有限元法基础4单元和插值函数的构造
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第2章 单元和插值函数的构造
j
dH ( ) ij dξ
(1) i
j
1 2 d Q ( )1 dξ ( d ) 2 dξ
CHONGQING UNIVERSITY
工程力学系
2.3二维单元
1 三角形单元
1）面积坐标
Li Ai A (i, j , m)
工程力学系 2 插值函数
一次单元：线性单元，只有角结点。
二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。
CHONGQING UNIVERSITY
工程力学系
三次单元：边界上配置二个内结点。
3 特殊单元
弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、 集中质量单元等。 模拟裂纹的奇异单元
CHONGQING UNIVERSITY
等参变换3面积坐标的微分运算chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系4面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值1002010chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系lagrange矩形单元矩形单元00缺点
自然坐标
1 1 xj 2 1 xm
1
x
y yj ym
1 (ai bi x ci y ) 2
A
1 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
Ai 1 (ai bi x ci y ) N i A 2A
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工程力学系
u Ni ui N j u j N mum v Ni vi N j v j N m vm
dH ( ) ij dξ
(1) i
j
1 2 d Q ( )1 dξ ( d ) 2 dξ
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工程力学系
2.3二维单元
1 三角形单元
1）面积坐标
Li Ai A (i, j , m)
工程力学系 2 插值函数
一次单元：线性单元，只有角结点。
二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。
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工程力学系
三次单元：边界上配置二个内结点。
3 特殊单元
弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、 集中质量单元等。 模拟裂纹的奇异单元
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等参变换3面积坐标的微分运算chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系4面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值1002010chongqinguniversitychongqinguniversity工程力学系lagrange矩形单元矩形单元00缺点
自然坐标
1 1 xj 2 1 xm
1
x
y yj ym
1 (ai bi x ci y ) 2
A
1 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
Ai 1 (ai bi x ci y ) N i A 2A
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工程力学系
u Ni ui N j u j N mum v Ni vi N j v j N m vm
有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元法的基本构架
有限元法的基本构架目前在工程领域内常用的数值模拟方法有：有限元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，就其广泛性而言，主要还是有限单元法。
它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列的单元，单元之间仅靠节点相连。
单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到。
由于单元形状简单，易于平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。
有限元的基本构成：1. 节点（Node）：就是考虑工程系统中的一个点的坐标位置，构成有限元系统的基本对象。
具有其物理意义的自由度，该自由度为结构系统受到外力后，系统的反应。
2. 元素（Element）：元素是节点与节点相连而成，元素的组合由各节点相互连接。
不同特性的工程统，可选用不同种类的元素，ANSYS提供了一百多种元素，故使用是必须慎重选则元素型号。
3. 自由度（Degree Of Freedom）：上面提到节点具有某种程度的自由度，以表示工程系统受到外力后的反应结果。
要知道节点的自由度数，请查看ANSYS自带的帮助文档（Help/Element Refrence），那里有每种元素类型的详尽介绍。
典型的分析过程ANSYS分析过程包含三个主要的步骤：1.创建有限元模型1）创建或读入限元模型2）定义材料属性3）划分网格2.施加载荷并求解1）施加载荷及设定约束条件2）求解3.查看结果1）查看分析结果2）检查结果是否正确ANSYS 文件及工作文件名ANSYS在分析过程中需要读写文件，文件格式为jobname.ext，其中jobname是设定的工作文件名，ext是由ANSYS定义的扩展名，用于区分文件的用途和类型，默认的工作文件名是file。
ANSYS分析中有一些特殊的文件，其中主要的几个是数据库文件jobname.db、记录文件jobname.log、输出文件jobname.out、错误文件jobname.err、结果文件jobname.rxx 及图形文件jobname.grph。
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限单元法分析的基本步骤
• ANSYS 的主要功能包括结构静力分析、结构动力学分析、结构非线 性分析、动力学分析、热分析、电磁场分析、流体动力学分析、声场 分析、压电分析、结构优化和疲劳分析等。结构静力分析用来求解外 载荷引起的位移、应力和力。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
有限元法基础-4单元和插值函数的构造
根据形函数的特点
1 Ni (L1j , L2j , L3 j ) 0
i j i j
这样可用过其他两节点的直线方程
来构成。例如节点1，可用2－3边
的直线方程来构成插值函数，即
N1 L1
18
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）二次单元－－6节点三角形单元
节点1：
N1
2 L1 ( L1
(x x1)(x x2 ) (xi x1)(xi x2 )
(x xi1)(x xi1) (x xn ) (xi xi1)(xi xi1) (xi xn )
22
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
当＝2时
l (1)
1
(
x)
x x2 x1 x2
Lj
Lm
dxdy
(
! !
