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特殊平行四边形(二)拓展性题目

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湘教版数学八年级下册_《平行四边形》拓展训练

湘教版数学八年级下册_《平行四边形》拓展训练

《平行四边形》拓展训练一、选择题1．如图所示，线段EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．14B ．12C ．16D ．102．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．45．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④7．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（）A．6：2：1B．3：2：1C．6：3：2D．4：3：2 8．如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（）A．B．40C．50D．9．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．610．如图在▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（）A．16B．14C．8D．7二、填空题11．如图，已知▱ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，AM=1，MN=3，则对角线AC长的最小值为．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．《平行四边形》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，线段EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，EF=3．那么四边形EFCD的周长是（）A．14B．12C．16D．10【分析】根据平行四边形的性质，得△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得OF=OE，CF=AE．再根据平行四边形的对边相等，得CD=AB，AD=BC，故FC+ED=AE+ED=AD，根据所推出相等关系，可求四边形EFCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD，=OE+OF+AE+ED+CD，=1.5+1.5+5+4=12．故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的性质发现全等三角形，再根据全等三角形的性质求得相关线段间的关系．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG=GH=HC ；③2EG=BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据SAS ，即可证明：①△ABE ≌△CDF ；由▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 中点，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证得△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ：CG=EG ：BG=1：2，CH ：AH=1：2，即可证得AG=GH=HC ，2EG=BG ；由S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，可得结论④．【解答】解：在▱ABCD 中，AB=CD ，∠BAE=∠DCF ，BC=DA ；E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，∴AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确，∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△BCG ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ：GC=EG ：BG=AE ：BC ，CH ：AH=CF ：AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 中点，∴AE=AD ，CF=BC ，∴AE ：BC=1：2，CF ：AD=1：2，∴EG ：BG=AG ：CG=1：2，CH ：AH=1：2，∴AG=CH=AC ，2EG=BG ，故③正确；∴AG=GH=CH ，故②正确．∵S △ABG =2S △AEG ，S 四边形GHDE =3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE =2：3，故④正确．故选：D ．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例，等高三角形的面积比等于对应底的比．3．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【分析】由，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD=DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD=CD ，∴AD=DE ，∵∠DAE=∠DEA ，∵∠BAD=60°，∠F=110°，∴∠ADC=120°，∠CDE ═∠F=110°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，∴∠DAE==25°，故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．4．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ，∠BCD 的平分线CE 与边AB 相交于E ，若EB=EA=EC ，那么下列结论正确的个数有（ ） ①∠ACE=30° ②OE ∥DA ③S ▱ABCD =AC•AD ④CE ⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD 交BC于点E，CD=1，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，在RT△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∵△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB，∴AO=OC=BO=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．∴OB=OC，∠ABC=90°，∵△ABO是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，∵BO⊥OE，∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴EO=EC，∴BE=2EO=2CE，∵CD=1，∴BC=CD=，∴EC=BC=，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．6．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．7．如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使FO=3OC ，连接AB 、AC 、BC ，则在△ABC 中S △ABO ：S △AOC ：S △BOC =（ ）A ．6：2：1B ．3：2：1C ．6：3：2D ．4：3：2【分析】连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．由FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE 可得S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =，由此即可解决问题；【解答】解：连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC=3：1，BE=OB ，AF ∥OE∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =m ，S △AOC =， ∴S △AOB ：S △AOC ：S △BOC =m ：：m=3：2：1故选：B ．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8．如图，平行四边形ABCD 中，∠B=60°，AB ⊥AC ，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，△CDE 的周长是15，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．40C ．50D ．【分析】首先证明AD +CD=15，再证明AD=2CD ，推出CD=5，AD=10，利用勾股定理求出AC 即可解决问题；【解答】解：∵点E 在AC 的垂直平分线上，∴EA=EC ，∴△CDE 的周长=CD +DE +EC=CD +DE +EA=CD +DA=15，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，AB ∥CD ，∵AB ⊥AC ，∴AC ⊥CD ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴AD=2CD ，∴CD=5，AD=10，∴AC==5，∴S 平行四边形ABCD =2•S △ADC =2××=25， 故选：D ．【点评】本题考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【解答】解：连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =12，∴S △ACF =×12=3，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =3，∴S 阴=3．故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图在▱ABCD 中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C 关于AD 的对称点为E ，连接BE 交AD 于点F ，点G 为CD 的中点，连接EG ，BG ．则△BEG 的面积为（ ）A ．16B ．14C ．8D ．7【分析】如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．构建S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG 计算即可；【解答】解：如图，取BC 中点H ，连接AH ，连接EC 交AD 于N ，作EM ⊥CD 交CD 的延长线于M ．∵BC=2AB ，BH=CH ，∠ABC=60°，∴BA=BH=CH ，∴△ABH 是等边三角形，∴HA=HB=HC ，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∵EC ⊥BC ，∠BCD=180°﹣∠ABC=120°，∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，∵BC=2AB=8，∴CD=4，CN=EN=2， ∴EC=4，EM=2，∴S △BEG =S △BCE +S ECG ﹣S △BCG =×8×4+×2×2﹣S 平行四边形AABCD =16+2﹣4 =14 故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．如图，已知▱ABCD 的顶点A 是直线l 上一定点，过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，AM=1，MN=3，则对角线AC 长的最小值为 5 ．【分析】过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，依据△ABM ≌△CDE，即可得出CE=AM=1，进而得出NF=1，AF=1+3+1=5，依据AC≥AF，即可得到AC的最小值为5．【解答】解：如图所示，过C作CF⊥l于F，过C作CE⊥DN，交DN的延长线于E，又∵BM⊥l，DN⊥l，∴∠AMB=∠CED=90°，∵AB∥CD，CE∥AF，∴∠BAM=∠DCE，又∵AB=CD，∴△ABM≌△CDE，∴CE=AM=1，又∵矩形CENF中，NF=CE，∴NF=1，又∵MN=3，∴AF=1+3+1=5，又∵CF⊥l于点F，∴AC≥AF，∴AC的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．12．如图，▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB=AE．若AE平分∠DAB，∠EAC=27°，则∠AED的度数为87°．【分析】首先证明△ABE是等边三角形，再证明∠AED≌△DCA，可得∠AED=∠DCA，求出∠DCA即可；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，∵∠EAB=∠EAD，∴∠EAB=∠AEB，∴BA=BE，∵AB=AE，∴AB=BE=AE，∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，∴∠EAD=∠CDA=60°，∵EA=AB，CD=AB，∴EA=CD，∵AD=DA，∴∠AED≌△DCA，∴∠AED=∠DCA，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=60°+27°=87°，∴∠AED=87°．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE 平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF=4．【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG=AD=5，AE=GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF=AF=4．【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECG，又∵∠AED=∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG=AD=5，AE=GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE=∠DAE=∠G=∠DAF=30°，∴AF=GF=3+5=8，又∵E是AG的中点，∴FE⊥AG，∴Rt△AEF中，EF=AF=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．14．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，则∠ADE=∠CBF，再证明△ADE≌△CBF得到AE=CF，∠AED=∠CFB，然后根据平行线的判定得到AE∥CF．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADE=∠CBF，∵BE=DF，∴DE=BF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．15．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠BCE=42°．【分析】连结AE，根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出∠CED，∠CDE，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，可得∠ABE=∠CDE=48°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质可求∠BCE．【解答】解：连结AE，∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，∴∠ABE=∠CDE=48°，∵若点E在线段AD的垂直平分线上，∴EA=ED，∴AB=AE，∴∠AEB=48°，∴∠AED=132°，∴∠ADE=24°，∴∠BCE=180°﹣24°﹣48°﹣66°=42°．故答案为：42°．【点评】考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定与性质等知识点．难度较大，综合性较强．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，求出BE=DF，根据全等三角形的判定推出即可；（2）求出四边形AECF是菱形，求出△ABE是等边三角形，求出高AH，根据菱形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，∵点E、F分别是BC、AD的中点，∴BE=BC，DF=AD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵点E、F分别是BC、AD的中点，BC=2AB=4，∴BE=CE=BC=2，DF=AF=AD=2，∴AF∥CE，AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AECF是菱形，∴AE=AF=2，∵AB=2，∴AB=AE=BE=2，即△ABE是等边三角形，BH=HE=1，由勾股定理得：AH==，∴四边形AECF的面积是2×=2．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF 相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．【分析】（1）想办法证明∠EBC+∠FCB=90°即可解决问题；（2）如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．构造特殊四边形菱形，利用菱形的性质，结合勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD，∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）求解思路如下：a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．18．如图，▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，∠ADC的角平分线DF交BC于点F，AB=5，DE=3，∠ABC=50°．（1）求∠FDC的度数；（2）求▱ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出∠ADC=∠ABC=50°，再根据角平分线定义即可求出∠FDC的度数；（2）根据平行四边形的对边平行得出AE∥BC，利用平行线的性质以及角平分线定义得出∠ABE=∠AEB，由等角对等边得出AE=AB=5，那么AD=AE+DE=8，进而得到▱ABCD的周长．【解答】解：（1）∵▱ABCD中，∠ABC=50°，∴∠ADC=∠ABC=50°，∵DF平分∠ADC，∴∠FDC=∠ADC=25°；（2）四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5，∵DE=3，∴AD=AE+DE=8，∴▱ABCD的周长=2（AB+AD）=2（5+8）=26．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，难度适中．19．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．【分析】（1）想办法证明△BDE是直角三角形，解直角三角形求出BE，DE即可解决问题；（2）作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．想办法证明AH=EH=DE=a，根据FH∥AB，EF=FB，推出===2即可；【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2，∵AB=BD，∴BD=2，∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DEB=60°，∠DEB=∠EAB+∠EBA，∴∠BAD=∠EBA=∠ADB=30°，∴∠EBD=90°，∴BE=2，DE=2BE=4，∵BF=DE，∴BF=4，∴EF=BF﹣BE=4﹣2=2．（2）证明：作FH∥AB交AE于H．设DE=BF=a，则AF=2a．∵EA=EB，BA=BD，∴∠EAB=∠EBA=∠ADB，∵BF=DE，∴△ABF≌△BDE（SAS），∴BE=AF=2a，∴EF=a，EA=EB=2a，∵FH∥AB，EF=FB，∴AH=EH=a，∴===2，∴DF=2FG．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．。

