3.2 正交多项式
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交回归(正交多项式回归)
正交回归（正交多项式回归）多项式回归虽然是一种有效的统计方法，但这种方法存在着两个缺点：一是计算量较大，特别是当自变量个数较多，或者自变量幂较高时，计算量迅速增加；二是回归系数间存在着相关性，从而剔除一个变量后还必须重新计算求出回归系数。
当自变量x的取值是等间隔时，我们可以利用正交性原理有效地克服上述缺点。
这种多项式回归方法就是本节将要介绍的正交多项式回归。
一、正交多项式回归的数学模型设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式(2-4-17)令(2-4-18)…分别是x的一次、二次,…k次多项式，a ij是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。
将(2-4-18)式代入(2-4-17)式，则有(2-4-19)比较(2-4-19)和(2-4-17)式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出，就可以求出。
若把…看作新的自变量，则(2-4-19)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为(2-4-20) 正规方程为(2-4-21)(2-4-22) 其中在上节中我们遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，如果我们有办法使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，那么计算就大大简化了，而且同时消去了系数间的相关性。
对于…我们可以通过选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-,…,a k0使得i(2-4-23)（2-4-24）则正规方程组为(2-4-29)回归系数为(2-4-30)满足(2-4-23)和(2-4-24)式的多项式组…我们称之为正交多项式。
显然这里关键的问题是如何找出一组正交多项式。
换言之，就是如何选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使(2-4-23)和(2-4-24)式成立。
在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则(2-4-31)(2-4-32)则(2-4-33)由此可见，是1至n的正整数。
只要我们用代替x作为自变量，问题就变得简单了。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用【范本模板】
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族.正交多项式是数学研究领域热点之一.许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫(Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory，such as proof of the conjecture of Bieberbach，data fitting，mathematical physics，theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials。
3.2 正交多项式
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
数值分析-正交多项式
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
1
1
x
2Tm
(
x)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
(2.12)
(3) 奇偶性 Tn( x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
f
(n1) (x) ||
对 于 一 般 区 间 [a,b] 上 的 插 值 ， 只 要 利 用 变 换
x 1 [(b a)t a b]即可得到相应结果，此时插值节点为 2
xk
ba 2
cos 2k 1
2(n 1)
a
b, 2
k 0,1, n
例：求 f (x) ex在[0,1]上的四次拉格朗日插值多项式L4 (x)，
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
xk
cos 2k 1 ,
2n
k 1,2, n
和n 1个极值点(包括端点)
xk
cos
k
2n
,
k 0,1,2, n
这两组点称为切比雪夫点，它们在插值中有重要作用.
利用切比雪夫点做插值，可使插值区间最大误差最小化. 下面设插值点 x0 , x1, xn [1,1], f Cn1[1,1]，L(x)为相应的 n 次拉格朗日多项式.
正交多项式拟合在EMD算法端点问题中的应用
２００６．２３计算机工程与应用正交多项式拟合在ＥＭＤ算法端点问题中的应用朱金龙邱晓晖（南京邮电大学，南京２１０００３）Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｕｊｉｎｌｏｎｇ０３０５１６＠１６３．ｃｏｍ摘要经验模态分解（ＥＭＤ）是由Ｈｕａｎｇ等人提出的一种全新的针对非线性非平稳信号处理的算法．通过ＥＭＤ，可以把一个信号分解为若干个固有模态函数（ＩＭＦ），再将这些ＩＭＦ进行希尔波特变换，从而得到具有真正意义的瞬时频率，因此解决了传统信号处理方法的不足之处。
与此同时，ＥＭＤ算法是一个全新的算法，本身也存在不足，如端点问题。
文章在现有的解决方法的基础上，提出了用正交多项式拟合的方法来解决ＥＭＤ的端点问题，并通过和已有算法的比较来证明这种方法的有效性。
