大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限ppt课件
大学文科数学_张国楚_函数的性质和图象
第四章导数的应用问题——洛比达法则、函数的性质和图像人若志趣不远，心不在焉，虽学无成。
——张载：《张载集》只要将数学应用于社会科学的研究之后，才能使得文明社会的发展成为可控制的现实。
——怀特海本章简介导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义，在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到了广泛的应用。
本章将介绍中值定理，然后以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊极限的简便计算问题，函数的增减性、极值和最值，以及函数图像的绘制等问题。
1联结局部与整体的纽带——中值定理1.1费马定理提出问题函数在某个区间的整体性质与该区间内部某一（或某些）点的导数之间有无关系？若有，那是什么关系？（本节主要解决这个问题）学习过程1、函数极值概念设函数在点的某邻域有定义，如果对于该邻域内任意异于的值，都有，则称函数在点处取得极大值（极小值），而称为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点称为函数的极值点。
比如，函数在点处取得极大值1，而在点处取得极小值-1。
通过观察不难发现，可导函数的曲线在和处的切线平行于轴。
把函数的这种性质加以概括总结就可得出费马定理。
2、费马定理及其几何意义（1）费马定理如果是函数的极值点，并且在该点可导，那么。
证明：不妨设在邻域内，于是，当，当时，.由导数的定义和极限的性质得：因此，。
（2）费马定理的几何意义函数的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。
（3）驻点（稳定点）使导数为零的点称为函数的驻点或稳定点。
想一想：驻点是否一定是极值点？回答是否定的。
如下图4.1、4.2所示，的极小值点，所以，即的驻点；而函数虽有，即的驻点，但它不是极值点。
做一做：请求函数的极值点。
此函数有驻点吗？1.2中值定理提出问题请观察图4.3，然后回答：在连续曲线弧上除端点外，是否存在一点（或一些点），使通过该点切线平行于联结端点的线段AB？回答是肯定的，我们将这一结果加以总结便可得出中值定理。
大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限
例 5 求： lim
x →
解：原式 = lim (2 x + 1) = 2
x→ 1 2
1 2
4 x 2 − 1 2 x − 1
例 6 .求： lim
n→ ∞
2n3 + n + 1 . 3 3n − 1
1 1 2+ 2 + 3 lim n n 2 解：原式 = n→∞ = 1 3 3 − 3 lim n n →∞
o o x → x0
数，则在点x0的某一去心邻域内，函数值f ( x )也
f ( x ) > 0(< 0).
证明：由于f (x ) → A > 0, ( x → x0 ), 所以由“ε − δ ” 定义可知，若限定任意正数ε = A, 则存在相应的δ， 即0 = A − A < f (x ) < A + A成立，不等式的左半部分 正是所要证明的。 < f 使得当0 < x − x0 < δ 时， ( x ) − A A(= ε )恒成立，
2.无穷小量的性质 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量（0除外）的倒数是无穷大量。 无穷大量的倒数是无穷小量。
3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量α与 β之比的极限是非零常数，表明这两个无 穷小量趋近于0的速度处于同一个级别， 则称α与β是同阶无穷小；特别地，当这 个常数等于1时，则称α与β是等价无穷小； 1 α β 如果这个常数是0，则α是较β高阶的无穷 小；如果比值趋于无穷，则α是较β低阶 的无穷小。
1.数列极限的定性描述
大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限
第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆-----孔子《论语²为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。
（一）学习目的和要求本章的目的是介绍集合、实数和极限。
要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。
了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
（二）课程内容1．极限、实数与集合在微积分中的作用2．实数系的建立及邻域的概念实数系的演变及性质、刻画极限的邻域概念。
3．变量无限变化的数学模型——极限从分形几何中Koch雪花的周长谈起——数列极限、函数极限、无穷小量、极限的四则运算。
4．我国古代伟大数学家——祖冲之（三）重点和难点本章重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。
本章难点：极限概念及其在微积分中的作用。
（四）课程要求1.了解：集合、实数与极限在微积分中的作用，我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
2.理解：函数极限、无穷小量。
3.掌握：极限的四则运算法则。
§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。