!
2)!
2A
3) i-j 边长为 l 的线积分
l
Lai
Lbj ds
(a
a!b! b 1)!
l
14
有限元法基础
4.1 面积坐标
例：
A Lm
dxdy
0!0!1! 2A (0 0 1 2)!
A 3
A L2i
dxdy
分别在两个方向插值，即
方向有n+1个节点，n阶插值函数 lI(n) ( )
方向有m+1个节点,
m阶插值函数
l(m) J
(
)
场插值函数为
N IJ
(
,
)
l(n) I
(
)lJ(m)
有限元设计——单元位移模式及插值函数的构造
a
L 3
dx的伸长为
8 qa2 2 EA
9 qa2 2 EA
x
N ( x)dx q x u ( x) ( Lx ) EA EA 2
X (a)
(b) 图 2-1
2
(c)
根据几何方程求应变，物理方程求应力
应变 x
du q ( L x) 应力 dx EA
x E x
2 2
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越 精确。具体取多项，由单元形式来确定。即以结点位移来 确定位移函数中的待定系数。
如图所示的3结点三角形单元，结点I、J、M的坐标分别 为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)，结点位移分别为ui、vi、uj、 vj、um、vm 。
√
采用有限元分析，其决定性的步骤之一
是选择适当的单元和插值函数。
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一 二 三 四
单元类型与分析
位移函数和插值函数表示方法 三角形单元形态矩阵的计算方法 等参单元简介
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一、单元类型与分析
在单元类型的选择上, 一维单元可以是2节 点线元或3节点二次元, 二维单元常用3/6节 点三角元或 4/8/9 节点四边元 , 三维单元常 用 4/10 节点四面体元或 8/20 节点六面体元。
0 L 3 dx N L 3 L 3 u
L
x 5qa u2 2 EA 4qa2 u3 L-x EA 2 9 qa u 4 2 EA X
(a)
2N
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元插值函数总结
1 5
13 6 2
7
(i = 5, 6,9,10) (i = 7,8,11,12)
∑l
k =0
n
n k
(ξ ) = 1
why ?
φ = ∑ lkn (ξ )φk
k =0
n
2. 二维Lagrange多项式
对所有的点沿着两个方向编号，设第i个点对应的编号为 (I,J)，其对应的插值函数为： N i ≡ N IJ = lIn (ξ )lJm (η )
1 (0,m) (I,J) (n,m) 1
6
8
ˆ N 1
4 7 3
N5
4 8 7
N8
3
8 1.0 1 5 2
6 1.0 1 5 2
6
ˆ −1 N N 1 5 2
1 1 ˆ N1 − N5 − N8 2 2
位移函数的特点(边上节点为p+1个)： 一个方向一次乘以另一个方向的p次Lagrange多项式 在Pascal三角形中的分布
1 ξ ξ2 ξ2η ξp ξpη ξηp η
4 (-1,1) η 3 (1,1)
ξ 1 (-1,-1) 线性 2 (1,-1)
1 N i = (1 + ξ 0 )(1 + η0 ) 4 其中 ξ 0 = ξξi η0 = ηηi
(i = 1, 2,3, 4) (ξi ,ηi )为节点i的自然坐标
4 7 8 5 1 二次 6
3
2
1 角节点：N i = (1 + ξ0 )(1 + η0 )(ξ 0 + η0 − 1) (i = 1, 2,3, 4) 4 边中点： 1 (ξi = 0, i = 5, 7) N i = (1 − ξ 2 )(1 + η0 ) 2 1 N i = (1 + ξ 0 )(1 − η 2 ) (ηi = 0, i = 6,8) 2
13 6 2
7
(i = 5, 6,9,10) (i = 7,8,11,12)
∑l
k =0
n
n k
(ξ ) = 1
why ?