2019中考真题——特殊的平行四边形

2019中考真题——特殊的平行四边形

2019中考真题——特殊的平行四边形一、选择题1.（安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝2.（毕节）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．53.（毕节）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）A．B．C．D．14.（贵阳）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm5.（黔东南）平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，现从以下四个关系①BC AB =、②B D AC = ③BD AC ⊥、④BC AB ⊥中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD 是菱形的概率为（ ） A.41 B.21 C.43 D.1 6. （铜仁）如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a +b 不可能是（ ）A ．360°B ．540°C ．630°D ．720°7. （铜仁）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE ＝CD ，CF ＝CB ，则S △CEF ＝（ ）A ．B ．C ．D ．8. （铜仁）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①BF ∥ED ；②△DFG ≌△DCG ；③△FHB ∽△EAD ；④tan ∠GEB ＝；⑤S △BFG ＝2.6；其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.（广元）如图，点P 是菱形ABCD 边上的动点，它从点A 出发沿A →B →C →D 路径匀速运动到点D ，设△P AD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10. （广元）如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得∠CDE ＝15°，连接BE 并延长BE 到F ，使CF ＝CB ，BF 与CD 相交于点H ，若AB ＝1，有下列结论：①BE ＝DE ；②CE +DE ＝EF ；③S △DEC ＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④11.（乐山） 把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ()A 61 ()B 31 ()C 51 ()D 4112. （乐山）如图4，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于 ()A 13- ()B 1 ()C 21 ()D 2313. （四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．322图3图414.（四川眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．15.（四川眉山）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16.（四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. B. C. D.17.（四川遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④18. （四川雅安）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC 、BD 是对角线 ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 的形状是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形19. （四川达州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D．下列结论：①OA BC ==D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 20. （四川攀枝花）下列说法错误的是（ ）A. 平行四边形的对边相等B. 对角线相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 21. （四川攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8CE =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。

北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题

北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题

1．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形;（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形．2已知，如图，四边形ABCD是菱形,∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H,在AB边上取点E，使得AE=AH,在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1)求证：四边形EFGH是矩形；(2）当∠B为多少度时,四边形EFGH是正方形？并证明．3如图，根据图形解答下列问题(1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形？4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2)如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2）,通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立(不用证明）；（3）在图（2)中,试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形(不用证明）．5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2)若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立;（请直接回答“成立”或“不成立"）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并写出证明过程．7如图，E是矩形ABCD边BC的中点,P是AD边上一动点,PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F,H．(1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；(2）在（1)中，动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC，BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．(1)求∠AGD的度数;（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点,E，F分别是线段BM,CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM;(2）判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论；（3）当AD：AB= ：时,四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE．（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；（2）把正方形ABCD改为菱形,其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证:四边形OEMF 是菱形．做完题后,同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．"请给予证明；（2）小芳同学说:“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论,并说明理由．12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1)如图1,当点G在BC边上时，易证:PG=PC．(不必证明）（2）如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明;(3）如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．13(1)如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1,CN=3，求MN的长．14已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.14解:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中， AE＝AB ∠CAD＝∠DAE AD＝AD ，∴△ABD≌△ADE,∴BD=DE,同理△BAF≌△EAF，∴BF=EF，在△BFD和△EDF中， BD＝DE DF＝DF BF＝EF ，∴△BFD≌△EDF，∴∠BFD=∠DFE，又∵EF∥BC，∴∠DFE=∠FDC，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，∴BF=BD=EF=DE，∴四边形BDEF是菱形．13(1）证明：在正方形ABCD中，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB,在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG,∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS)，∴EF=FG(2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE,使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°,∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中,∴△MAN≌△EAN（SAS)．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理,得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1,CN=3,∴MN2=12+32，∴MN=12解答：(1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，在RT△CPG中，∠PCG=60°，∴PG=PC．（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC,∵∠ABC=60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP=∠GFP,在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG(ASA）∴PE=PG，DE=FG=BG，∵∠CDE=CBG=60°,CD=CB，在△CDE和△CBG中,∴△CDE≌△CBG（SAS)∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，∴∠ECG=∠DCB=120°,∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°∴PG=PC．11）证明：∵ME∥AC,MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠EOF=90°，∴四边形OEMF是矩形．（2）结论:OB=ME—MF．理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD,∴四边形OEMF 是平行四边形，∴OE=MF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD,∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB,∴BE=ME，∴OB=BE—OE=ME—MF．10（1)∴△PDE为等腰直角三角形证明：在正方形ABCD中,BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，在△BCP和△DCP中，BC＝DC ∠BCP＝∠DCP PC＝PC ∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP,PD=PB∵PE=PB，∴∠CBP=∠CEP，PD=PE∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）∴180°-∠PFD—∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP 即∠DPE=∠DCE=90°∴△PDE为等腰直角三角形．（2）解：∵AB∥CD∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE∴∠DPE=∠ABC∵∠ABC=56°∴∠DPE=56°．9（1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°，又∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中，AB＝CD ∠A＝∠D AM＝DM ，∴△ABM≌△DCM(SAS）．(2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点,∴NE∥MF,NE=MF．∴四边形MENF 是平行四边形．由(1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形．（3）解：2：1．当AD:AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．8：（1）根据折叠的对称性，可知∠ADG=∠BDG=22。

