高中数学的对称问题
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例2、直线2x+y-3=0关于直线x-y-1=0对称的直线是__x_+_2_y_-_2_=_0_; 关于直线x+y-2=0对称的直线是____x_+_2_y_-_3_=_0_____.
例3、已知点A(-3,5),B(2,15),直线 l :3x-4y+4=0,在l上求一点P，
使得 PA PB 最小。
( KEY: P(8/3,3), ( PA PB )min =５ 13 )
为__(_2_m____a__,_2_n b)
解析：设C（x，y），则由中点公式得
m
n
a 2
b 2
x y
x 2m a
y
2n
b
关于点对称的问题即中心对称问题，关键在于抓住
两对称点被中心平分这一性质；
2.直线关于点的对称
例2、 求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识回顾：
点与点关于点对称
点对称
线与线关于点对称
对称
点与点关于直线对称
轴对称 线与线关于直线对称
（1）点对称（中心对称）：
A(x1,y1)
①点与点关于点对称：
P(m,n)
点A(x1,y1)关于P(m,n)对称的点 A＇的坐标为(2：m-x1,2n-y1).
A＇(2m-x1,2n-y1)
② 线与线关于点对称： f (x,y)=0 f (2m-x,2n-y)=0
(a为常数),则f (x)的图象关于＿＿直＿线＿x＿ ＿a ＿对称；
(5)函数y f (x)与y f (m x)的图象关于＿直＿线＿x ＿m2＿对称；
Ⅱ解析几何中的对称问题 相关结论有：
设方程f (x, y) 0
(1) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿y＿轴＿对称；
(2) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿x轴＿＿＿对称； (3) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿原＿点＿＿对称；
对称问题
引入思考： 1. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于点P（1，2）
的对称点B？
2. 已知直线a:x+y-1=0，如何求直线a关于P(1,2) 的对称直线b？
3. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于直线x+y-1=0的 对称点E？
4. 已知直线a:x-y+1=0，如何求直线a关于直线 x+2y-1=0的对称直线l？
曲线 f (x,y)=0关于点P(m,n)对称的 曲线方程为：f (2m-x,2n-y)=0.
P(m,n) M(x,y)
M′ (2m-x,2n-y)
二．对称问题的处理方法
1.点关于点的对称
例1.(1)点A(a, b)关于原点的对称点坐标为＿(＿a,＿b)
(2)点A(a,b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
由线段MM′的中点坐标满足l 的方程(中点在l上)
及kMM′·k l= -1 ( MM′⊥ l )建立方程组求得。
即：设l :Ax+By+C=0， M(x1,y1)， M′(x,y)，则有：
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
，
Ａ
x1
2
x
Ｂ
y1
2
y
Ｃ＝０
由此解得x,y。
M(x1,y1) l M′(x,y)
(4) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿＿直＿线＿y＿＿x ＿对称；
(5) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿直＿线＿y＿ ＿x＿对称.
这是近几年高考中常见的题型之一。其思想是 一种常用的数学思想方法，是近几年高考考查的热 点问题之一。
例1、直线y=x-1关于点(2,3)对称的直线方程为___x_-y_+__3_=_0__; 关于直线y=2x对称的直线方程为____7_x_-y_+_5_=__0______.
②曲线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的曲线方程分别为： 关于原点:_____f _(-_x_,_-y_)_=_0____; 关于x轴:___f_(_x_,-_y_)=__0__; 关于y轴: _____f _(-_x_,_y_)=_0_____; 关于直线y=x:__f__(y_,_x_)=_0____; 关于直线y=-x:__f_(_-_y_,-_x_)=__0__; 关于直线x=a:___f _(2_a_-_x_,_y_)=_0_.
③曲线 f (x,y)=0关于直线y=x+b对称的曲线方程为f__(y_-_b_,_x_+_b_)=__0_; 关于直线y=-x+b对称的曲线方程为_f_(_-_y_+_b_,-_x_+_b_)_=_0_.
一、对称问题的类型
对称问题是中学数学常见的一类数学问题。可分为两类：
Ⅰ抽象函数的对称问题 相关的结论有：
(1)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿＿y＿轴＿＿＿对称；
(2)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿＿x轴＿＿＿＿对称；
(3)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿原＿点＿＿＿对称；
(4)函数f (x)在定义域内若对任意x都有f (a x) f (a x)
② 线与线关于直线对称：
求曲线 C1: f (x,y)=0关于直线 l 对称的曲线 C2 的方法： 设C1: f (x,y)=0， l :Ax+By+C=0,
步骤：在C2上任取一点M(x,y),则点M关于的对称点M′(x1,y1)
必在C1上;
❖由
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
解出x1,y1 (均是用x,y表示的)；
解：N设(M2 (xx, ,y)对2 称y直)在线直上线任y一点3，x 则4其上关于P的对称点
y
2 y 3(2 x) 4 化简得3x y 10 0
O
x P(2,–1)
所求直线方程是3x y 10 0.
y=3x–4
还可以有什么方法？
（2）轴对称
①点与点关于直线对称：
求点M关于直线l对称的点 M′的方法：
Ａ
x1 2
x
y1 2
y
Ｃ＝０
C1 M＇(x1,y1)
将上面求得的x1,y1代入C1方程， l 整理即得的C2方程。
M(x,y)
C2
（3）几种特殊的对称：
①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:_____(_-x_,_-_y_) ____; 关于x轴:______(x_,_-_y_) ____; 关于y轴: _____(_-x_,_y_)_____; 关于直线y=x:__(_y_,x_)_____; 关于直线y=-x:___(-_y_,-_x_)___; 关于直线x=a:_(_2_a_-_x_,y_)___.
