高等数学---教学大纲

《高等数学提升课1》课程教学大纲课程代码：090032018课程英文名称： mathematics upgrading courses one课程总学时： 48 讲课：实验： 0 上机：0适用专业：理学院大纲编写（修订）时间：2017.11一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是理工科的一门重要基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学习专业学科等后继课程的基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1. 获得证明一些问题的能力。

2. 掌握计算一些问题的方法。

3. 学习辨析一些问题的思维。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求1. 基本知识：极限理论、一元函数微积分学、常微分方程等内容。

2. 基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；培养解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。

3. 基本技能：使学生提升高等数学的基本运算和证明技能。

（三）实施说明1. 本大纲主要依据沈阳理工大学理学院2017版教学计划与目标等有关规定及全国通用《数学考研教学大纲》并结合我院实际情况进行编写。

2. 课程学时总体分配表中的章节在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考。

3. 教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过训练与讨论等方式强化重点、突出难点，使学生循序渐进的掌握知识。

在教学中要注意由易到难，循序渐进。

先理论后方法，培养初步的分析论证能力和单项解题能力，后强化综合论证能力和解题能力。

4. 教学手段：建议采用讲练结合手段开展教学。

（四）对先修课的要求本课程的先修课是《高等数学》。

（五）课程考核方式1. 考核方式：考查2. 考核目标：在考核学生高等数学基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决问题的能力。

3. 成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：期中考试成绩占50%，期末考试成绩占50%，综合评定成绩档次。

（七）参考书目《考研数学复习全书》第五版，李永乐，王式安，季文铎编，国家行政学院出版社，2017；《考研数学辅导讲义》第一版，北京理工大学数学系编，北京理工大学出版社，2012；《高等数学》第七版，同济大学数学系编，高等教育出版社，2016；《数学分析习题集题解》，吉米多维奇编，山东科学技术出版社，1979；《高等数学精品课堂》(上下册)，林建华，庄平辉，林应标编，厦门大学出版社，2011。

二、中文摘要《高等数学提升课1》是沈阳理工大学理学院的一门基础选修课程。

通过学习本课程，学生可以准确理解和熟练掌握高等数学基本知识和基础理论，全面提高解题能力、应用能力与应试水平。

三、课程学时分配表四、教学内容及基本要求第1部分极限理论总学时(单位：学时):8 讲课:8 实验:0 上机:0第1.1部分函数（讲课1学时）具体内容：1）了解集合、映射；2）理解函数的概念及其表示方法、初等函数与复合函数；3）掌握函数的几种特性；4）掌握基本初等函数的性质与图形。

重点：函数的几种特性。

难点：函数有界与无界的讨论。

习题：1）求分段函数的复合函数；2）讨论函数有界的讨论。

第1.2部分极限（讲课6学时）具体内容：1）理解函数极限概念、性质及其运算法则；2）熟练掌握极限存在准则及其两个重要极限；3）熟练掌握无穷小比较及其各种等价无穷小公式应用；4）熟练掌握洛必达法则与带有佩亚诺余项泰勒公式应用。

重点：无穷小等价代换、洛必达法则、佩亚诺余项泰勒公式。

难点：佩亚诺余项泰勒公式。

习题：计算各种类型极限。

第1.3部分函数的连续与间断（讲课1学时）具体内容：1）了解函数的连续与左、右连续及其三者之间关系；2）会判定函数的间断点及其类型；3）熟练掌握闭区间上连续函数的性质。

重点：函数间断点及其分类；应用零点定理证明。

难点：特殊函数间断点及其分类；闭区间上连续函数的整体性质。

习题：判定函数的间断点及其类型；零点定理证明应用。

第2部分一元函数微分学总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0第2.1部分导数的计算（讲课4学时）具体内容：1）掌握导数定义与性质；理解单侧导数与导数关系；掌握可导与连续的关系；2）熟练掌握导数的四则运算；熟练掌握复合函数导数的链式法则；熟记导数公示表；会求抽象函数导数；3）掌握隐函数的一阶导数求法；掌握对数求导法；掌握参数方程一阶导数求法与应用；4）熟练掌握简单函数的高阶导数公式及其莱布尼茨公式；掌握隐函数与参数方程二阶导数求法；5）理解微分定义；掌握可微、可导与连续的系关。

重点：导数定义；求导法则与导数公式；隐函数与参数方程求导法则；计算高阶导数；可微、可导与连续的系关；微分一阶形式不变性。

难点：导数定义；隐函数与参数方程二阶导数求法；可微、可导与连续的系关。

习题：导数定义；求导法则与导数公式；隐函数与参数方程二阶导数求法；抽象函数求导；可微、可导与连续的关系。

第2.2部分导数的应用（讲课4学时）具体内容：1）熟练掌握利用导数求函数单调区间与极值、凹凸区间与拐点的方法；2）会求函数的曲率、曲率圆与曲率半径；3）会求函数的最值。

