高等数学---教学大纲

《高等数学提升课1》课程教学大纲

课程代码：090032018

课程英文名称： mathematics upgrading courses one

课程总学时： 48 讲课：实验： 0 上机：0

适用专业：理学院

大纲编写（修订）时间：2017.11

一、大纲使用说明

（一）课程的地位及教学目标

本课程是理工科的一门重要基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学习专业学科等后继课程的基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：

1. 获得证明一些问题的能力。

2. 掌握计算一些问题的方法。

3. 学习辨析一些问题的思维。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求

1. 基本知识：极限理论、一元函数微积分学、常微分方程等内容。

2. 基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；培养解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。

3. 基本技能：使学生提升高等数学的基本运算和证明技能。

（三）实施说明

1. 本大纲主要依据沈阳理工大学理学院2017版教学计划与目标等有关规定及全国通用《数学考研教学大纲》并结合我院实际情况进行编写。

2. 课程学时总体分配表中的章节在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考。

3. 教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过训练与讨论等方式强化重点、突出难点，使学生循序渐进的掌握知识。在教学中要注意由易到难，循序渐进。先理论后方法，培养初步的分析论证能力和单项解题能力，后强化综合论证能力和解题能力。

4. 教学手段：建议采用讲练结合手段开展教学。

（四）对先修课的要求

本课程的先修课是《高等数学》。

（五）课程考核方式

1. 考核方式：考查

2. 考核目标：在考核学生高等数学基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决问题的能力。

3. 成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：期中考试成绩占50%，期末考试成绩占50%，综合评定成绩档次。

（七）参考书目

《考研数学复习全书》第五版，李永乐，王式安，季文铎编，国家行政学院出版社，2017；

《考研数学辅导讲义》第一版，北京理工大学数学系编，北京理工大学出版社，2012；

《高等数学》第七版，同济大学数学系编，高等教育出版社，2016；

《数学分析习题集题解》，吉米多维奇编，山东科学技术出版社，1979；

《高等数学精品课堂》(上下册)，林建华，庄平辉，林应标编，厦门大学出版社，2011。

二、中文摘要

《高等数学提升课1》是沈阳理工大学理学院的一门基础选修课程。通过学习本课程，学生可以准确理解和熟练掌握高等数学基本知识和基础理论，全面提高解题能力、应用能力与应试水平。

三、课程学时分配表

四、教学内容及基本要求

第1部分极限理论

总学时(单位：学时):8 讲课:8 实验:0 上机:0

第1.1部分函数（讲课1学时）

具体内容：

1）了解集合、映射；

2）理解函数的概念及其表示方法、初等函数与复合函数；

3）掌握函数的几种特性；

4）掌握基本初等函数的性质与图形。

重点：函数的几种特性。

难点：函数有界与无界的讨论。

习题：1）求分段函数的复合函数；2）讨论函数有界的讨论。

第1.2部分极限（讲课6学时）

具体内容：

1）理解函数极限概念、性质及其运算法则；

2）熟练掌握极限存在准则及其两个重要极限；

3）熟练掌握无穷小比较及其各种等价无穷小公式应用；

4）熟练掌握洛必达法则与带有佩亚诺余项泰勒公式应用。

重点：无穷小等价代换、洛必达法则、佩亚诺余项泰勒公式。

难点：佩亚诺余项泰勒公式。

习题：计算各种类型极限。

第1.3部分函数的连续与间断（讲课1学时）

具体内容：

1）了解函数的连续与左、右连续及其三者之间关系；

2）会判定函数的间断点及其类型；

3）熟练掌握闭区间上连续函数的性质。

重点：函数间断点及其分类；应用零点定理证明。

难点：特殊函数间断点及其分类；闭区间上连续函数的整体性质。

习题：判定函数的间断点及其类型；零点定理证明应用。

第2部分一元函数微分学

总学时(单位：学时):16 讲课:16 实验:0 上机:0

第2.1部分导数的计算（讲课4学时）

具体内容：

1）掌握导数定义与性质；理解单侧导数与导数关系；掌握可导与连续的关系；

2）熟练掌握导数的四则运算；熟练掌握复合函数导数的链式法则；熟记导数公示表；会求抽象函数导数；

3）掌握隐函数的一阶导数求法；掌握对数求导法；掌握参数方程一阶导数求法与应用；

4）熟练掌握简单函数的高阶导数公式及其莱布尼茨公式；掌握隐函数与参数方程二阶导数求法；

5）理解微分定义；掌握可微、可导与连续的系关。

重点：导数定义；求导法则与导数公式；隐函数与参数方程求导法则；计算高阶导数；可微、可导与连续的系关；微分一阶形式不变性。

难点：导数定义；隐函数与参数方程二阶导数求法；可微、可导与连续的系关。

习题：导数定义；求导法则与导数公式；隐函数与参数方程二阶导数求法；抽象函数求导；可微、可导与连续的关系。

第2.2部分导数的应用（讲课4学时）

具体内容：

1）熟练掌握利用导数求函数单调区间与极值、凹凸区间与拐点的方法；

2）会求函数的曲率、曲率圆与曲率半径；

3）会求函数的最值。

重点：求函数单调性区间与极值、凹凸性与拐点；求曲线的渐近线。

难点：函数极值问题的处理。

习题：求函数单调区间与极值、凹凸性区间与拐点；求曲线的渐近线；求函数的曲率、曲率圆与曲率半径；求函数的最值。