高中数学的对称问题
高中数学直线的对称问题终结版知识讲解题型专练总结
直线中的对称问题知识讲解题型一、点关于点成中心对称对称中心是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题． 设),(00y x P ，对称中心为),(b a A ，则P 关于A 的对称点为)2,2('00y b x a P --．题型二、点与点关于直线成轴对称问题对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”（位置关系）“平分”（数量关系）这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点),(00y x P 关于直线b kx y +=的对称点为)','('y x P ，则有0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，可求出'x 、'y ． 特殊地，点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2('00y x a P -；点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -．题型三、曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般是转化为点的中心对称或轴对称结论如下：（1）曲线0),(=y x f 关于已知点),(b a A 的对称曲线的方程是0)2,2(=--y b x a f ．（2）曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线的求法：设曲线0),(=y x f 上任意一点为),(00y x P ，P 点关于直线b kx y +=的对称点为),('y x P ，则由（2）知，P与'P 的坐标满足0000'1'''22y y k x x y y x x k b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩，从中解出0x 、0y ，代入已知曲线0),(=y x f ，应有0),(=y x f 利用坐标代换法就可求出曲线0),(=y x f 关于直线b kx y +=的对称曲线方程．题型四、两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -．（2）点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -．（3）点),(y x 关于原点的对称点为),(y x --．（4）点),(y x 关于直线x －y =0的对称点为),(x y ．（5）点),(y x 关于直线x +y =0的对称点为),(x y --．（6）点),(y x 关于直线x －y+c =0的对称点为),(c x c y +-．（7）点),(y x 关于直线x +y+c =0的对称点为),(x c y c ----．例1.求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y --=的对称圆方程．例2.求直线042:=-+y x a 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程．例3.自点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆2244x y x y +-- 70+=相切，求光线l 所在的直线方程．例4.已知点)5,3(M ，在直线022:=+-y x l 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ △的周长最小．变式练习1.圆4)1()1(22=-+-y x 关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 ．变式练习2.试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程．课后作业1．已知点)3,1(A 、)2,5(B ，在x 轴上找一点P ，使得PB PA +最小，则最小值为_________，P 点的坐标为_________．2．已知点),(b a M 与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0=+y x 对称，则点Q 的坐标为（ ）A ．),(b aB ．),(a bC ．),(b a --D ．),(a b --3．已知直线05:1=++my x l 和直线0:2=++p ny x l ，则1l 、2l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．n p m =5B ．5-=pC ．n m -=且5-=pD ．nm 11-=且5-=p 4．点)5,4(A 关于直线l 的对称点为)7,2(-B ，则l 的方程为____________．5．设直线054=-+y x 的倾斜角为θ，则它关于直线03=-y 对称的直线的倾斜角是___________．6．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x 7．与直线012=-+y x 关于点)11(-，对称的直线方程为（ ） A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．032=++y xD ．012=--y x 8.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为_______-9．两直线x y 33=和1=x 关于直线l 对称，直线l 的方程是___________．10．直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)1,4(-A 、)4,3(B 的距离之差最大，则P 点的坐标是________．11．直线x y 2=是△ABC 中C ∠的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为)2,4(-A 、)1,3(B ，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 的一个顶点)4,1(--A ，B ∠、C ∠的平分线所在直线的方程分别为01:1=+y l ，01:2=++y x l ，求边BC 所在直线的方程13． 已知两点)3,2(A 、)1,4(B ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P ．（1）使PB PA +最小；（2）使PB PA -最大．。
高中数学例题：直线对称问题
