一元二次方程根与系数的关系培优练习
一元二次方程根与系数的关系同步培优题典(解析版)
专题1.6一元二次方程根与系数的关系姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•遵化市模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x1x2＝2C．x1+x2＝2D．x12﹣2x1＝0【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝4＞0，进而可得出x1≠x2，结论A正确；利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣2x1＝0，x1•x2＝0，x1+x2＝2，即结论C，D正确，结论B 错误，此题得解．【解析】∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，∴x1≠x2，结论A正确；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x12﹣2x1＝0，x1•x2＝0，x1+x2＝2，∴结论C，D正确，结论B错误．故选：B．2．（2020•天心区校级模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（）A．2021B．2020C．2019D．2018【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2+2m＝1，m+n＝﹣2，将其代入m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015中即可求出结论．【解析】∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+2m＝1，m+n＝﹣2，∴m2﹣2n+2015＝（m2+2m）﹣2（m+n）+2015＝1+4+2015＝2020．故选：B．3．（2019秋•中山市校级期末）关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．﹣1D．2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解析】由根与系数的关系可知：3x2＝﹣3，解得x2＝﹣1．故选：C．4．（2019秋•新会区期末）关于x的方程x2﹣mx+6＝0有一根是﹣3，那么这个方程的另一个根是（）A．﹣5B．5C．﹣2D．2【分析】根据两根之积可得答案．【解析】设方程的另一个根为a，∵关于x的方程x2﹣mx+6＝0有一根是﹣3，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，故选：C．5．（2020春•西湖区期末）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（）A．当k=12时，方程的两根互为相反数B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根，则k≠0且k≤1 4D．若方程有实数根，则k≤1 4【分析】因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求k的取值范围，然后结合选项判断选择什么．【解析】若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，∴k≤14且k≠0；综上所述k的取值范围是k≤1 4．故A错误，C错误，D正确．故选：D．6．（2020•红桥区模拟）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号、以及两根的和，两根的积就可以了．【解析】∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵两根的和为4，两根的积为2，∴有两个正根，且有一根大于3．故选：D．7．（2020•湖北）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．故选：A．8．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2+x﹣2﹣p2＝0，∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，∴一个正根，一个负根，故选：C．9．（2020•日照一模）已知m，n（m≠n）满足方程x2﹣5x﹣1＝0，则m2﹣mn+5n＝（）A．﹣23B．27C．﹣25D．25【分析】由根与系数的关系可得出m+n＝5、mn＝﹣1，m2﹣5m＝1，将m2﹣mn+5n变形为m2﹣5m﹣mn+5（m+n），代入数据即可得出结论．【解析】∵m，n（m≠n）满足方程x2﹣5x﹣1＝0，∴m+n＝5，mn＝﹣1，m2﹣5m＝1，∴m2﹣mn+5n＝m2﹣5m﹣mn+5（m+n）＝1+1+25＝27．故选：B．10．（2020•文登区模拟）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2020的值是（）A．2016B．2020C．2025D．2034【分析】利用根与系数的关系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入计算即可求解．【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，则a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•泰州）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为﹣3．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1•x2的值．【解析】∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，∴x1•x2=ca=−3．故答案为：﹣3．12．（2020•南昌一模）已知α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为3或7．【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，将其代入α2﹣3α﹣αβ中可得出α2﹣3α﹣αβ＝6﹣α，利用因式分解法解一元二次方程可求出α的值，再将其代入6﹣α中即可求出结论．【解析】∵α、β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，∴α2﹣2α＝3，αβ＝﹣3，∴α2﹣3α﹣αβ＝α2﹣2α﹣α﹣αβ＝3﹣α﹣（﹣3）＝6﹣α．∵x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴α＝3或﹣1，∴6﹣α＝3或7．故答案为：3或7．13．（2020•泉州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2＝2．【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣1，再利用因式分解法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算．【解析】根据题意得m+n＝﹣2，mn＝﹣1，所以m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×（﹣2）＝2．故答案为2．14．（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6＝0．【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+5＝﹣b，然后求出b、c即可．【解析】根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．故答案为x2﹣6x+6＝0．15．（2020•太仓市模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于2021．【分析】根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．【解析】由题意可知：a2﹣2a＝2020，由根与系数的关系可知：a+b＝2，∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3，＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021，故答案为：2021．16．（2020•南昌县模拟）若方程x2﹣4x+2＝0的两个根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为6．【分析】欲求x1（1+x2）+x2＝x1+x2+x1•x2的值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．【解析】根据题意x1+x2＝4，x1•x2＝2，∴x1（1+x2）+x2＝x1+x2+x1•x2＝4+2＝6．故答案为：6．17．（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为1．【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．【解析】设方程的两根分别为t，t+2，根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），所以m的值为1．故答案为1．18．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为−13．【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．【解析】把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，∴x2=−1 3故答案为：−1 3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•孝南区期末）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1，x2且x1﹣x2＝﹣2，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，然后就解关于m的不等式；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，而x1﹣x2＝﹣2，则可先求出x1、x2的值，然后计算m的值．【解析】（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤1；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝2m﹣1，∵x1﹣x2＝﹣2，∴x1＝0，x2＝2，∴2m﹣1＝0，解得m=1 2．20．（2019秋•鞍山期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．（1）求k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．【分析】（1）由△≥0，求出k的范围；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，代入等式求解即可．【解析】（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，∴k≥−1 4；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，∴2x1x2﹣x1﹣x2＝2k2+2k+1＝1，∴k＝0或k＝﹣1，∵k≥−1 4；∴k＝0．21．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求aa+1−1b+1的值．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4+4k＞0，解不等式求出k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，代入整理后的代数式，计算即可．【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，解得k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1；（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，a a+1−1b+1=ab−1ab+a+b+1=−k−1−k−2+1=1．22．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m ≥0，从而得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=−√m，x1•x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[√m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+√m x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=−√m，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．23．（2019秋•南充期末）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|=32时，求出a的值．【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=2a−3a，以及x1•x2=a−3a，由|x1﹣x2|=32即可求得a的值．【解答】（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；②当a≠0时，方程是一元二次方程，∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，∴无论a为何实数，方程总有实数根．（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2=2a−3a，x1•x2=a−3a，∵|x1﹣x2|=3 2，∴√(2a−3a)2−4×a−3a=32，解得a＝±2．故a的值是﹣2或2．24．（2020•广东）已知关于x，y的方程组{ax+2√3y=−10√3，x+y=4与{x−y=2，x+by=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【分析】（1）关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3，x +y =4与{x −y =2，x +by =15的解相同．实际就是方程组{x +y =4x −y =2的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2+ax +b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，判断三角形的形状．【解析】（1）由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2的解， 解得，{x =3y =1，代入原方程组得，a ＝﹣4√3，b ＝12； （2）当a ＝﹣4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2﹣4√3x +12＝0， 解得，x 1＝x 2＝2√3，又∵（2√3）2+（2√3）2＝（2√6）2，∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。