例3、已知点A(-3,5),B(2,15),直线 l :3x-4y+4=0,在l上求一点P，
使得 PA PB 最小。
( KEY: P(8/3,3), ( PA PB )min =５ 13 )
为__(_2_m____a__,_2_n b)
解析：设C（x，y），则由中点公式得
m
n
a 2
b 2
x y
x 2m a
y
2n
b
关于点对称的问题即中心对称问题，关键在于抓住
两对称点被中心平分这一性质；
2.直线关于点的对称
例2、 求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识回顾：
点与点关于点对称
点对称
线与线关于点对称
对称
点与点关于直线对称
轴对称 线与线关于直线对称
（1）点对称（中心对称）：
A(x1,y1)
①点与点关于点对称：
P(m,n)
点A(x1,y1)关于P(m,n)对称的点 A＇的坐标为(2：m-x1,2n-y1).
A＇(2m-x1,2n-y1)
② 线与线关于点对称： f (x,y)=0 f (2m-x,2n-y)=0
(a为常数),则f (x)的图象关于＿＿直＿线＿x＿ ＿a ＿对称；
(5)函数y f (x)与y f (m x)的图象关于＿直＿线＿x ＿m2＿对称；
Ⅱ解析几何中的对称问题 相关结论有：
设方程f (x, y) 0
(1) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿y＿轴＿对称；
(2) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿x轴＿＿＿对称； (3) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿原＿点＿＿对称；
对称问题
引入思考： 1. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于点P（1，2）
的对称点B？
2. 已知直线a:x+y-1=0，如何求直线a关于P(1,2) 的对称直线b？
3. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于直线x+y-1=0的 对称点E？
4. 已知直线a:x-y+1=0，如何求直线a关于直线 x+2y-1=0的对称直线l？
曲线 f (x,y)=0关于点P(m,n)对称的 曲线方程为：f (2m-x,2n-y)=0.
P(m,n) M(x,y)
M′ (2m-x,2n-y)
二．对称问题的处理方法
1.点关于点的对称
例1.(1)点A(a, b)关于原点的对称点坐标为＿(＿a,＿b)
(2)点A(a,b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
由线段MM′的中点坐标满足l 的方程(中点在l上)
及kMM′·k l= -1 ( MM′⊥ l )建立方程组求得。
即：设l :Ax+By+C=0， M(x1,y1)， M′(x,y)，则有：
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
，
Ａ
x1
2
x
Ｂ
y1
2
y
Ｃ＝０
由此解得x,y。
M(x1,y1) l M′(x,y)
(4) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿＿直＿线＿y＿＿x ＿对称；
(5) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿直＿线＿y＿ ＿x＿对称.
这是近几年高考中常见的题型之一。其思想是 一种常用的数学思想方法，是近几年高考考查的热 点问题之一。
例1、直线y=x-1关于点(2,3)对称的直线方程为___x_-y_+__3_=_0__; 关于直线y=2x对称的直线方程为____7_x_-y_+_5_=__0______.
②曲线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的曲线方程分别为： 关于原点:_____f _(-_x_,_-y_)_=_0____; 关于x轴:___f_(_x_,-_y_)=__0__; 关于y轴: _____f _(-_x_,_y_)=_0_____; 关于直线y=x:__f__(y_,_x_)=_0____; 关于直线y=-x:__f_(_-_y_,-_x_)=__0__; 关于直线x=a:___f _(2_a_-_x_,_y_)=_0_.
③曲线 f (x,y)=0关于直线y=x+b对称的曲线方程为f__(y_-_b_,_x_+_b_)=__0_; 关于直线y=-x+b对称的曲线方程为_f_(_-_y_+_b_,-_x_+_b_)_=_0_.
一、对称问题的类型
对称问题是中学数学常见的一类数学问题。可分为两类：
Ⅰ抽象函数的对称问题 相关的结论有：
(1)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿＿y＿轴＿＿＿对称；
(2)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿＿x轴＿＿＿＿对称；
(3)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿原＿点＿＿＿对称；
(4)函数f (x)在定义域内若对任意x都有f (a x) f (a x)
② 线与线关于直线对称：
求曲线 C1: f (x,y)=0关于直线 l 对称的曲线 C2 的方法： 设C1: f (x,y)=0， l :Ax+By+C=0,
步骤：在C2上任取一点M(x,y),则点M关于的对称点M′(x1,y1)
必在C1上;
❖由
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
解出x1,y1 (均是用x,y表示的)；
解：N设(M2 (xx, ,y)对2 称y直)在线直上线任y一点3，x 则4其上关于P的对称点
y
2 y 3(2 x) 4 化简得3x y 10 0
O
x P(2,–1)
所求直线方程是3x y 10 0.
y=3x–4
还可以有什么方法？
（2）轴对称
①点与点关于直线对称：
求点M关于直线l对称的点 M′的方法：
Ａ
x1 2
x
y1 2
y
Ｃ＝０
C1 M＇(x1,y1)
将上面求得的x1,y1代入C1方程， l 整理即得的C2方程。
M(x,y)
C2
（3）几种特殊的对称：
①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:_____(_-x_,_-_y_) ____; 关于x轴:______(x_,_-_y_) ____; 关于y轴: _____(_-x_,_y_)_____; 关于直线y=x:__(_y_,x_)_____; 关于直线y=-x:___(-_y_,-_x_)___; 关于直线x=a:_(_2_a_-_x_,y_)___.