学习过程（1）第二次数学危机概说17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之，牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分．数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机．（2）微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．（3）极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．（4）实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．（5）自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．（6）数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量．（7）检验数学可靠性的标准是什么？关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验.小结微积分的理论基础如下图所示.集合自然数实数极限微积分作业思考题微积分的基础是什么？§2 实数系的建立及邻域概念提出问题实数既然是极限的基础，那么，实数具有什么性质呢？在实数范围内又是如何实现极限的呢？学习过程由微积分的基础可知，微积分所涉及的数仅限于实数，本节将简述实数的演变及刻画极限的邻域概念.2.1 实数系的演变及性质（略，有兴趣的学生可参阅教材）（1）为什么要先介绍邻域概念？微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念.（2）如何从几何直观抽象出邻域概念？观察图1.1，在点x0附近的数轴上，有一个开区间（x0－δx0+δ）（δ＞0），其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间（x0－δx0+δ）便会变小，其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不断的点，这就表明落在（x0－δx0+δ）内的变数x便会与x0越来越接近.显然这样的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x0的一种工具，这一工具便称为x0的δ领域.由此可抽象出领域概念.定义与点x0距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点x0的δ领域，记作U（x0，δ），x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图1.1）.显然点x0的δ领域可用集合记号表示为｛x｜｜x-x｜＜δ﹜，或用区间表示为（x0－δ，x0+δ）.如果点x0的δ邻域U（x0，δ）不包括点x0，则称为点x的去心邻域（图1.2）,记作U°（x0，δ），也可用集合记号表示为｛x｜0＜｜x- x｜＜δ.例用邻域符号和区间符号表示不等式（ε＞0）所确定的x的范围，并描绘在数轴上.解由得，即.所以它表示以点为中心、以为半径的邻域，用邻域符号表示为U（）.由得，所以用区间符号表示为（，）.数轴表示略.小结实数最重要的性质是连续性，正是由于这一性质，极限才得以通行无阻，而邻域是极限在实数范围内得以实行的工具。
2020高考文科数学(人教A版)总复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语1.2
(2)a>b>0,c>d>0⇒
������ ������
>
������������.
(
)
(3)若关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有 a>0. ()
(4)不等式������������+-21≤0 的解集是[-1,2]. ( × )
(5)若关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于 x 的不 等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R. ( × )
∵e<a<b,∴f(a)>f(b),
即ln������
������
>
ln������������.
∴bln a>aln b.∴ab>ba.
考点1
第一章
考点2
考点3
1.2 不等关系及简单不等式的解法
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
考点4
考点5
学科素养·微专题
-17-
不等式的性质及应用
依次为
.
答案:1,-1(答案不唯一)
解析:易知当 a>0>b 时,“若 a>b,则1������ < 1������”为假命题,不妨取 a=1,b=-1.
考点1
第一章
考点2
考点3
1.2 不等关系及简单不等式的解法
必备知识·预案自诊
关关键键能能力力··学学案案突突破破
考点4
考点5
学科素养·微专题
-12-
学科素养·微专题
-19-
解题心得(1)已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围 时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性; (2)在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平 方后不等号不确定; (3)不等式两边取倒数,不等式两边同乘某一量,例如:若a>b,当ab>0 对a>b两边同乘 ���1���������,得1������ > 1������.
大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限精选ppt
.
1.数列极限的定性描述
定义1：如果n无限增大时，数列a n 的
同项 a n 无限趋近于常数a，则称该数列
以a为极限，记作 l n i a m n a 或 a n a n .
其中 n表示n无限增大，此时也称为 该数列收敛；如果 n时，不以任何常
数为极限，则称数列 a n 发散。
.
无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小 绝量对。值无21n 就 限是 变n 大的时变的量无称穷为小无量穷。大量。 常数列的极限仍是该常数。
1 2
lim
x 0
sin 2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 2
12
1 2
.