φ = ∑ lkn (ξ )φk
k =0
n
2. 二维Lagrange多项式
对所有的点沿着两个方向编号，设第i个点对应的编号为 (I,J)，其对应的插值函数为： N i ≡ N IJ = lIn (ξ )lJm (η )
1 (0,m) (I,J) (n,m) 1
6
8
ˆ N 1
4 7 3
N5
4 8 7
N8
3
8 1.0 1 5 2
6 1.0 1 5 2
6
ˆ −1 N N 1 5 2
1 1 ˆ N1 − N5 − N8 2 2
位移函数的特点(边上节点为p+1个)： 一个方向一次乘以另一个方向的p次Lagrange多项式 在Pascal三角形中的分布
1 ξ ξ2 ξ2η ξp ξpη ξηp η
4 (-1,1) η 3 (1,1)
ξ 1 (-1,-1) 线性 2 (1,-1)
1 N i = (1 + ξ 0 )(1 + η0 ) 4 其中 ξ 0 = ξξi η0 = ηηi
(i = 1, 2,3, 4) (ξi ,ηi )为节点i的自然坐标
4 7 8 5 1 二次 6
3
2
1 角节点：N i = (1 + ξ0 )(1 + η0 )(ξ 0 + η0 − 1) (i = 1, 2,3, 4) 4 边中点： 1 (ξi = 0, i = 5, 7) N i = (1 − ξ 2 )(1 + η0 ) 2 1 N i = (1 + ξ 0 )(1 − η 2 ) (ηi = 0, i = 6,8) 2
有限元4
201312019等参数单元在有限元法的发展中占有重要的地位由于它能使局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状为扭曲的单元从而为求解域是任意形状的实际问题的求解提供了有效的单元形式
第四章 平面等参数单元
第一节 等参数单元的基本概念和特点
等参数单元的主要优点： 等参数单元的主要优点： 1．单元可为不规则单元，适应性强，应用范围广。 ．单元可为不规则单元，适应性强，应用范围广。 2．易于构造位移模式，可进行统一的单元分析。 ．易于构造位移模式，可进行统一的单元分析。
3
位移模式： 位移模式： 对于任意四结点四边形单元， 对于任意四结点四边形单元，其中形函数 （局部坐标）描述的单元位移如下 局部坐标）
4 u = ∑ ui N i (ξ ,η ) i =1 4 v = v N (ξ ,η ) ∑i i i= i =1
其中形函数（局部坐标中） 其中形函数（局部坐标中）与四结点矩形单 元的形函数描述式相同， 元的形函数描述式相同，为： N1 = (1+ξ1ξ )(1+η1 ) / 4 η N2 = (1+ξ2ξ )(1+η2η) / 4 N3 = (1+ξ3ξ )(1+η3η) / 4 2011-10-23 N4 = (1+ξ4ξ )(1+η4η) / 4
4
形函数（局部坐标）描述的单元位移如下左式， 形函数（局部坐标）描述的单元位移如下左式， 局部坐标和整体坐标的转换关系如下面右式。 局部坐标和整体坐标的转换关系如下面右式。
4 u = ∑ ui N i (ξ ,η ) i =1 4 v = v N (ξ ,η ) ∑i i i =1
映射原理： 映射原理： 对于任意四结点四边形， 对于任意四结点四边形，有如下局部坐标 和整体坐标的转换关系
第四章 平面等参数单元
第一节 等参数单元的基本概念和特点
等参数单元的主要优点： 等参数单元的主要优点： 1．单元可为不规则单元，适应性强，应用范围广。 ．单元可为不规则单元，适应性强，应用范围广。 2．易于构造位移模式，可进行统一的单元分析。 ．易于构造位移模式，可进行统一的单元分析。
3
位移模式： 位移模式： 对于任意四结点四边形单元， 对于任意四结点四边形单元，其中形函数 （局部坐标）描述的单元位移如下 局部坐标）
4 u = ∑ ui N i (ξ ,η ) i =1 4 v = v N (ξ ,η ) ∑i i i= i =1
