统计物理基础知识

4π c1 = 2, c2 = π , c3 = 3
∂ ∑ (ε ∂ε
!
是
ε
ε + d ε 内的量子态数
D (ε ) d ε =
)
= B V
(n )ε
1 1 n d ε = n V (n )C n ε h α s n
s −1
n s
n −1 s
dε
d ε
n s
1 1 B = n Cn h α
ωl
经典极限条件或非简并性条件。 经典极限条件或非简并性条件。
热力学统计物理
第9 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
• 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理： 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立 系统， 系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。 等的。 最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。 最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。
半经典近似法： 半经典近似法： 半经典近似指出： 半经典近似指出：自由度为 的粒子， 的粒子，每一可能的状态对应于
r
µ
空间中大小为 的一个相体积元（相格）。 的一个相体积元（相格）。
h
r
热力学统计物理
第17 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
粒子能量在
ε
ε + dε
内的量子态数= 内的量子态数=
热力学统计物理
第5 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
2玻色统计 粒子自旋量子数为整 粒子自旋量子数为整数，不可分辨，每 不可分辨， 一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 系统的微观状态由确定每一个 系统的微观状态由确 单粒子态中的粒子数确定。 单粒子态中的粒子数确定。
3 2
2mL2ε 的球面 = 2 h
1 2
3 4 3 4π 2mL2ε 4πV ∑(ε ) = 3π R = 3 h2 = 3h3 ( 2mε ) 2
能量间隔 能量间隔
ε
ε + dε
内的量子态数
热力学统计物理
第15 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
热力学统计物理
第14 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
求能量曲面 ε 内的量子态数， 内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面 内的体积就行了。 内的体积就行了。 数空间中能量为 的等能面是半径为 能量曲面 能量曲面 ε
ε
ε
1 2 2
R =( nx2 +ny2 +nz
)
内的量子态数为
)
代表粒子的一个许可状态。 代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“ 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积） 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目 数是相等的，平均地讲， 与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一 个整数点。因此， 个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的 一个许可态。 一个许可态。
∑
n
ε s pi 2 ≤ α i =1
1 ε dp1dp2 ⋯ dpn = n V ( n ) Cn h α 2