完
.
例12 求 lx i0m xx ssiin n 22xx.
解 lx im 0 xxssiinn22xxlx im 011ssiixxnn22xx
lim
x0
1 1
2 2
sin 2 2x
sin 2 2x
limf(x)
xx0
lim P ( x )
x x0
lim Q ( x )
x x0
P( Q(
x0 x0
) )
f(x0).
当 Q(x0)0时，则商的法则不能应用.
完
.
例3 求 lx im 1 x2x22x13. 解 x 1时, 分子和分母的极限都是零. 此时应先 约去不为零的无穷小因子 x1后再求极限.
.
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？
大学文科数学——极限ppt课件
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺（Zenon，约 公元前496 —以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追 不上乌龟！
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时， 乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到 B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是 永远追不上乌龟的！
以a为极限，或者称数列an收敛于a，记为
lim
n
an
a,
或
an a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
由不等式 an a 联想到U(a, )，
如图：
a a1 a2 aN 1
aN a3 x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )
内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
n
注：
lim
n
an
该数列有一定的发展趋势——趋向于无穷 大，并不收敛，所以{ 2n }无极限.为叙述 方便，可以说{ 2n }的极限是+∞.
Back
当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确
定的数值?如果是,如何确定?
•
当
n
无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画 它.
Q
an
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
只要 n
100时,
有
an
《实数》课件-推荐1
C．－ 2与3 2
3 D.
－8与－3
8
13．下列运算正确的是( C ) A．3 2－ 2＝3 B. 2－( 2－ 3)＝－ 3 C．2 3－ 3＝ 3 D．(－ 2)2＝2 2
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14．若 a－1与|b＋ 2|互为相反数，则 a＋b 的绝对值为( B ) A．1－ 2 B. 2－1 C. 2＋1
第六章 实数
6．3 实数 第2课时 实数的大小比较和运算
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《实数》课件-推荐1
1．(2016·随州)－ 2的相反数是( C )
A．－ 2
2 B. 2
C. 2
D．－
2 2
2. 3－2 的绝对值是( A ) A．2－ 3 B. 3－12
C．2＋ 3 D.12＋ 3
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19．观察例题：∵ 4＜ 7＜ 9，即 2＜ 7＜3，∴ 7的整数部分为 2，小 数部分为 7－2.
请你观察上述规律后解决下面的问题： (1)规定用符号[m]表示实数 m 的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3， 按此规定[ 10＋1]的值为__4__；
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3．(2017·江西模拟)下列四个数中，最大的一个数是(A ) A．2 B. 3 C．0 D．－2 4．下列四个数中绝对值最小的数是( A ) A．0 B．－2 C．－13 D. 5
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5．比较三个数－3，－π，－ 10的大小，下列结论正确的是(D ) A．－π＞－3＞－ 10 B．－ 10＞－π＞－3 C．－ 10＞－3＞－π D．－3＞－π＞－ 10
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§1.1集合的概念及运算(20200509090340).pdf
)
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
答案 A
教师用书专用 (8 — 24) 8.(2017 北京 ,1,5 分) 若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x<-1
或 x>3}, 则 A∩B=(
)
A.{x|-2<x<-1}
B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}
)
A.(1,2) 答案 D 11.(2016
B.(1,2] 课标全国Ⅲ ,1,5
C.(-2,1)
D.[-2,1)
分) 设集合 S={x|(x-2)(x-3)
≥ 0},T={x|x>0},
则 S ∩T=(
)
A.[2,3] C.[ 3,+ ∞）
B.(- ∞,2] ∪[3,+ ∞） D.(0,2] ∪[3,+ ∞）
B.{-1,-4}
C.{0} D. ?