其中形函数（局部坐标中） 其中形函数（局部坐标中）与四结点矩形单 元的形函数描述式相同， 元的形函数描述式相同，为： N1 = (1+ξ1ξ )(1+η1 ) / 4 η N2 = (1+ξ2ξ )(1+η2η) / 4 N3 = (1+ξ3ξ )(1+η3η) / 4 2011-10-23 N4 = (1+ξ4ξ )(1+η4η) / 4
4
形函数（局部坐标）描述的单元位移如下左式， 形函数（局部坐标）描述的单元位移如下左式， 局部坐标和整体坐标的转换关系如下面右式。 局部坐标和整体坐标的转换关系如下面右式。
4 u = ∑ ui N i (ξ ,η ) i =1 4 v = v N (ξ ,η ) ∑i i i =1
映射原理： 映射原理： 对于任意四结点四边形， 对于任意四结点四边形，有如下局部坐标 和整体坐标的转换关系
有限元分析基础ppt课件
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
单元和插值函数的构造
1 x1 =0 l
2 x2 =l x
j ( n 1) N i ( ) li ( ) j j 1( j i ) i
n
1 0, 2 1 2 (1) N1 ( ) l1 ( ) 1 1 2 则： 1 (1) N 2 ( ) l2 ( ) 2 1
2 x2 =l x
（2）自然坐标形式：
变为
x x1 x x1 x x1 令： （3.2.5） x n x1 x 2 x1 l N1 ( x) l1(1) ( x) 1 x l 0 1 n x (1) x x N ( x ) l ( x ) j 2 2 则 N ( x) l ( n 1) ( x) l i i j 1( j i ) xi x j
N 3 H1(1) ( ) 6 3 8 4 3 5
(1) N4 H 2 ( ) 4 3 7 4 3 5 2 3 4 5 1 ( 2) ( 3 3 ) N 5 H1 ( ) 2 ( 2) N6 H 2 ( ) 1 ( 3 2 4 5 ) 2
（3.2.14）
1. 2 结点 Hermit 插值函数
( ) H
i 1
2
(0) i
d ( ) i H ( ) （3.2.13） dx i i 1
2 (1) i
Hale Waihona Puke 或： ( ) N i ( )Qi
i 1
4
（3.2.14）
一阶Hermit 多项式
（ 2）
n2
x x2 N1 ( x) l ( x) x1 x2 x x1 (1) N 2 ( x ) l2 ( x ) x2 x1 x x 1 N 1 i l l
工程电磁场数值分析(有限元法)
使用适当的数值方法求解离散方程组，得到场函数的近似解 。
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
有限元基础-单元和插值函数的构造
2 1
0
l
如引入无量纲坐标
(3.2.5)
其中 l 表示单元长度，则 Lagrange 插值多项式可 表示为：
(3.2.6)
当 n＝2 时，1＝0，2=1，则有
2 1
0
1
当 n＝3，且 x2＝(x1+x3)/2 时， 1＝0， 2＝1/2， 3＝1，则有
如引进另一种无量纲坐标 (3.2.9)
其中 xc＝(x1+xn)/2 是单元中心坐标，则 Lagrange 插值多项式（3.2.3）同样可表示为：
二维 Lagrange 单元和 Hermite 单元均是采用 将沿两个相互正交方向的一维插值函数相乘而得 到
1. Lagrange 矩形单元 考察图示单元
(r,0)
(r,p)
( I, J )
(0,0)
(0,p)
沿 方向插值：
它在第 J 列诸结点上等于 1，而在其它列结点上等于 0。
(r,0)
(r,p)
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
角结点
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
中心结点：
1
4
9
5
10
有限元插值函数总结.