根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 浙教版八年级下册培优讲义(含解析)
第2讲 韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14， 即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（ C . - 2D . - 3 或 22元二次方程 x + （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（ C . - 1 D .2 2（2014?黄冈样卷）设 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ 2012B . 2013C . 2014D .11. （2014?江西模拟）一元二次方程 x 2- 2x - 3=0与3x 2- 11x+6=0的所有根的乘积等于（）A . -6B . 6C . 3D .-3 12 . （2014?峨眉山市二模） 已知X 1、X 2是方程X 2 - (k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的取大值疋( )A .19 B . 18 C . 15 D . 1313 . （2014?陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3, x 1x 2=1，贝U a 、b 的值分别 是（ ）参考学习（2014?威海）方程X 2- (m +6) -2或3B .3 （2014?长沙模拟）若关于 X的 2 B .1 1. A .选择题(共(2014?宜宾) 2 .x +3x - 2=022小题）若关于x 的一元二次方程的两个根为 B . x 2- 3x+2=0 X 1=1, X 2=2，则这个方程是( )C . x 2- 2x+3=0D . X 2+3X +2=02. A (2014?昆明) -4已知 X 1,X 2是一元二次方程 x 2- 4X+仁0的两个实数根，则 X 1?x 2等于（ B . - 1 C . 1 3. (2014 ?玉林) X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x 2- mx+m - 2=0的两个实数根,是否存在实数m 使・X 1=0成立？则正确的结论是（ A . m=0时成立 m=2时成立C . m=0或2时成立D .不存在4. A (2014?南昌) 10a,x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 a 2+ 3的值为（ 9C . 75. A .(2014 ?贵港) -10 若关于x 的一元二次方程 x 2+bx+c=0的两个实数根分别为 x 仁-2, B . 10 C . -6 x 2=4，则b+c 的值是（D . - 16. A(2014?烟台)-1或5关于 x 的方程x 2- ax+2a=0的两根的平方和是 5，贝V a 的值是（B . 1C . 57. A .2（2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a + 3 - 1 3,那么下列说法不正确的是（C . a 2+ 3=3) D .二 "a=-110. A . )20158.A .9. A .15.（2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x 2+2x+a -仁0有两根为x 1和x 2,且x 12 -X 1x 2=0,则a 的值是（ ） A . a=1 B . a=1 或 a= - 2C . a=2D . a=1 或 a=216.（2013?天河区二模）已知一元二次方程 x 2- 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=（ ）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神县一模）已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则一 一一的值等于（） m n A .空B . 5C . _3D . _主53318 . （2012?莱芜）已知 m 、n 是方程x 2+2 . ：x+仁0的两根，则代数式 JnA 口％nn 的值为（ ）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 x 2+4x+a=0的两个不相等实数根 X 1, X 2满足X 1X 2 -2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为（ ）A . 3B .-3C .13 D . -1320. （2011?锦江区模拟）若方程 x 2- 3x - 2=0的两实根为X 1、 X 2，则(X 1+2) (X 2+2) 的值为（)A . -4B . 6C . 8D . 1221. （2011?鄂州模拟）已知 2 P - p - 1=0， 1 -q -q 2=0，且pq 为，则竺乜的值为（ Q )A . 1B.2 C . 1D .Vs ■ 12222. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为4，另两边b 、 c 分别满足b 2- 5b+6=0， c 2 -5c+6=0， 则厶ABC 的周 长为（ ）A . 9B .10C . 9或10D . 8或9或10二.填空题（共4小题）23 . （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k - 2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= ______________ .2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x +2x - 5=0的两个实数根，则 m - mn+3m+n= _______________ 25 . （2014?广州）若关于 x 的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 x 1、x 2，则x 1 （x 2+x 1） +x 2的最小值为 —26 . （2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x + （2k+1 ） x+k - 2=0的两根为X 1和乂2，且（X 1 - 2） （X 1 - X 2）=0， 则k 的值是 _________ .A . a= — 3, b=1B . a=3, b=1C - a 」，b=- 16D ，p, b =114. (2013?湖北)已知 A . - 1a, B 是一兀二次方程B . 9x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则C . 23a 2+ a + B 的值为(D . 27三.解答题（共4小题）2 227. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x - 2 (m+1) x+m +5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (X2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, x2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.3x1 28. (2014?日照二模)已知X1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足( -X2) (x1 -3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知关于x的一元二次方程x -( 2k+1) x+k +2k=0有两个实数根x1, x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得X1?x2- X12-X22茅成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.30. (2001 ?苏州)已知关于x的一元二次方程/ - 2kx+-k2 - 2=02(1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一 •选择题（共22小题） 1.（2014?宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为 x l =1, x 2=2，则这个方程是（）2229A . X 2+3X - 2=0B . x 2 - 3x+2=0C . x 2- 2x+3=0D . x 2+3x+2=0考点： 根与系数的关系.分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3 ,两实数根的积是1 ><2=2 .解题时检验两根之和 —是否a 为3及两根之积一是否为2即可.a解答：解：两个根为 X 1=1 , X 2=2则两根的和是 3,积是2 . A 、 两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确； B 、 两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C 、 两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确；D 、 两根之和等于-3,两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选：B .点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负.2. （2014?昆明）已知x i , X2是一元二次方程 X 2- 4X +仁0的两个实数根，则 X I ?X2等于（ ）A . - 4B . - 1C . 1D . 4考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 直接根据根与系数的关系求解.解答： 解：根据韦达定理得 X 1?x 2=1 . 故选：C . 点评：本题考查了 兀二次方程 a^+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：右方程两个为X 1 ,X 2,则X1+X2=,X 1?X 2- .a 33. （2014?玉林）x 1, X2是关于X 的一元二次方程 立？则正确的结论是（ ）A . m=0时成立B . m=2时成立根与系数的关系.先由一兀二次方程根与系数的关系得出， X 1+x 2=m , X 1x 2=m - 2 .假设存在实数 m 使.+ ~ =0成立，则巧七X 2- mx+m - 2=0的两个实数根，是否存在实数m —丄 =0成 X1巾C . m=0或2时成立D .不存在考点：m=0,再用判别式进行检验即可.解：T X1, X2是关于X的一元二次方程x2- mx+m - 2=0的两个实数根, 解答:/• x1+x2=m , x1x2=m - 2 .2假设存在实数m使亠+亠=0成立，则_2=0,/• =0,D_ 2••• m=0.当m=0 时，方程x2- mx+m - 2=0 即为x2- 2=0,此时△ =8 > 0,•m=0符合题意.故选：A.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x i, x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x i+x2=- p, x i x2=q .4. （2014?南昌）若a, B是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，则a2+『的值为（）A . 10B . 9 C. 7 D . 5考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系求得a+3=2 , a =- 3,则将所求的代数式变形为（a+ 3）2-2 a 3将其整体代入即可求值.解答：解：•/ a, 3是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，•a+ 3=2 , a = - 3,•a2+ 32= （ a+ 3）2- 2 a =22- 2X（—3）=10.故选：A.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x +bx+c=0的两个实数根分别为x仁-2, x2=4，则b+c的值是（）A . - 10 B . 10 C. - 6 D . - 1考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到- 2+4= - b,- 2“=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可.解答：解：•关于x的兀二次方程x +bx+c=0的两个头数根分别为x仁-2, x2=4, •根据根与系数的关系，可得- 2+4= - b, - 2 >4=c,解得b= - 2, c= - 8• b+c= - 10.