答案 D 20.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分) 设集合 M={0,1,2},N={x|x
A.{1} B.{2} C.{0,1}
D.{1,2}
2-3x+2 ≤0}, 则 M∩N=(
)
答案 D
21.(2014 辽宁 ,1,5 分) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥1}, 则集合 ?U(A ∪B)=(
答案 C
4.(2017 湖南永州二模 ,2) 已知集合 P={x|-1 ≤ x ≤ 1},M={a}, 若 P∩ M=? , 则 a 的取值范围是 (
D.{x|1<x<3}
答案 A 9.(2017 浙江 ,1,5 分) 已知集合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},
新疆大学大学文科数学课程教学大纲(民)周4
新疆大学《大学文科数学》课程教学大纲（民）周4英文名称：Mathematics for Liberal Arts Students课程编号：A050003 课程类型：必修课总学时：64 学分：3.5适用对象：大学文科本科一年级民族学生适用教材：《大学文科数学》张国楚，徐本顺，王立冬, 李袆主编，高等教育出版社。
2007年3月第二版，高等教育<<十一五>>国家级规划教材。
一、课程性质、目的和任务通过对数学思想和数学方法的简单介绍及学习微积分的基本知识和运算方法，使文科学生了解数学逻辑演绎的思维方式以及掌握解决实际问题的初步能力。
二、教学基本要求通过一个学期（共64个学时）《大学文科数学》课程的学习，使文科学生通过本课程安排的有关数学史简介的学习，了解人类社会的发展与数学发展的紧密关系，同时通过介绍极限这一基本工具，引入函数的连续性，一元函数的微积分学的基本概念，体现数学的严密逻辑推理的思维过程。
由于文科数学教学时数的限制，在必须精简的条件下，注意科学的系统性。
在训练学生的数学基本技能方面要求以计算为主的原则。
三、教学内容及要求第一章微积分的基础和研究对象讲课8学时习题课2学时教学内容：1、极限、实数与集合在微积分中的作用2、实数系的建立及邻域概念3、函数及初等函数教学要求：函数的定义，函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）以及基本初等函数以复习总结的方式讲授。
函数定义域作为重点复习内容；掌握复合函数的定义、函数的定义域以及复合函数的分解，理解反函数的概念以及反函数的存在定理。
掌握构建函数模型的步骤和方法是本章的重点和难点，是对文科学生加强数学基础训练的重要组成部分。
第二章微积分的直接基础-------极限讲课8学时习题课2学时教学内容：1、数列的极限和函数的极限2、连续函数教学要求：了解极限的“ε--N”和“ε--δ”定义叙述（刻画了从定性认识到定量认识的过程）；了解极限的唯一性及单调有界数列的极限的存在性；理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与以常量A为极限的函数关系；理解无穷小量与无穷大量的关系。
《集合与实数集》课件
实数集的表示方法
01
02
03
数轴
实数集可以用数轴来表示 ，其中有理数用点来表示 ，无理数用线段来表示。
实数轴
实数集也可以用一个直线 段来表示，其中每个实数 都有一个唯一的点与之对 应。
复平面
在复数理论中，实数集还 可以表示为一个平面，其 中虚部为0的复数即为实 数。
04
实数集的运算
加法运算
总结词
总结词
实数集的减法运算可以通过加法运算进行转化。
详细描述
实数集中的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。这种转化使 得减法运算也具有了封闭性、结合性和正负性，但交换性不再成立。
乘法运算
总结词
实数集的乘法运算具有封闭性、结合性和正负性。
详细描述
实数集中的乘法运算满足封闭性，即任何两个实数相乘仍得到实数；结合性，即 a*b=b*a；正负性，即正数与正数相乘得到它们的积的平方，负数与负数相乘得到它们
集合的补集
总结词
表示在全集中不属于某一指定集合的所有元素组成的集合。
详细描述
对于任何集合A，由全集中不属于A的所有元素所组成的集合 称为A的补集，记作∁UA。
03
实数集的基本概念
实数的定义
实数是有理数和无理 数的总称，包括所有 有理数和无理数。
实数集是数学中最基 本的概念之一，是数 学的基础。
集合的元素
总结词
集合中的元素具有互异性、无序性和确定性。
详细描述
集合中的元素具有三个基本特性：互异性、无序性和确定性。互异性指的是集合中的元素是不同的，没有重复； 无序性指的是集合中的元素没有固定的顺序；确定性指的是集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。这 些特性是集合的基本要求，也是判断一个对象是否属于某个集合的重要依据。
大学文科数学(第2版)
教学特色