=0
ξ2
厖
2. 二维Hermite多项式
可以通过一维Hermite多项式构造二维Hermite多项式 （一个节点4个自由度）：
3 η 4
Q1 = φ1 Q5 = φ2
∂φ Q2 = ∂ξ 1 … …
∂φ Q3 = ∂η 1 … …
∂ 2φ Q4 = ∂ ∂ ξ η 1 ∂ 2φ Q8 = ∂ ∂ ξ η 2 Q16 = …
η (0,0) ξ (n,0)
几种常用的Lagrange单元：
线性
二次
三次
1
若m=n，其对应 的Pascal三角形 为菱形：
x4 x5
x x2 x3 x3y x4y x2y x2y2 x3y2 xy
y y2 xy2 xy3 xy4 y3 y4 y5
4.1 概述
• 本章主要讨论C0型单 元，不考虑C1型单元 （梁除外）； • 对等参元（等参数单 元）而言，插值函数 等同于形函数 • 完全多项式：Pascal 三角形
1 x x2 x3 x4 x3y x2y x2y2 xy xy2 xy3 y y2
完全一次 完全二次
y3 完全三次 y4
• 插值函数的一般要求（对协调元而言）
– Ni(xj,yj,zj)=δij – 保证连续性，即协调性 – 完备性，对C0单元，要求包含任意线性项 – ∑Ni=1 →保证刚体平动(但不保证能描述常应变 状态)
4.2 Hermite单元簇
（可以要求导数连续）
1. 一维Hermite单元簇
ξ
φ (ξ ) = ∑ H 场函数：
i =1
2 ξ＝1
dH i(0) (ξ ) =0 dξ ξ
j
有限元设计——单元位移模式及插值函数的构造
du ui 1 ui i dx Li E (ui 1 ui ) i E i Li EA(ui 1 ui ) N i A i Li
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一、单元类型与分析
3. 把外载荷集中到结点上
q ( Li Li 1 ) 把第i单元和第i+1单元重量的一半 ， 2 集中到第i+1结点上。
ui v i i u j j v j m u m v m
e 单元的结点位移记为
单元内的位移函数可以简写成，
f N e
把 [N] 称为插值函数矩阵或形态矩阵、形函数矩阵， Ni 称为 插值函数或形态函数、形函数。
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
二、位移模式和插值函数表示方法
将水平位移分量和结点坐标代入（1）第一式，
u i a1 a 2 xi a3 yi u j a1 a 2 x j a3 y j u m a1 a 2 xm a3 y m
写成矩阵形式，
u i 1 xi u j 1 x j u 1 x m m
四边形单元剖分比较困难（但平面问题总的来 说，剖分单元已可解决得很好）； 四节点四边形单元属于Lagrange插值。
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一、单元类型与分析
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一、单元类型与分析
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
一、单元类型与分析
2、二维单元 八节点四边形单元
第3章 单元位移模式及插值函数的构造
有限元设计 Finite Element Design
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aix xm j
yj , ym
1 bi1
yj , ym
1 ci1
xj xm
Li ai bi ci 1
LLmj 21Aaamj
bj bm
cj x cmy
1 1
x
xi
1 xj
1 xm
Li Lj
y
yi
yj
ym
Lm
xxiLi xjLj xmLm yyiLi yjLj ymLm
12
4.1 面积坐标 例：均质等厚单元的自重
Q
e iF
Q Q
e iF
e iF
x y
A
Li 0
0 Li
0
g
tdxdy
1 3
0
g
tA
16
有限元法基础
4.1 面积坐标
用面积坐标给出的单元的插值函数
以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表 示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数 是对称的。
7
有限元法基础
4.1 面积坐标
记
L i A A i P j的 m 的 高 高 ,L j A A j ,L m A A m
则三角形内的点P 表示为
PL i, Lj, Lm
Li, Lj, Lm 称为面积坐标。
8
有限元法基础
4.1 面积坐标 面积坐标的性质
1）与j-m 平行的线上具有相同的Li
2
有限元法基础
4. 单元与插值函数
关键概念
自然坐标 面积坐标 体积坐标 Lagrange单元 Serendipity单元
3
有限元法基础
4. 单元与插值函数
广义坐标有限元法的存在的问题： 1）建立单元插值函数方法繁琐 2）形成单元矩阵过于复杂
4
有限元法基础
4. 单元与插值函数
单元插值函数的构造
与求解问题的微分方程无关
对于n个节点的一维单元，节点坐标为 xi (i1,2,L,n) 多 项式插值可达n-1阶，即