关键词ＥＭＤ多项式拟合正交多项式拟合文章编号１００２－８３３１－（２００６）２３－００７２－０３文献标识码Ａ中图分类号ＴＰ３９３ＤｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅＥｎｄＩｓｓｕｅｏｆＥＭＤＢａｓｅｄｏｎＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＦｉｔｔｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍＺｈｕＪｉｎｌｏｎｇＱｉｕＸｉａｏｈｕｉ（ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓ＆Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１０００３）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＥｍｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＥＭＤ）ｈａｓｂｅｅｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｂｙＨｕａｎｇｅｔｃ，ｗｈｉｃｈｉｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｎａｌｙｚｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｓｉｇｎａｌ．ＡｓｉｇｎａｌｃａｎｂｅｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｉｎｔｏｓｏｍｅＩｎｔｒｉｎｓｉｃＭｏｄｅＦｕｎｃｔｉｏｎ（ＩＭＦ），ｗｈｉｃｈｉｓｐｒｏｃｅｓｓｅｄｂｙＨｉｌｂｅｒｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｆｏｒｏｂｔａｉｎｉｎｇｍｅａｎｉｎｇｆｕｌｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓｆｒｅｑｕｅｎｃｙ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓｎｅｗｍｅｔｈｏｄｈａｓｒｅｓｏｌｖｅｄｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｂｅｌｏｎｇｉｎｇｔｏｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｓｉｇｎａｌ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｉｓｎｅｗｍｅｔｈｏｄｈａｓｓｏｍｅｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｄｕｅｔｏｈａｖｅｂｅｅｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｌａｔｅｌｙ．Ｏｎｅｏｆｔｈｅｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｉｓｅｎｄｉｓｓｕｅ．Ｉｎｏｕｒｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄｏｎｅｘｉｓｔｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓ，ｗｅｐｕｔｆｏｒｗａｒｄＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＦｉｔｔｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｉｓｉｓｓｕｅ．Ｗｅｈａｖｅｐｒｏｖｅｄｏｕｒｍｅａｎｉｓａｖａｉｌａｂｌｅｖｉａｃｏｍｐａｒｉｎｇｉｔｗｉｔｈｏｔｈｅｒｍｅａｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＥＭＤ，ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ基金项目：江苏省教育厅高校自然科学研究基金资助项目（编号：０２ＳＪＤ５１０００８，０４ＫＪＢ５１００９３）；江苏省图象通信重点实验室开放课题（编号：ＫＪＳ０３０３７）作者简介：朱金龙（１９７４－），男，硕士，研究方向：通信中的信号处理。
正交的名词解释
正交的名词解释1. 引言在数学和工程领域，正交是一个重要的概念。
它不仅仅用于描述数学和几何中的关系，还被广泛应用于各种实际问题的求解和优化。
本文将详细介绍正交的定义、特性、应用以及相关的数学概念。
2. 正交的定义正交是指两个或多个对象之间相互垂直或互不相关的关系。
在数学中，我们通常将正交用于描述向量、函数、矩阵等的关系。
如果两个向量的内积为零，我们可以称它们为正交向量。
同样地，如果两个函数的积分为零，我们可以称它们为正交函数。
在线性代数中，我们还可以将正交扩展到更高维度的矩阵和向量空间。
3. 正交的特性正交具有许多重要的特性和性质，下面我们将介绍其中的几个：3.1 正交向量的性质•正交向量的内积为零：如果两个向量是正交的，它们的内积为零。
即对于向量a和向量b，如果a·b=0，则称向量a和向量b正交。
•正交向量的线性无关性：如果两个向量是正交的，它们是线性无关的。
也就是说，一个向量不能表示为另一个向量的线性组合。
•正交向量的长度相等：如果两个向量是正交的，并且它们的长度相等，我们可以称它们为单位正交向量。
3.2 正交函数的性质•正交函数的积分为零：如果两个函数是正交的，它们的积分为零。
即对于函数f(x)和函数g(x)，如果∫f(x)g(x)dx=0，则称函数f(x)和函数g(x)正交。
•正交函数的线性无关性：如果两个函数是正交的，它们是线性无关的。
也就是说，一个函数不能表示为另一个函数的线性组合。
•正交函数的归一性：如果一个函数是正交的，并且它的平方积分为1，我们可以称它为归一正交函数。
4. 正交的应用正交在许多领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个：4.1 信号处理在信号处理中，正交函数被广泛用于信号的表示和分解。
正交函数可以将一个信号分解成一组正交基函数的线性组合，从而方便地进行信号分析和处理。
例如，傅里叶级数和小波变换就是基于正交函数展开的信号分解方法。
4.2 图像处理在图像处理中，正交变换被广泛用于图像的压缩和特征提取。
数值分析第3章
20
定义了内积的线性空间称为内积空间. 定义中（1）的右端 (u称, v为) 的(u共,轭v)， 当K为实数域R时 (u, v) .(v, u) 如果 (u, v，) 则 称0 与 正交u ，这v 是向量相互垂 直概念的推广.