故选：A.点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：X1+X2= '■, X1X2「.3 326. （2014?烟台）关于x的方程x2- ax+2a=0的两根的平方和是5，贝V a的值是（）A .- 1 或5B . 1C . 5D . - 1考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：设方程的两根为X1 , x2，根据根与系数的关系得到X1+X2=a, X1?X2=2a，由于X12+X22=5，变形得到（X1+X2）2- 2x1?x2=5，则a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，满足△为的a的值为所求.解答：解：设方程的两根为X1, x2,则x1+x2=a, x1?x2=2a, 2 2「•X1 +X2 =5 ,2•(X1+X2) - 2X1?x2=5,•a2- 4a- 5=0,•a1=5 , a2= - 1,2■/ △ =a — 8a^0, --a= — 1. 故选：D .点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a 旳）的根与系数的关系：若方程的两根为x i , x 2,则x i +x 2=,aX 1?X 2==也考查了一元二次方程的根的判别式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a 3,那么下列说法不正确的是（ ）A . a + 3= - 1B . a3= - 1C . a + 3=3D . 1 1 =莎丁- 1计算题.先根据根与系数的关系得到 a + 3= - 1, a = - 1 ,再利用完全平方公式变形 a 2+ 3?得到（a + 3） 2 - 2 a 3禾U 用通分变形_+_得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判ap] | CL p断.故选：D .本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-- ,x 1?x 2左.& （2014?威海）方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：判别式法.分析： 根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6, x 1x 2=m 2,再根据X 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2-（ m+6） +m 2=0有两个相等的实数根得出 b 2- 4ac=0,求得m 的值，由相同的解解决问题.2解答： 解： T X 1+x 2=m+6 , X 1x 2=m , X 1+x 2=x 1x 2,2/• m+6=m ,解得m=3或m= - 2,•••方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，2 2 2 2△ =b - 4ac= （ m+6） - 4m =- 3m +12m+36=0 解得m=6或m= - 2 /• m= - 2. 故选：C .点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a M 0, a , b , c 为常数）根的判别式 △ =b 2- 4ac .当厶> 0,方程有两个不相等的实数根；当 △ =0，方程有两个相等的实数根；当△< 0，方程没有实数根.同时考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （aM ））的根与系数的关系：若方程的两根为x 1, x 2,则x 1+x 2=-—, x 1?x2—.a a 99 （2014?长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程x 2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）考点： 专根与系数的关系.解答: 解：根据题意得 a + 3= - 1, 所以a 2+ + a ^= ( a + 3) 2- 2aa = - 1 .=(-1) 2-2X(- 1) =3 ;11 ■-— 1 -1= 31 1 d & -1点评:考点： 根与系数的关系.分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?X 2*来求方程的另一个根.a解答：解：设X 1、x 2是关于x 的一兀二次方程 x + ( k+3) x+2=0的两个根， 由韦达疋理，得 X 1?X2=2，即-2x 2=2, 解得，X 2=- 1 . 即方程的另一个根是-1 . 故选C .点评： 此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X 1+X 2=-上、X1?X 2*时，要注意等式中的a 、b 、a |ac 所表示的含义.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：计算题.2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a - 2015=0 ,即a +a=2015，则a +2a+b 变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b= - 1,然后利用整体代入的方法计算.解答： 解：T a 是方程x 2+x - 2015=0的根，2 2••• a +a - 2015=0，即 a +a=2015,2• a +2a+b=a+b+2015 ,••• a , b 是方程x 2+x - 2015=0的两个实数根 • a+b= - 1,•- a 2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014 . 故选C .评：2小、' 本题考查了根与系数的关系：若X 1, x 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a M D )的两根时，x 1+x 2= -一 , x 1x 2^ .也a a 考查了一元二次方程的解.x 2- 2x - 3=0与3x 2 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）C . 3D . - 3考点： 根与系数的关系. 分析：由一兀二次方程 X 2- 2x - 3=0和3x 2- 11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系 仃二二，即可直接得出答案.解答：解：由一元二次方程 X 2- 2x - 3=0 , •/ △ =4+16=20 > 0, • X 1X 2= - 3 ,由一元二次方程 3x 2- 11x+6=0 , •/△ =121 - 4X 30-49>0, • X 1x 2=2 • — 3 疋——6 故选A .点评： 本题考查了一兀二次方程根与系数的关系.解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x 1、x 2是方程x 2-( k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则 衍‘ +七？的最大值是 ( )A . 2B . 1C . - 1D . 010. (2014?黄冈样卷)设 2 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则A . 2012B . 2013C . 2014 2a +2a+b 的值为（11. (2014 ?江西模拟)一元二次方程 A . - 6B . 62A . 19B . 18C . 15D . 13考点：根与系数的关系；二次函数的最值.分析： 根据X I 、x 2是方程x 2-( k - 2) x+ (k 2+3k+5) =0的两个实根，由△为即可求出k 的取值范围，然后根据 根与系数的关系求解即可.解答：解：由方程有实根，得 △为，即(k - 2) 2- 4 ( k 2+3k+5 )为2所以 3k +I6k+16 切， 所以(3k+4) ( k+4)切 解得-4NW-3又由 x i +x 2=k - 2, x i ?x 2=k 2+3k+5，得2 2 2 2 2 2 2x i +x 2 = (x i +x 2) - 2x i x 2= (k - 2) - 2 ( k +3k+5) = - k - 10k - 6=19 -( k+5),当k= - 4时，x i 2+x 22取最大值i8.故选：B .点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△为先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解.i3. (20i4?陵县模拟)已知：x i 、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x i +x 2=3, x i x 2=i ，贝U a 、b 的值分别 是( ) A . a= — 3, b=iB . a=3, b=iC .]D3(a=-±, b=- i• a=-上，b=i6 2考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 根据根与系数的关系得到得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ，即-2a=3, b=i ，然后解一次方程即可. 解答： 解：根据题意得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ,所以-2a=3, b=i , 解得a=-三b=i . 故选D .点评： 本题考查了根与系数的关系： 右x i , x 2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a 老)的两根时，x i +x 2= — , x i x 2—.a aa, B 是一元二次方程 x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则B . 9C . 23根与系数的关系.根据根与系数的关系 a +B =-上，a =二，求出a +B 和a 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.a a 解：•/ a, B 是方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根， 二 a + B =5 , a = - 2, 又 T /+ a + B = ( a + B) 2 - Ba2 2 2二 a + a + B =5 +2=27 ; 故选D .此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若 、 K c 方程两个为 X i , X 2,则 X i +X 2= , X i x 2—a a2 2i5. （20i3?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x +2x+a - i=0有两根为x i 和x 2,且x i -x i x 2=0,则a 的值是（） A . a=i B . a=i 或 a= - 2 C . a=2 D . a=i 或 a=2i4. （20i3?湖北）已知 A . - i a 2+ a + B 的值为（D . 27考点： 分析： 解答:考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：压轴题.分析： 根据X 12- X 1x 2=0可以求得X 仁0或者X 1=X 2,所以① 把x 1=0代入原方程可以求得 a=1 ；② 利用根的判别式 等于0来求a 的值.解答：解：解X 12 - X 1x 2=0 ,得X 仁0 ,或 X 1=X 2,① 把X1=0代入已知方程，得 a - 1=0, 解得：a=1;② 当 X1=X2 时，△ =4 — 4 (a - 1) =0, 即卩 8 - 4a=0, 解得：a=2.综上所述，a=1或a=2. 故选：D .点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义•解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式 等于0来求a 的另一值.216. (2013?天河区二模)已知一元二次方程 x - 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=() A . 4B . 3C . - 4D . - 3考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程 X 2- 4x+3=0两根为X 1、X 2，直接利用X 1+X 2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X 2 - 4x+3=0两根为X 1、X 2,/• X 1+X 2= - —=4 .a故选A .点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.17 . (2013?青神县一模)已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则二—二的值等于()m na”+bx+c=0( a MD)的根与系数的关系：若方程两个为x 1 ,x 2,则x 1+x 2=, x 1?x2^ . a aA . JB . 5 3 考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题. 分析: 根据根与系数的关系得到 m+n= 解答: 解：根据题意得 m+n= 一, mn=-5 一,mn=- 2 37，再变形IT得到 nr+n mn ，然后利用整体思想计算.1丄血n _ 52 n| n ran■g所以故选D .本题考查了一元二次方程+4 .18. (2012?莱芜)已知 m 、n 是方程X 2+2X ： ；.x+1=0的两根，则代数式| ' | ' |的值为()考点： 专题： 分析： 根与系数的关系；二次根式的化简求值. 整体思想._2根据一兀二次方程 ax +bx+c=0 ( a 和)的根与系数的关系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再变形'ri '得，然后把m+n= - 2 ■:, mn=1整体代入计算即可.