l i ( n 1 ) ( x ) j 1 n ,j ix x i x x j j ( x ( i x x x 1 ) 1 ( ) ( x x i x x 2 2 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 ) 1 ) L L ( ( x x i x n x ) n )
第四章 单元与插值函数
4.1 面积坐标 4.2 Lagrange 单元 4.3 Serendipity单元 4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值
1
有限元法基础
4. 单元与插值函数
通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是 在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。 本章重点介绍 构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方 法和特点 构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点
插值函数的构造方法
与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关 与单元节点DOF的类型和数量有关
5
有限元法基础
4. 单元与插值函数
6
有限元法基础
4.1 面积坐标
定义 在三角形内任意一点P的位置
由其三角形子域的面积与三角形 面积的比值确定，即
PAAi ,
Aj , A
AAm
其中A为三角形面积，A i 为 Pjm 的面积，A j 为Pmi 的 面积，A m 为 P i j 的面积。
9
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1)
3）形心坐标为
1， 3
1， 3
1 3
4）三角形三条边的坐标为
j-m边: Li = 0, m-i边:Lj = 0, i-j边: Lm = 0
5）三个坐标只有2个是独立的
Li Lj Lm1
10
有限元法基础
节点1：
N1
2L1(L1
) 2
节点4： N4 4L1L2
通用表达式：
角节点 N i L i(2 L i 1 ) (i i,j,m )
中节点 N i 34 L iL j (i,ji,j,m )
6
注： N i 1
i1
19
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）三次单元－－10节点三角形单元
节点1
9
12
N12L1(L13)(L13)
4.1 面积坐标
面积坐标与直角坐标的关系
三角形单元 ijm 的面积
1 xi yi
A11 2
xj
yj
1 xm ym
三角形内任意点 P(x,y), Pjm
1x Ai 121 xj
1 xm
y yj 12(ai bixciy) ym
11
有限元法基础
4.1 面积坐标
L iA A i 2 1 A (a ib ixciy)N i
l
Lai Lbjds
a!b! l (ab1)!
14
有限元法基础
4.1 面积坐标
例：
A Lm
dxdy
0!0!1! (0 01 2)!
2A
A 3
A L2i
dxdy
2!0!0! (2 0 0 2)!
2A
A 6
A Li Lj
dxdy
1!1!0! 2A A (11 0 2)! 12
(i j)
15
有限元法基础
有限元法基础
4.1 面积坐标
面积坐标的微积分运算 1）导数
Li x Li x Lj
Lxj L mLxm21Abi Li bj Lj bmL m
y21Aci Li cj
Lj cmLm
13
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）面积分
AL iL jL mdxdy( ! ! !2)!2A
3) i-j 边长为 l 的线积分
17
有限元法基础
4.1 面积坐标
Hale Waihona Puke 1）线性单元－－3节点三角形单元
根据形函数的特点
1 ij Ni(L1j,L2j,L3j)0 ij
这样可用过其他两节点的直线方程
来构成。例如节点1，可用2－3边
的直线方程来构成插值函数，即
N1 L1
18
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）二次单元－－6节点三角形单元
1
22
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
当＝2时
l1 (1)(x)x x1 x x2 2
令 x1 0, x2 l ，则
l (1)
1
(x)
1
x l
l2 (1)(x)xx2 x x1 1
l (1)
2
(
x)
x l
引进无量纲坐标
xx1 xx1 (01)
xnx1 l
l1(1)(x) 1
l (1)
2
(
x)
节点4
N4
227L1L2(L1
1) 3
节点10
N1027L1L2L3
10
Ni1
i1
20
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
单元场函数的插值表示为
n
N i i i1
插值函数满足下列性质
1 i j Ni (xj ) 0 i j
n
Ni1
i1
21
有限元法基础
4.2 Lagrange单元 一维Lagrange插值 1）总体坐标下的位移插值函数