中外数学史第1.2章

西汉的金属算筹
算筹计算的缺点： 1.算筹较长，计算时占用的地方大； 2.截面呈圆形，容易滚动造成错乱； 3.中间计算步骤不能保留，因此不便于检验。 中国古代用算筹进行计算，称作算筹。
二、算筹计数依据十进位置值制
中国古代结绳记事（记数）：事大，大结其绳；事小，小结其绳， 结之多少，随物重寡。
因为结绳不甚方便，以后便在物体（石、木、骨等）上刻痕以代之，再进一 步发展成文字，有人认为「契」字的结构是符木的象形，符木是一根木棒上刻 有数字或符号剖成两半，双方各执一半，合起来以验真伪，中国古代朝廷就用 这种东西传达命令或调兵遣将，如兵符、虎符。
2.《墨经》中的无限分割思想
“点是无限分割之极限”的思想——实无限 取线段左端点：如果把一条线段分成前（左)后(右)两半， 保留前半而弃去后半，再弃去后半的后半，如此不断的分割 和取舍，剩余部分小到不能再分半，就是左端点。 取线段中的一点：采用前后取的办法，第一次取线段的前半， 第二次取线段前半的后半，第三次取后半的前半，如此下去， 也会出现一个不可分割的“端”。（区间套定理） “有穷”及“无穷”的定义 用一个长度单位去度量一个区域，若能到边缘不足这个单位， 则这个区域是有穷的；如果继续量下去，前面总是长于这个 单位，则这个区域是无穷的。（带余除法）
盆）。
二、《周髀算经》的主要数学成就
1.勾股定理 该书的第一章叙述了商高答 周公问时提到的勾股定理测量 的方法，还举出了一个“勾三 股四弦五”的特例 。该书的 另一处叙述了陈子答荣方问时， 给出了勾股定理的一般形式
弦 勾2 股2
3.坐标系思想
“河出图，洛出书，圣人则 之。”
4
3 8
9
5 1
2
7 6
第三节 《周髀算经》与勾股定理
一、《周髀算经》的成书
《周髀算经》是中国古代最早的一部天文、数学著作，约成书于公元前1 世纪。“髀”原义是股或股骨，这里借指测量用的（表）标杆，因书中记载 了不少周代的天文知识，故名《周髀》。唐初规定它为国子监明算科的教材 之一，取名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股 定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时 东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。在天文学方面 主要阐明当时的盖天说和四分历法。中国古代，按所提出的宇宙模式的不同， 天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说” 的代表。这派学说主张：天像盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的
第一章 中国传统数学概述
背景：世界数学中心的几次转移
公元前19世纪—公元前6世纪的古巴比伦最先进入文明社会，他们的 数学知识自然超前其他民族。巴比伦数学以计算为主。 公元前6世纪，数学中心转移到了古希腊，以研究空间形式为主，形 成了严密的公理化体系。 公元前2世纪前后，古希腊数学走向衰弱，以探讨数量关系为主的中 国传统数学后来居上。
= 3763 空一格表示零，如： = 3703
中国古代用算筹进行计算，称作算筹。
二、算筹计数依据十进位置值制
中国古代的“算” 字
三、中国古代的测绘工具—规矩guī jǔ
三、中国古代的测绘工具—规矩guī jǔ
方圆是古代几何学中最基本的图形，规矩就是当时最基本的的绘图与 测量工具，规是圆规，用以画圆或正圆，矩就是直角曲尺，用以画方或 正方。 在成书于公元前二世纪的《周髀算经》中记载了周初周公与数学 家商高的一次谈话中论述了矩的使用方法：「平矩以正绳，偃矩以望高， 履矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。」这是古代长期 使用矩进行测绘的经验总结。 「平矩以正绳」是平、直的方法； 「环矩以为圆，合矩以为方」是以矩代规可以画圆和用矩画方的方法； 「偃矩以望高，履矩以测深，卧矩以知远」都是利用相似勾股性质或比 例线段性质测量高、深、广、远的方法，也就是推求第四比例项的方法。 春秋战国时代城墙的建筑已开始绘制平面图。
二、中国传统数学的突出成就
1.算筹、筹算与十进制计数法； 2.分数理论； 3.率的理论； 4.正负数及其运算法则； 5.线性方程组及其解法； 6.设未知数列方程及一般高次方程数值解法； 7.多元高次方程及其解法； 8.一般高阶等差级数求和； 9.一次同余式解法； 10.割圆术及其对圆周率的科学推算； 11.勾股、重差理论及其应用； 12.无穷小分割和极限思想； 13.多边形面积和多面体体积公式的推导与证明； 14.珠算技术等。
第七时期： 中西数学的合流——清中至清末（1911年）；
第八时期： 中国近代数学的奠基与发展——清末至今。
第二章 中国早期的数学知识和数学思想
第一节 中国早期的数学工具—算筹与规、矩
一、计算工具——算筹 算筹即用于计算的小竹棍，他是中国人创造的计 算工具。珠算产生前，我们的祖先用算筹来计算。
西汉的象牙算筹
数学史的研究对象
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学 的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索 影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的 影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、 哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种 历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都 是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。 从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研 究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可 以研究数学家的生平等等。