初中数学,特殊的平行四边形同步练习题

初中数学,特殊的平行四边形同步练习题

特殊的平行四边形同步练习题基础练习题1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是A．对角线互相平分的四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A．6 B．8 C．12 D．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．35．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是A．斜边长为10 cm B．周长为25 cmC．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为A ．158B ．154C ．152D ．159．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为A ．485cm B ．245cm C ．125cm D ．105cm 10．如图，在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是A ．30B ．24C ．18D ．611．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于A ．60°B ．55°C ．45°D ．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：学-科网（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．能力拓展25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BCC．∠MBD=∠NCD D．四边形ACDB一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．35．如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．（1）求证：AM=CN；（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．真题实战36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连接OH .若OB =4，S 菱形ABCD =24，则OH 的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=1 3 S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．参考答案1. B2. A3. C4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. B 11. A 12. B 13. 2 14. 90 15. 9 16. 617. （18. 15°19. 485（cm ）．20. ∵BC =CD ，∠BCF =∠DCE =90°，CF =CE ， ∴△BCF ≌△DCE ，∴∠FBC =∠EDC . 又∵∠BFC =∠DFG ，∴∠DGF =∠BCF =90°， 即BG ⊥DE ．21. （1）等腰三角形；（2）150° 22. （1）∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∥BC AF ，∴CBE DFE ∠=∠， 又∵DE CE =，DEF BEC ∠=∠， ∴△BEC ≌△FED ，∴BE EF =，又∵CE DE =，∴四边形BDFC 是平行四边形． （2）如图，过D 作DH CB ⊥于H ，∴∠DHB =∠A =∠ABH =90°，∴四边形ADHB 是矩形，∴1BH AD ==， ∵3CB CD ==，∴2CH =，在Rt △CDH 中，∵90CHD ∠=︒，∴22325DH =-= ∴平行四边形BDFC S BC DH =⋅35= 23．（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠ADC =90°，AB =DC =7，BC =AD =12，∴∠BAF +∠AFB =90°， ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF =∠CDF =45°，∴△DCF 是等腰直角三角形， ∴FC =DC =7，∴AB =FC ，∵AF ⊥EF ，∴∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∴∠BAF =∠EFC ， 在△ABF 和△FCE 中，BAF EFCAB FC B C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△FCE （ASA ），∴EF =AF ；（2）BF =BC –FC =12–7=5，在Rt △ABF 中，由勾股定理得： AF 22227574AB BF +=+则EF =AF 7424．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，∠A =∠D =90°. ∵M 为AD 的中点，∴AM=MD ，∴△ABM ≌△DCM . （2）1∶2，理由：∵AB ∶AD =1∶2，∴AB =12AD ． ∵AM =12AD ，∴AB=AM ，∴∠ABM =∠AMB ． ∵∠A =90°，∴∠AMB =45°. ∵△ABM ≌△DCM ，∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，∴四边形MENF是菱形．∵∠BMC=90°，∴菱形MENF是正方形．25．A26．A27．A28．D29．B30．B31．30°32．3.533．①②④⑤34．（1）如图，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；（3）∵AB=BC3∠BAE=30°，∴BE=1，CE31，∵∠EFC=30°，∴CF=3S△CEF=12CE•CF3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF=S正方形ABCD–S△ADF–S△AEB–S△CEF=S正方形ABCD–S△AEF–S△CEF，∴S△AEF=12（S正方形ABCD–S△CEF）=2111)(3322-=35．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°，在△AMD和△CNB中，＝＝＝ADM CENAMD CNBAD BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMD≌△CNB．∴AM=CN．（2）猜想：当EF=AC时，四边形AECF是矩形．证明：由（1）得△AMD≌△CNB，∴DM=BN．∵BE=DF，∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．在△AMF和△CNE中，＝＝＝MF NEAMF CNE AM CN∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMF≌△CNE．∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．∴AF∥CE且AF=CE．即四边形AECF是平行四边形．又EF=AC，∴四边形AECF是矩形．36．C37．A38．D39．D40．B41．B42．C43．B44．C45．24 546．347．48．（2，﹣3）49．∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．50．∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，EOD FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．51．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形．学-科网（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC·BD=12×4×2=4，故答案为：4．。

沪科版九年级数学中考：4.6 特殊的平行四边形专题 习题(含答案)

沪科版九年级数学中考：4.6 特殊的平行四边形专题 习题(含答案)

4.6 特殊的平行四边形一、历年安徽中考：1.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB =31S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A.29B.34C.52D.412.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.25B.35C.5D.63.矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC。

若△APD是等腰三角形，则PE的长为。

4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C 恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABC =23S△FGH；④AG+DF=FG。

其中正确的是。

（把所有正确结论的序号都选上）二、历年全国中考：1.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A.1B.3C.2D.232.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。

添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE3.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为。

4.如图，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= 。

5.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形。

平行四边形面积练习题

平行四边形面积练习题

《平行四边形的面积计算》练习
一、基础型：
1．求下面平行四边形的面积。

2．要求下图的平行四边形面积，以ＤＣ边为底，应取哪一条高？并求图形ABCD的面积。

3．下面两个平行四边形面积都是3×2＝6（厘米）。

•对吗？为什么？
二、拓展型：
4．选择条件，用两种方法算出平行四边形的面积，看看是否相等。

（单位：米）
5．把正确答案的编号填有括号里。

（1）计算下图平行四边形的面积，算式是（）
Ａ．7.5×4 Ｂ．7.5×6 Ｃ．6×4
（2）下图平行四边形的面积是（）
Ａ．12厘米Ｂ．12平方米Ｃ．12平方厘米
三、提高型：
6．下面两个平行四边形的面积相等吗？为什么？每个平行四边形的面积是多少？
7.小区物业要给一块底边长35米，高20米的平行四边形草坪重新铺草皮，每平方米需要6 元，铺这块地面一共需要多少元？要在这片地里种冬青，每4平方米种一棵，可以种多少棵？师：解决这两个问题时都要先求出平行四边形的面积，再根据题中的数量关系用不同的方法来解决，看来同学们对平行四边形的面积确实掌握的不错，下面这道题目看看谁能灵活的运用知识来解决。

8.猜一猜，哪个平行四边形的面积大？
得出结论：等底等高的平行四边形面积相等
师：你能用好办法，很快再画一个和他们面积相等的平行四边形吗？（画完展示）。

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题(学生版)

2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题(学生版)

