3.2 正交多项式

其中的 (x)0为给定的权函数。
（6）
按连续意义下的内积，若多项式组{k(x)}k=0,…n 满
足条件(7),则称它为在区间[a,b] 上的带权 (x)的正交
多项式序列。
第三章 函数逼近
例3.4 三角函数组 1,cos x,sin x,,cos nx,sinnx 在[ , ]
上是关于权函数1的正交组。
例3.3 已知点集 {xi} i=0,1,…,4 ={0,0.25,0.5,0.75,1} 和 权数{ i}i=0,…4 ={1,1,1,1,1}.试用三项递推公式求关于
该点集的正交多项式 P0(x), P1(x), P2(x)
解 先令 P0(x)=1 ，由此得
4
(P0 , P0 ) i P02 (xi ) 5 i0
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)

(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
事实上，
（1）(cosix,cos jx)

cos
ix
cos
jxdx

0，当i
，当i

j, j
且i, 0
j

1；
（2）
(sinix,
sin
jx)

0,
,
当i j,且i, j 1； 当i j 0
（3） (sinix,cos jx) 0, i, j 1,2,,n
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m


2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
0(x)1 1(x) x 1 k1( x) ( x k1 )k ( x) k1k1( x), (k 1,2,, n 1)
其中 k1

( x k ( k ,
,k ) k )
，
k
1

( k , k ) ( k1 , k1 )
(9)
给出.它们是在区间[-1,1]上的带权 (x) 1
1 x2
的正交多项式.
Tn (x) cos(第n三a章rc函c数o逼s 近x)
前几个第一类Chebyshev多项式如下:
T 2(x)

1 2
x2 1,
T
(
3
x)

4
x3

3 x,
T
( x)
4

8
x4

8
x2

1,
T 5 ( x) 16 x5 20 x3 5 x.
第三章 函数逼近
1 离散点集上的正交多项式
定义3.1 设有点集 {xi} i=0,1,…,m ,函数 f (x) 和 g (x) 在离散意义下的内积定义为
m
( f , g) i f (xi )g(xi )
(1)
i0
其中i>0为给定的权数。在离散意义下，函数f (x)
的2-范数定义为
|| f ||2 ( f , f )
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
1 离散点集上的正交多项式 2 连续区间上的正交多项式
总结
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
正交多项式是数值计算中的重 要工具，这里只介绍正交多项式的 基本概念、某些性质和构造方法。 离散情形的正交多项式用于下节的 数据拟合，连续情形的正交多项式 用于生成最佳平方逼近多项式和下 章的高斯型求积公式的构造。它们 在数值分析的其他领域中也有不少 应用。
且于[a, b]带权函数(x)为正交多项式组 {k (x)}nk0, （k ( x)为首项系数
为1的k次多项式）是唯一的。
下面给出几种常用的正交多项式. (1) 勒让德（Legendre）多项式.
第三章 函数逼近
正交多项式记为{Pi (x)}in0 ，由三项递推公式得
(Pn0 (x1))Pn1,1P(1x()x)
2 连续区间上正交多项式
0,i j
(7) (第i ,三j章) 函a数i 逼0近,i j
连续区间上的正交多项式的概念与离散 点集上的正交多项式概念相似，只要将内积 的定义作相应的改变 。
定义3.2 函数f (x)和 g (x)在连续意义下的内积定义为
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx, f , g C[a,b]
给出的多项式序列
n
Pk(x)
(n
k 0

m)
是正交多项式序列，
其中
(x , )
(,
P P P P
k k,
k
a b k ( , ) k ( ,
P P P P k k
k 1
) k.
)
k 1
（5）
三项递推公式（4）是构造正交多项式的简单公 式，此外，还有其他的特殊的情形，这里，不进一 步讨论。
L0(x) 1, L1(x) 1 x,
Ln

1(x)

(1
2n

x)Ln
(x)

n2Ln
1( x),
n

1,
2,
(10) ,
给出。它们是在区间[0,+∞)上带权 (x) ex
的正交多项式。前几个Laguerre多项式如下:
Ln ( x)

ex
dn dxn
( xnex )
（4）（1，1） dx 2 ； (1,sinix) 0,(1,cosix) 0, i 1,,n。
正交多项式的三项递推公式:
第三章 函数逼近
设 {k (x)}nk0为[a，b]具有权函数 (x) 的正交多项式组，i (x) 是首项系数为1的i次多项式，则 { k ( x)} 满足递推公式:

P0 Pk
(x) 1, P1(x) 1(x) (x ak )
x a0, Pk (x)
bk
Pk 1 ( x),
k

1,
2,
n 1
(x
P P P P
,
k
第k)三, 章 函( 数k逼, 近k)
.
a b k ( , ) k ( , )
P P P P k k
k 1 k 1
x, (2n

1)
xPn
(
x)

nPn
1
(
x),
n

1,
Biblioteka Baidu2,
(8)
,
它们是在区间 [-1,1]上的带权 (x)=1的正交多项式.
{1,
x,
1 2
(3x2
1),
1 2
(5x3

3x),...,
1 2n n!
dn dxn
(x2
1)n , ...}
0,
(Pn , Pm )
1 1
Pn
(
x
)Pm
(
x
)dx


2 2n
1
当n m 当n m
它们的根都是在开区间 (-1,1)上的单根,并且与原点对称.
第三章 函数逼近
(2)第一类Chebyshev多项式. 第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式
TT0n(1x()x) 1,2T1x(Txn)(x)x, Tn1(x), k 1, 2, ,
4
(xP0 , P0 ) i xi P02 (xi ) 2.5 i0
a0

(xP0 , P0 ) (P0 , P0 )

0.5
P1(x) x a0 x 0.5
第三章 函数逼近
由此得
4
(P1, P1) i P12 (xi ) 0.625 i0
从而有
4
(xP1, P1) i xi P12 (xi ) 0.3125 i0
它们的根都在区间（-∞，+∞）上的单根，并且与原点对称
a1

(xP1, P1) (P1, P1)

0.5
,
b1

(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )

0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
所以, 1, x - 0.5, (x 0.5)2 0.125 为所求在点集 {0, 0.25, 0.5, 0.75,1}上的正交多项式序列.
它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。
(Ln , Lm )
0
e
x
Ln
(
x)Lm
(
x)dx

0, (n!)2
,
当n m 当n m
(4) Hermite 多项式
第三章 函数逼近
Hermite多项式可由三项递推公式
H0 (x) 1, H1(x) 2x, Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x), n 1, 2,
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
(2)
有了内积，就可以定义正交性。若函数 f (x) 和 g (x) 的内积 (f , g)=0，则称两者正交。
第三章 函数逼近
若多项式组{k(x)}k=0,…n 在离散意义下的内积满足
(i
,

j
)

0, ai
i j 0,i

j
(3)
则称多项式组{k(x)}k=0,…n为在离散点集 {xi}i=0,1,…,m 上的带权 { i}i=0,…m的正交多项式序列.
下面给出离散点集上正交多项式的构造方法 .
第三章 函数逼近
给定点集{xi} i=0,1,…,m和权数{ i}i=0,…m ，并且
点集 {xi} i=0,1,…,m中至少有n+1个互异，则由下列三
项递推公式
P0 (x) 1, P1(x) x a0,
（4）
Pk1(x) (x ak )Pk (x) bk Pk1(x), k 1, 2, n 1