重点：求函数单调性区间与极值、凹凸性与拐点；求曲线的渐近线。

难点：函数极值问题的处理。

习题：求函数单调区间与极值、凹凸性区间与拐点；求曲线的渐近线；求函数的曲率、曲率圆与曲率半径；求函数的最值。

第2.3部分中值定理、不等式与零点问题（讲课8学时）具体内容：1）掌握费马引理、罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理与泰勒定理的条件与结论；2）熟练掌握证明不等式的各种方法；3）熟练掌握零点问题的处理，尤其是双中值问题；4）熟练掌握有关方程根的存在性与个数问题。

重点：证明不等式；零点问题的处理；方程根的存在性与个数。

难点：双中值问题。

习题：证明不等式；零点问题的处理；方程根的存在性与个数。

第3部分不定积分总学时(单位：学时):4 讲课:4 实验:0 上机:0第3.1部分不定积分的概念与性质（讲课1学时）具体内容：1）理解原函数的概念及原函数存在的条件；2）掌握不定积分的概念，性质及几何意义；微分运算与积分运算的关系；3）熟练掌握基本初等函数的积分公式；4）掌握分段函数不定积分的求法。

重点：原函数的概念及原函数存在的条件；基本初等函数的积分公式。

难点：分段函数不定积分的求法。

习题：分段函数不定积分的求法。

第3.2部分不定积分的计算（讲课3学时）具体内容：掌握不定积分的基本积分法:换元法，分部积分法，简单有理式的积分，三角函数有理式的积分，简单无理式的积分。

重点：换元法、分部积分法。

难点：三角函数有理式的积分。

习题：计算各种类型积分。

第4部分定积分及其应用总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0第4.1部分定积分的概念，性质及几何、物理意义（讲课2学时）具体内容：1）理解定积分定义与性质；会利用定义求极限，利用性质证明等式或不等式；2）熟练掌握定积分的几何、物理意义；并能解决实际问题；3）掌握定积分存在的充分条件和必要条件。

重点：定积分的概念，性质及几何、物理意义。

难点：定积分的定义。

习题：利用定积分的定义求极限；利用定积分的性质比较两积分值的大小；利用定积分的几何意义求积分值等。

第4.2部分变上限积分函数及其应用（讲课4学时）具体内容：1）熟练掌握变上限积分函数的定义、性质；2）能解决与变上限积分函数有关的问题:极限，单调性、凹凸性及奇偶性的讨论，极值、最值的求法；变上限积分函数连续性与可导性的讨论。

重点：求积分上限函数的极限；变上限积分函数连续性与可导性的讨论。

难点：变上限积分函数连续性与可导性的讨论。

习题：求积分上限函数的极限；讨论积分上限函数区间性态与点性态；变上限积分函数连续性与可导性的讨论。

第4.3部分定积分的计算（讲课4学时）具体内容：1）掌握牛顿—莱布尼兹公式；2）会求各种类型的定积分。

3）熟练掌握奇函数和偶函数在对称区间上的积分问题；4）会利用递推公式计算函数的定积分。

重点：会求各种类型的定积分。

难点：利用递推公式计算函数的定积分。

习题：计算各种类型的定积分。

第4.4部分与定积分有关的证明题（讲课2学时）具体内容：1）利用换元法和分部积分法，积分中值定理证明积分等式，并掌握一些重要结论；2）熟练掌握证明不等式的各种方法：利用积分不等式的性质，积分中值定理，将积分上限函数转化为证明不等式。

重点：证明不等式及积分等式。

难点：利用积分中值定理证明等式或不等式。

习题：证明不等式；积分等式。

第4.5部分反常积分的概念与计算（讲课2学时）具体内容：1）理解反常积分的概念；2）掌握反常积分的极限审敛法；3）能熟练计算反常积分；4）能利用反常积分的极限审敛法判断反常积分的敛散性。

重点：用反常积分的极限审敛法判断反常积分的敛散性；熟练计算反常积分。

难点：用反常积分的极限审敛法判断反常积分的敛散性。

习题：判断反常积分的敛散性；计算反常积分。

第4.6部分定积分的应用（讲课2学时）具体内容：1）掌握定积分的元素法；2）能利用定积分的元素法解决几何问题：求平面图形的面积、旋转体的体积及其表面积、平面曲线的弧长；物理问题：功、压力、质心、引力等。

重点：求平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长。

难点：利用定积分的元素法解决物理问题。

习题：求平面图形的面积，旋转体的体积及其表面积，平面曲线的弧长，功，压力，质心，引力等。

第5部分常微分方程总学时(单位：学时):4 讲课:4 实验:0 上机:0第5.1部分一阶微分方程（讲课2学时）具体内容：1）理解微分方程的概念及方程的阶、通解、特解的概念；2）掌握求解微分方程的解题步骤；3）能求解可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、可降阶微分方程等。

重点：求解可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程。

难点：可降阶微分方程的解法。

习题：求解可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、可降阶微分方程等。

第5.2部分高阶常系数微分方程（讲课2学时）具体内容：1）掌握高阶线性微分方程解的性质、叠加原理及通解的结构；2）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解题步骤，能熟练求解二阶常系数非齐次线性微分方程。

重点：高阶线性微分方程解的性质、叠加原理及通解的结构；能熟练求解二阶常系数非齐次线性微分方程。

难点：第二种类型的特解的求法。

习题：求解二阶常系数非齐次线性微分方程。