专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。

，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。

时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。

作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。

，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。

重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(有答案解析)(2)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 3．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．194．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；②AB =CD ；③AB BC ⊥；④AO OC =中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．16．如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 定是．．（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 7．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）A ．2622-B ．62-C ．6D ．2 9．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．47C ．24D ．20 10．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB ＝CDB ．AD ＝BC C ．AB ＝BCD ．AC ＝BD 11．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以二、填空题13．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC ＝8，以AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．14．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形,AEFG 点E 在AC 上．EF 与CD 交于点,P 则PE 的长是____．15．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．16．如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B 匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点E运动_______秒时，△DEF为等边三角形．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当BPQ为等腰三角形时，AP的长为_____．19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边AB，CD上的点，且''，点C'恰好落在AD边上，∠=︒．将四边形BCFE沿EF翻折，得到B C FE60CFEB C''交AB于点G，则GE的长是_______．20．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为_____．三、解答题21．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边上，且∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ； （2）如图2，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠D =90°，AD =DC =10，BC =6，点E 在CD 上，∠BAE =45°，在（1）的基础上求DE 长．22．已知点(0,4)A 、(4,0)B -分别为面直角坐标中y 、x 轴上一点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若60AOC ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）若60AOC ∠=︒，AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，如图2，求证：OD BD CD +=；（3）若30AOC ∠=︒，过A 作AE AC ⊥交BC 于E ，如图3，求BE 的长． 23．综合与实践已知四边形ACBD 与AEFG 均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点E 在AB 边上，点G 在AD 边上时，线段BE 与DG 的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG 以点A 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 拓展探索：（3）如图3，若点D ，E ，G 在同一直线上，且222AB AE ==，则线段BE 长为_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．24．如图，在ABC 中，90,3,4BAC AB AC ︒∠===，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，联结CE ．（1）求证：//AD CE ；（2）求CE 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=︒，则当ADE ∠=____°时，四边形BECD 是菱形．26．如图所示，平行四边形,ABCD 对角线BD 平分ABC ∠；()1求证：四边形ABCD 为菱形；()2已知AE BC ⊥于E ，若24CE BE ==，求BD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，设EC=x ，由勾股定理就可以表示出BE 与EF ，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得，x ，x ∴x ∴AB=12x ∴x x x -= ∴BE+DF=)1x=EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．2．B解析：B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．3．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD ，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x ，则各正方形边长表示如图，由AD ＝BC 可列方程：x ＋2＋x ＋1＝2x －1＋x ，解得x ＝4，则DC ＝x ＋1＋x ＋x ＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键． 4．C解析：C【分析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．【详解】解：如图所示：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正确；∴四边形ABCD是菱形；∴AB=CD，故②正确；∵四边形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正确．∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；故选：C．【点睛】主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．5．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．【详解】过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC ＝AB ＝6，∠B ＝60°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴△BED 是等边三角形，且边长为2，∴BE ＝DE ＝2，∠BED ＝60°，∴CE ＝BC−BE ＝4，∵四边形DEFG 是正方形，DE ＝2，∴EF ＝DE ＝2，∠DEF ＝90°，∴∠FEC ＝180°−60°−90°＝30°，∴QF ＝12EF ＝1， ∴△EFC 的面积=12×CE×FQ ＝12×4×1＝2， 故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE 和FQ 的长度是解此题的关键．6．C解析：C【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形．【详解】∵分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ， ∴AC=AD=BD=BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形，故选C ．【点睛】考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．B解析：B【分析】根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】∵ABC 是等腰直角三角形，2AB =∴90ABC ∠=︒，∴45A ACB ∠=∠=︒，∴2AB BC == ，∴AC ==∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点， ∴AD CD BD ===90BDC ∠=︒， ∵30E ∠=︒， ∴2BE BD == ， ∴DE == ∴CE DE CD =-=故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解． 9．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．D解析：D【分析】由四边形ABCD 的对角线互相平分，可得四边形ABCD 是平行四边形，再添加AC=BD ，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，A 、AB=CD 是平行四边形的性质，并不能得出四边形ABCD 是矩形；B 、AD=BC 是平行四边形的性质，不能推出四边形ABCD 是矩形；C 、AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形，而不是矩形；D、AC=BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．12．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题13．或【分析】AC 作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝ 解析：5或13【分析】AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线所以，AE CD ⊥，CE=DE因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2所以BE=AE-AB=2-1=1又因为DE=CE=2，AE CD ⊥所以，BD=22145BE DE +=+=情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1所以，BE=EF-BF ；因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°所以∠ACD ＝45°所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°又因为,DE AB CF AB ⊥⊥所以四边形DEFC 是矩形所以DE=CF=2，EF=DC ；因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝ 所以，根据勾股定理，CD=4 所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3 因此，22223213BD DE BE =+=+=故答案为5或13．【点睛】这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．14．【分析】连接BD 交AC 于O 由菱形的性质得出CD=AB=2∠BCD=∠BAD=60°由直角三角形的性质求出OB=AB=1由直角三角形的性质得出由旋转的性质得出AE=AB=2∠EAG=∠BAD=60°求解析：31-【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=∠=BAC BAD ，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出23AC =，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE 232=-，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE 的长【详解】解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=∠=BAC BAD ，OA=OC ，AC ⊥BD ，∴112OB AB == ∴==OA∴AC =由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°， ∴2,=-=CE AC AE∵四边形AEFG 是菱形，∴EF ∥AG ，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴112PE CE ==1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．15．(－371)【分析】先求出A1（-1-3）A2（-51）A3（17）A4（9-1）再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1二象限纵坐标都为1三象限横坐标都为-1四象限纵坐标都为-1；相解析：(－37，1)【分析】先求出A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A 18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A 18的坐标．【详解】正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)． AB=1-（-1）=2，A 1与B 平行y 轴，A 1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A 1（-1，-3） CA 1=1-（-3）=4，A 2与C 平行x 轴，A 2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A 2（-5，1） DA 2=1-（-5）=6，A 3与D 平行y 轴，A 3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A 3（1,7） AA 3=7-（-1）=8，A 4与A 平行x 轴，A 4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A 4（9，-1） A(1，﹣1)，A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），A 5（-1，-11，A 6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A 18在第二象限，4×8=32，四周差32，A 18的横坐标为：-5-4×8=-37，A 18（-37，1），故答案为：（-37，1）．【点睛】本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．16．3s 【分析】连接BD 易证△ADE ≌△BDF 即可推出AE ＝BF 列出方程即可解决问题【详解】连接BD 如图：∵四边形ABCD 是菱形∠A ＝60°∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18△ADB △BDC 都是等边三角形∴解析：3s【分析】连接BD ．易证△ADE ≌△BDF ，即可推出AE ＝BF ，列出方程即可解决问题．【详解】连接BD ．如图：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18，△ADB ，△BDC 都是等边三角形，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝∠DBF ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝60°，∴∠ADB ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，60A DBF AD BDADE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，∴2t ＝18−4t ，∴t ＝3，故答案为：3s ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，分三种情况：①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 19．【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°AB ＝AD ＝3由折叠的性质得出FC′＝FC ∠C′FE ＝∠CFE ＝60°∠FC′B′＝∠C ＝90°B′E ＝BE ∠B′＝∠B ＝90°求出∠DC′F解析：8【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．20．6【分析】先证明△CDF≌△BCE得到∠BGC＝90°利用面积法求出求出CF＝5即可求出GF【详解】解：∵四边形ABCD为正方形BC＝4∴∠CDF＝∠BCE＝90°AD＝DC＝BC＝4又∵DE＝AF解析：6【分析】先证明△CDF ≌△BCE ，得到∠BGC ＝90°，利用面积法求出125CG =，求出CF ＝5，即可求出GF ．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝4，∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°，AD ＝DC ＝BC ＝4，又∵DE ＝AF ＝1，∴CE ＝DF ＝3，∴在△CDF 和△BCE 中， CD BC CDF BCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△BCE （SAS ），∴∠DCF ＝∠CBE ，∵∠DCF +∠BCF ＝90°，∴∠CBE +∠BCF ＝90°，∴∠BGC ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝4，CE ＝3，∴5BE ==,∴BE •CG ＝BC •CE ， ∴431255BC CE CG BE ⨯===， ∵△CDF ≌△BCE （SAS ），∴CF ＝BE ＝5，∴GF ＝CF ﹣CG ＝5﹣125＝2.6． 故答案为：2.6．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF ≌△BCE 是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）307【分析】（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ．在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，∵45EAF ∠=︒，∴45FAD BAE ∠+∠=︒,∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，由题意可知四边形AMCD 是正方形，∴AD =CD =MC =10，MB =4．由（1）知BE =MB +DE ．设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+， 解得：307x =，即DE = 307【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．22．（1）45︒；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，OA=OC=4，可证△AOC 为等边三角形，由OB=OC=4，可求∠OBC=∠BCO=15°，可求∠ACB=∠ACO-∠BCO=45°即可； （2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，由AOB ∠的平分线OD ，可得∠BOD=∠DOA=45°，可求∠DOH=60°，OB=OC=4，利用等边对等角∠DBO=∠HCO ，又∠BOD=∠HOC=45°，可证△BOD ≌△COH(ASA)，由性质OD=OH ，BD CH =，可证△DOH 等边三角形即可退出结论 ；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB 由OC EF =；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，可得正方形AFBO ，由30AFE AOC OBE ∠=∠=∠=︒，可求60EFB EBF ∠=∠=︒可证EFB △是等边三角形即可．【详解】（1）∵将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，(0,4)A ，∴OA=OC=4，∴△AOC 为等边三角形，∴∠ACO=60°，∵(4,0)B -，∴OB=OC=4，∴∠OBC=∠BCO=12（180°-90°-60°）=15°， ∴∠ACB=∠ACO-∠BCO=60°-15°=45°，∴∠ACB =45︒；（2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，∵AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，∴∠BOD=∠DOA=45°，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，∴∠DOH=150°-∠BOD -∠COD=90°-45°-45°=60°，∵OB=OC=4，∴∠DBO=∠HCO ，∠BOD=∠HOC=45°，∴△BOD ≌△COH(ASA)，∴OD=OH ，BD CH =， ∴DOH 是等边三角形，OD DH ∴=，OD BD CD ∴+=；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB ，OC EF ∴=；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，∴正方形AFBO ，30AFE AOC OBE ∴∠=∠=∠=︒，60EFB EBF ∴∠=∠=︒，EFB ∴△是等边三角形，∴4BE BF OB ===．【点睛】本题考查旋转，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形全等，正方形判定与性质，掌握旋转的性质，会利用旋转和夹角60°证等边三角形，等边三角形的判定方法与性质，等腰三角形的判定方法与性质，角平分线的性质，三角形全等判断方法与性质，正方形判定与性质是解题关键．23．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AG AE =，∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，∵90A ∠=︒，∴BE DG ⊥，故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立，如图，延长BE ，与DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，∴BAE DAG ∠=∠，∴BAE DAG ≌， ∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠，∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，∴90ADG DOH ∠+∠=︒，∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，∴DG BE ⊥；（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，由（2）知ABE ADG ≅△△，∵GE 是正方形AEFG 的对角线，∴45AEB AGD ∠=∠=︒，则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =∵222AM EM AE +=， ∴1AM EM ==，∴22817BM AB AM =-=-=， ∴71BE BM EM =+=+， 故答案是：71+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．24．（1）见解析；（2）75【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD CD BD ==，再由折叠的性质得BD ED =，ADE ADB ∠=∠，再由外角和定理得DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，则DEC ADE ∠=∠，即可证明结论；（2）利用勾股定理求出BC 的长，由（1）得1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-，在Rt ABF 和Rt BDF 中，利用勾股定理列式求出x 的值，再根据中位线定理得到2CE DF =即可．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，∴AD CD BD ==，∵折叠，∴BD ED =，ADE ADB ∠=∠，∵CD BD ED ==，∴DCE DEC ∠=∠，∵DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，∴22DEC ADE ∠=∠，即DEC ADE ∠=∠，∴//AD CE ；（2）∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴5BC =，由（1）知1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-， ∵折叠， ∴AD 是BE 的垂直平分线，在Rt ABF 和Rt BDF 中，222BF AB AF =-，222BF BD DF =-，∴2222AB AF BD DF -=-，即22525924x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得710x =， ∵D 、F 分别是BC 和BE 的中点， ∴725CE DF ==． 【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．25．（1）见解析；（2）90【分析】（1）由AAS 证明△△BOE COD ≅，得出OE=OD ，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到40AED ∠=︒，在根据平行线的性质定理得到50CBE A ∠=∠=︒，求得90BOE ∠=︒，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∴OEB ODC ∠=∠，∵O 是BC 的中点，∴BO=CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ODC BOE COD BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BOE CODAAS ≅，∴OE=OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）当90ADE ∠=︒时，四边形BECD 是菱形，理由如下：∵50A ∠=︒，90ADE ∠=︒，∴40AED ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴50CBE A ∠=∠=︒，∴90BOE ∠=︒，∴BC DE ⊥，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，准确分析计算是解题的关键． 26．（1）证明见解析；（2）46BD = 【分析】（1）由角平分线的定义得ABD CBD ∠=∠，再证明CDB CBD ∠=∠，从而得BC DC =，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形ABCD 是菱形； （2）分别求出BE EC BC AB AE AC 、、、、、，再根据菱形的面积等于平行四边形的面积求解即可．【详解】解：（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AB CD∴CDB ABD ∠=∠∴CDB CBD ∠=∠∴BC DC =∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC ，如图，∵ABCD 是菱形∴3BC AB BE EC BE ==+=又∵24BE EC ==∴2BE =∴246BC BE EC AB =+=+==又AE BC ⊥∴22226242AE AB BE =-=-=2222(42)443AC AE EC =+=+=∴642242ABCD S BC AE =⨯=⨯=而ABCD ABCD S S==菱形∴1122BD AC BD ⨯=⨯= ∴BD =【点睛】此题主要考查了菱形的性质与判定，关键是掌握菱形的判定定理．。