高中数学例题：直线对称问题例3． 已知直线l 1：2x+y ―4=0，求l 1关于直线l ：3x+4y ―1=0对称的直线l 2的方程．【答案】2x+11y+16=0【解析】 解法一：由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得直线l 1与l 的交点为P （3，―2），显然P 也在直线l 2上．在直线l 1上取一点A （2，0），又设点A 关于直线l 的对称点为B（x 0，y 0），则0000042320341022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得48,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线l 2上一动点M （x ，y ）关于直线l 的对称点为'(',')M x y ，则'4'3''341022y y x x x x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩． 显然'(',')M x y 在l 1上，故724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线l 2的方程．【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P （x 0，y 0）的对称点Q ，只需由对称轴方程解出x ，再用y 0代替y ，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．举一反三：【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程．【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0． 例4．在直线l ：3x ―y ―1=0上求一点P ，使得：（1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大；（2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小．【答案】（1）（2，5）（2）1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 设B 关于l 的对称点为B ＇，AB ＇与l 的交点P 满足（1）；设C 关于l 的对称点为C ＇，AC ＇与l 的交点P 满足（2）．事实上，对（1），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||''||'|P A P B P A P B AB -=-<||PA = |'|||||PB PA PB -=-；对于（2），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||'||'|P A P C P A P C AC +=+>||PA = ||PC +．（1）如图1所示，设点B 关于l 的对称点B ＇的坐标为（a ，b ）， '1BB l k k ⋅=-，即431b a-⋅=-， ∴a+3b －12=0． ①又由于BB ＇的中点坐标为4,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在直线l 上，∴431022ab +⋅--=，即3a ―b ―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B ＇（3，3）．于是直线AB ＇的方程为143134y x --=--，即2x+y －9=0． 解由l 的直线方程与AB ＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l 与AB ＇的交点坐标为（2，5），所以P （2，5）．（2）如图2所示，设C 关于l 的对称点为C ＇，求出C ＇的坐标为324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴AC ＇所在直线的方程为19x+17y ―93=0．AC ＇和l 交点坐标为1126,77P ⎛⎫⎪⎝⎭． 故P 点坐标为1126,77⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l 上求一点，使这点到两定点A 、B 的距离之差最大的问题，若这两点A 、B 位于直线l 的同侧，则只需求出直线AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A 、B 两点位于直线l 的异侧，则先求A 、B 两点中某一点（如A ）关于直线l 的对称点A ＇，再求直线A ＇B 的方程，再求它们与直线l 的交点即可．对于在直线l 上求一点P ，使P 到平面上两点A 、B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解．举一反三：【变式1】已知点M （3，5），在直线l ：x ―2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 周长最小．【答案】59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、70,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】由点(3,5)M 及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点1(5,1)M ．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点2(3,5)M -．据1M 及2M 两点可得到直线1M 2M 的方程为270x y +-=，解方程组270220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，得到1M 2M 与y 轴的交点7(0,)2Q ．。
高中数学专题---对称问题
高中数学专题--- 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y+=.ABC∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B关于原点对称，试问ABC∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212yx+=，记椭圆的右顶点为C，点(),D m n（0n≠）在椭圆上，直线CD交y轴于点M，点E与点D关于y轴对称，直线CE交y轴于点N．问：x轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ∠=∠（O为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APD线AP 的方程.。
高中数学平面几何对称问题(共25张PPT)
直线关于特殊直线的对称
Ax By C 0
x轴
Ax B( y) C 0
A( x) B( y) C 0
y轴
Ay Bx C 0
yx
A( y) B( x) C 0
练习
求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线 n的方程.
二.轴对称(即关于直线的对称)
(一)点关于直线的对称:
例3.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知: 线段AB⊥l 即;
n 1 2 m (7)
y x
几种特殊的对称（当堂口答）：
点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
(-x,-y) 关于原点:__________; 关于y轴: __________; (-x,y) (-y,-x) 关于直线y=-x:______; (x,-y) 关于x轴:__________; (y,x) 关于直线y=x:______; 关于直线x=a:_______. (2a-x,y)
(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;
(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.
