第三章 导波与波导(3)

d
27.3 q r ( ) tan g e
q=(e-1)/ (r-1)
称作填充系数
q’=qr/e称作 有效填充系数
图3.33 有效填充系数q’随W/h 变化曲线
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3.7.3 均匀介质填充的耦合传输线的奇偶模
耦合带状线和耦合微带线可以看作一个三导体系统，除接 地板外，还有两根导体柱，n＝2。由于结构的对称性，有 C11＝ C22，L11＝L22，由于电容矩阵[C]、电感矩阵[L]的互易性，有 C12＝C21，L12＝L21，相应的频域三导体系统电报方程变为 I1 jC11V1 jC12V2 0 （3.7.20） z I 2 （3.7.21） jC11V2 jC12V1 0 z V1 j L11I1 j L12 I 2 0 （3.7.22） z V2 j L11I 2 j L12 I1 0 （3.7.23） z
2 x n 2 1 3 1 x
（3.7.4） （3.7.5）
W b
2
xt b
若忽略中心导体的厚度，令t＝0，m简化为 m
ZC(r)1/2/
W/b
图3.26 带线特性阻抗曲线
3
【例3.3】工作频率f＝4GHz，r＝4，要求带线的特性阻 抗ZC＝50Ω ，设t＝0，试求比值W/b和带线上的波长g。
W 8h ln 0.25 h W
（3.7.7）
（3.7.8）
对于W/h≥1，
ZC 120
1
W 1.393 0.667 ln W 1.4444
h h
（3.7.9）
e
r 1
2

