有限元法基础4单元和插值函数的构造

aix xm j
yj , ym
1 bi1
yj , ym
1 ci1
xj xm
Li ai bi ci 1
LLmj 21Aaamj
bj bm
cj x cmy
1 1
x
xi
1 xj
1 xm
Li Lj
y
yi
yj
ym
Lm
xxiLi xjLj xmLm yyiLi yjLj ymLm
12
7
有限元法基础
4.1 面积坐标
记
L i A A i P j的 m 的 高 高 ,L j A A j ,L m A A m
则三角形内的点P 表示为
PL i, Lj, Lm
Li, Lj, Lm 称为面积坐标。
8
有限元法基础
4.1 面积坐标 面积坐标的性质
1）与j-m 平行的线上具有相同的Li
有限元法基础
4.1 面积坐标
面积坐标的微积分运算 1）导数
Li x Li x Lj
Lxj L mLxm21Abi Li bj Lj bmL m
y21Aci Li cj
Lj cmLm
13
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）面积分
AL iL jL mdxdy( ! ! !2)!2A
3) i-j 边长为 l 的线积分
9
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1)
3）形心坐标为
1， 3
1， 3
1 3
4）三角形三条边的坐标为
j-m边: Li = 0, m-i边:Lj = 0, i-j边: Lm = 0
5）三个坐标只有2个是独立的
Li Lj Lm1
10
有限元法基础
l
Lai Lbjds
a!b! l (ab1)!
14
有限元法基础
4.1 面积坐标
例：
A Lm
dxdy
0!0!1! (0 01 2)!
2A
A 3
A L2i
dxdy
2!0!0! (2 0 0 2)!
2A
A 6
A Li Lj
dxdy
1!1!0! 2A A (11 0 2)! 12
(i j)
15
有限元法基础
节点1：
N1
2L1(L1
) 2
节点4： N4 4L1L2
通用表达式：
角节点 N i L i(2 L i 1 ) (i i,j,m )
中节点 N i 34 L iL j (i,ji,j,m )
6
注： N i 1
i1
19
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）三次单元－－10节点三角形单元
节点1
9
12
N12L1(L13)(L13)
节点4
N4
227L1L2(L1
1) 3
节点10
N1027L1L2L3
10
Ni1
i1
20
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
单元场函数的插值表示为
n
N i i i1
插值函数满足下列性质
1 i j Ni (xj ) 0 i j
n
Ni1
i1
21
有限元法基础
4.2 Lagrange单元 一维Lagrange插值 1）总体坐标下的位移插值函数
22
有限元法基础
4.2 Lagrange单元
当＝2时
l1 (1)(x)x x1 x x2 2
令 x1 0, x2 l ，则
l (1)
1
(x)
1
x l
l2 (1)(x)xx2 x x1 1
l (1)
2
(
x)
x l
引进无量纲坐标
xx1 xx1 (01)
xnx1 l
l1(1)(x) 1
l (1)
2
(
x)
17
有限元法基础
4.1 面积坐标
1）线性单元－－3节点三角形单元
根据形函数的特点
1 ij Ni(L1j,L2j,L3j)0 ij
这样可用过其他两节点的直线方程
来构成。例如节点1，可用2－3边
的直线方程来构成插值函数，即
N1 L1
18
有限元法基础
4.1 面积坐标
2）二次单元－－6节点三角形单元
1
第四章 单元与插值函数
4.1 面积坐标 4.2 Lagrange 单元 4.3 Serendipity单元 4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值
1
有限元法基础
4. 单元与插值函数
通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是 在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。 本章重点介绍 构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方 法和特点 构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点
插值函数的构造方法
与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关 与单元节点DOF的类型和数量有关
5
有限元法基础
4. 单元与插值函数
6
有限元法基础
4.1 面积坐标
定义 在三角形内任意一点P的位置
由其三角形子域的面积与三角形 面积的比值确定，即
PAAi ,
Aj , A
AAm
其中A为三角形面积，A i 为 Pjm 的面积，A j 为Pmi 的 面积，A m 为 P i j 的面积。
4.1 面积坐标
面积坐标与直角坐标的关系
三角形单元 ijm 的面积
1 xi yi
A11 2
xj
yj
1 xm ym
三角形内任意点 P(x,y), Pjm
1x Ai 121 xj
1 xm
y yj 12(ai bixciy) ym
11
有限元法基础
4.1 面积坐标
L iA A i 2 1 A (a ib ixciy)N i
对于n个节点的一维单元，节点坐标为 xi (i1,2,L,n) 多 项式插值可达n-1阶，即
l i ( n 1 ) ( x ) j 1 n ,j ix x i x x j j ( x ( i x x x 1 ) 1 ( ) ( x x i x x 2 2 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 ) 1 ) L L ( ( x x i x n x ) n )
4.1 面积坐标 例：均质等厚单元的自重
Q
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e iF
Q Q
e iF
e iF
x y
A
Li 0
0 Li
0
g
tdxdy
1 3
0
g
tA
16
有限元法基础
4.1 面积坐标
用面积坐标给出的单元的插值函数
以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表 示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数 是对称的。
2
有限元法基础
4. 单元与插值函数
关键概念
自然坐标 面积坐标 体积坐标 Lagrange单元 Serendipity单元
3
有限元法基础
4. 单元与插值函数
广义坐标有限元法的存在的问题： 1）建立单元插值函数方法繁琐 2）形成单元矩阵过于复杂
4
有限元法基础
4. 单元与插值函数
单元插值函数的构造
与求解问题的微分方程无关