平行四边形性质知识拓展

平行四边形性质知识拓展

（矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）性质：（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。

（平行线间的高距离处处相等）（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形．(推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）．（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。

矩形和菱形是轴对称图形．注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．（11）平行四边形ABCD中E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分．（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和．（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份．（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角．3辅助线一、连接对角线或平移对角线．二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形．三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线．四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等．4面积、周长1、（1）平行四边形的面积公式：底×高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)5类别1、平行四边形属于平面图形2、平行四边形属于四边形3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等4、平行四边形属于中心对称图形。

初中数学特殊的平行四边形学案练习题

初中数学特殊的平行四边形学案练习题

第六章 特殊的平行四边形1.能说出菱形的定义，会判断是否为菱形2.能说出菱形的性质，并能灵活应用菱形的性质解题1. 平行四边形的定义：2. 平行四边形的性质 边 ：① ② 角 ：① ② 对角线：情景一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，然后沿图中的虚线剪下；情景二：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，得到重叠的部分四边形ABCD；学习目标复习回顾新课引入情景三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开；知识点一 菱形的定义 平行四边形叫做菱形.知识点二 菱形的性质1.定理1：菱形的四条边都2.定理2：菱形的对角线3.对称性：菱形既是 图形，又是 图形，对称轴是两条对角线所 在的直线知识点三 菱形的面积重点1 利用菱形的性质求线段长例1 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，菱形ABCD的周长是20，BD=6（1）求AC 的长（2）求菱形ABCD 的高DE 的长变式1 已知一个菱形的面积为cm 2 ,且两条对角线的长度比为1：，则菱形的边长为变式2 如图，菱形的周长为20cm ，相邻两内角的度数之比为1:2，求菱形的两条对角线的长及面积。

新知探究巩固新知重点2 利用菱形的性质求角度例2 在菱形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且AE=EF=AF=AB, 则∠C 的度数为（）A 120ºB 100ºC 80ºD 60º变式3 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100º，AB的垂直平分线交对角线AC于点E,F为垂足，连接DF，∠CDF等于变式4 如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠B=EAF=60º∠（1）求证：△AEF是等边三角形（2）若∠BAF=37º,求∠CEF的度数重点3 利用菱形的性质求面积例3 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是40cm,求：（1）两条对角线AC,BD的长度（2）菱形ABCD的面积变式5 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120º，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A B C D 8重点4 利用菱形的性质进行证明例4 如图所示，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F分别是边AB,AD 的中点（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长变式6 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE达标测评1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（ ）A 对角线互相垂直B 对角线所在的直线是对称轴C 对角线相等D 对角线互相平分2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，有下列结论：①OA=OD;AC BD;②⊥③∠∠④菱形ABCD =AC BD1=2;S，其中正确的序号是（ ）ArrayA ①②B ③④C ②④D ②③3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6,0），点A的纵坐标是的坐标为（ ）1，则点B ArrayA (3，1)B (3,-1)C (1,-3)D (1,3)4.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若FE=， BD=2，则菱形ABCD的面积为（ ） A B C D如图1所示，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE.（1）求证：∠F=EBC∠（2）若，当△BEF 为等腰三角形时，求的度数（如图2所示）创新培养菱形的判定学习目标1. 能说出菱形的判定定理2. 能利用菱形的判定定理证明菱形课前诊断1.菱形的性质菱形的四条边都 ，菱形的对角线 ，菱形既是 图形，又是 图形，对称轴是 .2.如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.在菱形ABCD 中，，AB=2，则菱形ABCD的面积为新知探究活动一 定义法问题: 如果一个四边形是一个平行四边形，只要再添加一个什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？【归纳定理】小试牛刀如图所示，在Rt△ABC中，，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形.活动二 菱形的第二个判定方法【操作探究】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

第一章《特殊的平行四边形》测试卷2022-2023学年北师大版九年级数学上册2

第一章《特殊的平行四边形》测试卷2022-2023学年北师大版九年级数学上册2

第一章《特殊的平行四边形》测试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠0AD=40°，则∠COD=（）A.20°B.40°C.80°D.100°第1题图第3题图第4题图2.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线相等且互相垂直平分C.对角线互相平分D.四条边相等，四个角相等3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）ABA.AB=ADB.OE=12C.∠DOE=∠DEOD.∠EOD=∠EDO4.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c.则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③5.如图，正方形ABCD的面积为2，菱形AECF的面积为1，则E、F两点间的距离为（）D.√2A.1B.2C.√22第5题图第6题图第8题图6.如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为.8.如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1=50°，∠2=20°，则∠BDC 的度数为.9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OB的中点，且AELBD，BD=4，则CD=.第9题图第10题图第11题图10.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为11.有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为12.在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形.若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为.三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E.交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°.求证：四边形ABCD是矩形.14.如图，在正方形ABCD内有一点P，满足PB=PC，连接AP，PD.求证：△APB ≌△DPC.15.如图，在菱形ABCD中，DELAB于点E，DFLBC于点F，求证：DE=DF.某同学的证明过程如下：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=DC（根据1）.在△ADE和△CDF中，AD=DC，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌ACDF（根据2）∴DE=DF.（1）以上证明过程中的根据1是指，根据2是指；（2）请你写出该题的另外一种证法.16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED的延长线于F.（1）若∠B=25°，求∠ADC的度数；（2）若AF=2DF，求证：四边形ACEF是正方形.17.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图：（1）如图①，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的中点，以EF为边画一个矩形；（2）图②是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形.四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F，DE=DF.（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若BE=5，BD=8，求菱形DEBF的面积.19.如图，菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）猜测：当AB与BC满足条件时，四边形AEOF是正方形，请说明理由.20.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）.（1）求CE的长；（2）写出点E的坐标.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）问BE与DF有什么关系？请说明理由22.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.（1）求证：OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由；（3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？六、（本大题共12分）23. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF.（1）【观察猜想】如图①，当点D在线段BC上时：①BC与CF的位置关系为；②BC，CD，CF之间的数量关系为（将结论直接写在横线上）（2）【数学思考】如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）【拓展延伸】如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若AB=2√2，CD=1，请求出GE的长.。