解答: 解：•/ m 、n 是方程x 2+2€b +1=0的两根, /• m+n= — 2 J :, mn=1 ,''.I ： ' ■ : I.1.= .「・, 上「 - '=3 .点评:故选C .本题考查了一兀二次方程 ax 2+bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系: 若方程两根分别为 X 1 , X 2,则X 1+X 2=—,a X 1?X 2==.也考查了二次根式的化简求值. 2 19. (2012?天门)如果关于 x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根 x 1, x 2满足x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为( ) A . 3 C . 13 D . - 13 考点：分析： 解答:点评:根与系数的关系；根的判别式. 利用根与系数的关系求得 X 1x 2=a , x 1+x 2= - 4，然后将其代入 x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (x 1+x 2)- 5=0列 出关于a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值. 2 解：■/ X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根， /• x 1X 2=a , X 1 +x 2= - 4,X 1X 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (X 1+X 2)- 5=a - 2 X (- 4)- 5=0 ,即卩 a+3=0 , 解得，a=- 3;故选B . 本题考查了根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 20 . (2011?锦江区模拟)若方程 A . x - 3x - 2=0的两实根为X 1、乂2,则(x 1+2) (x 2+2)的值为( 6 C . 8D . 12 考点： 分析： 解答:根与系数的关系. 根据(X 1+2) ( X 2+2 ) =X 1 X 2+2X 1+2X2+4=X 1X 2+2 ( X 1+X 2) 和与积，代入数值计算即可. 解：••• X 1、X 2是方程x 2- 3X - 2=0的两个实数根. 二 X 1+x 2=3 , X 1?x 2= - 2.又 T (X 1+2) (X 2+2) =x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) 将 X 1+x 2=3、X 1?X 2= - 2 代入，得(X 1+2) ( X 2+2) =X 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) +4= 故选C+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的 (-2) +2 X 3+4=8 .点评: 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.2 221. （2011?鄂州模拟）已知 p - p - 1=0 , 1 - q - q =0,且 pq 为，则A . 1B . 2C.D. .■:-22（丄）-1=0是解题的关键，然后利用 q根与系数的关系就可以求出所求代数式的值.22. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边a 为4,另两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2 - 5c+6=0，则△ ABC 的周 长为（ ）A . 9B . 10C . 9 或 10D . 8 或 9 或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系. 专题：压轴题.分析： 由于两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2- 5c+6=0 ,那么b 、c 可以看作方程 x 2- 5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC 的一边a 为4,由此即可求出 △ ABC 的一边a 为4周长.解答： 解：•.•两边 b 、c 分别满足 b 2- 5b+6=0 , c 2- 5c+6=0,• b 、c 可以看作方程x 2- 5x+6=0的两根， • b+c=5, bc=6, 而厶ABC 的一边a 为4,① 若b=c ,则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3 .• △ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+22i 2 首先把1 - q -q 2=0变形为i考点： 专题： 分析： 根与系数的关系. 计算题.首先把1 - q -q 2=0变形为 「q-1-0，然后结合p 2- p - 1=0,根据一元二次方程根与系数解答: 的关系可以得到 p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根,Q那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值.2 2解：由p - p -仁0和1 - q - q =0，可知p^0, q 旳, 又T pq 为，•••由方程1 - q - q 2=0的两边都除以q 2得：q• p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根, q 则由韦达定理，得 11 p+_=1,□1 “= P+ —= 1 .q • 口：1+丄Q故选A .E +1 Q的值为（）点评: 本题考查了根与系数的关系.②若b丸，•△ ABC的周长为4+5=9 . 故选C.点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来,题要注意分类讨论.二•填空题（共4小题）23. （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k -2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= — 1 考点： 根与系数的关系. 专题： 判别式法. 分析：根据已知和根与系数的关系 X 1x 2*得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的3 k 的值.解答： 解：T X 1x 2=k 2，两根互为倒数，••• k 2=1, 解得k=1或-1;•••方程有两个实数根， △> 0, •当k=1时,△< 0,舍去, 故k 的值为-1. 故答案为：-1.点评： 本题考查了根与系数的关系，根据X 1, X 2是关于x 的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a 老,a , b , c 为常数）的两个实数根，则 X 1+x 2= — —, X 1X 2=±进行求解.a a2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x 2+2x - 5=0的两个实数根，则 m 2 - mn+3m+n= 8 考点： 根与系数的关系；一兀二 一次方程的解.专题： 常规题型.分析： 根据m+n=- —-2, am?n= - 5，直接求出 m 、n 即可解题.解答： 解: T m 、n 是方程x 2 +2x — 5=0的两个实数根，/• mn= — 5, m+n= — 2,■/ m 2+2m — 5=0• 2 ,…m =5 — 2m2m — mn+3m+n= (5 — 2m ) — (— 5) +3m+n=10+m+n =10 — 2 =8故答案为：8.点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键.25. （2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根考点： 根与系数的关系；二次函数的最值. 专题： 判别式法.分析： 由题意可得△ =b 2— 4ac%，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论. 解答： 解：由题意知，方程 x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根， 贝廿△=b 2— 4ac=4m 2 — 4 ( m 2+3m — 2) =8 — 12m 为， …m利用根与系数的关系来三角形的周长. 此X 1、x 2,贝U x 1 ( x 2+x 1)+x 22 的最小值为/ 、 2■/ X i (X 2+X 1) +X 22=(X 2+X 1) — X 1X 22 2=(-2m ) -( m +3m - 2)=3m - 3m+2=3 (mV 2•••当m==时，有最小值故答案为：上.4点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：(1) △>0?方程有两个不相等的实数根； (2) △ =0?方程有两个相等的实数根； 3) △ < 0?方程没有实数根.26. (2014?桂林)已知关于 X 的一元二次方程 X + (2k+1 ) X+k - 2=0的两根为X i 和乂2,且(X i - 2) (X i - X 2) =0, 则k 的值是 -2或-二.--------------- 4-考点： 根与系数的关系；根的判别式.分析： 先由(X 1 - 2) (X 1 - X 2) =0,得出X i - 2=0或X 1 - X 2=0，再分两种情况进行讨论： ①如果X 1 - 2=0 ,将X =2 代入X 2+( 2k+1 ) x+k2- 2=0,得 4+2 (2k+1) +k 2- 2=0 ,解方程求出 k= - 2;② 如果 x i - X2=0 ,那么将 X1+X2= -(2k+1 ),x i x 2=k 2- 2代入可求出k 的值，再根据判别式进行检验.解答：解：T ( X 1 - 2) ( X i - X 2) =0, • X i - 2=0 或 X i - X 2=0 . ① 如果X 1 - 2=0,那么x 仁2, 将 X =2 代入 X 2+ (2k+1) x+k 2 - 2=0, 得 4+2 (2k+1) +k 2-2=0 , 整理，得 k 2+4k+4=0 , 解得k= - 2; ② 如果x i - X 2=0 ,2222那么(X 1 - X 2) = (X 1+X 2) - 4X I X2=[ -( 2k+1 ) ] - 4 (k - 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4 又•/ △ = (2k+1) 2 -4 ( k 2- 2)为. 解得：kA 上.4 所以k 的值为-2或-=.42=3 (m 2- m+ )+24'故答案为：-2或-_!.4点评：本题考查了一兀二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验.三•解答题(共4小题)27. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (x2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, X2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质.专题：代数几何综合题.分析：2(1)利用(X1- 1) (x2 - 1) =x1?x2-( X1+X2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28，求得m 的值即可；(2)分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答：解：(1) T X1，x2是关于x的一兀二次方程x2 2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根，2x1+x2=2 ( m+1 )，x1?x2=m +5，2/• (x1 - 1) (x2 - 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28，解得：m= - 4或m=6 ；当m= 4时原方程无解，••• m=6 ；(2)①当7为底边时，此时方程x2- 2 ( m+1) x+m2+5=0有两个相等的实数根，2 2• △ =4 ( m+1) - 4 ( m +5) =0，解得：m=2，•••方程变为x2- 6x+9=0，解得：X1=X2=3，•/ 3+3 v 乙•不能构成三角形；②当7为腰时，设X1=7，代入方程得：49 - 14 (m+1) +m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2- 22x+105=0，解得：x=7或15••• 7+7 V 15,不能组成三角形；当m=4时方程变为x2- 10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17 .点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系.28. (2014?日照二模)已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足(3x1 -X2) (X1- 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：根据△的意义由一兀二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2- 1=0的两个实数根得到△为，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2- 6a+5^0，根据根与系数的关系得到X1+x2= -( 3a - 1)，x1?x2=2a2- 1，由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 变形得到3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到a=3 或a=-5然后代入△验算即可得到实数 a 的值.解答：解：T x i , x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ (3a - 1) x+2a 2-仁0的两个实数根， ••• △为，即(3a - 1) 2 - 4 ( 2a 2 - 1)=a 2 - 6a+5%所以a^5或a<l .