b a
f
2
(
x)dx
2
33
若 0 ,1,,n是 C[a, b]中的线性无关函数族，记 span{0 ,1,,n}, 它的格拉姆矩阵为
G G(0 ,1,,n )
(0 ,0 ) (0 ,1) (0 ,n )
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(1
,
n
)
(n ,0 )
(n ,1 )
(
n
,
n
)
（1.17）
Hn span{1, x,, xn},
且 (a0 , a1,, an ) 是 p(x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
8
对连续函数 f (x) C[a,b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a,b]是无限维的，但它的任一元素 f (x) 均可用有限维的 p(x) Hn逼近，使误差
与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n，称为 n维
向量空间.
4
对次数不超过 n( n为正整数)的实系数多项式全体，
按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域
R上一个线性空间，用
H
表示，称为多项式空间.
n
所有定义在 [a,b] 上的连续函数集合，按函数加法和
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1
函数逼近与快速傅里叶变换
1 x1 n xn 0,
（1.1）
, xn 否则，则称 x1 , 线性无关 .
n (1) x1 , , xn 是线性空间 中 S 个线性无关的元素 (2)对x S 都有 x 1 x1 n xn , xn 则 x1 , 称为空间 的一组基， 记 S span{ x1 ,, xn } S
17
2015/8/10
函数逼近与快速傅立叶变换
在 中，满足‖ · ‖2 =1 ，即 x1 的向量 x2 1 R2 为单位圆; 满足‖· , x2 } 1 ‖∞ =1 ，即 max{ x1 的向量为
2
2
单位正方形. 2)、连续函数空间 C[a, 的范数，若 b] 定义三种常用范数如下： f max f ( x ) , 范数，
第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
Approximation of Function and Fast Fourier Transform
3.1 函数逼近的基本概念
3.2 正交多项式
3.3 最佳平方逼近
3.4 曲线拟合的最小二乘法
3.5 有理逼近
3.6 三角多项式与快速傅里叶变换
2015/8/10 函数逼近与快速傅立叶变换 1
f
f
1
2
f ( x), C[a, b]
a xb b
a
b a
f ( x ) dx ,1-范数，
(
2f 2 ( x )dx )范数 , .
1 2
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间
3.1.3 内积与内积空间 线性空间 + 赋内积 = 内积空间
R n 中两个向量 x ( x1 , , xn )T及 y ( y1 , , yn )T 内积 ( x , y ) x1 y1 xn yn . （1.5）
正交多项式
首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1
0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)
1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1
2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故
1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
2_正交多项式
k 2
◆ 确定系数 {d i }i 0
k -2
( f k 1 a k xf k , f m ) ( f k 1 , f m ) a k ( f k , xf m ) 0
k 2 i0
另一方面
( f k 1 a k xf k , f m ) ( d i f i d k 1 f k 1 d k f k , f m )
(反证)假设 f n (x ) 在 (a , b ) 内无实根 (反 证 )假 设 为 重 根 , 则至少是二重的 f n (x ) 在 (a , b ) 内恒正或恒负
2
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
f n ( x) ( x ) qn2 ( x)
而
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
k 2 i0
下面逐步确定组合系数
d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012
yfnie@
6
(续1)
for m k 2 :
f k 1 ( x ) a k xf k ( x ) d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012 yfnie@ 1
3.1 线性无关性
正 交 多项 式系 f i i 0 中 任 意 m 个 函数 f i1 ( x ), f i 2 ( x ), , f im ( x )
线 性 无关 (非负 整数 i 1 , i 2 , , i m 互 不 相 同 ).