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 压轴题复习练习题

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形 压轴题复习练习题

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形压轴题复习练习题1、在矩形ABCD中，4AB=，6AD=，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN PQ⊥交射线BC于N点．（1）若点N在BC边上时，如图1．①求证：PN QN=；②请问PMPN是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当PBN∆与NCQ∆的面积相等时，求AP的值．2、折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B C'和AD相交于点E，连接B D'．解决问题（1）在图1中，①B D'和AC的位置关系是；②将AEC∆剪下后展开，得到的图形是；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时()AB BC≠，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）在图2中，若30oB∠=，AB=AB AD'⊥时，BC的长度为．3、如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF EG=；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB a=，BC b=，请直接写出EFEG的值．4、如图，在矩形ABCD中，6AB=，4BC=，动点Q在边AB上，连接CQ，将BQC∆沿CQ 所在的直线对折得到CQN∆，延长QN交直线CD于点M．（1）求证：MC MQ=（2）当1BQ=时，求DM的长；（3）过点D作DE CQ⊥，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且13DFDE=，求BQ的长．5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，6AD=，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程27120x x-+=的两个根，且OA OB>．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是BAC∠的平分线．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F 点的坐标，若不存在，请说明理由．6、如图1，点M 放在正方形ABCD 的对角线AC （不与点A 重合）上滑动，连结DM ，做MN DM ⊥交直线AB 于N ．（1）求证：DM MN =；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2)，且2DC AD =，求:MD MN ； （3）在（2）中，若CD nAD =，当M 滑动到CA 的延长线上时（如图3)，请你直接写出:MD MN 的比值．7、阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发 现：当0a >，0b >时，2(0a b a b -=-2a b ab ∴+，当且仅当a b =时取等号 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当0x >时，1x x +的最小值为 ．当0x <时，1x x+的最大值为 ； （2）若27101x x y x ++=+，(1)x >-，求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ∆、COD ∆的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．8、如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE BC ⊥，垂足为点E ，GF CD ⊥，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 : （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(045)α︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD 于点H ．若6AG =，GH =BC = ．9、（1）如图1，将直角的顶点E 放在正方形ABCD 的对角线AC 上，使角的一边交CD 于点F ，另一边交CB 或其延长线于点G ，求证：EF EG =；（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD ”改成“矩形ABCD ”，其他条件不变．若AB m =，BC n =，试求EFEG的值； （3）如图3，将直角顶点E 放在矩形ABCD 的对角线交点，EF 、EG 分别交CD 与CB 于点F 、G ，且EC 平分FEG ∠．若2AB =，4BC =，求EG 、EF 的长．10、在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M，N分别在边AB，CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，并求出当CP的长最大时MN的长.11、【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝3，BC＝2，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．12、如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI 恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．13、操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：探究：（1）若∠1＝70°，∠MKN ＝ °；（2）改变折痕MN 位置，△MNK 始终是 三角形，请说明理由； 应用：（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为，此时∠1的大小可以为 °（4）小明继续动手操作，发现了△MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．14、问题背景：如图（1），在四边形ABCD 中．若BC ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，则AC 平分∠BAD ．小明为了证明这个结论，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图．迁移应用：如图（2），在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ，BD 平分∠CDE ，求证AE +CD ＝DE ．联系拓展：如图（3），在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，若点D 满足AD ＝1716AB ，BD ＝AB ，点P 是AD 的中点，直接写出的值．15、如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(包含答案解析)(2)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD需要满足的条件是（）A．垂直B．相等C．垂直且相等D．不再需要条件3．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△QSP．A．全部正确B．①②正确C．①②③正确D．①③正确4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则BECE的值为（）A．512B．725C．718D．5245．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE ＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN 43 3其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（ ）A ．10B ．5C ．103D ．537．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，若将正方形AEFG 绕点A 旋转，则在旋转过程中，点,C E 之间的最小距离为 （ ）A ．3B ．421-C ．321-D ．42 8．如图所示，在菱形ABCD 中，5AC =，120BCD ∠=︒，则菱形ABC 的周长是（ ）．A ．20B ．15C ．10D ．59．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．110．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．3211．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，12BC =．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF BG ⊥；②GE GF =；③GDK △和GKH △的面积相等；④当点F 与点C 重合时，75DEF ∠=︒，其中正确的结论共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）A ．21B ．21C ．12D ．24二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．15．如图，正方形AOBC 的两边分别在x 轴、y 轴上，点()4,3D -在边AC 上，以点B 为中心，把△BCD 旋转90︒，则旋转后点D 的对应点1D 的坐标是________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD AD 的中点，连接,,,AF BG CH DE ，得到一个新的四边形,MNPQ 则四边形MNPQ 的面积为 _____________．17．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．18．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AB=AC =4，P 为AB 边上一动点，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，则对角线PQ 的最小值为___________．19．如图，四边形ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点B 与顶点D 重合，EF 为折痕，若6AB =、8BC =，则图中阴影部分的面积为______.20．如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若2AD =，5BC =AC 的长为_________．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：（问题呈现）（1）如图1，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰ABE △和等腰ACD △，使AE AB =，AD AC =,BAE CAD ∠=∠，连结,BD CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．（问题再探）（2）如图2，ABC 中分别以,AB AC 为边向外作等腰Rt ABE △和等腰Rt ACD △，90EAB CAD ∠=∠=︒，连结,BD CE ，若4,2,45AB BC ABC ==∠=︒，求BD 的长．（问题拓展）（3）如图3，四边形ABCD 中，连结AC ，CD BC =，60BCD ∠=︒，30BAD ∠=︒，15AB =，25AC =，请直接写出AD 的长．23．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，BC=12cm ，直线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始以每秒4cm 的速度运动到B 点，动点E 也同时从点C 开始沿射线CM 方向以每秒2cm 的速度运动．（1）问动点D 运动多少秒时，△ABD ≌△ACE ，并说明理由；（2）设动点D 运动时间为x 秒，请用含x 的代数式来表示△ABD 的面积S ；（3）动点D 运动多少秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4：1．24．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．（1）求点E 的坐标；（2）求点D 的坐标．25．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，//DE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）已知4AB =，2DE =，求四边形AODE 的面积．26．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边 BC 、AD 上的点，且BE = DF ．（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C ．【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．2．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH ＝90°，又EF 为三角形ABD 的中位线，根据中位线定理得到EF 与DB 平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO ＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH 与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD ＝90°，根据垂直定义得到AC 与BD 垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．3．A解析：A【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出△BRP≌△QSP，故④正确．【详解】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点∵AQ＝PQ∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线∴PQ∥AB，故③正确∵Q是AC的中点，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等边三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正确∴全部正确．故选：A．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．4．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，AO⊥BO，∴BC5，∵S菱形ABCD＝12AC•BD＝BC×AE，∴AE＝16825⨯⨯＝245．在Rt△ABE中，BE75，∴CE ＝BC ﹣BE ＝5﹣75＝185， ∴775==18185BE CE 的值为718， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．5．B解析：B【分析】①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断；③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断.【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE ＝CF ，故①正确；②∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，∵∠GEC ＝∠DBC ，∴EG ∥DB ，∵DG ∥BE ，∴四边形DGEB 是平行四边形，∴BE ＝DG ，在△FBC 和△GDC 中，BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△GDC （SAS ），∴∠BCF ＝∠DCG ，∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ，∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误；③∵GE ∥BD ，∴∠FMB ＝∠GFC ，∵△FBC ≌△GDC ，∴CF ＝CG ，∴∠GFC ＝∠CGF ，∴∠FMB ＝∠CGF ，∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确；④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°，∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，∵BD ∥EG ，∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，∵∠GFC ＝∠FGC ，∴∠NMC ＝∠MNC ，∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，∴△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，如图，∴CH ＝12BD ＝122244+＝2， ∴CM 223×2＝463， ∴MN ＝CM 46，故④错误． 所以其中正确有①③，2个．故选：B ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.6．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可． 【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：22AD AB BD =-， ∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线，∴142EF AD ==， 又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△， 故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．