矩阵可逆的几种判断方法

例：设矩阵 Ａ 与 Ｂ 满足 Ａ－Ｂ＝ＡＢ，证明 Ａ＋Ｅ 可逆，并求 其逆矩阵。
证明：由 Ａ－Ｂ＝ＡＢ 可得 Ａ＋Ｅ－Ｂ－ＡＢ＝Ｅ，即（Ａ＋Ｅ）－（Ｅ＋Ａ） Ｂ＝Ｅ，
于是（Ａ ＋ Ｅ ）（Ｅ － Ｂ ）＝ Ｅ ， 所以 Ａ ＋ Ｅ 可逆，且（Ａ ＋ Ｅ ）－１ ＝ Ｅ － Ｂ 。
所以 Ｒ（Ａ）＝３，矩阵 Ａ 可逆。 ５ 、矩阵 Ａ 可逆的充分必要条件是它的牲值都不等于 零。此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的要。 例：判断矩阵 Ａ 是否可逆？
解：
解得特征值为λ ＝－１，λ ＝２，λ ＝５。 因此矩阵 Ａ 可逆。 责任编辑：张小玫
作者简介：曲秀英（１９６４－），女，山东莱州人，山东省农业管理干部学院基础部教师。 ·１ ５２·
４ 、若 ｎ 阶矩阵的拆借为 ｎ ，则矩阵可逆。 利用矩阵铁的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯 形矩阵求出其铁，看是否等于矩阵的阶数 ｎ 。 例：判断矩阵 Ａ 是否可逆？
解：
所以
２、若矩阵 ＡＢ＝Ｅ ，则矩阵 Ａ 、Ｂ 皆可逆，且 Ａ －１＝Ｂ ，Ｂ － １＝Ａ。若要判断矩阵 Ａ 是否可逆，则只要看能否找到与其乘 积等于 Ｅ 的矩阵即可。
例：判断矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵
解：
Ａ＝ ２ １ １ ３ １２ １ －２ ０
解： ２ １ １ Ａ ＝ ３ １ ２ ＝２ ≠ Ｏ，所以矩阵 Ａ 可逆。 １ －２ ０ 又因为 Ａ１１＝２， Ａ１２＝２， Ａ１３＝－４ Ａ２１＝－１， Ａ２２＝－１， Ａ２３＝３ Ａ３１＝１， Ａ３２＝－１， Ａ３３＝－１
山东省农业管理干部学院学报 ２００４年 第２０卷 第５期
矩阵可逆的几种判断方法
曲 秀 英
（山东省农业管理干部学院，山东 济南 ２５０１００）
Байду номын сангаас
中图分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８－７５４０（２００４）０５－０１５２－０１
矩阵是研究线性代数的一个重要的工具，矩阵可逆则 是矩阵理论的一个重要内容。如何判断矩阵可逆，本文总结 了如下几种常用的方法：
１、矩阵 Ａ 可逆的充分必要条件是
３、利用矩阵的初等行变换，若矩阵可化为单位矩阵， 则可逆，并且可直接求出逆矩阵。此种方法是最常用。
例：求矩阵 Ａ 的逆矩阵
此定理判断矩阵可逆很容易，只是示逆矩阵的非常麻 烦，适用于求低阶矩阵（二阶、三阶）的逆矩阵的情况。