[精选]二维形式的柯西不等式--资料
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式大全
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
求特定函数的极值问题
函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值为____________． 【思路分析】 将其配凑成柯西不等式的形式， 然后用它求解， 但要注意等号成立的条件．
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
二维形式的柯西不等式
(a b)(c d ) ( ac bd )
当且仅当ad=bc时，等号成立
2
题型一：利用二维形式柯西不等式证明不等式
例1
4
已知a, b为实数，求证：
4 2 2 3 3 2
(a b )(a b ) (a b )
1 1 设a, b R , a b 1, 求证： 4 练习1： a b
定理1的推论：
1、若a,b,c,d都是实数，则
a b c d
2 2 2
2
| ac bd |,
当且仅当ad=bc时，等号成立 2、若a,b,c,d都是实数，则
a b c d | ac | | bd |,
2 2 2 2
当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立
3、若a,b,c,d为非负实数，则
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
思考：你能解释上述不等式的几何意义吗？
题型三：利用二维形式柯西不等式解决实际问题
例4：在半径为R的圆内，作一个内接长方 形ABCD，求长方形的长和宽满足什么关 系时，长方形的周长最大，并求这个最大 值。
所以 | | | | | |
2 2
②
用平面（二维）向量的坐标表示上面不等式②，得
| ac bd | a b c d
2
2
整理得： (a
2
b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2
由此可知，二维形式的柯西不等式是向量形式 的不等式②的坐标表示。
最新二维形式的柯西不等式大全PPT课件
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
糖尿病的健康指导
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
例1 已 知 a,b为 实,证 数明本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
8.柯西不等式(1).
y 5
x 1
2 5 x
52 ( 2) 2 ( x 1) 2 ( 5 x ) 2
= 27 4=6 3
当且仅当 2 x 1 5 5 x时,即 127 当x 时函数取最大值6 3. 27
2.本题利用了柯西不等式的变式
注意：1.利用不等式求最值的步骤为：一定，二相等。
练习
1.若2x 3 y 1, 求4x 9 y 的最小值, 并求最小值点.
2 2
解:
由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y ) 2 1,
2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. 1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
2 2
1.若a, b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A. -2 5, 2 5 C. 10, 10 B. 2 10, 2 10 D. 5, 5
补充练习
A)
2. 已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 6 25 36 A. B. C. D. 6 5 36 25
1 a a 4 1 b b
2
问：当且仅当什么条件时取等号?
答:
a=b
练习 .
解:
a b 已知x, y, a, b R ,且 1,求x y的最小值. x y
a b x, y, a, b R , 1, x y
柯西不等式推导过程
柯西不等式推导过程1、二维形式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
扩展资料：不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;②不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
常用定理①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含，那么不等式 F(x)<G(X)与不等式F(X)+H(X)<G(X)+H(X)同解。
< p>③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)<G(X)与不等式H(X)F(X)< )G(x) x>④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
不等式选讲专题(二)柯西不等式
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
二维形式的柯西不等式
当且 仅当 是零 向量 , 或存 在实 数 k, 使 k 时, 等号 成立 .
观 察
观 察
y
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
0
x
观 察
y
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
0
x
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
观 察
y
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
的最小值
小 结
本节课实际上是柯西不等式的一些简
单应用，柯西不等式是一个经典不等式，
是一个重要的数学结论，在以后的证明某
些不等式和求最值时有重要作用，要学会
灵活运用。
作 业
1.教材 第P36-37页，1、5、8、9
2.《考一本》第12课时
2 2
c d
2
2
| m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n |
向量形式：
m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x1, y 1, x 2, y 2 R ，那么
2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
例 题
例1.已知a,b为实数,证明：
你能证明吗？
推论
推论
a b c d ac bd
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
二维形式的柯西不等式
当且仅当ad bc时,等号成立.
思考：你还有哪些证明方法？
一、向量法： m (a, b), n (c, d ), ac bd m n m n cos m n a 2 b2 c 2 d 2
(a b )(c d ) (ac bd ) ,
2 2 2 2 2
二、二维的Cauchy不等式 • 定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时, 等号成立 .
• 定理2:(柯西不等式的向量形式)
设 , 是两个向量 , 则 , 当且 // 仅当等号成立 .
2 2 2 3 3 2
三、例题探究
若a, b, c, d都是实数 , 则(a b )(c d ) (ac bd)
2 2 2 2 2
6 例2.已知x, y R,若|x y| 1,证 : 2 x 3 y . 5
2 2
1 1 1 1 2 6 2 2 2 1) (2 x 3 y )( ) ( 2 x 3 y ) ( x y) 1, 2 x 3 y 2 3 5 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2) (2 x 3 y )(3 2) ( 2 x 3 3 y 2 ) 6( x y) 6,即2 x 3 y 5 6 2 2 变式：已知x, y R,若2 x 3 y , 证 : |x y| 1. 5
练习
练习 1 ：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值 .
练习 2：已知a b 9, 求证： a cos b sin 3
二维形式的柯西不等式
变式: 已知a, b∈R,证明（a + b )(a + b ) ≥ (a b + ab )
4 4 2 2 2
2 2
1 1 例2 : 设a, b ∈ R , a + b = 1, 求证 + ≥ 4 a b
+
变式 ：若a>b>c 求证：
1 1 4 + ≥ a−b b−c a−c
bd )
（ ×）
若加上条件a, b, c, d为非负实数？
推论： 推论：
1. a + b ⋅ c + d ≥ ac + bd
2 2 2 2 2 2 2 2
（ad = bc)
| 2. a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd （ad| = |bc|)
3.( a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) （ad = bc) ( a , b, c, d为非负实数）
2
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2
2
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
r 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a = (a, b ), r r β = (c, d ), α 与β 之间的夹角为θ .
y
β
θ
r
α
r
O
x
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
例3 : 求函数y = x − 1 + 10 − x的最大值.