P0 (x ) 1 ;
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
正交多项式
正交多项式正交多项式定义：正交多项式是一个属于多项式的特殊形式，它的系数只有正负的二项式的形式。
正交多项式的用途：1. 在科学计算中：解决三次方程中的较复杂问题，使计算精准而有效。
2. 在信号处理中：可以将原始信号转换为更好的可处理信号；也可以使用正交多项式可以减少信号噪声，提高传输效率和抗干扰能力。
3. 在图像处理中：可以获得更多清晰的图像信息，从而实现更好的图像压缩和损失填充。
4. 在机器学习中：利用它从大量数据中可以挖掘出有意义的特征，从而更好的进行数据分析和模型学习。
5. 在量子计算中：用正交多项式可以更有效的建立量子模型，以实现理论的验证和实验的模拟。
正交多项式的构成：正交多项式的结构由一系列二项式构成，其中又包含系数、变量和指数等三部分，可以使用不同指数来表示不同的结构特征。
1. 二项式：二项式由两个变量按照一定的指数组合而成，其中变量个数由正负系数决定，而系数则为正和负值。
2. 系数：系数是表示一个二项式中两个变量之间的关系强度的数字，它描述了二项式对应可能方案的概率及相关性，其具有显著的改变能力。
3. 变量：变量表示一个正交多项式中不同的变量，每个变量都具有一定的指数，它们描述着这个多项式的性质。
4. 指数：指数（Exponent）是表示一个二项式中变量之间关系的数字，它表示一个变量比另一个变量在正交多项式中的影响程度。
正交多项式的优点：1. 能够有效的分辨变量之间的相关性：正交多项式的二项式系数只有正负值，可以看到每个变量与其他变量之间的关系程度，及相应影响的强度。
2. 简短的记录：正交多项式的表达方式很简洁，只需要几个参数就可以完成一个正交多项式的表示，它比传统多项式表示更加简洁，可以减少记录长度和保留舍入误差。
3. 降低计算量：正交多项式的表示方式可以大大降低计算量，从而使计算更加有效方便，其中的遍历搜索也更加友好。
4. 高效的数据处理：正交多项式可以有效的处理信号和图像等数据，对信号进行更好的处理，以获得更优质的数据结果。
3.2 正交多项式
k
x n , k n , x k ; k , k k , k
n 1 k 当 时, 即n 1 k n 1时, k可能不等于零 , k 1 n 当k n - 1时，k 0.
x n x n1 n1 x n n x n1 n1 x ;
4、 零点分布 1， Pn x 在区间 1 内有n个不同的实零点 .
三、切比雪夫多项式
区间为 [1,1], 权函数为 ( x ) 1 1 x2 正交化所得正交多项式 称为切比雪夫多项式. ，由序列示 Tn ( x) cos(n arccosx),
由以上定理可知 ,
f x P2 x 2
2
1 2 T3 x ; 2
1 3 3 即f x P x T3 x 2 x x 2 2
就是f x 在 1， 1上的2次最佳一致逼近多项式 .
1 7 故P2 x f x T3 x x 2 x 1, 2 2
例、 求f x 2 x 3 x 2 2 x 1在 1,1上的
2次最佳一致逼近多项式 .
解： 由题意, 所求最佳逼近多项式P x 应满足 2
f x P2 x
=
( x) P2 x H 2
min
f x P2 x
这由三角恒等式 cos(n 1) 2 cos cosn cos(n 1) 推出。
由递推关系式（ 2.11 ），得
T2 ( x ) 2 x 2 1, T3 ( x ) 4 x 3 3 x , T4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1, T5 ( x ) 16x 5 20x 3 5 x ,
计算方法考试重点
计算方法考试重点这次计算方法是我们老师出题，上次给我们划了一下范围，现在给大家说一下。
我们老师出题风格是不喜欢考死记硬背的公式，主要考察对所学方法的理解。
在看书的时候要注意公式推导的来龙去脉，不仅要知道结果，还要知道原理。
比如考试考试会出现书本上没见到的算法，但是可以按照原来所学的方法进行推导和证明，大家看书时多思考思考。
考试范围按照计算方法大纲的要求（数学系网站上可以下载）基本上都考，但以下内容我们老师明确说不考：最佳一致逼近二分法。
试卷中有6道大题，还有一些小题。
6道大题出自一下几个部分：1插值与逼近2数值积分3常微分方程数值解法4解线性方程组迭代法5 矩阵特征值与特征向量计算6非线性方程求根。
小题一般是了解的内容。
下面分章说一下1绪论这章不考大题，按照大纲要求，一般出选择填空。
2插值与逼近按照大纲要求进行考察。
我们老师说大题要考逼近就很有可能考最佳平方逼近，最小2乘法我们老师说属于本科阶段的内容，考的概率小些。
另外我们老师举了个例子，就是三次样条插值，考试很难考察，虽然以前考过两个区间的，单完全考的是记忆力，不符合我们老师出题原则，所以可能换成2次样条等等，这就要好好把这些内容搞清楚。
3数值积分还是按照大纲要求。
另外我们老师点了几点要注意：3.1利用代数精度构造一般求积公式，具体分两类：a已知点，采用1，x2 ，x3直接代入，另外还有用正交多项式求解。
b未知点，即高斯求积公式。
3.2正交多项式勒让德~（重点）切比雪夫~3.3复化求积公式3.4龙贝格公式3.5理查德森外推法注意不一定限于数值积分，它还可以用于求其他方面。
如n*arctan（pi/n）求pi等4常微分方程的数值解法按照大纲要求考察。
最基本的：欧拉法（显示，隐式）、梯形法。
另外改进欧拉法、龙贝格方法等都是由上述推导出来的（注意2阶龙贝格方法推导）。
但是这些都要记公式，考大题的可能性不大。
考试大题可能出现一下方面：a给一个新的算法求代数精度b用已有算法解决方程组，如何把高阶微分方程化成低阶方程组？如何求解低阶方程组？c注意线性多步法。
多项式正交对比