7．B解析：B【分析】连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE 、AC ，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：222AC AB BC =+ ， ∴224442AC =+=∵ CE≥AC -AE ，∴CE≥421-，∴CE 的最小值为421-，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据题意可得出∠B=60︒，结合菱形的性质可得BA=BC ，判断出△ABC 是等边三角形即可得出菱形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴//BA CD ，又∵∠BCD=120︒，∴∠B=180︒-∠BCD= 60︒，又∵四边形ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴BA=BC=AC=5，故可得菱形的周长=4AB=20．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．9．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．【详解】过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC−BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°−60°−90°＝30°，∴QF＝12EF＝1，∴△EFC的面积=12×CE×FQ＝12×4×1＝2，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．10．B解析：B【分析】证明四边形PQBE 是矩形得PE=QB ， 证明△PEC 是等腰直角三角形得PQ=BE 便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=12∠BCD=45° ∵PE ⊥BC ，PQ ⊥AB ，∴四边形PQBE 是矩形，∴PQ=BE∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC 是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE ，PQ=BE ． 11．C解析：C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG 是菱形，从而可判断①②正确；由角平分线定理可判断DK KH ≠，即可推导出③错误；根据点F 、C 重合时的性质可得30AEB ∠=︒，进而算出④正确．【详解】解：连接BE ，如图：由折叠可知：BE GE =，BF GF =，BEF GEF ∠=∠∵//AD BC∴GEF BFE ∠=∠∴BEF BFE ∠=∠∴BE BF GE GF ===∴四边形EBFG 是菱形∴EF BG ⊥∴①②正确∵GK 平分DGH ∠，DG GH ≠∴DK KH ≠∴GDK GKH S S ≠△△∴③错误∵当点F 与点C 重合∴122BE BF BC AB ====∴30AEB ∠=︒ ∴180752AEB GEF ︒-∠∠==︒ ∴④正确．故选：C【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、折叠的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等，关键在于结合图形对线段、角进行转化．12．A解析：A【分析】连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出221AC =，求出菱形的面积，再由中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【详解】解：连接AC 、BD ，如图所示：菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，5AB ∴=，122OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，22225221OA AB OB ∴=--2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积11221442122AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积12=菱形ABCD的面积221；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上Q在AD上时AO＝由圆的定义可以知O的轨迹为E解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上，Q在AD上时，AO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EF这段14圆弧（2）同理当P在CD上，Q在AD上时，DO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EG这段14圆弧（3）Q在AD上，P在BC上，可知PQ∥AB，O的运动轨迹为FG这条线段综上分析：O的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．【分析】设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′首先求出OP′当P与P′重合时PQ的值最小PQ的最小值=2OP′【详解】解：设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′如图所示：在Rt△ABC中∠ACB解析：43【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，AC=3AB=83，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=43，∵OP′⊥BC，∠ACB=30°，∴OP'=1OC=23，2当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值=2OP′=43，故答案为：43．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，判断出PQ的值最小时的情况是解题的关键．15．(10)或(-18)【分析】画出旋转后的图形根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2C2O的长由此判断点D1的坐标【详解】如图所示：根据旋转的性质旋转前后两个图形全等如果△BCD绕点B逆时针旋转90°解析：(1，0)或(-1，8)【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知OD1的长和C2D2，C2O的长，由此判断点D1的坐标.【详解】如图所示：根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，如果△BCD绕点B逆时针旋转90°后得△BOD1，CD= OD1，BC =BO，∵四边形AOBC是正方形，D(-4，3)，∴BC=4，CD =4-3=1，∴OD1=1∴D1(1，0)如果△BCD绕点B顺时针旋转90°后得△BC2D2C2O=BO+BC2=4+4=8，C2D2=CD=1，点D2的的坐标为D2(-1，8).故答案为：(1，0)或(-1，8).【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.16．【分析】根据题意采取割补法将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系即可得出结论【详解】解：如图所示过A作AK∥DE交CH的延长线于K过B作B解析：12 5【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．【详解】解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，∵H是AD的中点，∴AH=DH，∵AK∥DP，∴∠K=∠DPH，又∵∠AHK=∠DHP，∴△AKH≌△DPH（AAS），∴S△AKH=S△DPH，同理可得，S△BRE=S△AQE，S△CSF=S△BMF，S△DTG=S△CNG，∵AH∥CF，AH=CF，∴四边形AFCH是平行四边形，同理可得，四边形BGDE是平行四边形，∴QM∥PN，QP∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AK∥QP，AQ∥KP，∴四边形AQPK是平行四边形，又∵E是AB的中点，EQ∥BM，∴Q是AM的中点，∴AQ=MQ，∴S四边形AQPK=S四边形MNPQ，同理可得，S四边形BMQR=S四边形MNPQ，S四边形MNCS=S四边形MNPQ，S四边形DTNP=S四边形MNPQ，∴S四边形BMQR=S四边形MNCS=S四边形DTNP=S四边形AQPK=S四边形MNPQ，∴S四边形MNPQ=15S四边形ABCD=15×3×4=125故答案为：12 5【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．17．2【分析】连接BP根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形解析：2【分析】连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】解：连接BP ，∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2∴AB ＝BC ＝14×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×23＝2（cm ）， 故答案为：2．【点睛】 此题考查菱形的性质，S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABC ＝12ABCDS 菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 18．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A解析：2【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形，∴AO=CO ，OP=OQ ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过点O 作OP´⊥AB 于P´，∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形，∴222,P A P O AO P A P O ''''==+∵AO=12AC=2， ∴OP´=22AO = ∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.19．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE 的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD 是长方形且点F 到AD 的距离等于AB 的长的边DE 上的高为6设 解析：754【分析】先根据矩形的性质可得8,90AD BC A ==∠=︒，设DE x =，从而可得8AE x =-，再根据折叠的性质8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，然后在Rt A DE '中，利用勾股定理可求出DE 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD 是长方形，6AB =，8BC =，8,90AD BC A ∴==∠=︒，且点F 到AD 的距离等于AB 的长，DEF ∴的边DE 上的高为6，设DE x =，则8AE AD DE x =-=-，由折叠的性质得：8,6,90A E AE x A D AB A A '''==-==∠=∠=︒，在Rt A DE '中，222A E A D DE ''+=，即()22286x x -+=， 解得254x =， 即254DE =， 则阴影部分的面积为125756244⨯⨯=， 故答案为：754． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．20．3【分析】连接BE 由旋转的性质可得AD=DE ∠ADE=90°可求∠A=45°AE=AD=2AD=DE=BD 可证∠AEB=90°由勾股定理可求EC 的长即可求解【详解】解：如图连接BE ∵CD 是△ABC 的解析：3【分析】连接BE ，由旋转的性质可得AD=DE ，∠ADE=90°，可求∠A=45°，AE=2AD=2，AD=DE=BD ，可证∠AEB=90°，由勾股定理可求EC 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BE ，∵CD 是△ABC 的边AB 上的中线，∴AD=BD ，∵将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∴∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD ，∴∠AEB=90°，∴∠A=∠ABE=45°，∴AE=BE=2，∴22541EC BC BE -=-=，∴AC=AE+EC=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出EC 的长是本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可； （3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得DE ==【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DHEA ⊥，垂足为H ． 由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=， 故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）BD CE =，理由见解析；（2）6；（3）20【分析】（1）首先证明EAC BAD ∠=∠，再证明()AEC ABD SAS △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据等腰直角三角形的性质可得到AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，证明()EAC BAD SAS △≌△，得到CE BD =，再根据勾股定理计算即可；（3）连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60︒得到△ECD ，连接AE ，由旋转的性质得到EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，由勾股定理可求得AE 的长，即可得解；【详解】解：（1）BD CE =，理由如下：∵BAE CAD ∠=∠，∴EAC BAD ∠=∠，又∵AB AE =，AD AC =，∴()AEC ABD SAS △≌△，∴BD CE =；（2）∵等腰Rt ABE 和等腰Rt ACD ，∴AE AB =，AC AD =，BAE CAD ∠=∠，∴EAC BAD ∠=∠，∴()EAC BAD SAS △≌△，∴CE BD =，∵45ABC EBA ∠=∠=︒，∴90EBC ∠=︒，∵4AB AE ==， ∴224432EB =+=在Rt EBC 中，22(32)26EC =+=，∴6BD =；（3）∵CD BC =，60BCD ∠=︒，∴△BCD 是等边三角形，连接BD ，把△ABD 绕点D 逆时针旋转60°得到△ECD ，连接AE ，则EC=AB=15，△ADE 是等边三角形，∴AE AD =，60DEA ∠=︒，∵30BAD ∠=︒，∴306090CEA ∠=︒+︒=︒，在Rt △AEC 中， 2222251540020AE AC CE =-=-==，∴20AD AE ==．【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确结合勾股定理和旋转的性质计算是解题的关键． 23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM ⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF 是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG 为矩形，∴AG=CF=6,∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE= ∴BD=4CE,即12-4x=8x ，x=1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．24．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，6BE ===， ∴1064CE BC BE =-=-=， ∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．25．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证四边形AODE 为平行四边形，根据菱形的性质得出AC ⊥BD ，由矩形的判定定理得出四边形AODE 是矩形；（2）由矩形的性质得OA=DE=2，由勾股定理求出OB 的长，得出OD 的长，由矩形面积公式即可得出答案．【详解】（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，90AOD ∴∠=︒，∴四边形AODE 是矩形；（2）解：四边形AODE 是矩形，2OA DE ∴==，四边形ABCD 是菱形，OB OD ∴=，AC BD ⊥，OB ∴==，OD ∴=∴四边形AODE 的面积2OD OA =⨯==【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）6【分析】（1）证明AF EC =，利用一组对边平行且相等证明平行四边形；（2）根据菱形的性质得到10AE CE ==，再用勾股定理求出BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，//AD BC ，∵BE DF =，∴AD DF BC BE -=-，即AF EC =，∵//AF EC ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）∵四边形AECF 是菱形，∴10AE CE ==，在Rt ABE △中，6BE ===． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．。

