题9-4 重积分的应⽤1．填空题：（1）⼀平⾯薄⽚位于抛物线及直线2x y =x y =之间，密度，则它的质⼼坐标是 y x y x 2),(=ρ.（2）由抛物⾯和平⾯x z y 422=+2=x 所围成的质量分布均匀的物体的质⼼坐标是 .（3）设平⾯薄板所占区域为，⾯密度为D ),(y x ρ，则：①平⾯薄板对x 轴的转动惯量为；②平⾯薄板对坐标原点的转动惯量为；③平⾯薄板对直线的转动惯量为 1=y . （4）曲⾯222y x z ??=及22y x z +=所围成的质量分布均匀（设密度为µ）的物体关于轴的转动惯量的表达形式是 oz z I ，将此三重积分化为球⾯坐标下的形式是，计算结果是 .2．在均匀半圆形薄⽚的直径上，要接上⼀个边与直径相等的均匀矩形薄⽚，为了使整个均匀薄⽚的质⼼恰好在圆⼼上，问接上去的均匀矩形薄⽚另⼀边的长度应是多少？（设两块薄⽚为同⼀种材料）3．球体内各点处的密度等于该点到原点的距离的平⽅，试求这球体的质⼼.Rz z y x 2222≤++4．已知均匀矩形板（⾯密度为常数ρ）的长和宽分别为b 和，计算此矩形板对于通过其形⼼且与矩形板的长平⾏的轴的转动惯量.h 5．求半径为a 、⾼为的均匀圆柱体对过中⼼、且平⾏于母线的轴的转动惯量.（设密度为h 1=ρ）6．求底圆半径相等的两个直交圆柱⾯及所围⽴体的表⾯积. 222R y x =+222R z x =+。

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