《大学文科数学（第2版）》从各个角度自然地引入数学的基本概念，既展现了数学知识的来龙去脉，又示范 性地保持了数学所特有的形式化本质特征；列举了不少有应用价值的实例，也扼要地阐明了具有启发意义的数学 思想方法；通过对数学内容的辩证分析、典型数学史料的穿插融合，以及章末附设的数学思想方法简介和数学家 简介两个阅读材料，介绍了数学与逻辑、数学与哲学、数学与教育、数学与文化、数学家品质与业绩等内容，渗 透了数学的人文精神。
《大学文科数学（第2版）》在数学内容的选择与组织上，考虑到文科数学学时的限制，在必须精简的条件下， 注意了学科的系统性。
谢谢观看
成书过程
《大学文科数学（第2版）》是在原面向21世纪课程教材的基础上，经反复锤炼，重新修订而成的。
பைடு நூலகம் 内容简介
《大学文科数学（第2版）》全书内容分两部分，其中必修内容包括实数、函数、极限、导数、不定积分、定 积分、概率统计初步；选修内容包括线性代数、微分方程、二元微积分。
教学资源
大学文科数学（第1版）教材的配套辅导书《大学文科数学学习辅导》已出版发行，可配合大学文科数学（第 2版）教材使用。
大学文科数学（第2版）
2007年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教学资源
目录
02 内容简介 04 教学特色
《大学文科数学（第2版）》是由张国楚、徐本顺、王立冬、李井主编，高等教育出版社2007年出版的面向 21世纪课程教材、普通高等教育“十一五”国家级规划教材。该书可作为高等院校文科各专业教材。
第一章 实数集与函数PPT
k 1
令 n 10 p k 1 , 则 nb 10k 1 a.
1 例1 若 b 0, 则 n N + , 使得 b. n 即 证 令a 1, 由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，
其充要条件为 : M 0, 使 x S , 有 | x | M .
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S , 使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S , 使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S , 应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
a, a 0 |a| . a , a 0
2. 实数的绝对值性质:
( 1 ) | a | | a | 0; 当且仅当a 0 时 | a | 0.
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1 . x , y R , 规定 x y x y .
x R + , y R , 规定 y 0 x .
实数的大小关系有以下性质:
(1) x y , x y , x y .
第一章 实数集与函数
主要内容
§1 实数 §2 数集· 确界原理 §3 函数的概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
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2
24
2 4
所以它表示以 1 为中心、以 为半径
2
4
的邻域。用区间符号表示为：
1 ， 1
2 4 2 4
8
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：实数系的演变过程是怎样的？
9
§3 变量无限变化的数学模型——极 限
3.1数列极限（概念）
以正整数为自变量的函数 y f (n)，当n依次 取 1,2,3, 所得到的一列函数值 ai f（i）,i 1，2，3 ，
第一章 微积分的基础问题
——集合、实数、极限
1
教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要 求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我 国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻 域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的 概念。 教学时数：6学时。
x
2 x
2
18
4.函数极限的性质
定理：如果x x0函数f x的极限值是正（负） 数，则在点x0的某一去心邻域内，函数值f x也 是正（负）数。即若lim f x A 0( 0),则存
x x0
在点x0的某邻域U x0 ，对一切x U x0 恒有 f x 0( 0).
19
证明：由于f x A 0, (x x0 ),所以由“ ”
恒成立，则称数列 an 以a为极限，记作：
lim
n
an
a, 或an
a(n
).
13
例
证明：lim n
1 2n
0.