…(3分)• x i +x 2= -( 3a - 1), x i ?x 2=2a - 1,2 2■/ (3x 1 - x 2) (x 1 - 3x 2) = - 80,即 3 (x 1 +x 2 ) - 10x 1x 2= - 80,2• 3 (x 1+x 2) - 16x 1x 2=- 80,• 3 (3a - 1) 2- 16 (2a 2- 1) =- 80, 整理得，5a 2+18a - 99=0,• (5a+33) (a - 3) =0,解得 a=3或 a=-2ax +bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系： 如果方程的两根为 x 1, x 2,则x 1+x 2=X 1?X 2==.也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力.29. (2013?孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x 2-( 2k+1) x+k 2+2k=0有两个实数根X 1, X 2. (1) 求实数k 的取值范围；(2) 是否存在实数k 使得X 1?x 2-x 12- X 22£成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：压轴题.分析：(1)根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△为，据此列出关于k 的不等式[-(2k+1) ]2-4 (k 2+2k )为，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；(2)假设存在实数k 使得「・工 匸广 -^0成立.利用根与系数的关系可以求得丁「，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、 两根之积的形式-:.■ . -+g'为，通过解不等式可以求得解答：解：(1) T 原方程有两个实数根，2 2• [ -( 2k+1 ) ]2 - 4 (k 2+2k )为,2 2• 4k +4k+1 - 4k - 8k%• 1 - 4k 为，(2)假设存在实数k 使得「-为成立. •/ X 1, X 2是原方程的两根， •衍+匕二龙[・耳？二k +2耳.当 a=3 时，△ =9 - 6X 3+5= - 4V 0,故舍去, △=(-虽)25 当a=-―时,5 -6X(-® +6=(533+6 > 0,•实数a 的值为-33 5占评：点评：本题考查了一元二次方程k 的值.原方程有两个实数根.由Zj •-工1，_ X22^0，得3Xj -X2-( K[ +耳2)2曲••• 3 (k2+2k)-( 2k+1) 2为，整理得：-(k- 1) 2为，•'•只有当k=1时，上式才能成立.又•••由(1)知k显，4•不存在实数k使得卫]・七- 一gc'为成立.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.(1) 求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：(1)要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解答：解：(1 )已知关于X的一元二次方程- 2kx4丄k'—2=Q，2 1 2 2•△= (- 2k) - 4X(^k - 2) =2k +8,2•/ 2k +8 > 0恒成立，•不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2) •/ X1、X2是方程的两个根，2•x1+x2=2k, x1?x2^—k - 2,22 2 ] 2•x1 - 2kx1+2x1x2=x1 -(X1+X2) x1+2x1x2=x1x2—k - 2=5,2 解得k=曲诃.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.30. (2001?苏州)已知关于x的一元二次方程。
中考数学根与系数关系培优练习含答案
中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
人教版-九年级数学上册--一元二次方程-根与系数的关系-课堂培优卷(含答案)
2018年九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系课堂培优卷一、选择题：1、下列一元二次方程中，两实根之和为1的是（）A.x2—x＋1=0B.x2＋x—3=0C.2 x2－x－1=0D.x2－x－5=02、关于x的一元二次方程x2+2x+1=0的根的判断说法正确的是（）A.有两个不等的实根B.有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法判断3、已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1=0的两个根，则x1·x2等于（）A.－4B.－1C.1D.44、已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.a＞2B.a＜2C.a＜2且a≠1D.a＜－25、关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A.q＜16B.q＞16C.q≤4D.q≥46、已知α、β满足α＋β=5，αβ=6，则以α、β为根的一元二次方程（）A.x2＋5x＋6=0B.x2－5x＋6=0C.x2－5x－6=0D.x2＋5x－6=07、已知x1,x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x12-3x2+20的值为（）A. B.－28 C.20 D.288、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（）A.5B.﹣5C.1D.﹣19、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则a2+b2的值为（）A.36B.50C.28D.2510、若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（）A. B. C.或2 D.或211、已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A.﹣1B.2C.22D.3012、一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A.m=1B.m≥1C.m＜1D.m≤1二、填空题:13、若是方程x2－2mx＋m2－m－1=0的两个根，且x1＋x2=1－x1x2，则m的值为___________14、如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是.15、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n= .16、若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2+2kx﹣k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是.17、已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则x12+5x2﹣6= .18、已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是三、解答题：19、解方程：x(2x - 6)=x-3 20、解方程：﹣3x2+4x+1=0（用配方法）21、已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.22、关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根.23、已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|=|x2|，求m的值.24、已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0.（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值.25、如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若，，求方程的两根。
苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册 一元二次方程的根与系数的关系- 专题培优训练一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．162、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣33、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（ ）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数4、已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +n=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则m +n 的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2 5、若关于x 的方程x 2+3x +a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）A ．﹣2B ．2C ．4D ．﹣36、已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣7x +12=0B ．x 2+7x +12=0C ．x 2+7x ﹣12=0D ．x 2﹣7x ﹣12=07、若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣28、若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A ．12B ．10C ．4D ．﹣4 9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．310、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根； ②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1， 其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11、若方程x 2﹣3x +2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．12、若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝ ． 15、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13，则k 的值为 ．16、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ﹣1＝0的实数根x 1，x 2，满足3x 1x 2﹣x 1﹣x 2＞2，则m 的取值范围是 ．17、已知α，β是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x +1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m +1，则m 的值为 ．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝ ．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为 ．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是 ． 三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值一、选择题1、若x 1，x 2是一元二次方程x 2+10x +16=0的两个根，则x 1+x 2的值是（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣16D ．16【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．解：∵x 1，x 2一元二次方程x 2+10x +16=0两个根，∴x 1+x 2=﹣10．故选：A ．2、一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣3【分析】根据根与系数的关系求解．解：x 1•x 2=﹣3． 故选D ．3、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，下列结论正确的是（ ）A ．x 1+x 2=-23B ．x 1•x 2＝1C ．x 1，x 2都是有理数D ．x 1，x 2都是无理数【分析】利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；根据根的判别式对C 、D 进行判断． x 1+x 2=23，x 1x 2=21，所以A 、B 选项错误，因为△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，所以x1，x2都是有理数，则C选项正确，D选项错误．故选：C．4、已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．5、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．6、已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．7、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣2A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．