第二节 春秋战国时期的数学知识和数学思想
一、《墨经》中的数学知识与数学思想 1.《墨经》中的几何与逻辑知识
《墨经》是以墨翟（约公元前490-公元前405）为首的墨家学派的著作。 《墨经》分《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》四篇及《大 取》、《小取》二篇，是诸子百家中阐述自然科学理论最丰富的著作。 几何知识：1.平行线的定义； 2.两条线段等长的定义； 3.线段中点的定义； 4.圆的定义； 5.三点共线定义为“直”； 6.点的描述； 7.正方形或长方形的定义。 逻辑知识：充分条件，有之则必然；必要条件，有之不必然，无之必不然。
三、中国数学史的分期
第一时期： 中国数学的萌芽——远古至春秋； 第二时期： 中国传统数学框架的形成——战国至两汉； 第三时期： 中国传统数学理论的奠基——魏晋至南北朝；
第四时期： 中国数学专科教育的诞生——隋唐；
第五时期： 中国传统数学的高潮——唐中叶至宋元时期； 第六时期： 中国数学的衰落——明初至清中（1840年）；
3.惠施对数学中“无限”的认识
名家宋国人惠施（公元前370-公元前310）： 大到没有外部称为无穷大；小到没有内部，成为无穷小。 《庄子· 天下篇》：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 名家认为无限分割的过程永远不会停止，类似于希腊潜无 的思想。
二、《周易》中的数学知识和数学思想
《周易》又称《易经》，成书于春秋时期，被认为 是中国文化的源头。包括《经》、《传》。“易”为 变、变换之意。“穷则变，变则通，通则久”。 《周易》的宇宙变换模式“易生太极，是生两仪，两 仪生四象，四象生八卦。”
学习数学史的意义
3.数学史的教育意义 当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并 不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学 教科书很不一致。我们的教科书业已经过千锤百炼，是在科学性 与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的 数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体 系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知 识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教 材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史 淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方 面不足的最好途径就是通过数学史的学习。
学习数学史的意义
2.数学史的文化意义 美国数学史家m.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程 度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为 明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要 是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、 哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的 学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化 的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类 文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解 古代其他主要文化的特征与价值取向。
二、算筹计数依据十进位置值制
甲骨文：
二、算筹计数依据十进位置值制
中国最晚春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值，普遍使用了算筹这种 先进的计算工具。人们已经谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。 算筹计数的方法见于公元前400年左右的《孙子算经》： “凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当。”
中外数学史
聊城大学数学科学学院 房元霞 2013.9
弗朗西斯· 培根（Francis Bacon,1561年1月22日-1626年4月9日）英国唯 物主义哲学家、思想家和科学家，被马克思称为“英国唯物主义和整个现代实 验科学的真正始祖”。
“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使 人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩；凡有所
1.组合数学的萌芽
四象、八卦等的排列，相当于组合数学中的重排列。
2.二进制思想
3.坐标系思想
若把阳爻看作“+”，阴爻看作“-”， x, y , z 八卦中每一卦的三个爻分别作为 ， 则八卦就是：
x y z, x y z, x y z, x y z x y z, x y z, x y z, x y z