例：已知x,y满足x+y=0，求
( x 3) 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 3) 2 y 的最小值。 N(-2,3)
P O x M(3,-1)
M′(1,-3)
A（ x） B（ y） C 0 补：关于原点:____________ ;
应用一：解决物理光学方面的问题
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
【高考数学对称问题知识总结】 高考数学知识点总结
【高考数学对称问题知识总结】高考数学知识点总结各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。
下面小编给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。
高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P关于点对称点为P′，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P关于直线L：Ax+By+C=O 的对称点为x′=x-P′则y′=y-事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C 解此方程组可得结论。
=-1特别地，点P关于1、x轴和y轴的对称点分别为和2、直线x=a和y=a的对标点分别为和3、直线y=x和y=-x的对称点分别为和例1光线从A发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′，B关于y轴对称点B′为，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F=O上任意一点关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F=0关于点的对称曲线的方程是F=02、曲线F=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F，y-)=0特别地，曲线F=0关于x轴和y轴对称的曲线方程分别是F 和F=0关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F=0和F=0关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F=0和F=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f|的图象。
关于高中数学对称问题
关于高中数学对称问题一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点（a,b）对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x 由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-（Ax+By+C）P′(x′，y′)则y′=y-（AX+BY+C）事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得:Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
（- ）=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射,再经过y轴反射,反射光线经过点B(1,5),求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0),Ｂ关于y轴对称点B′为(-1,5),直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C(0, )｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O 上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，-y）和F（-x，y）=0（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0（3）关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
高中数学中曲线对称的解法及应用
高中数学中曲线对称的解法及应用
曲线的对称有三种情况：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
一、关于x轴对称：
当曲线关于x轴对称时，对于曲线上的任意一点P(x,y)，其关于x轴对称的点为
P'(x,-y)。
对于关于x轴对称的曲线，求解的方法如下：
1. 将给定曲线与x轴的交点坐标记作(x1, 0)，(x2, 0)，....(xn, 0)；
2. 列出关于x轴对称的方程y = -y0，其中y0为已知条件的y坐标；
3. 将方程y = -y0代入原曲线方程，得到关于x的方程；
4. 解关于x的方程，得到对称点的横坐标；
5. 将所得的横坐标带入原曲线方程，得到对称点的纵坐标。
关于x轴对称的曲线常见的应用有：考察函数奇偶性、求解关于x轴对称的特殊点（例如顶点、交点等）。
曲线对称的解法主要是通过确定曲线与坐标轴的交点，然后列出对称方程，并代入原曲线方程求解，最后得到对称点的坐标。
这种方法在解题和应用时非常有用，可以帮助我们理解曲线的特性和性质。
