高等数学第八章多元函数积分学PPT

y d
x1(y)
c o
x2(y)
x
y d
x1(y)
c o
［Y－型］
x2(y)
x
Df(x,y)dc d 1 2 ((yy))f(x,y)d xd.y
cddy 12((yy))f(x,y)dx
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
34
1. 若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域. 比如
20
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
z
zf(x,y)
z
o D• x
(i,i)
y i
o xD
y
•
(i,i)
i
zf(x,y)
21
在直角坐标系下用平行于坐 y
标轴的直线网来划分区域D，
则面积元素为
ddxdy
o 故二重积分可写为
02
0
2
2d1rsirndr 21rsirnd . r
0
0
0
38
3.
若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式
D3
D1
D2
f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d .
D
D 1
D 2
D 3
值和最小值，为D的面积，则
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质７设 函 数 f(x ,y )在 闭 区 域 D 上 连 续 ， 为 D 的 面 积 ， 则 在 D 上 至 少 存 在 一 点 (,)使 得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
25
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
36
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
0y1.
o
1x
于是，
0 1dx 0 1xf(x,y)d yD f(x, y)d
y
y
y
0
x0
x0
x
等等, 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 此时,
bdy x 2(x)f(x,y)d yddx y 2(y)f(x,y)dx f (x, y)d
a y 1(x)
c x 1(y)
D
当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序,
可能好算.
35
2.
（1）如果积分区域是矩形 axb,cyd
i
15
步骤如下：
1. 分割
z
zf(x,y)
D 任意分成 n 个小闭区域1 ，
2,…，n, 其中 i 表示
第 i 个小闭区域，也表示它的面
o
积。对应的小曲顶柱体体积为Vi . x D
2. 取近似
y
•
(i,i)
i
在 每 个 i上 任 取 一 点 (i,i) ， V i f (i,i) i.
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思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
29
利用直角坐标计算二重积分
30
利用直角坐标系计算二重积分
(iv) 记m 1in{aD x i的直 },径
其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.
如图
n
x
则Vl i0m i1f(i,i)i,
y Di
其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.
求曲顶柱体体积的方法：
分割、取近似、 求和、取极限。
z
zf(x,y)
o xD
y
•
(i,i)
如图
z
z = f (x,y)
z = f (x,y)
0
x Di
y
D
Di
(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体
可近似看作小平顶柱体.
( i , i) Di .
z = f (x,y)
小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积.
则小平顶柱体的体积
= f ( i , i) i 小
则
abf(x)dxl i0m i n1f(i)xi
当f(x)0时,abf(x)dx在几何上表示 面曲 积 .
如图
y
y = f (x)
f ( i)
其中 i[xi, xi+1],
xi = xi+1 xi , 表小区
间[xi, xi+1]的长, f ( i)
xi表示小矩形的面积.
0 a xi i xi+1 b x
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例1 将 f(x, y)dxdy 化为二次积分。
D
其中 D 由直线 y x ,y x 2 ,y 2 ,y 4 围成。
解 1： 先画出积分区域 D 。 D 是 Y－型。
yxy2, D:
2y4. 于是，
y
4
2
yx
o 2 4 6x
yx2
f(x,y)dxdy
D
4
2
dy
y2
y
f(x,
y)dx
f (x ,y ) d f (x ,y ) d f (x ,y ) d.
D
D 1
D 2
性质４ 若为D的面积， 1dd.
D
D
性质５ 若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)d g (x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
24
性质６ 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大
则 f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
37
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
41
解 2：
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
D2:
o 4x6, x2y4.
24
yx2
6x
于是，f(x ,y )dx d f(x y ,y )dx d f(x y ,y )dxd
D
D 1
D 2
24 dx
2xf(x,y)dy46 dx
4
x 2
f(x,y)dy
( 2 )二 重 积 分 值 仅 与 f( x ,y ) 及 D 有 关 ， 与 积 分 变 量 符 号 无 关 ， 即
f(x,y)df(u ,v)d
D
D
( 3 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式 的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
3. 求和
n
Vf(i,i)i.
i1
n
4. 取极限
Vl im 0i 1f(i,i)i. m 1 , a 1 , , x 16 n }
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有xo面 y上的闭区域 D，在点
(x,y)处的面密度为(x,y)，假定 (x,y)在 D上连
续，平面薄片的质量为多少？
x 1
dx
2 1
x3 2
x 2
dx
x4 8
x2 4
2 1
9 8
.