多项式正交对比1. 引言多项式正交是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式正交的基本概念和性质，并对几种常见的多项式正交进行对比分析。
2. 多项式正交的基本概念2.1 多项式首先，我们需要了解什么是多项式。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的代数表达式。
例如，ax 2+bx +c 就是一个二次多项式，其中a,b,c 为常数。
2.2 正交性在数学中，两个函数f (x )和g (x )被称为正交的，如果它们在某个区间上满足以下条件：∫f ba (x )g (x )dx =0换句话说，两个函数在该区间上的内积等于零。
这种正交性具有很多重要的性质和应用。
2.3 多项式正交考虑一个定义在区间[a,b ]上的函数f (x )。
如果存在一组满足以下条件的多项式{P n (x )}：1. P n (x )是n 次多项式；2. P n (x )在区间[a,b ]上归一化，即∫P nba (x )P m (x )dx =δn,m ； 3. P n (x )与f (x )正交，即∫P nb a (x )f (x )dx =0； 那么我们称{P n (x )}为f (x )的正交多项式集。
这些多项式的正交性质使得它们在数学和科学领域中有广泛的应用。
3. 常见的多项式正交3.1 勒让德多项式（Legendre Polynomials ）勒让德多项式是最常见的一类多项式正交。
它们满足以下条件：1. P n (x )是n 次多项式；2. 归一化条件为∫P n 1−1(x )P m (x )dx =22n+1δn,m ；3. 正交性条件为∫P n 1−1(x )x m dx =0,m =0,1,...,n −1。
勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学中描述球对称势场下粒子的运动。
3.2 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials ）切比雪夫多项式是另一类常见的多项式正交。
伯恩斯坦多项式
3.1 函数逼近的基本概念
线性无关的概念，线性空间的基，线 性空间的维数，有限维线性空间、无限维 线性空间。 的函数类 B中求函数 p( x) B，使得p( x)与 f ( x) 的误差在某种度量意义下最小。函数类 A通 常是区间[a, b]上的连续函数，记作 C[a, b] ， 称为连续函数空间，而函数类 B 通常为 n 次 多项式，有理函数或分段低次多项式。
k 0
伯恩斯坦多项式
有界，故 Bn ( f , x)是稳定的。至于Lagrange
多项式，由于 | lk ( x) | 无界，因而不能保证
k 0
n
高阶插值的稳定性与收敛性。相比之下。
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
伯恩斯坦多项式
更一般地，可以用一组在C[a, b上线性无关 ] 的函数集合 i ( x)i 0 来逼近 f C[a, b]。函
3.1 函数逼近的基本概念
如果我们把问题一般化，则可以提出如 下的方法：对函数类 A 中给定的函数 f ( x) ， 记作 f ( x) A ，要求在另一类简单的便于计算 上章讨论的插值法就是函数逼近问题 的一种。 我们的做法是在多项式类中寻找一个 合适的多项式来代替原来的函数，使误差 较小。
相关概念、定理的复习
k Bn ( f , x) f ( ) Pk ( x) n k 0
n
其中：
Weierstrass定理：设 f ( x) C[a, b]，则对 任何 0 ，总存在一个代数多项式 p( x) ，使 得 f ( x) p( x) 在 [a, b] 上一致成立。 这个定理可有多种证明方法，其中的 伯恩斯坦证明是构造性的，即它给出了一 个具体的函数，称为伯恩斯坦多项式。
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a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集 {0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
其中的 (x)0为给定的权函数。
（6）
按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满
足条件(7),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交
多项式序列。
第三章 函数逼近
例3.4 三角函数组 1,cos x,sin x,,cos nx,sinnx 在[ , ]
上是关于权函数1的正交组。
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第三章 函数逼近
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i
,
j
)
0, ai
i j 0,i
j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0
(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )
0.5
P1(x) x a0 x 0.5
第三章 函数逼近
由此得
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
从而有
4
(xP1, P1) i xi P12 (xi ) 0.3125 i0
0(x)1 1(x) x 1 k1( x) ( x k1 )k ( x) k1k1( x), (k 1,2,, n 1)
其中 k1
( x k ( k ,