高中数学对称问题分类探析
高中数学对称问题分类探析对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常显现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(- )=-1(B≠0)专门地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1 光线从A(3,4)发出后通过直线x-2y=0反射，再通过y轴反射，反射光线通过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B ′的方程为5x+6y-25=0｀C(0, )单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
对称性在高中数学中的应用举例
对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中具有十分重要的应用，下面我们来举几个具体的例子。
1.图形的对称性在几何学中，对称性是指在某些变换下，图形保持不变。
如在平面上，如果一个点绕固定点旋转180°后落在自己所在的位置上，那么这个点就具有对称性；如果一图形绕自己的对称中心旋转一定角度后与原图形完全重合，那么这个图形就具有对称性。
在学习几何的时候，我们经常需要利用图形的对称性来求解问题。
例如，已知一个等边三角形的一条边上有一点P，求P到另外两边的距离，我们可以在三角形的对称中心O处画出一条垂线，将三角形对垂线做一个轴对称，得到一个与原图形相似的三角形，然后利用相似关系求出P到另外两边的距离。
2.代数式的对称性在代数学中，对称性是指一个代数式在某些变换下保持不变。
例如，一个多项式f(x)具有奇偶对称性，当且仅当f(x)=f(-x)，称f(x)为偶函数；当且仅当f(x)=-f(-x)，称f(x)为奇函数。
利用函数的对称性，可以简化许多计算，如当我们需要求一奇函数在[-a,a]区间内的积分时，由于奇函数的积分在[-a,a]区间内相当于在[-a,0]和[0,a]上的积分之和，而由于f(x)=-f(-x)，因此在[-a,0]上的积分等于在[0,a]上的积分，因此该积分可以简化为对[0,a]上的积分进行计算。
在学习函数图像时，我们经常需要运用函数的对称性来快速绘制图像。
例如，已知f(x)具有奇偶对称性，那么在绘制f(x)的图像时，只需要绘制[-1,1]区间内的半个图像，然后将其对y轴或者原点进行对称就可以得到整个图像。
在三角形、四边形等平面图形中，如果其中一个顶点到图形的另一条边的垂线中点，与垂线的交点处于中点，那么这个图形就具有中心对称性。
利用这一性质，可以求出很多三角形的面积、周长等。
例如，已知一个三角形的三条边长分别为a，b，c，利用海伦公式可以求出三角形的面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，如果此三角形具有中心对称性，那么可以利用垂线中点定理求出三角形的高，然后再求出三角形的面积。
对称性在高中数学中的应用举例
对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中是一个非常重要的概念，它可以让我们轻松地解决一些看似复杂的问题，并且在实际生活中也有很多应用。
以下是一些对称性在高中数学中的应用举例：1. 函数的奇偶性：函数在地球上的任何一个点都具有对称性。
如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数；如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，那么它是偶函数。
奇偶性使我们能够确定曲线在原点处的对称性，从而可以轻松地求出其它点的函数值。
2. 点、线、面的对称性：在几何学中，对称性是非常重要的，因为它能够使我们通过已知的几何图形来推断其它几何图形的性质。
例如：如果一条直线是平面的对称轴，那么它将把平面分成两个等面积的部分；如果一个点是一个圆的中心，那么这个圆将对称于这个点。
通过这些对称性，我们可以轻松地计算出椭圆、双曲线等几何图形的性质。
3. 正多边形的对称性：正多边形具有很强的对称性，因为它们可以以不同的方式被划分成多个等面积的部分。
对称性使我们能够将正多边形划分成等角的三角形，进而计算出其各个角度的大小。
例如：一个正五边形可以被划分成五个等角三角形，其中每个角的大小为 108 度。
4. 二次函数的轴对称性：二次函数在定义域内具有轴对称性，这意味着函数曲线相对于其轴是对称的。
这个对称性使我们能够轻松地计算出二次函数的顶点坐标、对称轴方程等性质。
例如：一个二次函数 f(x) = ax^2 +bx+c 的顶点坐标为 (-b/2a,f(-b/2a))，并且对称轴的方程为 x=-b/2a。
5. 中心对称图形的性质：中心对称图形将保持图形的形状和大小不变，只是将其反转。
这个对称性使我们能够轻松地计算出相似形的面积比和周长比。
例如：当一个图形沿着中心对称轴被翻转时，它的面积和周长会保持不变。
高中数学：直线方程中的对称问题
高中数学：直线方程中的对称问题在高中数学必修二的第三章“直线方程”中，可以有一个小专题为直线中的“对称问题”。
这主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
一、对称问题的求解方法1、点关于点的对称【例1】已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