第六单元平行四边形面积的实际应用“拓展型”专项练习-五年级数学(解析版)人教版

第六单元平行四边形面积的实际应用“拓展型”专项练习-五年级数学(解析版)人教版

2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第六单元：平行四边形面积的实际应用“拓展型”专项练习1．下图中两个平行四边形的面积相等吗？它们的面积各是多少？【答案】相等；4.2平方厘米【分析】观察图形可知，两个平行四边形的底都是2.8厘米，高都是1.5厘米，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，据此代入数值进行计算即可。

【详解】2.8×1.5＝4.2（平方厘米）答：图中两个平行四边形的面积相等，它们的面积都是4.2平方厘米。

【点睛】本题考查平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。

2．下面4个平行四边形的面积一样大吗，你发现了什么规律？（单位：cm）【答案】一样大不管平行四边形的形状如何，只要底和高分别相等，面积就相等。

【分析】观察题图可知，4个平行四边形在一组平行线内，说明它们的高相等；它们的底都是1cm，说明底也相等。

平行四边形的面积＝底×高，它们四个等底等高，所以面积相等，与它们的形状无关。

【详解】4个平行四边形的面积一样大。

发现：不管平行四边形的形状如何，只要底和高分别相等，面积就相等。

【点睛】明确4个平行四边形等底等高是解答本题的关键。

3．李伯伯积极响应社会主义新农村建设的号召，准备将一块周长为480米的直角梯土地分割成一块三角形和一块平行四边形菜地，计划利用平行四边形菜地种植花菜，请你帮李伯伯在图上分一分，并计算出花菜的种植面积。

【答案】作图见详解；7200平方米【分析】是在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形是平行四边形；由三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形，据此将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形；梯形周长减去已知的3条边的长度是梯形的高，即平行四边形的高，平行四边形的底＝梯形的上底，根据平行四边形面积＝底×高，列式解答即可。

【详解】120×（480－120－100－200）＝120×60＝7200（平方米）答：花菜的种植面积是7200平方米。

北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，＝BC•AE＝24．∴S菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD 上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE 的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF ≌△ADH （SAS ）．∴AF ＝AH ，BF ＝DH ．∵Rt △F AH 是等腰直角三角形，∴HF ＝AF ．∵HF ＝DH +DF ＝BF +DF ，∴BF +DF ＝AF ．10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，，∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ； 故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝； 【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，∵S 平行四边形ABCD ＝AB •KL ＝AD •PQ ，∴3×2OK ＝5×2OQ ， ∴＝，∵S △AOB ＝S 平行四边形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 平行四边形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OK ＝×1×OK ，S △AOG ＝AG •OQ ， ∴×1×OK ＝AG •OQ ，∴＝AG ＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

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特殊平行四边形（二）拓展性题目拓展题目
应用拓展1:
已知:如图，分别以BM、CM为边，向?BMC形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、
DG、H分别为AB、BC、CD、DA中点。

H(1)猜测四边形EFGH的形状; AGM(2)证明你的猜想; E(3)三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响, BCF D
MA分析:可以把图形分解成我们所熟悉的图形。

四边形EFGH的形状是由线段AC、BD决定的。

BC连结AC、BD，?AMC与?BMD全等。

所以AC=BD,因此四边形EFGH是菱形。

如下图所示，?BMC形状的改变对上述结论没有影响。

HHDDA A
M GEGE
BCFBCF
A
D HH
AGEMM EDGBC FBCF
变式练习1:
已知:如图，分别以BM、CM为边，向?BMC形外作等腰直角三角形ABM、CDM，E、
F、G、H
分别为AB、BC、CD、DA中点。

DH(1)猜测四边形EFGH的形状; A
G(2)证明你的猜想;
EM(3三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响,
C BF
F: 变式练习2M
E已知:如图，分别以AB、AC为边向?ABC A
Q形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、 GPP、Q分别是EF、BC、EB、FC 的中点。

D
NBC(1)猜测四边形MPNQ的形状;
(2)试证明你猜想的结论。

(3)?ABC形状的改变是否对上述结论有影响,
应用拓展2:
如图，四边形ABCD中，
(1)若E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH为平行四边形 (2)若E、
F、G、H分别为各边的四等份点，则四边形EFGH为平行四边形 (3)若E、F分别AB、BC边的四等份点，G，H分别为边CD、DA的中点，则四边形EFGH为梯形。

DHHDDHA AAEEGG EG
BBCCC BFFF
应用拓展3:
如图，梯形ABCD中，AB?CD，M是AD中点，N是BC中点，E是CD中点，F是DCAB中点。

求证:若EF=MN，则BD?ME。

MN变式练习1:求证:若AC=BD，则EF?MN;
A变式练习2:求证:若AC?BD，则EF=MN。

BF
应用拓展4:
中点三角形的概念:顺次连结三角形的各边中点所组成的三角形叫做中点三角形我们可以得到以下结论: A
111(1)DE=BC，DF=AC，EF=AB 222
(2)?ABC??DEF E D
1C B (3)C=C ?DEF?ABC2F 1(4)S=S ?DEF?ABC4
请你模仿上面题目，解答下面的题目:
中点四边形的概念:顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。

我们可以得到以下结论:
11(1)EF=HG=AC，EH=FG=BD 22
(2)四边形EFGH是平行四边形
(3)C=AC+BD EFGH
1(4)S=S EFGHABCD2
D
HG
A CEFB
拓展(1):中点五边形呢,
拓展(2):中点六边形呢,
拓展(3):中点n边形呢,。

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