,k ) k )
，
k
1
( k , k ) ( k1 , k1 )
（4）（1，1） dx 2 ； (1,sinix) 0,(1,cosix) 0, i 1,,n。
正交多项式的三项递推公式:
第三章 函数逼近
设 {k (x)}nk0为[a，b]具有权函数 (x) 的正交多项式组，i (x) 是首项系数为1的i次多项式，则 { k ( x)} 满足递推公式:
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。
(Ln , Lm )
0
e
x
Ln
(
x)Lm
(
x)dx
0, (n!)2
,
当n m 当n m
(4) Hermite 多项式
第三章 函数逼近
Hermite多项式可由三项递推公式
H0 (x) 1, H1(x) 2x, Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x), n 1, 2,
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0
m)
是正交多项式序列，
其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
(9)
给出.它们是在区间[-1,1]上的带权 (x) 1
1 x2
的正交多项式.
Tn (x) cos(第n三a章rc函c数o逼s 近x)
前几个第一类Chebyshev多项式如下:
T 2(x)
1 2
x2 1,
T
(
3
x)
4
x3
3 x,
T
( x)
4
8
x4
8
x2
1,
T 5 ( x) 16 x5 20 x3 5 x.
x, (2n
1)
xPn
(
x)
nPn
1
(
x),
n
1,
2,
(8)
,
它们是在区间 [-1,1]上的带权 (x)=1的正交多项式.
{1,
x,
1 2
(3x2
1),
1 2
(5x3
3x),...,
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n , ...}
0,
(Pn , Pm )
1 1
Pn
第三章 函数逼近
1 离散点集上的正交多项式
定义3.1 设有点集 {xi} i=0,1,…,m ,函数 f (x) 和 g (x) 在离散意义下的内积定义为
m
( f , g) i f (xi )g(xi )
(1)
i0
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)
的2-范数定义为
|| f ||2 ( f , f )
2 连续区间上正交多项式
0,i j
(7) (第i ,三j章) 函a数i 逼0近,i j
连续区间上的正交多项式的概念与离散 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 的定义作相应的改变 。
定义3.2 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx, f , g C[a,b]
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 .
第三章 函数逼近
给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数{ i}i=0,…m ，并且
点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
项递推公式
P0 (x) 1, P1(x) x a0,
（4）
Pk1(x) (x ak )Pk (x) bk Pk1(x), k 1, 2, n 1
(
x
)Pm(x来自)dx
2 2n
1
当n m 当n m
它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.
第三章 函数逼近
(2)第一类Chebyshev多项式. 第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式
TT0n(1x()x) 1,2T1x(Txn)(x)x, Tn1(x), k 1, 2, ,
它们的根都在区间（-∞，+∞）上的单根，并且与原点对称
例3.3 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x), P1(x), P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
1 离散点集上的正交多项式 2 连续区间上的正交多项式
总结
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
正交多项式是数值计算中的重 要工具，这里只介绍正交多项式的 基本概念、某些性质和构造方法。 离散情形的正交多项式用于下节的 数据拟合，连续情形的正交多项式 用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们 在数值分析的其他领域中也有不少 应用。
P0 Pk
(x) 1, P1(x) 1(x) (x ak )
x a0, Pk (x)
bk
Pk 1 ( x),
k
1,
2,
n 1
(x
P P P P
,
k
第k)三, 章 函( 数k逼, 近k)
.
a b k ( , ) k ( , )
P P P P k k
k 1 k 1
L0(x) 1, L1(x) 1 x,
Ln
1(x)
(1
2n
x)Ln
(x)
n2Ln
1( x),
n
1,
2,
(10) ,
给出。它们是在区间[0,+∞)上带权 (x) ex
的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:
Ln ( x)