2、直线关于点的对称【例2】求直线3x-y-4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3x-y+b=0。
说明：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线3x-y-4=0上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称【例3】求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称的点的坐标。
分析：利用点关于直线对称的性质求解。
4、直线关于直线的对称二、关于对称常见的几种题型1、角平分线问题已知的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
例1：已知△ABC的顶点A（-1，-4），内角B、C的平分线所在直线分别为1：y+1=0，2：x+y+1=0 ，求BC边所在的直线方程。
2、入射光线和反射光线问题关于过点A(x0,y0),入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。
高中数学对称问题教案
高中数学对称问题教案一、教学目标1. 知识与能力：学生了解对称问题的基本概念，掌握对称图形的性质和判定方法。
2. 过程与方法：通过实例练习，培养学生分析问题、解决问题的能力；通过团体讨论，培养学生合作、交流的意识。
3. 情感态度与价值观：培养学生对对称问题的兴趣，激发学生学习数学的热情。
二、教学重难点1. 对称问题的基本概念和性质；2. 对称图形的判定方法。
三、教学内容1. 对称问题的基本概念2. 对称图形的性质3. 对称图形的判定方法四、教学过程1. 导入：通过展示一些有对称性的图形，引入对称问题的讨论。
2. 学习对称问题的基本概念，包括关于对称轴、对称中心等概念的讲解和示例演练。
3. 学习对称图形的性质，如对称图形的性质、对称图形的对称中心等内容的讲解和练习。
4. 学习对称图形的判定方法，包括如何判断一个图形是否是对称形等内容的讲解和练习。
5. 教师总结，让学生对对称问题的相关知识进行回顾和总结。
6. 操练与扩展，让学生通过综合练习和实际问题的应用来巩固对称问题的知识与技能。
五、教学方法1. 讲授相结合：通过教师讲授与学生讨论相结合的方式，引导学生深入理解对称问题的概念；2. 案例分析：通过具体案例分析的方式，引导学生掌握对称图形的性质和判定方法；3. 课堂练习：通过课堂练习，巩固学生对对称问题的理解和应用能力；4. 团体讨论：组织学生进行团体讨论，促使学生之间的交流与合作。
六、教学评价1. 知识水平：考察学生对对称问题的概念、性质和判定方法的掌握情况；2. 能力水平：考察学生解决对称问题的能力和应用能力；3. 态度与价值观：观察学生对数学学习的态度和热情。
七、课后作业1. 完成相应的课后习题，巩固对称问题的知识和技能；2. 思考并解决一个与对称问题相关的实际问题。
以上是一份高中数学对称问题教案范本，希望对您有帮助。
祝教学顺利！。
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(2)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿＿x轴＿＿＿＿对称；
(3)函数y f (x)与y f (x)的图象关于＿原＿点＿＿＿对称；
(4)函数f (x)在定义域内若对任意x都有f (a x) f (a x)
(4) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿＿直＿线＿y＿＿x ＿对称；
(5) f ( y, x) 0与f (x, y) 0关于＿直＿线＿y＿ ＿x＿对称.
这是近几年高考中常见的题型之一。其思想是 一种常用的数学思想方法，是近几年高考考查的热 点问题之一。
例1、直线y=x-1关于点(2,3)对称的直线方程为___x_-y_+__3_=_0__; 关于直线y=2x对称的直线方程为____7_x_-y_+_5_=__0______.
( KEY: P(8/3,3), ( PA PB )min =５ 13 )
③曲线 f (x,y)=0关于直线y=x+b对称的曲线方程为f__(y_-_b_,_x_+_b_)=__0_; 关于直线y=-x+b对称的曲线方程为_f_(_-_y_+_b_,-_x_+_b_)_=_0_.
一、对称问题的类型
对称问题是中学数学常见的一类数学问题。可分为两类：
Ⅰ抽象函数的对称问题 相关的结论有：
例2、直线2x+y-3=0关于直线x-y-1=0对称的直线是__x_+_2_y_-_2_=_0_; 关于直线x+y-2=0对称的直线是____x_+_2_y_-_3_=_0_____.
例3、已知点A(-3,5),B(2,15),直线 l :3x-4y+4=0,在l上求一点P，
使得 PA PB 最小。
Ａ
x1 2
x
y1 2
y
Ｃ＝０
C1 M＇(x1,y1)
将上面求得的x1,y1代入C1方程， l 整理即得的C2方程。
M(x,y)
C2
（3）几种特殊的对称：
①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:_____(_-x_,_-_y_) ____; 关于x轴:______(x_,_-_y_) ____; 关于y轴: _____(_-x_,_y_)_____; 关于直线y=x:__(_y_,x_)_____; 关于直线y=:___(-_y_,-_x_)___; 关于直线x=a:_(_2_a_-_x_,y_)___.