44
例3
计算 xydxdy ,其中 D:x2 y2 ≤ 1 x ≥ 0 ， y ≥ 0 .
D
解 作 D 的 图 形 (见 下 图 ).先 对 y 积 分 (固 定 x), y 的 变 化 范 围 由 0 到 1 x2 ,然 后 再 在 x 的 最 大 变 化 范 围 [0,1]内 对 x 积 分 ， 于 是 得 到
个 i 上任取一点 (i ,i )，作乘积 f (i ,i )i ，
n
(i 1,2, ,n)，并作和 f (i ,i )i ，
i1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，
这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭
区域 D 上的二重积分，记为 f ( x, y)d ，即
D
n
D
先讨论积分区域为： axb, 1 (x )y 2 (x ).
［X－型］
y y2(x)
y y2(x)
X 型区域的特点： 穿过区域且平行于
y 轴的直线与区域
y1(x)
y1(x)
边界相交不多于
oa
b x oa
b x 两个交点.
其中函数 1(x)、2(x) 在区间 [a,b] 上连续.
31
假f定 (x,y)0. f(x,y)d的值等 D为 于底 以，
将薄片分割成若干小块，
y
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
•
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
o
n
Ml im 0i 1(i,i)i.
(i,i)
i
x
17
二、二重积分的概念
定义 设f (x, y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域
D任意分成n个小闭区域1 ，2, …，n, 其中
i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
45
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
42
例2 计算 xy d
D
其中 D 由直线 y x ,y 1 ,x 2 围成。
解 先画出积分区域 D 。
y yx
2
D 是 X－型。
1 x 2, D:
1 y x.
1
y 1
o12 x
于是， xyd
D
121x xy dy
dx
x2
43
于是，
xyd
D
12
1x
xy
dy
dx
12 x
y2 2
32
一般地，
积分区域为： axb, 1 (x )y 2 (x ).
［X－型］
Df(x,y)da b 1 2 ((x x)) f(x,y)d yd.x
b
dx
2(x) f(x,y)dy
a
1(x)
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
33
如果积分区域为： cyd, 1 (y ) x2 (y ).
1.求曲顶柱体的体积V.
z
设有一立体. 其底面是
xy 面上的区域D, 其侧面为
母线平行于 z 轴的柱面, 其
0
顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续.
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称为曲顶柱体.
x
z = f (x,y)
y D
如图
若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高.
(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.
4
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
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一、例
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i .
18
面积元素
Df(x,y)d l i0m i n 1f(i,i) i
积 被积 分 积分 区 函变 域 数量
f(x,y)d------ 被积表达式
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对二重积分定义的说明：
( 1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
dy
D dx
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
22
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
当 k 为常数时，
k (x f,y)d k f (x ,y)d .
D
D
性质２
[f(x,y)g(x,y)d ]
D
f(x ,y)d g (x ,y)d .
D
D
23
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
曲顶柱体体积
f ( i , i)
Di
( i , i)
n
(iii)因此, 大曲顶柱体的体积 Vf(i,i)i
i1
分割得越细, 则右端的近似值越接近于精
确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值
会无限接近于精确值V.
n
若 lim f (i,i)i 存在 i1 n 则 Vlim f(i,i)i i1
D
以曲z面 f(x, y)为曲顶柱体的体积．
A(x) 2(x) f(x,y)dy. 1(x)
dVA(x)dx
z
y
zf(x,y)
A( x)
y2(x)
b
b
f (x, y)d V dV A(x)dx
o
a
a
a
D
b x x dx x
y1(x)
b
a
2(x) 1(x)
f(x,y)dy
dx
第八章 多元函数积分学
• 一 二重积分的概念及简单性质 • 二 二重积分的计算
1
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结
2
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
zf(x,y)
D
柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶.
柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 曲顶柱体
3
回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积.