8、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4A解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A ．9、若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且βα11+＝﹣32，则m 等于（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．2 D ．3B解：α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m ，∵+＝＝＝﹣，∴m ＝﹣3； 故选：B ．10、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2； ③﹣1≤2m ﹣2n ≤1， 其中正确结论的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2n+n2﹣2m+2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．故选：D．二、填空题11、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝．【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，∴α+β＝3，αβ＝2，∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．故5．12、若方程240x x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为 ，c = ．2-1c =根据韦达定理，124x x +=，因为12x =+22x =-所以(12221c x x =⋅==13、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是 ．1k =由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．14、已知关于x 的方程x 2+（a ﹣2）x +a +1＝0的两实根x 1、x 2满足42221=+x x ，则实数a ＝ ． 3﹣11解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±11．∵3＜11＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故a＝3﹣11．15、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．—2解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，故﹣2．16、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．3＜m≤5解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．17、已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，则m的值为．—1解：根据题意可得α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，当m＝2时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，无实数根，故m≠2，当m＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有实数根，故m＝﹣1．故答案是﹣1．18、关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是整数，则整数a ＝ ．【分析】分两种情况讨论：当a ＝1时，x ＝1；当a ≠1时，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，再由已知，可得1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，求出a 的值即可．当a ＝1时，2x ﹣2＝0，解得x ＝1；当a ≠1时，（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0，△＝4a 2≥0，x 1+x 2=a -12，x 1•x 2=a a -+11=－112--a ， ∵根都是整数，∴1﹣a ＝±1，1﹣a ＝±2，∴a ＝0或a ＝2或a ＝﹣1或a ＝3，故答案为0或1或﹣1或2或3．19、已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为 ．1解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1＝8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣，k 2＝1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2， ∴k ＝1．故1．20、已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则3a 2﹣b 22a +的值是 ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．由题意可知：a +b ＝﹣1，ab ＝﹣1， a 2＝1-a ，∴原式＝3（1﹣a ）﹣b +a -12＝3﹣3a ﹣b+a -12＝3﹣2a ﹣（a +b ）+a-12 ＝3﹣2a +1+a -12＝4﹣2a+a-12＝4+a a a -+-12222 ＝4+aa a -+--122)1(2＝4+4＝8， 故8．三、解答题21、已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．（1）a ＜2（2）a 的值为﹣1，0，1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a +5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2＝6，x 1x 2＝2a +5，∵x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2≤30，∴36﹣3（2a +5）≤30，∴a ≥﹣，∵a 为整数，∴a 的值为﹣1，0，1．22、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．-1有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94- ∴15m =-舍去，故1m =-23、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．（1）m ≤2 （2）m=1解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m +1）≥0， 解得：m ≤2．（2）∵方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝6，x 1x 2＝4m +1，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝42，即32﹣16m ＝16，解得：m ＝1．24、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．52m > 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．25、已知关于x 的方程kx 2﹣3x +1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值． （1）k ≤49 ；（2）k=1 解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x +1＝0，解得：x ＝，∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，解得：k ≤49． 综上所述，k 的取值范围为k ≤．（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x +1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝．∵x 1+x 2+x 1x 2＝4，∴+＝4，解得：k ＝1， 经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k 的值为1．26、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值 当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当13a b ==-+1131a b +， 当13a b ==-1113a b+= 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+===+；当1a b ==--1121a b a ∴+==-。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》培优
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【一元二次方程根的判别式】对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =242b b ac a -±-，我们称24b ac -叫根的判别式，通常用字母 “△” 表示，即△=ac b 42-。
（1） 当240b ac ->时，方程 根；（2） 当240b ac -=时，方程 根；（3） 当240b ac -<时，方程 根。
特别提醒：若一元二次方程02=++c bx ax 有实数根，则ac b 42- 0。
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，别忘了要加上二次项系数不为零这个限制条件.练习：1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 。
2、 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
3、在下列方程中，有实数根 的是（ ）（A ）2310x x ++= （B ）411x +=- （C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 4、当m 满足何条件时，方程()01122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。
6、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
【一元二次方程根与系数的关系】如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠存在实数根，由求根公式得x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---，因此有两根之和=+21x x _________，两根之积=⋅21x x __________.这就是一元二次方程的根与系数的关系，又称为韦达定理。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
一元二次方程根与系数的关系—巩固练习(提高)含答案
a a ， （2一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于 x 的方程 mx 22x 1 0 无实数根，则 m 的取值范围为( )．A ．m≠0B ．m ＞1C ．m ＜1 且 m≠0D ．m ＞-12．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程cx 2 2bx a bx 22ax b 有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形3．（2016曲靖一模）已知一元二次方程 x 2﹣3x ﹣3=0 的两根为 α 与 β，则A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2的值为（ ）4．设 a ，b 是方程 x 2x 2013 0 的两个实数根，则 a 2 2a b 的值为（ ）．A ．2010B ．2011C ．2012D ．20135．若 ab≠1，且有 5a 22012a 9 0 ，及 9b 2a 2012b 5 0 ，则 的值是（ ）．bA ． 9 5 2012 2012B ．C ．D ．5 9 5 96.（2015芦溪县模拟）设 x 1，x 2 是方程 2x 2﹣6x+3=0 的两根，则 x 12+x 22 的值是（）A ．15B ．12C ．6D ．3二、填空题7．已知关于 x 的方程 1 4x 2(m 3)x m 2 0 有两个不相等的实数根，那么 m 的最大整数值是________．n m8．（2015凉山州）已知实数 m ，n 满足 3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且 m≠n ，则 = ．m n9．（2016濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x 2﹣7x﹣1=0 各根的倒数．10．在 Rt △ABC 中，∠C=900， 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边， 、b 是关于 x 的方程的两根，那么 AB 边上的中线长是 . 11．已知方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 （1）当 k 为时，两根互为相反数； ）当 k 为 时，有一根为零，另一根不为零.12．（2015仁寿县一模） 关于 x 的一元二次方程 x 2﹣mx+2m ﹣1=0 的两个实数根分别是 x 、x ，且 x 2+x 2=7，1212则 m 的值是．三、解答题13. 已知关于 x 的方程 2x 2mx 2m 1 0 的两根的平方和等于29 4，求 m 的值．△214．已知关于 x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数 k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于 0 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.15．