证明：设为任意小的正数
（不妨设 1）求N：
，由
1 2n
0
1 2n
2n 1 ,即n lg .
lg 2
取 N lg , 由前面的推导过程可知，则当 n>N lg 2
时，就有
1 2n
2
教学内容： §1 极限、实数与集合在微积分中的作 用 §2 实数系的建立及邻域的概念 §3 变量无限变化的数学模型——极限 数学家启示录
（一）数学之神——阿基米德 （二）我国古代伟大数学家——祖冲之
3
§1 极限、实数与集合在微积分中的作用
微 积 分
x
x0
。
证明：对任意给定的 0 ，要使 f x A x x0
成立，只需取 ，显然当 0 x x0 时，
f x A x x0 恒成立，所以原式成立。
2.左极限和右极限（不作为讲解内容）
17
3.自变量的绝对值无限增大时的情形
对于函数y f (x)而言,当 x 无限增大时，
于任意正数 （不管它有多小），总存
在相应的正数 ，使得满足 0 x x0 x 的一切 能使 f (x) A 恒成立，则
称函数 f (x)当 x x0 时以A极限，记作：
lim
xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
，该定
义又称为“ ” 定义。
16
例：证明：lim xx0
称为无穷数列 ，简称数列。数列中的各个数
称为数列的项，
称为数列的通项。数
列常简记为 。an f (n)
an
10
1.数列极限的定性描述
定义1：如果n无限增大时，数列an 的
同项 an 无限趋近于常数a，则称该数列
以a为极限，记作
lim
n
an
a或an
an
.
其中 n 表示n无限增大，此时也称为
该数列收敛；如果 n 时，不以任何常
数为极限，则称数列 an 发散。
11
无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小 绝量对。值 无21n 就限是变n 大的时变的无量穷称小为量。无 穷大量。 常数列的极限仍是该常数。
12
2.数列极限的定量描述
定义2：如果对于任意正数 （无论它有
多小），总存在相应的正整数N，使得满
足n>N的一切n，能使不等式 an a
从左到右，左边的理论为右边理论的基础。
4
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？
5
§2 实数系的建立及邻域的概 念
§2.1实数系的演变及性质
自 然 数 （1） 集
整 数 集
（2）
有 理 数 集
为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一
邻域可用集合符号表示为 x x x0 。
如果点 x0 的 邻域 U x0, 不包括点 x0 ，
则称为点 x0 的去心邻域。
7
例题：用邻域符号和区间符号分别表示不
等式 2x 1 0 所确定的x 的范围。
解：由2x 1
2
得x
1
,即 x
1〈
。
定义可知，若限定任意正数 A,则存在相应的，
使得当0 x x0 时，f x A A( )恒成立， 即0 A A f x A A成立，不等式的左半部分
正是所要证明的。
定理：非负函数的极限 非负。即如果 f x 0, 且 lim f x A, 那么A 0.
x x0
20
证明：（反证法）
（3）
实 数 集
（1）是为了使在自然数范围内减法运算也封闭。 （2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。 （3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。
有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。
6
§2.2刻画极限的邻域概念
与点x0 的距离小于 0 的全体实数的
集合称为点 x0 的邻域。记作：U x0,x0 ，称
函数f (x) 1 的绝对值无限变小，可见 x
当x ,即x 或x 时，该函数
以常数A 0为极限，记作：lim 1 0.当x x x
0或x 0时，函数f (x)的极限分别记作
lim f (x)或 lim f (x).
x
x
例如：lim arctanx , lim arctanx .
设A 0不成立，即A 0.由以前所学定理可知，在
x0的某邻域内f x 0.这与f x 0的假设矛盾，故
假设不不成立，原命题成立。
推论：若 f x gx，且当x x0时，f x A,
0
恒成立, 得证。
14
3.数列极限中蕴含的辨证思想
极限的取得是变化过程与变化结果的对 立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统 一。
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3.2函数极限
x x 1.自变量 无限趋进于有限数 0 的情形 x 定义1：设函数y f (x) 在点 0 的近旁有定
x 义（在点 0 处可以无定义）。如果对