用对称知识进行简单证明

E0 R cos
由
P E 0 可得：
3
P 4 0 R E0ez
这个结果与事实相符，说明这个 像电偶极子能反应这个导体球的 感应电荷，且根据图示，可知电 场线汇聚在球心处，即该像电偶 极子的线度为趋向0。因此，空 E0 R3 间电势的偶极矩项 cos 2 r 对于任何空间的r ，r>R都是严 格成立的.
二、一个例题的思考
如左图，一个 导体球放在匀 强场中，求其 在空间的电势。
E0 R3 解的电势为 E0 r cos 2 cos r
1、对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以 E对于 n 1 都为0，所以四极矩以及以上极矩都 没有被感应（induce）出来，所以只有偶 极矩项。 解释二、按前面关于对极矩对称破缺的理解， 则可知这个感应导体球的电荷分布是球对 称的（每个点电荷都有其球对称的等量异 号点电荷），所以是没有四极矩项的。
m sin Y1 ( , ) cos sin cos sin sin 2 3 1 Y m 2 2 cos 3sin cos 3(1 cos ) 2 ( , ) 2 2 cos cos 2
边界条件：

r rR
0
由电势无穷远处边界条件可知，L可取的值为0,1,2
解得：
( r , , )
5 R R3 R A0 (1 ) A1 (r 2 )(Y1m( , ) ) A2 (r 2 3 )(Y2 m( , ) ) r r r
多极矩的相关思考
高飞 08300190038 2010年11月8日
一、多极矩中的对称破缺理解
以不对称偶极子为例：
分别计算其对应的偶极矩和四极矩 的电势贡献
Qq l 2 cos 2 4 0 r 2
可见当Q= - q时，即两点电荷完全相等，则此时为镜面 对称，偶极矩项没有电势贡献。
用对称知识进行简单证明：
由 E
Ex E y x x Ex E y y y Ex E y z z 解得：
C
得：
c11 c12 c21 c22 c c32 31 Ez z Ez x Ez y
1 ( c11 x 2 c21 yx c31 zx cx x c12 xy 2 1 1 c22 y 2 c32 zy c y y c13 xz c23 yz c33 z 2 cz z ) 2 2
坐标轴变换后：
x r sin sin y r sin cos z r cos
c13 c23 c33
Ex c11 x c21 y c31 z cx E y c12 x c22 y c32 z c y Ez c13 x c23 y c33 z cz
由上解得无穷远处的电势为：

r
( Ex dx E y dy Ez dz )
b.像偶极子的解释
按照导体球上的电场线趋 势可以推测电场线汇聚于 球心处，因此可以将导体 球上的感应电荷等效成一 个在导体球中心的电偶极 子P为使满足导体球壳上 的电势为0，有如下等式：
r P P 3 4 0 r 1 P cos r R 4 0 R 2
r R
E E0 r cos

1 ( c11r 2 sin 2 sin 2 c21r 2 sin 2 sin cos c31r 2 sin sin cos r 2 1 c12 r 2 sin 2 sin cos c22 r 2 sin 2 cos 2 c32 r 2 sin cos cos 2 1 c13r 2 sin sin cos c23r 2 sin cos cos c33r 2 cos 2 ) 2
n
E0 R3 cos 2.关于“偶极子项” 2 r
对于所有r均成立，不 必需要像电偶极子那 样r R 的近似条件 的理解：
1 2 3
a.由上面的多极矩分析 可知，在此例中，只有 偶极矩项有电势贡献， 而其他的电势贡献均为0， 所以按照泰勒展开
2
这个对于任何r都是严格 的，并没有用 r R的 条件近似。
例题的通解是：
( r , , ) R( r )Yl m ( , ) R ( A r l B r l 1 ) l l (r ) l 0 sin m m m Yl ( , ) Pl (cos ) l ,m cos m m 2 (m) 2 Pm (1 cos ) P l (cos ) l (cos )
三、对上一例题中的解释一的分析
第六张PPT：“对解的“偶极子”项存在的理解 解释一、因为外场是匀强场，所以对于 n E 都为0，所以四极矩以及以上极矩都没 有被感应（induce）出来，所以只有 偶极矩项。”
思考若外场满足 E C 则 2 E 0 。于是按上 面的解释，应该得出：电势只有偶极矩和四极矩 项，没有八极矩及以上的项。
Q-q l 3z r 3 5 8 0 4 r
2 2
2
可见当Q= q 时，即两点电荷异号相等，则为球对称， 四极矩没有电势贡献。
小结
• 1.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电 荷都有其关于原点镜面对称的点电荷，则偶 2 为0 极矩电势贡献
• 2.在任一电荷体系中，若其中“任一”点电 荷都有其关于原点球对称的点电荷，则四极 3 为0 矩的电势贡献