（2016 春杭州校级期中）如果方程 x 2+px+q=0 的两个根是 x 1，x 2，那么 x 1+x 2=﹣p ，x 1x2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若 p=﹣4，q=3，求方程 x 2+px+q=0 的两根．（2）已知实数 a 、b 满足 a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求 + 的值；（3）已知关于 x 的方程 x 2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当 m ＝0 时，原方程的解是 x1 2；当 m≠0 时，由题意知 ＝2△2-4·m×1＜0，所以 m ＞1．2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴＝4(b-a)-4(c-b)(a-b)＝0 即 4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或 a ＝c ， ∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得 α+β=3，αβ=﹣3，所以故选 A ．4.【答案】C ；【解析】依题意有 a 25．【答案】A ；= = =﹣1．a 2013 ，ab 1 ，∴ a 2 2a b (a 2 a) (a b) 2013 1 2012 ．【解析】因为 5a 22012a 9 0 及 9b 2 2012b 5 0 ，于是有 5a 2 1 2012a 9 0 及 5( )2 2012b1b9 0 ， 又因为 ab 1 ，所以 a 1 1，故 a 和 可看成方程 5x 2 b b2012x 9 0 的两根，1 9 a 9再运用根与系数的关系得 a ，即 ．b 5 b 56．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2 是方程 2x 2﹣6x+3=0 的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2= ，2∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2× =6．故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝[ (m3)]4 1 3m 2 0 ，所以 m ，因此 m 的最大整数值是 1．4 28．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则 m ，n 是方程 3x 2+6x ﹣5=0 的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣ ．∴原式== = =﹣ ，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程 x 2﹣7x ﹣1=0 的两根为 α、β，则有：α+β=7，α β=﹣1．∴= =﹣7， =﹣1，∴以、为根的方程为 x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边 a 、b 是方程的二根，∴有 a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知 c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得 c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为 x 1, x 2，则 x 1+x 2=-=- ；x 1x 2= .1 2 ．2 2 2 ，1 2 ，（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即 x 1+x 2=-=0，∴k=0，当 k=0 时， =(4k)△2-4×2(k+1)(3k-2)=16>0∴当 k=0 时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即 x 1x 2==0，解得 k= .又当 k=当 k= 时，x 1+x 2=- ≠0，时， =(4k)△2-4×2(k+1)(3k-2)=>0，∴k= 时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得 x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得 m 1=﹣1，m 2=5，当 m=﹣1 时，原方程变形为 x △2+x ﹣3=0， =1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根； 当 m=5 时，原方程变形为 x △2﹣5x+9=0， =25﹣4×9＜0，方程没有实数根；∴m 的值为﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为 x 1、x 2，则由根与系数关系，m1 2m得 xx， x x 1 2由题意，得x 21x 229429即 (xx )22x x4122m1 2m 292，∴224整理，得 m 2 8m 33 0 ．解得 m13 ， m211 ．当 m ＝3 时，△＝ m 2当 m ＝-11 时，△＝ m 28(2m1)490；8(2m1)630，方程无实数根．∴m＝-11不合题意，应舍去．解得 k >- 1 1 1k 1k1x2 k∴ m 的值为 3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且 k ≠0，1，且 k ≠0 .即 k 的取值范围是 k >- ，且 k ≠0 .3 3(2) 假设存在实数 k ，使得方程的两个实数根 x 1 , x 2 的倒数和为 0.2(k 1)则 x 1 ，x 2 不为 0，且而 k =-1 与方程有两个不相等实根的条件 k >- 13，且 k ≠0 矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为 0 的实数 k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当 p=﹣4，q=3，则方程为 x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足 a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是 x 2﹣15x ﹣5=0 的解，当 a≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5，+ == = =﹣47；当 a=b 时，原式=2．（3）设方程 x 2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是 x 1，x 2，则+ = =﹣ ， = = ，则方程 x 2+ x+ =0 的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
专题07 根与系数的关系(韦达定理)(专项培优训练)(学生版)-2024-2025学年八年级数学上册
专题07 根与系数的关系（韦达定理）（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.57姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•兴宁区校级开学）若α，β是x2﹣2x﹣4＝0的两根，则α2+β2的值是（）A．﹣4 B．4 C．10 D．122．（2分）（2023•沅江市校级模拟）若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（）A．2020 B．2019 C．2018 D．20173．（2分）（2020秋•杨浦区校级期中）下列说法中，正确的是（）A．与互为有理化因式B．方程x2＝3x的解是x＝±C．方程（x﹣3）2＝16的解为x＝±7D．若方程ax2﹣bx+a＝0有两个实数根，则这两实数根互为倒数4．（2分）（2019春•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则它的两根之积为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣35．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）若方程x2+2mx+m+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＞16．（2分）（2016秋•门头沟区期末）已知：2是关于x的方程x2﹣（m+1）x+m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．4 C．5 D．4或57．（2分）（2021秋•西湖区校级期末）已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（2分）（2020•南岗区校级模拟）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1＝0的一个解，则另一个解是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣19．（2分）（2023•滕州市校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1＝0有两根为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣110．（2分）（2022秋•射洪市期末）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则的值是（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•鼓楼区校级开学）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．12．（2分）（2022秋•浦东新区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m ＝0的两个实数根，则m的值是．13．（2分）（2021秋•崆峒区期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝2，x2＝3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为．14．（2分）（2022•陵城区模拟）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是．15．（2分）（2021秋•大兴区校级期中）已知二次方程x2+3x﹣5＝0的两个实根为x1和x2，写一个一元二次方程，使得它的两个实根为x1﹣1和x2﹣1，这个一元二次方程可以是．16．（2分）（2021秋•金山区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m＝4有一个根是0，则另一个根是．17．（2分）（2023•南山区校级开学）已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值为．（2023春•大连期末）若关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为．（2分）18．19．（2分）（2022秋•蒲江县校级期中）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，则使的值为整数的实数k的整数值为．20．（2分）（2020秋•杨浦区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2的值是．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分68分）21．（6分）（2023•崇川区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足+＝3x1x2﹣14，求实数m的值．22．（6分）（2022秋•东城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．23．（8分）（2022秋•磁县期末）我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+＝a+b（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．我们称这样的方程为“十字方程”．例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝3，∴x1＝1，x2＝2．再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣5，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝，x2＝；（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．24．（8分）（2021秋•鄞州区校级期末）（1）计算；（2）解方程x（5x+4）＝2x；（3）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0．①若方程有两个不相等的实数根，求k的最小整数值；②若方程一个根恰好是另一个根的2倍，求k的值．25．（8分）（2021秋•杨浦区校级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．26．（8分）（2020秋•天河区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？27．（8分）（2023•肇源县开学）若关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．28．（8分）（2019春•越城区期末）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．29．（8分）（2021秋•杨浦区校级期中）若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝，t＝；（2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．。