解：N设(M2 (xx, ,y)对2 称y直)在线直上线任y一点3，x 则4其上关于P的对称点
y
2 y 3(2 x) 4 化简得3x y 10 0
O
x P(2,–1)
所求直线方程是3x y 10 0.
y=3x–4
还可以有什么方法？
（2）轴对称
①点与点关于直线对称：
求点M关于直线l对称的点 M′的方法：
知识回顾：
点与点关于点对称
点对称
线与线关于点对称
对称
点与点关于直线对称
轴对称 线与线关于直线对称
（1）点对称（中心对称）：
A(x1,y1)
①点与点关于点对称：
P(m,n)
点A(x1,y1)关于P(m,n)对称的点 A＇的坐标为(2：m-x1,2n-y1).
A＇(2m-x1,2n-y1)
② 线与线关于点对称： f (x,y)=0 f (2m-x,2n-y)=0
② 线与线关于直线对称：
求曲线 C1: f (x,y)=0关于直线 l 对称的曲线 C2 的方法： 设C1: f (x,y)=0， l :Ax+By+C=0,
步骤：在C2上任取一点M(x,y),则点M关于的对称点M′(x1,y1)
必在C1上;
❖由
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
解出x1,y1 (均是用x,y表示的)；
对称问题
引入思考： 1. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于点P（1，2）
的对称点B？
2. 已知直线a:x+y-1=0，如何求直线a关于P(1,2) 的对称直线b？
3. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于直线x+y-1=0的 对称点E？
4. 已知直线a:x-y+1=0，如何求直线a关于直线 x+2y-1=0的对称直线l？
由线段MM′的中点坐标满足l 的方程(中点在l上)
及kMM′·k l= -1 ( MM′⊥ l )建立方程组求得。
即：设l :Ax+By+C=0， M(x1,y1)， M′(x,y)，则有：
y1 x1
y x
Ｂ Ａ
，
Ａ
x1
2
x
Ｂ
y1
2
y
Ｃ＝０
由此解得x,y。
M(x1,y1) l M′(x,y)
为__(_2_m____a__,_2_n b)
解析：设C（x，y），则由中点公式得
m
n
a 2
b 2
x y
x 2m a
y
2n
b
关于点对称的问题即中心对称问题，关键在于抓住
两对称点被中心平分这一性质；
2.直线关于点的对称
例2、 求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称.
(a为常数),则f (x)的图象关于＿＿直＿线＿x＿ ＿a ＿对称；
(5)函数y f (x)与y f (m x)的图象关于＿直＿线＿x ＿m2＿对称；
Ⅱ解析几何中的对称问题 相关结论有：
设方程f (x, y) 0
(1) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿y＿轴＿对称；
(2) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿x轴＿＿＿对称； (3) f (x, y) 0与f (x, y) 0关于＿＿原＿点＿＿对称；
曲线 f (x,y)=0关于点P(m,n)对称的 曲线方程为：f (2m-x,2n-y)=0.
P(m,n) M(x,y)
M′ (2m-x,2n-y)
二．对称问题的处理方法
1.点关于点的对称
例1.(1)点A(a, b)关于原点的对称点坐标为＿(＿a,＿b)
(2)点A(a,b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
②曲线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的曲线方程分别为： 关于原点:_____f _(-_x_,_-y_)_=_0____; 关于x轴:___f_(_x_,-_y_)=__0__; 关于y轴: _____f _(-_x_,_y_)=_0_____; 关于直线y=x:__f__(y_,_x_)=_0____; 关于直线y=-x:__f_(_-_y_,-_x_)=__0__; 关于直线x=a:___f _(2_a_-_x_,_y_)=_0_.