n s
热力学统计物理
第22 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
C
n
=
π
n 2
n 2
n 维空间中半径为1的单位球体的“体积”， 维空间中半径为1的单位球体的“体积”
第13 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
n 以
x
n
y
n
z
为直角坐标构成三维量子数数空间（ 为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空 间）。 nx , ny , nz = 0, ±1, ±2,⋯ 在数空间中， 在数空间中，以
分割空间交成的每一“点”，数组 ( n x , n y , n z 分割空间交成的每一“
• 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度： 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 和粒子的自旋有关。 计算方法： 计算方法： 量子力学方法
（
α
为一常数， 为一常数，
s
为一正整数）， 为一正整数），
试证明： 试证明：粒子的量子态密度
D (ε ) ∝ ε
n −1 s
热力学统计物理
第21 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
证： 即
n维自由粒子
p = p + p +⋯ p +
2 2 1 2 2
2 2 s 1 2 s 2 2 2 2 ε =α p =α ( p1 + p2 +⋯+ pn )
µ 空间的N个代表点。 空间的N个代表点。
2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统 的全同粒子组成的量子系统。 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态 粒子的状态。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。 不可分辨的全同粒子组成的量子系统 由不可分辨的全同粒子组成的量子系统 确定系统的微观状态归结为确定每 一个单粒子态中的粒子数 单粒子态中的粒子数。 一个单粒子态中的粒子数。
{al }
出现的概率： 现的概率：
p {a l } =
Ω =
Ω {a l } Ω
∑
l
{a l }
Ω {a l }
对每个分布求和。 对每个分布求和。
热力学统计物理
第10 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
粒子按能级的平均分布
ε l 上的平均粒子数 l l
al = ∑al p{al } =
{al }
l
∑a Ω{a } ∑a Ω{a }
{al }
l l l
∑Ω{al}
{al }
=
{al }
l
l
Ω{al }
= al
玻耳兹曼分布
玻耳兹曼分布 玻色分布 费米分布
al = ωl e
a
l
−α − βε l
=
ω
+ β ε
eα
l
l
− 1
al =
e
α + βεl
ωl
+1
热力学统计物理
第11 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
D( ε ) dε = ∑( ε + dε ) − ∑( ε ) =
∂∑( ε ) ∂ε
3 2
3 1 2πV dε = 3 ( 2m) 2 ε 2 dε h
D( ε ) =
∂∑( ε ) ∂ε
2πV = 3 ( 2m) ε h
1 2
是态密度。 是态密度。
热力学统计物理
第16 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
Ω M .B =
Ω B. E = ∏
l
(ωl + al −1)! al !(ωl − 1) !
l
N! ∏ ωl al ∏ al ! l
l
ΩF . D = ∏
ωl ! al !(ωl − al )!
热力学统计物理
第8 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
排列： 排列： 若 n1
个元素相同， 个元素相同， n 2 个元素相同， …… 个元素相同， = 则全排列
热力学统计物理
第1 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
第六章 小结
热力学统计物理
第2 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
一、粒子运动状态的经典描述和量子描述 粒子运动状态的经典描述和量子描述 经典描述： 1经典描述：粒子自由度为
r
广义坐标 广义动量
q1, q2 ,⋯, qr
V = L3
采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔 方程，得动量的3 方程，得动量的3个
热力学统计物理
第12 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
分量的可能值为
2π ℏ h px = nx = nx , nx = 0, ±1, ±2⋯ L L 2π ℏ h
py = L ny = L
k n
n! A = ( k ≤ n) ( n − k )!
k n
n! C = ( n − k )! k ! 组合： 组合：
n! n1 !n2 !⋯nm !
玻色系统和费米系统 （对所有能级） 对所有能级）
Ω B .E ≈ Ω F .D ≈
al ≪ 1
ωl
=
al
≪ 1
∏
l
ωla
l
al !
Ω M .B N!
热力学统计物理
第6 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
3费米统计 粒子自旋量子数为半奇整数， 粒子自旋量子数为半奇整数，不可分辨 半奇整数 ，每一单粒子量子态中的粒子数 不能超过1。系统的微观状态由给定每一 不能超过1 单粒子态中的粒子数确定。 单粒子态中的粒子数确定。
热力学统计物理
热力学统计物理
第4 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
•三、玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米 三 玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米 ）、 统计 1玻耳兹曼统计 全同粒子可以区 全同粒子可以区分，处在各单粒子态中的粒子数没有 限制。整个系统的微观状态由确 限制。整个系统的微观状态由确定每一个粒子的状态 来确定。 来确定。 不同单粒子态中的一对粒子互换时，导致系统新的微 不同单粒子态中的一对粒子互换时， 粒子互换时 观状态。 观状态。
n s
热力学统计物理
第23 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
维球体的“体积” 半径为R 半径为R的 n维球体的“体积”是
Vn ( R ) = ∫ ⋯ ∑
p1, p2,⋯ pr ,
构成2r 维相空间（ 构成2r 维相空间（ 2量子描述
µ 空间）。 空间）。
量子态，一组量子数表征。 量子态，一组量子数表征。
热力学统计物理
第3 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
•
二、系统微观状态的经典描述和量子描述 系统微观状态的经典描述和量子描述 个近独立全同粒子组成的系统。 N个近独立全同粒子组成的系统。 经典粒子可以分辨 1、 经典粒子可以分辨
µ 空间中能量为 ε
和 ε + dε
两个等能面间的相体积
/
h
r
热力学统计物理
第18 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
能谱关系为 等能面
ε=
1 2 ( px + py2 + pz2 ) 的三维自由粒子， 的三维自由粒子， 2m
ε
(p
内的量子态数为
1 ∑(ε ) = h3 ∫⋯
∫
2 n
1 2 2 n
p = ( p + p +⋯+ p
能量曲面
ε
)
内包含的量子态数为
1 ∑(ε ) = hn ∫⋯ ∫ 2 dxdx2⋯dxndpdp2⋯dpn 1 1 n 2 ε s ∑pi ≤ α

i=1

1 = n V ( n ) ∫⋯ h
∫
简便方法： 简便方法：
µ 空间体积元
内的态数= 内的态数=
h3
dxdydzdpx dpy dpz
dxdydzdp x dp y dp z
V内 px px + dpx , py py + dpy , pz pz + dpz 内的量子态数
V内
p − p + dp
V = 3 dp x dp y dp z h
n y , n y = 0, ± 1, ± 2 ⋯
pz =
2π ℏ h nz = nz , nz = 0, ±1, ±2⋯ L L
三维自由粒子能量的可能值为
1 2π 2ℏ2 2 ε = ( px2 + py 2 + pz 2 ) = nx + ny2 + nz 2 ) 2 ( 2m mL
热力学统计物理
第7 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
•四、分布和微观态数 四 全同近独立系统（孤立系统） 全同近独立系统（孤立系统）N、E、V确定 分布 {a l } ∑ al = N ∑ ε l al = E 必须满足 与分布
{a l }
l
l
对应的微观状态数 玻耳兹曼系统 玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统
2
x
+ py 2 + pz 2 ≤2 mε
)
dxdydzdpx dpy dpz
3 4πV 2mε 2 4πV = 3 ∫ p dp = 3 ( 2mε ) 2 h 0 h 3 1 ∂∑( ε ) 2πV D( ε ) = = 3 ( 2m) 2 ε 2 h ∂ε
热力学统计物理
第19 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 ε = p 将能量动量关系 2m 代入得态密度 2π V
D (ε ) = h
3
4π V 2 内的量子态数 = 3 p dp h
(2m ) ε
3 2
1 2
热力学统计物理
第20 页
2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
例① 一
n 维气体，粒子的能量动量关系为 ε = α p s 维气体，