新课标理科数学第八章第八节曲线与方程

如图8－8－3，ADB为半圆，AB为半圆直径， O为半圆圆心，且DO⊥AB，Q为线段OD的 中点，已知|AB|＝4，曲线C过Q点，动点P 在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不 变．
建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方 程．
【解】 如图所示，以AB，OD 所在直线分别为x轴、y轴，O为原 点，建立平面直角坐标系．
程的方法称为直接法．
3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增
解，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2013·梅州质检)在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足 M→B ∥ O→A ，
M→A·A→B＝M→B·B→A，M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距
∵动点P在曲线C上运动且保持 |PA|＋|PB|的值不变．且点Q在曲线C 上，
∴|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|＝
2 22＋12＝2 5，
且|PA|＋|PB|＞|AB|＝4，
(2012·辽宁高考)如图8－8－4，动圆C1：x2＋y2＝t2，
离的最小值．
如图8－8－2，圆O：x2＋ y2＝16，A(－2，0)，B(2， 0)为两个定点．直线l是圆 O的一条动切线，若经过A、 B两点的抛物线以直线l为 准线，求抛物线焦点的轨
【思迹路方点程拨】． 设抛物线的焦点为F，由抛物线定义和圆
的切线性质，可得|AF|＋|BF|＝8，从而点F的轨迹是椭圆
直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆
D．抛物线
【解析】 由已知：|MF|＝|MB|，根据抛 物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的 抛物线．
【答案】 D
【解析】 设动点M(x，y)是曲线C上任意一点． 依题意，曲线C的方程为
（x＋1）2＋y2 · （x－1）2＋y2 ＝a2.∵a＞1，故原点坐 标不满足曲线C的方程，故①错误．
以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程 不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．
因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
≤12|PF1||PF2|≤12a2.
∴△F1PF2的面积不大于12a2，③正确．
【答案】 ②③
如图8－8－1所示，A(m， 3 m)和
B(n，－ 3 n)两点分别在射线OS，OT上
1)＝0表示的曲线是( A．两条直线 C．两条线段
) B．两条射线 D．一条直线和一条射线
【解析】 由(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0，得
2x＋3y－1＝0或 x－3＝1，
∴2x＋3y－1＝0或x＝4(x≥3)表示一条直线和一条射 线．
【答案】 D
2．若M、N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足
移动，且O→A·O→B＝－12，O为坐标原点， 动点P满足O→P＝O→A＋O→B.
(1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明它表 示什么曲线？
【尝试解答】 (1)由O→A·O→B＝(m， 3m)·(n，－ 3n) ＝－2mn.
得－2mn＝－12，∴mn＝14. (2)设P(x，y)(x＞0)，由O→P＝O→A＋O→B，
第八节 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲 线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实 数解建立了如下关系这：个方程的解
(1)曲线上点的坐标都是______曲__线__上__的__点_． (2)以这个方程的解为坐标的点方都程是的曲线
____________．那么这个方程叫做曲线的方程， 这条曲线叫做____________．
【提示】 不一定是．因为只满足“曲线C 上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”说明 这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部 分，而非整个方程的曲线．
2．动点的轨迹与轨迹方程含义相同吗？
【提示】 不同．前者为图形包括轨迹的 形状、方程、图形等几何特征，后者仅是
1．(人教A版教材习题改编)方程(2x＋3y－1)( x－3 －
得(x，y)＝(m， 3 m)＋(n，－ 3 n)＝(m＋n， 3 m－
3n)．
1．解答本题(2)时，根据
x＝m＋n
y＝ 3m－
3n 利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键．
2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直
线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成
含x，y的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹方
P→M·P→N＝0，则P点的轨迹是( )
ห้องสมุดไป่ตู้A．圆
B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 ∵P→M·P→N＝0，∴PM⊥PN， ∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
【答案】 A
3．(2013·余姚模拟)已知点F(
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，0)，直线l：x＝－
1 4
，
点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝
{M|p(M)}．
f(x，y)＝0
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程
_______________，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都 在曲线上．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 F2(x，y)＝0，则C1、C2的交点坐标即为__方__程__组____
F1（x，y）＝0 ___F_2_（__x_，__y） ___＝__0__的实数解． 若此方程组__无___解___，则两曲线无交点．
1．在“方程的曲线与曲线的方程”的定义 中，若只满足“曲线C上点的坐标都是方程 F(x，y)＝0的解”，那么这个方程是该曲线 的方程吗？
，又当点F与点A、B在一条直线上时，不合题意，故应除
去两点．
1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4， 0)不合要求，致使答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间 的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物 线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹 类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的 方法叫做定义法，其关键是准确应用解析 几何中有关曲线的定义．