一元二次方程根与系数的关系培优练习
一元二次方程培优综合练习1、有关x 旳代数式28x mx m +++是一种完全平方式．求m 旳值.2、Rt ABC △中,°=90C ∠,,a b 是方程2530x x -+=旳两个根,求Rt ABC △旳斜边上旳中线旳长．3、 已知ABC △中，ＡB ＝A Ｃ=m ，BC=n ．求证:有关x 旳方程22480x mx n -+=一定有两个不相等旳实数根．4、 已知a b c、、是ABC △旳三边长,且有关x旳方程()2212(1)0b x ax c x --++=有两个相等旳实数根.求证:ABC △是直角三角形．5、 已知a b c 、、是ABC △旳三边长,方程()()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等旳实数根． 求证：ABC △是正三角形．6、已知a b c 、、是ABC △旳三边长， a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=旳两根.①判断ABC △旳形状． ②若53a c =，求a b c 、、旳长．7、梯形ABC Ｄ中，AD ∥BC,AB=AD,8=13ABC ABCD s s △梯形,梯形旳高AE ，且1113+=40AD BC ． ①求B 旳度数．②设M 为对角线AC 上旳一点,DM 旳延长线与ＢC 相交于一点Ｆ,当ABC s △时,求CF 和DF 旳长.8、 已知有关x 旳方程()()222120x a x b ---+=有两个相等旳实数根.求20143a b +旳值．9、 已知a b ≠,且满足2310a a -+=，2310b b -+=.求221111a b +++旳值．１0、已知有关x 旳一元二次方程()21230m x mx m +-+-=有两个不相等旳实数根,且这两个实数根不互为相反数． ①求m 旳取值范畴．②当m 在取值范畴内取最小偶数时，方程旳两根为12,x x ,求()212314x x -旳值.11、已知有关x 旳方程()22120(0)mx m x m m --+-=>． ①求证：这个方程有两个不相等旳实数根．②如果这个方程旳两个实数根分别是12,x x ,且()()12335x x m --=，求m 旳值.12、已知实数x y z 、、满足2x y +=,21xy z =+,求x y z ++旳值．13、已知12,x x 是方程22(35)60x m x m ---=旳两个实数根，且12x x =32,求m 旳值．１4、已知有关x 旳一元二次方程2530x x ++=旳两根为αβ、． ①求()223(76)αββ+++旳值.②求旳值.15、已知有关x 旳方程230x x m +-=旳两个实数根旳平方和是1１. 求证：有关x 旳方程()223640k x kmx m m -+-+-=有两个不相等旳实数根.16、已知有关x 旳方程()22220x m x m --+=．问：与否存在实数m 使方程旳两根旳平方和等于5６,若存在，求出m ；若不存在,请阐明理由．1７、已知有关x 旳一元二次方程22(51)20x k x k -++-=，与否存在负数k ,使方程旳两实数根旳倒数和等于4？如果存在，祈求出k ;如果不存在,请阐明理由．１8、已知有关x旳一元二次方程()222310+++=旳两实数根旳和为m x m x—1，而有关x旳另一种一元二次方程22+++-+-=有2()2640x a m x a m m不小于0而不不小于5旳实数根，求整数a旳值．19、有关x旳一元二次方程22+++=有两个不相等旳实数m x m x4(81)40根．①若这个方程旳两个实数根旳倒数和不不不小于-2,求m旳取值范畴．②m为什么值时,这个方程旳两根之比是1：４.20、m为什么值时，一元二次方程2+++-=旳两根为2(3)4360m x mx mαβ．αβ、，且满足=21、已知有关x 旳一元二次方程22(2)04m x m x ---=．①求证:无论m 取什么值,方程总有两个不相等旳实数根． ②若这个方程旳两个实数根是12,x x ，且满足122x x =+,求m 旳值及1x 和2x .22、已知有关x 旳方程()22213(2)02x m x m -+++=． ①无论m 取何值，方程总有两正根.②若这个方程旳两实数根是12,x x ，且满足221212172x x x x +-=,求m 旳值.２3、已知有关x 旳一元二次方程2120x x k -+=旳两根之差为2，求这个方程旳两根及k 旳值．24、已知有关x 旳一元二次方程()221402x m +-=（m 是实数）． ①求证:方程必有两个不相等旳实数根． ②设,αβ为方程()221402x m +-=旳两根,且αβ<，若αβ方程220x qx ++=旳两根,求实数q 旳值.2５、已知有关x 旳一元二次方程222(2)40x k x k +-++=有两个实数根，且这两个实数根旳平方和比这两个根旳积大21，求k 旳值．。
一元二次方程根与系数的关系专项练习题 答案
一元二次方程根与系数的关系专项练习题参考答案：1、第一个方程022=-++a a x x ，即有0)1)((=-++a x a x .1,21-==a x a x故122)1(2222221+-=-+=+a a a a x x 由第二方0)2)(12()13(2=-++--a a x a x ，得0)]2()][12([=--+-a x a x 2,1243-=+=a x a x若x 3为整数，则121222+=+-a a a ，解得0=a 或2，此时13=x 或5若x 4为整数，则21222-=+-a a a ，即03322=--a a ，此方程无有理根 综上可知，当0=a 或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。
2、设)(x f 在10≤≤x 的最小值为M ，原问题等价于21,12≥≥M M 二次函数122+-=mx x y 的图像是一条开口向上的抛的线①当对称轴0≤=m x 时，由图像可知，0=x 时，1=最小y ，这时211≥成立。
②当对称轴m x =，10<<m 时，由图像可知m x =时，最小y 且21m y -=最小，这时有21,21122≤≥-m m ，故有220≤<m ③当对称轴m x =，1≥m 时，由图像可知，1=x 时，最小y 且m y 22-=最小，这时有43,2122≤≥-m m 与1≥m 矛盾。
综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是22≤m3．解：由条件可得222c b a ++，ab 2为方程0412=+-x x 的二根， ∴212222==++ab c b a 由ab c b a 2222=++得()022=+-c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===021c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==021c b a ∴方程0)()2()(2=+-+-+b a x c a xb a 可化为012=--x x∴βαβα++33＝()αββααββα3222-+=-+＝44、（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得161+=m x ，132-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩ 即⎩⎨⎧==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m ．（2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．当b a≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0．①b a≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝121=ab ． ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．S △ABC＝12⨯=综上，△ABC 的面积为1或2129+6、（1）由题意知0<a ．因为图像过点)1,0(,所以1=c ,又图像过点)0,1(,所以01=++b a ,即1--=a b ,由图像知,当1-=x 时, 0>y ,所以01>+-b a ,所以1->a ，故a 的取值范围为01<<-a ．（2）由（1）得，1)1(2++-=x a ax y ，令0=y ，得1,121==x ax ， ∴C （a 1，0）， ∴aAC 11-=，OA ＝OB ＝1． 由231)11(2121=⨯-=⨯=∆a OB AC S ABC ，解得21-=a ．于是，89)21(211212122++-=+--=x x x y ，∴M（21-，89）．所以，AOM BOM AOB ABM S S S S ∆∆∆∆-+=16389121411211121=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=．。
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一元二次方程培优综合练习
1、关于x 的代数式28x mx m +++是一个完全平方式．求m 的值．
2、Rt ABC △中，°=90C ∠，,a b 是方程2530x x -+=的两个根，求Rt ABC △的斜边上的中线的长．
3、 已知ABC △中，AB=AC=m ,BC=n ．
求证：关于x 的方程22480x mx n -+=一定有两个不相等的实数根．
4、 已知a b c 、、是ABC △的三边长，且关于x 的方程()
2212(1)0b x ax c x --++=有两个
相等的实数根．
求证：ABC △是直角三角形．
5、 已知a b c 、、是ABC △的三边长，方程()
()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等的实数根．
求证：ABC △是正三角形．
6、已知a b c 、、是ABC △的三边长，
a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=的两根． ①判断ABC △的形状．
②若53a c =，求a b c 、、的长．
7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，8=13ABC ABCD s s △梯形，梯形的高AE ，且1113+=40
AD BC ． ①求B 的度数．
②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交于一点F ，当ABC s △时，求CF 和DF 的长．
8、 已知关于x 的方程()()2
22120x a x b ---+=有两个相等的实数根．求20143a b +的值．
9、 已知a b ≠，且满足2310a a -+=，2310b b -+=．求
221111
a b +++的值．
10、已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +-+-=有两个不相等的实数根，且这两个实数根不互为相反数．
①求m 的取值围．
②当m 在取值围取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求()212314x x -的值．
11、已知关于x 的方程()22120(0)mx m x m m --+-=>．
①求证：这个方程有两个不相等的实数根．
②如果这个方程的两个实数根分别是12,x x ，且()()12335x x m --=，求m 的值．
12、已知实数x y z 、、满足2x y +=，21xy z =+，求x y z ++的值．
13、已知12,x x 是方程22(35)60x m x m ---=的两个实数根，且
12x x =32
，求m 的值．
14、已知关于x 的一元二次方程2530x x ++=的两根为αβ、．
①求()223(76)αββ+++的值．
②求
15、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和是11．
求证：关于x 的方程()223640k x kmx m m -+-+-=有两个不相等的实数根．
16、已知关于x 的方程()22220x m x m --+=．问：是否存在实数m 使方程的两根的平方和等于56，若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．
17、已知关于x 的一元二次方程22(51)20x k x k -++-=，是否存在负数k ，使方程的两实数根的倒数和等于4？如果存在，请求出k ；如果不存在，请说明理由．
18、已知关于x 的一元二次方程()222310m x m x +++=的两实数根的和为—1，而关于x 的另一个一元二次方程222()2640x a m x a m m +++-+-=有大于0而小于5的实数根，求整数a 的值．
19、关于x 的一元二次方程224(81)40m x m x +++=有两个不相等的实数根．
①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于-2，求m 的取值围．
②m 为何值时，这个方程的两根之比是1:4．
20、m 为何值时，一元二次方程22(3)4360m x mx m +++-=的两根为αβ、，且满足=αβ．
21、已知关于x 的一元二次方程2
2(2)04m x m x ---=．
①求证：无论m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根．
②若这个方程的两个实数根是12,x x ，且满足122x x =+，求m 的值及1x 和2x ．
22、已知关于x 的方程()2221
3(2)02x m x m -+++=．
①无论m 取何值，方程总有两正根．
②若这个方程的两实数根是12,x x ，且满足2
2121217
2x x x x +-=，求m 的值．
23、已知关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两根之差为2，求这个方程的两根及k 的值．
24、已知关于x 的一元二次方程()221402x m +
-=（m 是实数）． ①求证：方程必有两个不相等的实数根．
②设,αβ为方程()221402
x m +-=的两根，且αβ<，若αβ是方程220x qx ++=的两根，数q 的值．
25、已知关于x 的一元二次方程222(2)40x k x k +-++=有两个实数根，且这两个实数根的平方和比这两个根的积大21，求k 的值．。