人教版初一数学下册同步精编讲义

第1讲相交线

知识点1 直线交点个数

1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=

()1

2

n n-

个交点，最少有1个交点．

【典例】

1.观察下列平面图形：

第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.

【方法总结】

根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

一般地：n条直线两两相交，最多有

()1

2

n n-

个交点，最少有1个交点．

【随堂练习】

1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则

．

2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

【典例】

1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．

【方法总结】

（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

【随堂练习】

1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两

个角，且∠AOE∠EOC

（1）求∠AOE的度数；

（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．

①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；

②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．

2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．

①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.

2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.

（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；

②与∠COE互补的角是___________．

（把符合条件的角都写出来）

（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．

【方法总结】

结论：在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N 在同一条直线上.

方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.

3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）（1）AD＞CD；（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.

4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．

【方法总结】

注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.

结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.