r 1
2
h 1 12 W
P
e、特性阻抗Zc、相速vp和线上

图 3.28 微带线 的有效介电常数
7
C1(1)是空气填充时的单位长度电容， C(r)是部分 介质填充时的微带线单位长度电容，也是假想的有 效介电常数为e介质全部填充时的单位长度电容。 假设t=0,对于W/h<1：
ZC 60
1 2 r 1 r 1 12h 2 W e 1 0.0411 2 2 W h
（3.7.15）
（3.7.16）
相速vp和线上波长λg与有效介电常数的关系分别为
vp
c
e
0 g e
（3.7.17）
式中，c是光速，λ0是自由空间波长。
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在低频，基于准TEM模所计算的ZC、λ g是相当精 确的，但是在高频端场的纵向分量变得明显，必须 予以考虑。高频效应导致了色散现象，即微带线的 阻抗和有效介电常数将随工作频率的变化而变化。 图3.29是微带线特性阻抗随W/h变化的曲线（宽带近似， W/h>1.0），图3.30是微带线特性阻抗随W/h变化的曲线（窄带 近似，W/h<1.0），这些曲线以ε r为参变量，它们是根据惠勒 的精确解计算的。从曲线可以看出，当W/h增大时特性阻抗降 低；反之，当W/h减小时特性阻抗升高。图3.31给出了微带线 有效介电常数平方根 e 随W/h变化的曲线。 微带线的损耗包括导体损耗和介质损耗两部分，衰减常数 α 为两部分之和，即 c d （3.7.18） 式中，α C是与导体损耗对应的衰减常数，α d是与介质损耗 对应的衰减常数。归一化导体损耗A与α C的关系为 A c ZC h Rs （3.7.19）
2
e 0
上两式相乘得 ZC Zc ZC （3.7.35） 此式表明无论耦合传输线两线耦合的松和紧，耦合系数K大 或小，偶模特性阻抗与奇模特性阻抗的乘积都等于非孤立的单 根线的特性阻抗的平方。 耦合系数K与偶模奇模特性阻抗ZCe与ZCo之间的关系为
K Z Ce Z C0 Z Ce Z C0
3.7 带线和微带线
3.7.1 带线
图 3.25 带线的几何示意图和电场磁场力线图 （a）几何示意图 （b）电场磁场力线图
1
当 w/(b-t)<10 ，Wheeler的公式为：
1 2 8 1 2 30 4 1 8 1 ZC ln 1 6.27 m m m
1 2
（3.7.11） （3.7.12） （3.7.13）
B
377 2ZC r
对于A<1.52，有
8 exp A W h exp 2 A 2
对于A≥1.52，有
r 1 W 2 0.61 B 1 ln 2 B 1 ln B 1 0.39 （3.7.14） h 2 r r
e L11C11 1 K L 1 K C
（3.7.24）
o L11C11 1－K L 1＋K C （3.7.25）
21
ZC
L11 1 K L 1 KL Z Ce ZC C11 1 K C 1 KC
L11 1 K L 1 KL Z C0 ZC C11 1 KC 1 KC
（3.7.26）
（3.7.27）
式中，ZC′称作非孤立的单根传输线的特性阻抗，且有 L11 （3.7.28） ZC C11 ZC′是考虑了另一根耦合线影响的单根传输线的特性阻抗。当 耦合非常弱，以致于KL＝KC＝0时，C11＝C1，L11＝L1，这时
ZC ZC
（3.7.29）
22
对于均匀填充的耦合传输，偶模和奇模的传播常数 都等于TEM波的传播常数，即
20
KC KL
C12 C11 L12 L11
根据传播常数和特性阻抗的表示式，用C11(1KC) 代替C1，用 L11(1KL)代替L1可得偶模与奇模的传输常数β e与β o，偶模与 奇模的特性阻抗ZCe与ZCo，这里下标e表示偶模，下标o表示奇模。 偶模与奇模的传输常数β e与β o分别为
（3.7.1）
（3.7.2）
其中：m W W bt b t
x 2 0.0796 x n W x 1 0.5ln （3.7.3） b t 1 x 2 x W / b 1.1x
k L1C1 L11C11 1 K 2 （3.7.32）
23
偶模和奇模的特性阻抗ZCe与ZCo分别为
Z C0 L11 1 K 1 K ZC C11 1 K 1 K
（3.7.33） （3.7.34）
Z Ce
L11 1 K 1 K ZC C11 1 K 1 K
对于具有非零厚度的微带线，即t/h≠0, 可以在式（3.7.7）（3.7.14）中引入校正因子，即用等效宽度W1取代实际宽度W。
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W 1 对于 h 2
W1 W t t 2h 1 ln h h h h t W 1 对于 h 2
W1 W t 4 W 1 ln h h h t
解 首先计算 ZC
ZC 50 4 100
W 查图3.26的曲线，得 0.52 b
工作波长 计算得
0 c f
0 7.5cm g 0 3.75cm
4
微波系统对电路的体积和重量要求日趋苛刻,微带 线就是一种理想的传输线。微带线的几何结构和电场 力线图如图3.27所示，它包括导体板、介质基片和导 体带三部分。介质基片必须损耗小、光洁度高，以降低衰减。 微带线的几何结构并不复杂，但是它的电场磁场却相当复杂， 在微带线上传输的并不是严格的TEM波，而是准TEM波。由于介 质基片的存在，场的能量主要集中在基片区域，其场分布与TEM 波非常接近，故称为准TEM波。
e 0 k
e 0 L11C11 1 K 2
（3.7.30）
可以证明电容耦合系数等于电感耦合系数，即KC=KL=K；耦合 传输线的偶模和奇模的传播常数相等，且 （3.7.31）
孤立单根传输线的传输常数k与耦合传输线的奇偶模的传输常数 β e与β 0都是TEM波的传输常数，因此也应该相等，且
（3.7.36）
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图3.34 耦合微带线 与耦合带线 的偶模、奇 模力线图
18
当V1=V2时为偶模激励，当V2=-V1时为奇模激励。偶模和 奇模激励时耦合微带线与耦合带线的电场力线图如图 所示。若假设一个波的传播方向，由坡印廷矢量与电 场磁场的关系可画出磁力线。偶模和奇模都有对称性。 对于偶模，可假设对称面存在一个理想导磁壁，称为 磁壁，显然电力线与磁壁相切，磁力线与磁壁相垂直； 对于奇模来说，可假设对称面存在一个理想的导体壁， 称为电壁，磁力线与电壁相切，电力线与电壁相垂直。 奇偶模激励的条件下，假设电壁和磁壁将耦合传输线 分成两个独立的奇模、偶模传输线，因此引出了奇模、 偶模传播常数，奇模、偶模特性阻抗等参数。奇偶模 的概念和方法不仅仅对耦合传输线是有效的，而且对 微波工程中的许多问题如定向耦合器也同样是有效的。
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图3.29 微带线特性阻抗Zc随W/h变化曲线，宽带近似（ W/h >1.0）
12
图3.30 微带线特性阻抗Zc随W/h变化曲线，窄带近似（ W/h〈1.0）
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c
图3.31 微带线有效介电常数平方根
随W/h 变化曲线
c
14
图 3.32 归一化导体衰减A 随W/h 变化曲线
15
介质损耗为
3.7.2 微带线
来自百度文库
图 3.27 微带线的几何结构和电场力线图
5
色散方程 k12=kz12+kc12 k02=kz02+kc02 (介质基片) (空气)
在介质与空气的分界面上场的切向份量连续，要求向z向传 输的波的相位因子（-jkz）相等, kz1=kz0。用反证法，设 微带线中传播的是TEM波，则kc1=kc0，由此得k1=kz1,k0=kz0. 因kz1=kz0，所以k1=k0。错误。
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引入有效介电常数 ε
波长g。 当传输系统不存在介质基片时,相当于εr＝1，如图 3.28（a）所示，显然这时系统可以传输TEM波，其 相速等于真空中的光速c；当传输系统充满ε r≠1的介质时，该系 统同样可以传输TEM波，其相速 v c ，如图3.28（b）所示； 当微带线为部分填充介质时，其相速取决于传输能量在两部分介 质中的分配情况，可以预料其相速vp介于c与 c 之间，如图 3.28（c）所示；图（d）是图（c）的等效。为此引入有效介电常 e C r C1 1 数e，表示为 （3.7.6）
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下面导出奇、偶模传输线的一些特性。由奇偶模 的磁力线可确定相应的电流的方向，这只需应用面电 ˆ ˆ， n 流密度JS与磁场切向分量H的关系式 J s n H是导 体表面的法向单位矢量。由V1=V2得I1=I2，由V1=-V2得I2=I1。将奇、偶模的这些条件代入电报方程，并令V1=V， I1=I，得 I jC11 (1 K C )V 0 z V j L11 (1 K L ) I 0 z 式中两组符号：-KC和+KL为一组，+KC和-KL为一组，它们 分别与偶模和奇模相对应，KC称为电容耦合系数，KL称 为电感耦合系数，且有

1 2
（3.7.10）
8
有时给定的参数是ε r和所需要的微带线的特性 阻抗，求比值W/h。这时要用到另一组对偶的综合 用的公式。首先计算参数A和B如下:
ZC r 1 r 1 0.11 A 0.23 60 2 r 1 r