变式1 :求函数y = 5 x − 1 + 10 − 2 x的最大值
二维形式的柯西不等式课件
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
二维形式的柯西不等式课件
在平面直角坐标系中，设点P1、P2的坐标分别是(x1、y1)、(x2、 y2)，根据△OP1P2的边长关系，你能发现x1、y1、x2、y2这四个 实数蕴涵着何种大小关系吗？
1. 二维形式的柯西不等式 (1)若a、b、c、d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥__(_a_c_＋__b_d_)_2 __，当且仅当 __a_d_＝__b_c___时，等号成立.
思考运用：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写 成ab＝dc吗？
提示：不可以. 当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立.
● 特别关注： ● 1. 柯西不等式三种形式的关系 ● 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看
作是柯西不等式的向量形式的坐标表示. ● 2. 理解并记忆三种形式取“＝”的条件 ● (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号. ● (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号. ● (3)三角形式中当P1(x1、y1)、P2(x2、y2)、O(0、0)三点共线且P1、P2在原点O两旁时取等号.
[解析] 令α＝( a＋12， b＋13)，β＝( 2，1)，则|α·β|＝ 2a＋1＋
而|α|＝ a＋12＋b＋13＝ 161，
又|β|＝ 3，所以|α||β|＝ 222，
由|α·β|≤|α||β|，得 2a＋1＋
b＋13≤
22 2.
b＋13.
● [方法技巧] 应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧
上述不等式中，当且、β是两个向量，则|α·β|≤______|α_|_|β_|__，当且仅当β是___零__向__量___，或存 在实数k，使α＝kβ时，等号成立. 3. 二维形式的三角不等式 (1) x12＋y21＋ x22＋y22≥____x_1_－__x2__2＋___y_1_－__y_2_2__(x1、y1、x2、y2∈R)； (2)推论： x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32 ≥_______x_1－__x_2_2_＋___y_1－__y_2__2 ________________(x1、x2、x3、y1、y2、y3∈R).
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
二维形式的柯西不等式人教版1课件
讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助
设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
根据向量数量积的定义，有α.β=│α││β│cos θ
0xy 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(
把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。
分析 把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解
解：
展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯西不等式的几何意义.
教学目标知识与能力1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理
3.掌握柯西不等式的应用.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。
3.掌握柯西不等式的应用.2.通过探究，思考和讨论，使学生从
证 明≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x2
《二维形式的柯西不等式》ppt人教版1《二维形式的柯西不等式
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：
分析 不等式(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：《
请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意义。
探究 请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的几何意
解：展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d
二维形式的柯西不等式84612
深入研究二维形式的柯西不等式，探索其在不同领域的应用
推广二维形式的柯西不等式到更高维度的形式，为解决复杂问题提供新思路
结合现代数学工具和计算机技术，对二维形式的柯西不等式进行优化和改进
加强与其他学科的交叉研究，将二维形式的柯西不等式应用于更多领域，推动数学与实际应用 的结合
二维形式的柯 西不等式在三 维空间中的推
广
向更高维度推 广的数学原理
和证明过程
在高维空间中 的应用实例和
效果
与其他数学定 理的关系和联
系
线性代数：二维形式的柯西不等式可以与线性代数中的矩阵和向量运算结合使用，进一步推导和 证明相关的不等式。
微积分：柯西不等式可以与微积分中的函数和积分运算结合使用，进一步研究函数的性质和优化 问题。
量子纠缠：利用柯西不等式描述量子纠缠现象和量子计算中的纠缠 控制
描述电磁场中的能量分布 计算电磁波的传播速度 分析电磁波的干涉和衍射现象 研究电磁波的散射和吸收特性
光的干涉：利用柯西不等式推导 干涉条纹的公式
光的偏振：研究偏振光在晶体中 的传播规律
添加标题
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光的衍射：解释衍射现象，推导 衍射角公式
二维形式的柯西不等式定义
二维形式的柯西不等式的应用场 景
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二维形式的柯西不等式公式
添加标题
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二维形式的柯西不等式的证明方 法
适用范围：二维形式的柯西不等式适用于 向量空间中的向量
条件：柯西不等式的成立需要满足一定的 条件，如向量的范数和内积等
代数证明：通过代数变换 和不等式性质证明
在矩阵范数计算中的应用
概率论：柯西不等式可以用来推导概率论中的一些重要不等式，如大数定律和中心极限定理。
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有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
变式1: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) a a b b 变式2: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) b a a b
例 2:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证 明吗？
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
你能写出这个定理的证明？
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R, 那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
上面两个不等式等号何时取到
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量 a,b,
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a,b为实数,证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！
变例式3 1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52 ( 2)2 ( x 1)2 ( 5 x )2
时，等号成2立7 ， 4即x63127时，函数取最大值为
27
6
3
变例式31: 求函数y x 1 10 x的最大值.
二维形式的柯西不等式
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。1789年8月 21日生于巴黎，1857年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。
柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2 x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22 x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22 x12 2 x1x2 x22 y12 2 y1 y2 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
, n) .
调 和 平 均 数
几
算
Hale Waihona Puke 何术平平
均
均
数
数
平 方 平 均 数
我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西
不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明
方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考:阅读课本第31页探究内容
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2