刚体定轴转动的描述角量 - 福州大学教学之窗
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刚体运动的描述
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一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动， 刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的 平动 各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 刚体的平动是指刚体在运 动过程中其中任意两点的连 线始终保持原来的方向（或 线始终保持原来的方向（ 者说， 者说，在运动的各个时刻始 终保持彼此平行）。 终保持彼此平行）。 特点： 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
β ω0
ω
ω0
β
ω
7
5.匀变速转动的计算公式 5.匀变速转动的计算公式 1.特点： 1.角加速度为一常量 α = C 特点： 角加速度为一常量 特点 2.定轴转动。 定轴转动。 定轴转动 3.初始条件： t = 0时 初始条件： 初始条件 2.匀变速转动公式 匀变速转动公式
θ = θ0 ω = ω0
o
θ
P
x
4
2.角位移 2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。 描写刚体位置变化的物理量。 角坐标的增量： 角坐标的增量：∆θ = θ ′ − θ 称为刚体的角位移 称为刚体的角位移 3.角速度 3.角速度 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 的物理量。
R y
r v2
p′
r v1
P x
∆θ
θ
dθ ∆θ = lim 角速度 ω = ∆ t → 0 ∆t dt
2
刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动， 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动， 一种转动，这条直线称为 转轴。 转轴。 刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周 刚体上各个质点都在作圆周运动， 刚体上各个质点都在作圆周运动 运动的半径不一定相等。 运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线， 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线 转动平面。 线上，这个平面我们称为转动平面 线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的
3
根据定轴转动刚体的特点， 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚 体的定轴转动较为方便， 体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内， 在转动平面内，过O点作 点作 一极轴， 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右， 是水平向右，则OP与极 与极 轴之间的夹角为θ。 轴之间的夹角为θ θ角称为角坐标（或角位置）。 角称为角坐标（或角位置） 角坐标 角坐标为标量。但可有正负。 角坐标为标量。但可有正负。
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
5
角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个， 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向， 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。 量表示。 刚体上任一质元的速度表示为： 刚体上任一质元的速度表示为： r r r , v=ω r v =ω×r 4.角加速度 4.角加速度
ω = ω0 +α t
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω 0t + α t 2 2 ω 2 − ω 0 = 2α (ϕ − ϕ 0 )
8
ω
r r
r
rLeabharlann Baiduv
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
6
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于刚 体定轴转动角加速度的方向只有 两个， 两个，在表示角加速度时只用角 加速度的正负数值就可表示角加 速度的方向，不必用矢量表示。 速度的方向，不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、角速度 说明： 角坐标、角位移、 和角加速度等角量是用来描述定轴 转动刚体的整体运动， 转动刚体的整体运动，也可用来描 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动； 位矢、位移、速度、 位矢、位移、速度、加速度等线 量是用来描述质点的运动。 量是用来描述质点的运动。
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一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动， 刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的 平动 各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 刚体的平动是指刚体在运 动过程中其中任意两点的连 线始终保持原来的方向（或 线始终保持原来的方向（ 者说， 者说，在运动的各个时刻始 终保持彼此平行）。 终保持彼此平行）。 特点： 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
β ω0
ω
ω0
β
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5.匀变速转动的计算公式 5.匀变速转动的计算公式 1.特点： 1.角加速度为一常量 α = C 特点： 角加速度为一常量 特点 2.定轴转动。 定轴转动。 定轴转动 3.初始条件： t = 0时 初始条件： 初始条件 2.匀变速转动公式 匀变速转动公式
θ = θ0 ω = ω0
o
θ
P
x
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2.角位移 2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。 描写刚体位置变化的物理量。 角坐标的增量： 角坐标的增量：∆θ = θ ′ − θ 称为刚体的角位移 称为刚体的角位移 3.角速度 3.角速度 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。 的物理量。
R y
r v2
p′
r v1
P x
∆θ
θ
dθ ∆θ = lim 角速度 ω = ∆ t → 0 ∆t dt
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刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动， 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动， 一种转动，这条直线称为 转轴。 转轴。 刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周 刚体上各个质点都在作圆周运动， 刚体上各个质点都在作圆周运动 运动的半径不一定相等。 运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线， 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线 转动平面。 线上，这个平面我们称为转动平面 线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的
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根据定轴转动刚体的特点， 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚 体的定轴转动较为方便， 体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内， 在转动平面内，过O点作 点作 一极轴， 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右， 是水平向右，则OP与极 与极 轴之间的夹角为θ。 轴之间的夹角为θ θ角称为角坐标（或角位置）。 角称为角坐标（或角位置） 角坐标 角坐标为标量。但可有正负。 角坐标为标量。但可有正负。
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
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角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个， 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向， 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。 量表示。 刚体上任一质元的速度表示为： 刚体上任一质元的速度表示为： r r r , v=ω r v =ω×r 4.角加速度 4.角加速度
ω = ω0 +α t
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω 0t + α t 2 2 ω 2 − ω 0 = 2α (ϕ − ϕ 0 )
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ω
r r
r
rLeabharlann Baiduv
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
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角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于刚 体定轴转动角加速度的方向只有 两个， 两个，在表示角加速度时只用角 加速度的正负数值就可表示角加 速度的方向，不必用矢量表示。 速度的方向，不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、角速度 说明： 角坐标、角位移、 和角加速度等角量是用来描述定轴 转动刚体的整体运动， 转动刚体的整体运动，也可用来描 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动； 位矢、位移、速度、 位矢、位移、速度、加速度等线 量是用来描述质点的运动。 量是用来描述质点的运动。